【文档说明】湖南省长沙市第一中学2025届高三上学期阶段性检测（一）数学试题 Word版含解析.docx，共(22)页，1.493 MB，由小赞的店铺上传

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长沙市一中2024—2025学年度高三阶段性检测（一）数学试卷时量：120分钟总分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合1Axx=，集合Bxyx==，则AB=（）A.()1,1−B.()0,1C

.)0,1D.()1,+【答案】C【解析】【分析】求解绝对值不等式和函数定义域解得集合,AB，再求交集即可.【详解】根据题意，可得11,0AxxBxx=−=，故{01}[0,1)ABxx==.故选：C.2.

已知复数z满足i12i=−+z，则复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算法则、结合共轭复数的定义、复数在复平面内对应点的特征进行求解即可.【详解】i12i=−+z2

12i(12i)i2iiiz−+−+===+2iz=−，所以复数z在复平面内对应的点位于第四象限，故选：D3.已知一个古典概型，其样本空间中共有12个样本点，其中事件A有6个样本点，事件B有4个样本点，事件AB+有8个样本点，则()

PAB=（）A.23B.12C.13D.16【答案】D【解析】【分析】依题意计算可得()12PA=，()13PB=，()23PAB+=，再由概率的加法公式计算即可得1()6PAB=.【详解】根据概率公式计算可得()61122PA==，()41123PB==，()82123PAB+==；由概率的

加法公式可知()()()()PABPAPBPAB+=+−，代入计算可得1()6PAB=故选：D4.已知等差数列na的前5项和535S=，且满足5113aa=，则等差数列{an}的公差为（）A.-3B.-1C.1D.3【答案】D【解析】【分析】根据题意得到515103

5Sad=+=，511413aada=+=，解得答案.【详解】5151035Sad=+=；511413aada=+=，解得3d=，11a=.故选：D5.已知()512myxyx+−的展开式中24xy的系数为80，则m的值为

（）A.2−B.2C.1−D.1【答案】A【解析】【分析】根据题意可得55511(2)(2)(2)myxyxymyxyxx+−=−+−，利用二项式展开式的通项公式1CrnrrrnTab−+=求

出24xy的项的系数，进而得出结果.【详解】55511(2)(2)(2)myxyxymyxyxx+−=−+−，在51(2)xyx−的展开式中，由155455(2)()(1)2rrrrrrrrxCxyCxy−−−−−=−，令424rr−==，得r无解，即51(2)xyx−

的展开式没有24xy的项；在5(2)myxy−的展开式中，由555155(2)()(1)2rrrrrrrrmyCxymCxy−−−+−=−，令5214rr−=+=，解得r=3，即5(2)myxy−的展开式中24xy的项的系数为35335(1)240mCm−−=−，又5(2)()

xmyxy+−的展开式中24xy的系数为80，所以4080m−=，解得2m=−.故选：A.6.如图，正方形ABCD中，2,DEECP=是直线BE上的动点，且(0,0)APxAByADxy=+，则11xy+的最小值为（）A.22B.23C.4233+D.4

【答案】C【解析】【分析】根据给定图形，用,ABAE表示向量AD，再利用共线向量定理的推论，结合“1”的妙用求解即得.【详解】正方形ABCD中，2DEEC=，则2233ADAEEDAECDAEAB=+=

+=−，而APxAByAD=+，则(22)()33ABxAEAxPAByAByEyA−−=++=，又点,,BPE共线，于是2()13xyy−+=，即13yx+=，而0,0xy，因此313111)(44423()23333xyxyxxyyy

xxyxy++=+=++=++，当且仅当3xyyx=，即33332yx−==时取等号，所以当33333,22xy−−==时，11xy+取得最小值4233+.故选：C7.设3103a=，ln1.03b=，0.03e1=−c，则下列关系正

确的是（）A.abcB.bacC.cbaD.cab【答案】C【解析】【分析】构造函数()()e1,0xfxxx=−−.利用导数判断单调性，证明出0.03e10.03−.构造函数()()()ln1,0gxxxx

=+−.利用导数判断单调性，证明出ln1.030.03，得到cb；构造函数()()()ln1,01xhxxxx=+−+.利用导数判断单调性，证明出3ln1.03103，即为ba.即可得到答案.【详解】记()()e1,0xfxxx=−−.

因为()e1xfx=−，所以当0x时，()0fx，所以()fx在(0,+∞)上单调递增函数，所以当0x时，()()00fxf=，即1xex−，所以0.03e10.03−.记()()()ln1,0gxxxx=+−.因为()11011xgxxx−

=−=++，所以𝑔(𝑥)在(0,+∞)上单调递增函数，所以当0x时，()()00gxg=，即()ln1xx+，所以ln1.030.03.所以cb.记()()()ln1,01xhxxxx=+−+.因为()()()2211111xhxxxx=

−=+++，所以当0x时，()0hx，所以()hx在(0,+∞)上单调递增函数，所以当0x时，()()00hxh=，即()ln11xxx++，所以0.033ln1.0310.03103=+.所以b

a.综上所述：cba.故选：C8.已知()1tan1tantan622tan2−−−+−=−，tantan32−=，则()cos44+=（）A.7981−B.7981C.4

981−D.4981【答案】A【解析】【分析】结合二倍角公式和两角和差公式化简即可求得.【详解】()1tan1tantan622tan2−−−+−=−，222612tan2tan21tan1tan22−−+=

−−−−.()()2221tan2tan2cos2261n2sitan−−−+−=−−−，()()221tan2cos21s6tai2nn−+−=−−−，()()()2cos16csino

s−=−−，()1sin3−=，1sincoscossin3−=，又因为tantan32−=，所以sincos3cossin=，则11cossin,sincos62==，所以()2sinsincoscossin3

+=+=()()241cos12sin129922=−=−=++.()()2179cos442cos221218181+=+−=−=−.故选：A二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M，则下列说法正确的是（）A.地震释放

的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级B.八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍C.八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍D.记地震里氏震级为n（n=1，2，···，9，10），地震释放

的能量为an，则数列{an}是等比数列【答案】ACD【解析】【分析】根据所给公式，结合指对互化原则，逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】对于A：当15.310E=时，由题意得15.3lg104.81.5M=+，解得7M=，即地震里氏震级约为七级，故A正确；对于B：八级地震即8M=时，1lg4

.81.5816.8E=+=，解得16.8110E=，所以16.81.5115.31010106.310EE==，所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的1.510倍，故B错误；对于C：六级地震即6M=时，2lg4.81.5613.

8E=+=，解得13.8210E=，所以16.83113.821010100010EE===，即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍，故C正确；对于D：由题意得lg4.81.5nan=+（n=1，2，···，9，10），所以4.81.510nna+=，所以4.81

.5(1)6.31.511010nnna++++==所以6.31.51.514.81.5101010nnnnaa+++==，即数列{an}是等比数列，故D正确；故选：ACD10.已知双曲线2222:1xyCab−=()0,0ab的左、右焦点分别为1F，2F，点P在双曲线的右支上，现有四个条件：

①120PFPF=；②1260FFP=；③PO平分12FPF；④点P关于原点对称的点为Q，且12PQFF=，能使双曲线Ｃ的离心率为13+的条件组合可以是（）A.①②B.①③C.②③D.②④【答案】AD【解析】【分析】对各个选项进行分析，利用双曲线的定义找到a,c的等量关

系，从而确定离心率.【详解】③PO平分12FPF且PO为中线，可得12PFPF=，点P在双曲线的右支上，所以不成立；若选①②：120PFPF=，1260FFP=，122FFc=可得2PFc=，13PFc=，所以32cca−=，即离

心率为23131cea===+−，成立；若选②④：1260FFP=，点P关于原点对称的点为Q，且12PQFF=，可得四边形12FQFP为矩形，即12PFPF⊥，122FFc=可得2PFc=，13PFc=，所以32cca−=，即离心率为23131cea

===+−，成立；故选：AD11.如图，ABCD是底面直径为2高为1的圆柱1OO的轴截面，四边形1OODA绕1OO逆时针旋转()0到111OODA，则（）A.圆柱1OO的侧面积为4B.当0

时，11DDAC⊥C.当3=时，异面直线1AD与1OO所成的角为4D.1ACD面积的最大值为3【答案】BC【解析】【分析】对于A，由圆柱的侧面积公式可得；对于B，由线面垂直的判定定理和性质定理可得；对于C，由题知，11DOD为正三角形，根据异面直线所成的角的定义计算得解；对于D，作1

DEDC⊥，由线面垂直的判定定理和性质定理得1AEDC⊥.在11RtADE中，22221111111112AEADEDDEDO=+=++=，代三角形面积公式得解.【详解】对于A，圆柱1OO的侧面积为2112=，A错误；对于B，因为0

，所以11DDDC⊥，又111DDAD⊥，所以1DD⊥平面11ADC，所以11DDAC⊥，B正确；对于C，因为111//ADOO，所以11DAD就是异面直线1AD与1OO所成的角，因为113DOD=，所以11DOD为正三角形，所以1111DDAD==，

因为111ADDD⊥，所以114DAD=，C正确；对于D，作1DEDC⊥，垂足为E，连接1AE，所以DC⊥平面11ADE，所以1AEDC⊥.在11RtADE中，22221111111112AEADEDDEDO

=+=++=，111122222ACDSDCAE==，所以()1max2ACDS=，D错误.故选：BC.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.如图，某景区共有,,,,ABCDE五个景点，相邻景

点之间仅设置一个检票口供出入，共有7个检票口，工作人员为了检测检票设备是否正常，需要对每个检票口的检票设备进行检测.若不重复经过同一个检票口，依次对所有检票口进行检测，则共有____________种不同的检测顺序.【答案】32【解析】【分析】将5个景区抽象为5

个点，见7个检票口抽象为7条路线，将问题化归为不重复走完7条路线，即一笔画问题，分析可得只能从B或E处出发才能不重复走完7条路线，再用列举法列出所有可能结果，即可得解.【详解】如图将5个景区抽象为5个点，见7个检票口抽象为7条路线，将问题化归为不重复走完7

条路线，即一笔画问题，从B或E处出发的线路是奇数条，其余是偶数条，可以判断只能从B或E处出发才能不重复走完7条路线，由于对称性，只列出从B处出发的路线情形即可.①走BA路线：3126547，3126745，3147526，3147625，3156247，

3157426，共6种；②走BC路线：4137526，4137625，4265137，4267315，4562137，4573126，共6种；③走BE路线：7513426，7543126，7621345，7624315，共4种；综上，共有()266432++=种检测顺序.故答案为：3

213.已知函数()()sinfxx=R在π7π,212上是增函数，且π3π244ff−=，则π12f−的取值的集合为______.【答案】11,2【解析】【分析】由π3π244ff

−=可得2π42nT==+，由函数在π7π,212上是增函数可得12，然后对的取值逐一验证，然后可得π12f−取值.【详解】由π3π244ff−=可知，3πππ2442TnT+=−=，

得π,21Tnn=+Z，所以2π42nT==+，又函数()()sinfxx=R在π7π,212上是增函数，所以7πππ212212T−=，即6πT≥，所以12，所以，的可能取值

为2,6,10.当0时，由ππ2π2π22kxk−++解得π2ππ2π,22kkxk−++Z，经检验，2,6,10=时不满足题意；当0时，由ππ2π2π22kxk−++解得π2ππ2π

,22kkxk+−+Z，经检验，2,6=−−时满足题意所以，12f−的可能取值为ππ1ππsin,sin11262122ff−==−==.故答案为：11,2【点睛】本题综合考查了三角函数的单调性、最值、周期之间的关系，关键

在于能从已知中发现周期的所满足的条件，然后根据周期确定的可能取值，再通过验证即可求解.14.斜率为1的直线与双曲线2222:1xyEab−=（0,0ab）交于两点,AB，点C是曲线E上的一点，满足ACBC⊥，OAC和OBC△的重心分别为,PQ，ABCV的外心为R，记直线OP，OQ，OR的斜

率为1k，2k，3k，若1238kkk=−，则双曲线E的离心率为______..【答案】3【解析】【分析】根据直线与双曲线的性质，得出二级结论斜率之积为定值22ba，取,ACBC的中点,MN，得到2122ACBCbkkkka==，再由ACBC⊥，22ORbka=，结合所以1238kk

k=−，求得2ba=，利用21()cbeaa==+，即可求解.【详解】若直线ykxm=+与双曲线22221xyab−=有两个交点,GH，设,GH的中点为K，联立方程组22221ykxmxyab=+−=，整理得222222222()20bakxakmxamab−−−−=，可得22222G

Hakmxxbak+=−，则22222GHKxxakmxbak+==−，又由(,)KKKxy在直线ykxm=+上，可得22222222Kakmbmymbakbak=+=−−，所以22KOKKybkxka==，所以22GHOKbkka=，即直线l与双曲线相交线的

中点与原点的连线的斜率与直线l的斜率之积为定值22ba，如图所示，取,ACBC的中点,MN，因为OAC的重心P在中线OM上，OBC△的重心Q在中线ON上，所以1OPOMkkk==，2OQONkkk==，可得22OMACONBCbkkkka=

=，即2122ACBCbkkkka==，又由ACBC⊥，可得1ACBCkk=−，可得22122()bkka=−因为ACBC⊥，且ABCV的外心为点R，则R为线段AB的中点，可得22ORABbkka=，因1ABk=，所以22ORbka=，所以

2321238()bkakk=−=−，所以2ba=，所以21()3cbeaa==+=.故答案为：3.【点睛】知识方法：求解圆锥曲线的离心率的常见方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得,ac得值，根据离心率的定义求解离心率e；2、齐次式法：由已知条件

得出关于,ac的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于e的一元二次方程或不等式，结合离心率的定义求解；3、特殊值法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题.四、解答题（本题共5

小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.设函数()()2lnfxxaxxa=−++R.（1）若1a=，求函数()fx的单调区间；（2）设函数()fx在1,ee上有两个零点，求实数a的取值范围.（其中e是自然对数的底数）【答案】（1）单调递增区间

为()0,1，单调递减区间为()1,+（2）e11,e−【解析】【分析】（1）根据题意，求导可得()fx，即可得到结果；（2）根据题意，由条件可得lnxaxx=−，构造函数()lnxgxxx=−，其中1,eex，转化为最值

问题，即可求解.为小问1详解】当1a=时，()()2ln,fxxxxfx=−++的定义域为()0,+，()212121xxfxxxx−++=−++=，令()0fx，则2210xx−−，解得01x

，令()0fx，则2210xx−−，解得1x.函数()fx的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+.【小问2详解】令()2ln0fxxaxx=−++=，则lnxaxx=−.令()lnxgxxx=−，其中1,eex，则

()2221lnln11xxxxxgxxx−+−=−=.令()0gx，解得1ex，令()0gx，解得11ex.()gx的单调递减区间为1,1e，单调递增区间为(1,e，()min()11gxg==.又()111e,

eeeeegg=+=−，函数()fx在1,ee上有两个零点，a的取值范围是e11,e−.16.如图，已知四棱柱1111ABCDABCD−的底面ABCD为平行四边形，四边形11CCDD为矩形，

平面11CCDD⊥平面,ABCDE为线段1CD的中点，且BECE=.【（1）求证：AD⊥平面11BBDD；（2）若4,2ABAD==，直线1AE与平面11BBDD所成角的正弦值为155，求二面角1DABD−−的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析

】（1）先根据直角三角形的性质和平行线的性质得到1DBBC⊥，再根据面面垂直和线面垂直的性质定理结合平面11CCDD⊥平面ABCD得到1ADDD⊥，最后根据线面垂直的判定定理证明即可.（2）建立空间直角坐标系，设()10DDtt=，利用已知条件和线面角的坐标公

式求出t，再利用面面角的坐标公式求解即可.【小问1详解】在1BCD中，E为线段1CD的中点，且BECE=，所以1DECEBE==，所以112BECD=，1BCD为直角三角形，且190CBD=，所以1DBBC⊥，因底面ABCD为平行四边形，ADB

C∥，所以1ADDB⊥，又因为四边形11CCDD为矩形，所以1DDDC⊥，因为平面11CCDD⊥平面ABCD，平面11CCDD平面1,ABCDDCDD=平面11CCDD，所以1DD⊥平面ABCD，因为AD平面ABCD，所以1ADDD⊥，因为11111,,DDDBDDDDB=平面1

1BBDD，为所以AD⊥平面11BBDD.【小问2详解】因为AD⊥平面11,BBDDBD平面11BBDD，所以ADBD⊥，由（1）知11,DDADDD⊥⊥平面ABCD，又BD平面ABCD，所以1DDBD⊥，所以1,,DADBDD两两

垂直，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，1DD所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，在RtADB△中，4,2ABAD==，所以2223DBABAD=−=，设()10DDtt=，则()()()()10,0,0,2,0,0,

2,0,,1,3,,0,23,02tDAAtEB−，所以()13,3,,2,23,02tAEAB=−−=−，易知平面11BBDD的一个法向量为𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(2,0,0)，设直线1AE与平面11BBDD所成的角为，则1121615sin

cos,51224AEDAAEDAAEDAt====+，解得23t=，所以()()110,0,23,2,0,23DAD=−，设平面1ABD法向量为𝑚⃗⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则122302230ABmxyADmxz=−+==−+=，令3x=，则()3,1,1m

=，易知平面ABCD的一个法向量为()0,0,1n=，的则15cos,551mnmnmn===，易知二面角1DABD−−是锐角，故二面角1DABD−−的余弦值为55.17.软笔书法又称中国书法，是我国的国粹之一，琴棋书画中的“书”指的正是书法.作

为我国的独有艺术，软笔书法不仅能够陶冶情操，培养孩子对艺术的审美还能开发孩子的智力，拓展孩子的思维与手的灵活性，对孩子的身心健康发展起着重要的作用.近年来越来越多的家长开始注重孩子的书法教育.某书法培训机构统计了该机构学习软笔书法的学生人数（每人只学习一种书体），得到相关数据统计

表如下：书体楷书行书草书隶书篆书人数2416102010（1）该培训机构统计了某周学生软笔书法作业完成情况，得到下表，其中60a.认真完成不认真完成总计男生5aa女生总计60若根据小概率值0.10=的独立性检验可以认为该周学生是否认真完成作业与

性别有关，求该培训机构学习软笔书法的女生的人数.（2）现从学习楷书与行书的学生中用分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记4人中学习行书的人数为X，求X的分布列及数学期望.参考公式及数据：()()()()()22,n

adbcnabcdabcdacbd−==+++++++.0.100.050.01x2.7063.8416.635【答案】（1）20（2）分布列见解析，()85EX=【解析】【分析】（1）由已知数据完成列联表，根据独立性检验的结论

列不等式求出a的值，可得女生人数；（2）由分层抽样确定两组人数，根据X的取值计算相应的概率，得分布列，计算数学期望.【小问1详解】根据题意，完成列联表如下：认真完成不认真完成总计男生45a5aa女生4605a−205a−80a−总计602080由题意可得()()2244

8020605555162.7066020801580aaaaaaaa−−−==−−，得57.38a.易知a为5的倍数，且60a，所以60a=，所以该培训机构学习软笔书法的女生有

806020−=（人）.【小问2详解】因为学习软笔书法的学生中学习楷书与行书的人数之比为24:163:2=，所以用分层随机抽样的方法抽取的10人中，学习楷书的有310632=+（人），学习行书的有210

432=+（人），所以X的所有可能取值为0,1,2,3,4，()46410C1510C21014PX====，()3164410CC8081C21021PX====，()2264410CC9032C2107PX====，()136441

0CC2443C21035PX====，()44410C14C210PX===.X的分布列为：X01234P114821374351210所以()1834180123414217352105EX=+++

+=.18.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的左、右焦点分别为()12,,2,3FFA为椭圆C上一点，且到1F，2F的距离之和为8.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设B为A关于原点O的对称点，斜率为k的直线与线段AB（不含端点）相交于点Q，与椭圆C相交于点,MN，若2

MNAQBQ为常数，求AQMV与AQN△面积的比值.【答案】（1）2211612xy+=（2）1【解析】【分析】（1）根据题意，列出关于,,abc的方程，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，表示出直线MN的方程，联立与椭圆的方程，结合韦达定理代入计算，然后代入弦长公式，即可得到结果.

【小问1详解】由椭圆的定义得1228AFAFa+==，所以4a=.又()2,3A为椭圆C上一点，所以22491ab+=，将4a=代入，得212b=，所以椭圆C的标准方程为2211612xy+=.【小问2详解

】因为B为A关于原点O的对称点，所以()2,3B−−，直线AB的方程为32yx=.设()()2,311Qttt−，则直线MN的方程为()32ytkxt−=−，联立得()221161232xyytkxt+=−=−，可得()()()222243832

432480kxktkxtk++−+−−=，由点Q在椭圆内，易知Δ0，不妨令()()1122,,,MxyNxy，则()12282343ktkxxk−+=+，()221224324843tkxxk−−=+，所以()(

)()()()()()2222222221212122248116123211443kktkMNkxxkxxxxk++−−=+−=++−=+.又()()()()()2222222332233131AQBQttttt=−

+−+++=−，所以()()()()2222222248116123213431kktkMNAQBQkt++−−=+−为常数，则需满足()22221612321ktkt+−−−为常数，（此式为与t无关的常数，所以分子与分母对应成比例）即()22161232kk+=−，解得1

2k=−.将12k=−代入()12282343ktkxxk−+=+，可得124xxt+=，得1222xxt+=，所以Q为MN的中点，所以1AQMAQNSMQSNQ==.【点睛】关键点睛：本题主要考查了直

线与椭圆相交问题，以及椭圆中三角形面积问题，难度较大，解答本题的关键在于结合弦长公式以及将面积比转化为边长比.19.设满足以下两个条件的有穷数列12,,,naaa为()2,3,4,nn=阶“曼德拉数列”：①1230naaaa+++

=+；②1231naaaa++++=.（1）若某()*2kkN阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项na（12nk，用,kn表示）；（2）若某()*21kk+N阶“曼德拉数列”是等差

数列，求该数列的通项na（121nk+，用,kn表示）；（3）记n阶“曼德拉数列”na的前k项和为()1,2,3,,kSkn=，若存在1,2,3,,mn，使12mS=，试问：数列()1,2,3,,iSin=能否为n阶“曼德拉

数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.【答案】（1）()1112nnak−=−或()1112nnak−=−−（2）()()*1,211nnannkkkk=−++N或()()*1,211n

nannkkkk=−+++N（3）不能，理由见解析【解析】【分析】（1）结合曼德拉数列的定义，分公比是否为1进行讨论即可求解；（2）结合曼德拉数列的定义，首先得120,kkaad++==,然后分公差

是大于0、等于0、小于0进行讨论即可求解；（3）记12,,,naaa中非负项和为A，负项和为B，则0,1ABAB+=−=，进一步()11,2,3,,2kSkn=，结合前面的结论以及曼德拉数列的定义得出矛盾即可求

解.【小问1详解】设等比数列()1232,,,,1kaaaak的公比为q.若1q，则由①得()21122101kkaqaaaq−+++==−，得1q=−，由②得112ak=或112ak=−.若1q=，由①得，120a

k=，得10a=，不可能.综上所述，1q=−.()1112nnak−=−或()1112nnak−=−−.【小问2详解】设等差数列()12321,,,,1kaaaak+的公差为d，123210kaaaa+++++=，()()11221

210,02kkdkaakd+++=+=，即120,kkaad++==，当0d=时，“曼德拉数列”的条件①②矛盾，当0d时，据“曼德拉数列”的条件①②得，()23211212kkkkaaaaaa++++++==−+++，()1122kkkdd−+=，即()1

1dkk=+，由10ka+=得()1101akkk+=+，即111ak=−+，()()()()*1111,21111nnannnkkkkkkk=−+−=−++++N.当0d时，同理可得()1122kkkdd−+=−，即()11dkk=−+.由10ka+=得()1101akk

k−=+，即111ak=+，()()()()*1111,21111nnannnkkkkkkk=−−=−+++++N.综上所述，当0d时，()()*1,211nnannkkkk=−++N，当0d时，()()*1,211nnannkkkk=−+++N.【小问3详解】记1

2,,,naaa中非负项和为A，负项和为B，则0,1ABAB+=−=，得12A=，12B=−，1122kBSA−==，即()11,2,3,,2kSkn=.若存在1,2,3,,mn，使12mS=，由前面的证明过程知：10a，20a，，0ma，10

ma+，20ma+，，0na，且1212mmnaaa+++++=−.若数列()1,2,3,,iSin=为n阶“曼德拉数列”，记数列()1,2,3,,iSin=的前k项和为kT，则12kT

.1212mmTSSS=+++，又12mS=，1210mSSS−====，12110,2mmaaaa−=====.又1212mmnaaa+++++=−，1mS+，2mS+，，0

nS，123123nnSSSSSSSS++++=++++，又1230nSSSS++++=与1231nSSSS++++=不能同时成立，数列()1,2,3,,iSin=不为n阶“曼德拉数列”.【点睛】关键点点睛：第三问的关键是得到10a

，20a，，0ma，10ma+，20ma+，，0na，且1212mmnaaa+++++=−，由此即可顺利得解.