【文档说明】重庆市四川外国语大学附属外国语学校（重庆外国语学校）2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(20)页，1.096 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-a961eb4e17008962c6893ff275424d66.html

以下为本文档部分文字说明：

2023-2024学年重庆外国语学校高一（下）月考数学试卷（3月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若2πcos24sin22+−=−，则tan2=（）A.2−B.12−C.2D.12【答案】C【

解析】【分析】先利用诱导公式结合二倍角的正弦公式及商数关系和平方关系化弦为切，再根据二倍角的正切公式即可得解.【详解】由2πcos24sin22+−=−，得2sin24sin2−−=−，即2222sincos4sin2sincos+=+，即22

2tan4tan2tan1+=+，所以222tan4tan2tan2+=+，所以2tan1tan=−，则22tantan221tan==−.故选：C.2.已知,ab是夹角为120两个单位向量，若向量ab

+在向量a上的投影向量为2a，则=（）A.2−B.2C.233−D.233【答案】A【解析】【分析】由投影向量计算公式可得答案.【详解】ab+在向量a上的投影向量为()22abaaaa+=()22abaa+=.()2o1cos1201222abaaab

+=+=−==−.的故选：A3.已知(),0,π，()5sin6−=，tan1tan4=−，则+=（）A.5π6B.πC.7π6D.11π6【答案】C【解析】【分析】先利用三角函数的符号确定角、、+的范围，再利用两角差的正弦公式、同角三角函数基

本关系的商数关系得到关于sincos和cossin的方程组，再利用两角和的正弦公式求出()1sin2+=−，进而结合角+的范围进行求解.【详解】因为(),0,π，tan10tan4=−，所以ππ0,π22或ππ0,π22

；若ππ0,π22，则π0−−，此时()sin0−（舍）；若ππ0,π22，则0π−，此时()sin0−（符合题意），所以ππ0,π22，即π3π,22+；因为()5sin6−=且tan1tan

4=−，所以5sincoscossin6−=且sincos1cossin4=−，解得1sincos6=，2cossin3=−，则()1sin2+=−，所以7π6+=.故选：C.4.已知非零向

量,ab满足：向量ab−与向量b垂直，且向量4ab−与向量a垂直，则a与b的夹角为（）A.π6B.π4C.π3D.5π6【答案】C【解析】【分析】利用向量垂直得数量积为0，求得数量积与向量模的关系，根据向量夹角公式求解

即可.【详解】因为向量ab−与向量b垂直，所以()20abbabb−=−=，所以2abb=，因为向量4ab−与向量a垂直，所以()2440abaaab−=−=，所以24aab=，所以224ab=，即2ab=，所以221cos

,22babababb===，又0,πab，所以π,3ab=，即a与b的夹角为π3.故选：C5.设向量a与b的夹角为，定义sincosabab=+.已知向量a为单位向量，2b=，1ab−=rr，则ab=（）A.22B.2C.102D.23【答案】C【解析】【

分析】由平面向量数量积的运算律求出向量a与b的夹角，代入新定义求解即可.【详解】由题意得222221212cos(2)1abaabb−=−+=−+=，解得2cos2=，又0,π，所以222sin122=−=，所以2222112222ababaabb

=+=++=111012222++=.故选：C6.如图，这是一半径为4.8m的水轮示意图，水轮圆心O距离水面2.4m，已知水轮每60s逆时针转动一圈，若当水轮上点P从水中浮出时（图中点0P）开始计时，则（）A.点P距离

水面的高度()mh与()st之间的函数关系式为4.8sin306ht=−B.点P第一次到达最高点需要10sC.在水轮转动一圈内，有10s的时间，点P距离水面的高度不低于4.8mD.当水轮转动50s时，点P在水面下方，距离水面2.4m【答案】

D【解析】【分析】根据条件，写出点P的高度和时间的关系式，再逐项判断对错.【详解】因为从0P开始计时，所以水轮的高度h和时间t的函数关系式为：ππ4.8sin2.4306ht=−+.当P第一次到达最高点，由πππ3062t−=

20t=，即第一次到达最高点需要20s；由4.8hππ1sin3062t−πππ5π2π2π63066ktk+−+，Zk10603060ktk++，Zk.即水轮转动的一圈内，有20s的时间，点P距离水面的高低不低于4.8m.当50t=时，ππ3π4.8sin

502.44.8sin2.42.43062h=−+=+=−.故选：D7.在锐角ABCV中，若sin2sinsinABC=，则tantantanABC的最小值为()A.4B.6C.8D.10的【答案】C【解析】【分析】根据()sin

sinABC=+和sin2sinsinABC=可得tantan2tantanBCBC+=，令tantan2tantanBCBCm+==，结合正切和角公式()tantantan1tantan12BCmBCmBC++==−−可求m范围.要求的式子可化为

()tantantantantantanABCBCBC=−+，可继续化为用m表示的式子，根据m的范围可求其最小值.【详解】由()sinsin2sinsinABCBC=+=，得sincoscossin2sinsinBCBCBC+=，两边同时除以coscosBC，得tant

an2tantanBCBC+=.令tantan2tantanBCBCm+==，∵ABCV是锐角三角形，∴()tantantan01tantan12BCmBCmBC++==−−，∴2m.又在三角形中有：

()2211tantantantantantan212212mmABCBCBCmmmmm=−+=−==−−−+21111248m=−−+，故当4m=时，tantantanABC取得最小值8.故选：C.8.正方形ABCD的边长为6点E，

F分别在边AD，BC上，且DEEA=，2=CFFB.如果对于常数，在正方形ABCD的四条边上（不含顶点）有且只有6个不同的点P，使得PEPF=成立，那么的取值范围为（）A.13,4−−B.()3,3−C.()3,12D.1,34−【答

案】D【解析】【分析】以DC为x轴，以DA为y轴建立平面直角坐标系，由点P在不同的边上求出PEPF的表达式，分类讨论利用向量数量积的坐标表示及二次函数的性质，得出PEPF=有一解，有两解的情况，即可得的取值范围.【详解】以DC为x轴，以DA为y轴建

立平面直角坐标系，如图，则(0,3)E，()6,4F，若P在CD上，设(,0)Px，06x，则(,3)PEx=−，(6,4)PFx=−，∴()2261233PEPFxxx=−+=−+，∵0,6x，∴312PEPF．∴当3=时有一解，当312时有两解；若P在AD上，设(

0,)Py，06y，则(0,3)PEy=−，(6,4)PFy=−，∴227712()214PEPFyyy=−+=−−，∵06y，∴1124PEPF−，当14=−或612，有一解，当164−时有两解；若P在AB上，设(,6)Px，06x，则(

,3)PEx=−−，(6,2)PFx=−−，∴()226633PEPFxxx=−+=−−，∵06x，∴36PEPF−，∴当3=−时有一解，当36−时有两解；④若P在BC上，设(6,)Py，06y，则(6,3)PEy=−−，(0

,4)PFy=−，∴227712()214PEPFyyy=−+=−−，∵06y，∴1124PEPF−，∴当14=−或612时有一解，当1124−时有两解；综上，若在正方形ABCD的四条边上（

不含顶点）有且只有6个不同的点P，则134−．故选：D.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法不

正确的是（）A.若0,0,//abab，则a与b的方向相同或者相反B.若a，b为非零向量，且abab=，则a与b共线C.若//ab，则存在唯一的实数使得ab=D.若21,ee是两个单位向量，且121ee=−，则122ee+=【答案】CD【解析】【分析】根据题意，结合零向量的

性质，共线向量的概念，以及向量的线性运算法则，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，若0,0,//abab，则a与b的方向相同或相反，所以A正确；对于B中，由,ab为非零向量，aa表示与a方向相同的单位向量，bb表示与b方向相同的单位相同，因为abab=，所以a与b共线，所以B正确；对于

C中，当0b=，且a为非零向量时，此时不存在，所以C错误；对于D中，由121ee=−，可得12121121,21eeee+−==，所以()21212121123eeeeee+=+=++=，所以D错误．故

选：CD．10.如图，顺次连接正五边形ABCDE的不相邻的顶点，得到五角星形状，则以下说法正确的是（）A.0AGDE+=B.AFAJDHDI=C.3AJAEAG=+D.AHAFAJ=+【答案】ABD【解析】【分析】根据正五边形的几何特征，

结合数量积的运算，向量的加减运算对选项进行逐项判断即可.【详解】由正五边形的对称性可得，每个正五边形的内角为108，对于A，在ABCV中，()1180108362BAC=−=，则10872GAEBAC=

−=，进而180GAEAED+=，所以//AGDE，同理可得//AEGD，故四边形AEDG是平行四边形，所以0AGDE+=，故A正确；对于B，由对称性可得AFAJDHDI===，且FAJHDI=，所以coscosAFAJAFAJFAJ

DHDIHDJDHDI===，故B正确；对于C，假设3AJAEAGAD=+=，因为AJID=，所以AJJI=，由对称性可得AJJE=，所以JEJI=，得JEI是等边三角形，则260EJIJEA==，所以30

6030120108AEJJEIIED++=++=，故C不正确.对于D，要证AHAFAJ=+，即证四边形AJHF平行四边形，是因为五边形FJIHG为正五边形，所以108JIH=，因为在JIH中，JIIH=，所以()()111801801083

622HJIJIH=−=−=，180144HJAHJI=−=，进而36144180FAJHJA+=+=，所以//AFHJ，同理可得//AJFH，故四边形AJHF是平行四边形，故D正确.故选：ABD.11.（多选题）设函数()2π3πcos(0)5

2fxx=−+，若()fx的图象与直线1y=−在0,2π上有且仅有1个交点，则下列说法正确的是（）A.的取值范围是1939,2020B.()fx在0,2π上有且仅

有2个零点C.若()fx的图象向右平移π12个单位长度后关于y轴对称，则65=D.若将()fx图象上各点的横坐标变为原来的12，得到函数()gx的图象，则()gx在π0,4上单调递增【答案】AC【解析】【分析】

先由诱导公式化简得到()2πsin5fxx=−，再由三角函数的图象与性质依次判定.【详解】()2π3π2πcossin525fxxx=−+=−，因为()fx的图象与直线1y=−在0,2π上有且

仅有1个交点，且2π2π2π,2π555x−−−，结合正弦函数的图象：所以3π2π7π2π252−，解得：19392020，故A选项正确；由图可知，()fx在0,2π上可能有2个、3个、4个零点，故B选项错误；()fx的图象向右平移π12个单位长度得到π2

ππ2πsinsin125125yxx=−−=−−，则π2πππ,Z1252kk−−=+，解得2412,Z5kk=−−，因为1939,2020，所以65=，故C选项正确；()2ππ

sin2,0,54gxxx=−，则2π2ππ2π2,,5525x−−−因为1939,2020，所以π2π3π23π,254040−，因为π2π3ππ2

3π,2540240−−，故()gx在π0,4上不一定单调递增，D选项错误；故选：AC.【点睛】方法点睛：已知函数图象有交点，可用数形结合法：在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共

15分.12.如图，动点P、Q从点0(4)A，出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转3弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转6弧度，则P、Q第一次相遇时Q点走过的弧长为_______.【答案】83【解析】【分析】设P、Q第一次相遇时所用的时间是t秒，则236tt+−=，求出t的值

，从而可求出Q点走过的弧长【详解】设P、Q第一次相遇时所用的时间是t秒，则236tt+−=，∴4t=s，则Q点走过的弧长为28433=.故答案为：83【点睛】此题考查有关弧长的计算，属于基础题13.设向量a、b满

足||1a=，||2b=，且a、b的夹角为60，若向量72atb+rr与向量+tab的夹角为钝角，则实数t的取值范围是______.【答案】141417,,222−−−−【解析】【分析】由72atb+rr与+tab的数量

积小于0且不共线即可求得实数t的取值范围.【详解】解：向量a、b满足||1a=，||2b=，且a、b的夹角为60，故1||||cos601212abab===rrrr.因为72atb+rr与向量+tab的夹角为钝角，所以(72)()0atbtab++rrrr且向量72atb+r

r与向量+tab不共线，所以221570tt++且712tt，解之得：172t−−且142t，故实数t的取值范围为141417,,222−−−−.故答案为：141417,,222−−−−

.14.已知向量,ab满足||2,ba=与b的夹角为60，则当实数变化时，||ba−的最小值为___________．【答案】3【解析】【分析】建立平面直角坐标系，根据向量减法的模的几何意义求得最小值.【

详解】如图，设,OAaOBb==，当()baa−⊥时，||ba−取得最小值，过B作BEOA⊥，即||ba−取得最小值为||BE，因为a与b的夹角为60，所以60,90,||2BOABEOOB===，所以||3BE=．故答案为：3四、解

答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.计算求值：（1）已知、均为锐角，1sin7=，()53cos14+=，求sin的值（2）计算()2cos1023cos1001sin10−−−的值【答案】（1）39398（2）22【解析】【分析】（1）根据平

方和公式和三角函数的和差公式即可得答案.（2）根据诱导公式、二倍角公式、辅助角公式即可得答案.【小问1详解】、均为锐角，则0π+，所以()()2253sin1cos1141411+=−+=−=，22143cos1sin177=−=−=，所以()

sinsin=+−()()sincoscossin=+−+1143531147147=−39398=.【小问2详解】()2cos1023cos1002cos1023cos1001sin101

sin10−−−=−−()2cos1023cos90102cos1023sin101sin101sin10−++==−−134cos10sin10224cos(6010)cos5sin512sin5cos5+−==−−()4c

os502cos45cos5sin45sin5=−4cos502cos50=22=.16.已知a，b的夹角为60，且||1a=，||2b=，设3mab=−，2ntab=+.（1）若mn⊥，求实数t的取值；（2）2t=时，求m与n的夹角；（3）是否存在实数t，使得//m

n，若存在，求出实数t.【答案】（1）1t=；（2）1arccos7；（3）存在，6t=−【解析】【分析】（1）由0mnmn⊥=rrrr列式求得t值；（2）分别求出||m、||nr、mn的值，代入夹角公式求解即可；（3）利用共线向量定理列式求解即可.【小问1详解】解：a，b的

夹角为60，且||1a=，||2b=，1||||cos601212abab===rrrr.由mn⊥，得22(3)(2)3||(6)2||mnabtabtatabb=−+=+−−rrrrrrrrrr3680tt=+−−=，解得1t=；小问2详解】解：由（1）可知1ab=且||

1a=，||2b=，当2t=时，222||(3)969647mabaabb=−=−+=−+=rrrrrrr，222||(22)484481627nabaabb=+=++=++=rrrrrrr，22(3)(22)6426482mnababaabb=−+=+−=+−=rrrrrr

rrrr.所以cos,||||721772mnmnmn===rrrrrr.【所以m与n的夹角为1arccos7；【小问3详解】解：由//mn，得2(3)(0)tabab+=−rrrr，即32t=

=−，解得62t=−=−所以存在实数6t=−，使得//mn.17.已知m>0，n>0，如图，在ABCV中，点M，N满足AMmAB=，ANnAC=，D是线段BC上一点，13BDBC=，点E为AD的中点，且M，N，E三点共线．（1）若点O满足

2AOOBOC=+，证明：//OEBC．（2）求2mn+的最小值．【答案】（1）证明见解析（2）43【解析】【分析】(1)根据向量的线性运算法则，利用,ABAC依次表示,,,,ADAEAOOECB，再结合向量共线定理证明//OECB即可；

(2)由(1)1136AEAMANmn=+，结合结论可得11136mn+=，再利用基本不等式求2mn+的最小值．【小问1详解】由题可知()11213333ADABBDABBCABACABABAC=+=+

=+−=+，因为点E为AD的中点，所以1136AEABAC=+．由2AOOBOC=+，则2AOOAABOAAC=+++，即()14AOABAC=+，()111113641212OEAEAOABACABACABAC=−=+−+=−

，又CBABAC=−所以//OECB，又,,ECB三点不共线，所以//OEBC．【小问2详解】因为M，N，E三点共线，所以可设MEMN=，又AMmAB=，ANnAC=，所以()()11AEAMANmABnAC=−+=−+又1136AEABAC=+，所以()111,3

6mn−==，所以11136mn+=，所以111122242(2)23633363363nmnmmnmnmnmnmn+=++=++++=，当且仅当23m=，13n=时，等号成立．所以2mn+的最小值是43．18.设函数()()2sin22

cos16fxxxx=−+−R（1）求函数()fx的最小正周期；（2）若不等式2()2cos22206fxaxa++−−对任意,126x−时恒成立，求实数a应满足的条件；（3）将函数()fx的图象向右平移12个单位，然后保持图象上

点的纵坐标不变，横坐标变为原来的1m，得到函数()gx的图象，若存在非零常数，对任意xR，有()()gxgx+=成立．求实数m的取值范围【答案】（1）；（2）12a−；（3）1=时，mk

=(kz，且0k)，1=−时，(21),2nπmnZ+=.【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换化简，利用周期公式求解即可；（2）由三角恒等变换化简，换元cos26tx=+，分离参数后求函数最值即可得解；（3）由三角函数图象变换可得()gx，根据()(

)gxgx+=确定，再由周期及诱导公式求解即可.【小问1详解】()231sin22cos1sin2cos2sin2cos26622fxxxxxxx=−+−=−+=+sin26x

=+2T==;【小问2详解】()222cos222sin22cos222666fxaxaxaxa++−−=+++−−2cos22cos22166xaxa=−+++−−令cos26tx

=+，20,62x+∴()cos20,16x+，22210tata−+−−，()0,1t()2211att−+，2121tat+−令()11,0mt=−−，221222211tmmmtmm+++==+

+−−∴21a−，解得：12a−；【小问3详解】()sin26fxx=+，()fx\的图象向右平移12个单位，横坐标变为原来的1m可得sin(22)sin2126ππymxmx=−+=，()sin2gxmx=，()(

)gxgx+=,∴1=，当1=时，()()1gxgx+=，即1T=∴min222Tmm===，min1kTkm==∴mk=(kz，且0k).当1=−时，(1)sin(22)()sin2gxmxmgxmx−=−=−=−,由诱导公

式可得2(21),mnπnZ=+，即(21),2nπmnZ+=,综上，当1=时，mk=(kz，且0k)；当1=−时，(21),2nπmnZ+=.19.如图，设,OxOy是平面内相交成角的两条数轴，12,ee分别是与x轴、y轴同方向的单位向量．若向量1

2OPxeye=+，则把有序数对(,)xy叫做OP在斜坐标系Oxy中的坐标．（1）若(1,2),(2,),//abab==，求．（2）若60,(1,2),(1,1)ab===−，求a在b上的投影向量斜坐标．

（3）若(1,1)a=，(3,1)b=，(2,1),||2cc=−，求2cos,ab的最小值．【答案】（1）4=；（2）11,22−；（3）2829.【解析】【分析】（1）由题可得12122,2aeebee=+=+，利用向量共线的条件即得；（2）由题可知12122,aeebee=

+=−+，进而可得12ab=，1b=，然后利用投影向量为的概念即得；（3）由题可得1234eeurur，然后利用向量夹角公式可得2121244cos,53eeabee+=+，再结合条件及函数的单调性即得.【小问1详解

】∵(1,2),(2,),//abab==，∴12122,2aeebee=+=+，∴122=，即4=；【小问2详解】∵60,(1,2),(1,1)ab===−，∴12122,aeebee=+=−+，∴121211,2eeee=

==，()()121212122211122222eeeeeebeae=−==+−+−−+−+=，()12112222221eeeebee=−=−+=+，∴a在b上的投影向量为()1212111211222,2abbbebeee=

−+−==−+，即a在b上的投影向量斜坐标为11,22−；【小问3详解】∵(2,1),||2cc=−，∴12(2,1)2eec=−=−，()21211222212245424eeeeeeee−=−=−+，∴1234eeurur，又12(1

,1)eea==+，12(3,1)3eeb==+，∴()()121212344eeeeeabe=++=+，()2121222eeaee=+=+，()212123106eeeeb=+=+，∴()()()22122121212124444cos,

5322106ababaeeeeeeeeeeb++===+++，令12tee=，则34t，244cos,53tabt+=+，又()4448533353tytt+==−++，3[,)4+上单调递增，∴24428cos,5329tabt+=+，

即2cos,ab的最小值为2829.在