【文档说明】黑龙江省牡丹江市部分学校2025届高三上学期期中考试数学试题 Word版含解析.docx，共(18)页，882.302 KB，由小赞的店铺上传

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牡丹江市省级示范高中2024--2025学年度高三期中数学试卷考试时间:120分钟分值：150分一、选择题：本题共8小题，每小题分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.若(22i)iz

−=，则z=（）A.11i44+B.11i44−−C.11i44−D.11i44−+【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算求得11i44z=−+，再根据共轭复数的概念分析判断.【详解】因为(22i)iz−=，则ii(

22i)11i22i(22i)(22i)44z+===−+−−+，所以11i44z=−−．故选B．2.从1984年第23届洛杉矶夏季奥运会到2024年第33届巴黎夏季奥运会，我国获得的夏季奥运会金牌数依次为15、5、16、16、28、32、51、38、26、38、

40，这11个数据的60%分位数是（）A.16B.30C.32D.51【答案】C【解析】【分析】将数据按照从小到大顺序排列，根据百分位数的计算方法即可求解.【详解】把11个数据按照从小到大排列得5、15、16、16、26、28、32、38、38、40、51，因为1

160%6.6=，这11个数据按照从小到大排列第7个是32.故选：C.3.如图，在ABC中，120,2,1,BACABACD===是BC边上靠近B点的三等分点，E是BC边上的动点，则AECD的取值范围为（）的A.710,73−B.7

7,73−C.410,33−D.47,33−【答案】C【解析】【分析】先用余弦定理求出BC，再将向量用基底,ACAB表示，借助向量运算性质计算即可.【详解】由222|

|||1cos22ABACBCBACABAC+−==−，解得7BC=.设,01CECB=，则()()()222221433333AECDACCECDACCBCBACCBCBACABAC=+=+

=+=−+22214414410,3333333ACABAC=−+=−+−.故选：C4.《周髀算经》中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，

前三个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，今年3月20日17时37分为春分时节，其日影长为（）A.4.5尺B.3.5尺C.2.5尺D.1.5尺【答案】A【解析】【分析】由题意构造等差数列na，设公差为d，利用基本量代换求出通项公式，然后求7

a.【详解】小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长构成等差数列na，设公差为d，由题意得：12310111228.51.5aaaaaa++=++=，解得：110.51ad==−所以()1111.5naandn=+−=−，所

以711.574.5a=−=，即春分时节的日影长为4.5.故选：A【点睛】(1)数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词

和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；(2)等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换.5.若函数0.1()log(12)fxax=−在区间(3,6)上单调递增．则a的取值范围是（）A.(,0)−B.(2

,0)−C.(0,2)D.(0,2]【答案】D【解析】【分析】根据对数函数的单调性结合复合函数及对数函数的定义域计算求解.【详解】0.1()log(12)fxax=−在区间(3,6)上单调递增，令()0.1,logtgxyt==单调递减，则()12gxax=−在区间(3,6)

上单调递减且恒为正，所以0a且(6)1260ga=−，所以02a．故选：D．6.已知tan，8πtan3−是一元二次方程250xax+−=的两个根，则a=（）A.63B.63−C.43D.43−【答案】A【解析】【分析】结合根与系数关系可得8πtanta

n3a+−=−，8πtantan53−=−，再利用两角和的正切公式可求出a的值.【详解】因为tan，8πtan3−是一元二次方程250xax+−=的两个根，显然2200a=+，所以8πtantan3a+−=−，8πta

ntan53−=−，所以()8πtantan8π3tan38π3151tantan3a+−−==−=−−−−，所以63a=．故选：A．7.已知函数()331fxxx=++，若关于x的方程()()sincos2fxfmx++=有实数解，则m的取值范围

为（）A.1,2−B.1,1−C.0,1D.2,2−【答案】D【解析】【分析】设()()313gxfxxx=−=+，利用函数的单调性和奇偶性，把()()sincos2fxfmx++=转化

成sincosmxx=−−，再结合三角函数的性质求m的取值范围.【详解】令()()313gxfxxx=−=+，则()2330gxx=+恒成立，则()gx在R上单调递增，且()gx是奇函数.由()()sincos2fxfmx++=，得()()sin1cos1

fxfmx−=−+−，即()()sincosgxgmx=−−，从而sincosxmx=−−，即πsincos2sin(2,24mxxx=−−=−+−故选：D【点睛】方法点睛：设()()313gxfxxx=−=+，可得函数()gx为奇函数，利用导函数分析函数

()gx的单调性，把()()sincos2fxfmx++=转化成sincosmxx=−−，再求m的取值范围.8.若函数()2*11π()22sin443fxxxmmxm=−+−N在0,4上恰有3个零点，则符合条件的m的个数是（）A.4B.5C.6D.7【答案】B

【解析】【分析】就8m、8m=、18m分类，每种情况结合正弦函数的性质可得其取值范围.【详解】令()0fx=，则212204xxm−+=或1πsin043mx−=，由()2Δ228mm=−−=−，当8m时，21224yxxm=−

+在[0,4]上没有零点，则1πsin43ymx=−在[0,4]上应有3个零点，因为1πππ,4333mxm−−−，所以π2π3π3m−，即7π10π33m，与8m联立得10π83m，因为*mN，所以m的值依次为9，10；当8m=时，21224yxxm=−

+在[0,4]上有1个零点2，πsin23yx=−在[0,4]上有3个零点2π7π0,,36，不满足题意；当18m时，21224yxxm=−+在[0,4]上有2个零点，故1πsin43ymx=−[0,4]上

应有1个零点，因为*mN，所以该零点与21224yxxm=−+的零点不相同，所以π0<π3m−，即π4π33m，与18m联立得π4π33m，因为*mN，所以m的取值依次为2，3，4，综上得符合条件的m的个数是5．故选：B．二、选择题：本题共3小

题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量(2,1)a=−，(,1)bt=−，则（）A.若ab⊥

，则12t=−B.若a，b共线，则2t=−C.b不可能是单位向量D.若0t=，则25ab−=【答案】AD在【解析】【分析】根据给定条件，利用垂直关系、向量共线的坐标表示计算判断AB；利用单位向量的意义判断C，利用向量线性运算的坐标表示及利用坐标求模判

断D.【详解】对于A，由ab⊥，得210abt=−−=，解得12t=−，A正确；对于B，由a，b共线，得2(1)10t−−−=，解得2t=，B错误；对于C，当0t=时，b是单位向量，C错误；对于D，当0t=时，2(4,2)(0,1)(4,3)ab−=−−−=−，则25a

b−=，D正确．故选：AD10.在等比数列na中，1232,4aaa==，则（）A.na的公比为2B.na的公比为2C.3520aa+=D.数列21logna为递增数列【答案】BC【解析】【分析】根据题意，列

出等式求出等比数列的首项和公比，然后逐一判断即可.【详解】设等比数列{𝑎𝑛}的公比为q，依题意得21212,4,aqaq==解得11,2,aq==所以12,nna−=故24352220aa+=+=，故BC正确，A错误；对于

D，21log1nna=−，则数列21logna为递减数列，故D错误.故选：BC.11.已知函数()exfx=，()lngxx=，若()fx，()gx的图象与直线111:lyaxb=+分别切于点()11,Axy，()()2212,Bxyxx，与直线22

2:lyaxb=+分别切于点C，D，且1l，2l相交于点()00,Pxy，则（）A.12ln0xx−=B.1111e1xxx+=−C.122aa−D.12002ee1xxy+−【答案】BC【解析】【分析】根据公切线的有关概念判断1x与2x的关系，可判

断A、B选项的真假；根据指数函数与对数函数的图象的对称性，可判断公切线斜率的关系，结合基本不等式，判断C的真假；也可求两条公切线的交点，判断D的真假.【详解】由题意得()exfx=，1()gxx=，所以()()()()1211212fxgxafxgxxx−===−，即1121

212eln1exxxaxxx−===−，由121exx=，整理得21lnxx=−，且2ln0x，A错误；把121exx=，21lnxx=−，代入11212elnexxxxx−=−，整理得1111e1xxx+=−，B正确；分别作出exy=与11xyx+=

−的图象如下：两图象有2个交点，所以()fx图象上的切点有2个，即()fx与()gx的公切线有2条．因为()fx，()gx的图象关于直线yx=对称，所以点()11,exAx()10x关于直线yx=的对称点为()11e,xDx，11exa=

，()1121eexxag==，11121e2exxaa+=+，C正确；因为直线AB，CD关于直线yx=对称，则点P就是直线AB与直线yx=的交点，直线AB的方程为()111eexxyxx−=−，与yx

=联立得()1111ee1xxxx−=−，所以()111001ee1xxxxy−==−，所以()1110021ee1xxxxy−+=−，由111112e111xxxx+==+−−且12xx可得112x，设()(1)e

(12)xhxxx=−，则()e0xhxx=，所以2()(2)ehxh=，所以12002ee1xxy+−，D错误．故选：BC．【点睛】关键点点睛：（1）同底的指数函数与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线yx=对称，这一性

质的应用在判断D选项时很重要.（2）看到不等式，就要想到求代数式的最值，常见的最值的求法有：第一：与二次函数有关的最值问题的求法；第二：基本不等式求最值；第三：利用函数的单调性求最值；第三：利用三角函数的有界性求最值.三、填空题：本题共3小题，

每小题5分，共15分.12已知平面向量,mn满足3mn=，且()2mmn⊥−，则m=________.【答案】6【解析】【分析】由向量数量积的运算律和向量垂直的表示直接计算即可得解.【详解】因为()2mmn⊥−，所以()

20mmn−=，则226mmn==，所以6m=.故答案为：6.13.若π,02−，且πcos2cos4=+，则=__________.【答案】π12−【解析】【分析】化简三角函

数式，求出1sin42π+=，根据π,02−即可求解.【详解】由πcos2cos4=+，得()222cossincossin2−=−.因π,02−，所以cossin0−，则2cossin2+

=，则1sin42π+=.由π,02−，得πππ,444+−，则ππ46+=，解得π12=−..为故答案为：π12−.14.设Sn，Tn分别为等差数列{an}，{bn}的前n项

和，且32.45nnSnTn+=+设A是直线BC外一点，P是直线BC上一点，且153aaAPABACb+=+则实数λ的值为________．【答案】925−【解析】【分析】运用三点共线向量公式和等差数列的性质，即可求解.【详解】依题意，B，C，P三点

共线，∴153aab+＋λ＝1，∴λ＝1－2×33ab依题意，153315533155155()23521725245525()2aaaaaaSbbbbTbb+++======+++∴λ＝1－2×1725＝925−故答案为：925−【点睛】关

键点睛：本题需要熟练掌握三点共线向量公式，以及等差数列的求和公式的逆运用.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知等比数列na为递增数列，其前n项和为nS，29a=，339S=.（1）求数列na的通

项公式；（2）若数列nnab−是首项为1，公差为3的等差数列，求数列nb的通项公式及前n项和nT.【答案】（1）3nna=（2）332nnbn=−+，123332nnnnT+−+−=【解析】【分析】（1）设等比数列

na的首项为1a，公比为q，依题意得到关于1a、q的方程组，解得1a、q，即可求出通项公式；（2）依题意可得332nnbn=−+，利用分组求和法计算可得.【小问1详解】设等比数列na的首项为1a，公比为q，根据题意

可得12111939aqaaqaq=++=，解得133aq==或12713aq==，因为等比数列{}na为递增数列，所以133aq==，所以数列{}na的通项公式为3nna=.【小问2详解】因为数列{}nnab−是首项为1，公差为3的等

差数列，所以13(1)32nnabnn−=+−=−，所以332nnbn=−+，所以(39273)(14732)nnTn=++++−++++−3(13)(132)132nnn−+−=−−123332nnn+−+−=.16.

在锐角ABCV中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，且2221abccbac−=−.（1）证明：2BC=.（2）若点D在边AC上，且4CDBD==，求a的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）()

42,43.【解析】【分析】（1）化简已知等式结合余弦定理可得()12cosacB=+，再利用两角和的正弦公式即可证明结论；（2）由已知条件结合正弦定理可得8cosBCC=，根据锐角ABCV确定角C的范围，即可求得答案.【小问1详解】证明：因

为222abccbac−=−，所以2223abacbcc−=−，整理得()()()2baccacac−=+−.又1ac，所以0ac−，从而22222cosbaccacacB=+=+−，整理得()12cosacB=+，则()sinsin12cosACB=+.由()sinsinsinc

oscossinABCBCBC=+=+，得sincoscossinsinBCBCC−=，即()sinsinBCC−=，结合锐角ABCV中，ππ(,)22BC−−，则BCC−=，即2BC=.【小问2详解】如图，由CDBD=，可得ACBDBC=，则π2BDCACB=−.在B

CD△中，由正弦定理得sinsinBCBDBDCBCD=，整理得sin4sin28cossinsinBDBDCCBCCBCDC===.因为2BC=，且ABCV是锐角三角形，所以π0,2π02,2π0π3,2

CCC−解得ππ64C，则23cos22C，从而428cos43C，即a的取值范围为()42,43.17.18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒（BrookTaylor）发现的泰勒公式（又称麦克劳

林公式）有如下特殊形式：当()fx在0x=处的()*Nnn阶导数都存在时，()()()()()()()()323000002!3!!nnffffxffxxxxn=++++++．其中，𝑓″(𝑥)表示()fx的二阶导数，即为𝑓′(𝑥)的

导数，()()()3nfxn表示()fx的n阶导数．（1）根据公式估计1cos2的值；（结果保留两位有效数字）（2）由公式可得：()()357211sin13!5!7!21!nnxxxxxxn−−=−+−++−+−，当0x时，请比较sinx与36xx−的大小，并给出证明；（3）已知*N

n，证明：()()11sin1ln1ln129nknknnknkn=+−++−++．【答案】（1）0.88（2）3sin6xxx−，证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据泰勒公式求得2468cos12!4!

6!8!xxxxx=−+−+−，赋值即可求得近似值；（2）构造函数()3sin(0)6xgxxxx=−−，利用导数判断其单调性和最值，即可证明；（3）根据（2）中所得结论，将目标式放缩为()()1sin1111

ln1ln3221221nknknknknk+−−++−++−++，再裂项求和即可证明.【小问1详解】记()cosfxx=，则()()()()()()34sin,cos,sin,cosfxxfxxfxxfxx=−=−==，2468cos1

2!4!6!8!xxxxx=−+−+−，所以2486111112222cos122!4!6!8!=−+−+−，因为()()()()()()2222222221011111122222!22!2!22!22

!22!kkkkkkkkkkk++++−−−+++，所以2112cos122!−且2411122cos122!4!

−+，111110.875cos10.8788281624−=−+，1cos0.882．【小问2详解】令()3sin(0)6xgxxxx=−−，则()()()21cos1,sin,1cos2gxxxgxxxgxx=−+=−+

=−，()0gx恒成立，()gx在()0,+递增，()()()00,gxggx=在()0,+递增，()()()00,gxggx=在()0,+递增，()()3sin006xgxxxg=−−=

，即3sin6xxx−.【小问3详解】由题，N,1nkn+，则101nk+，则31111sin06nknknk−+++，令()()()1ln1,111xxxxxxx=+−=−=−++，易得()x在()1,0−上递

增，在()0,+上递减，从而()()00x=，即()ln1xx+（当且仅当0x=时取等号），()()110ln1lnln1nknknknk++−+=+++，即()()10ln1l

nnknknk+++−+，()()()321sin111111ln1ln66()nknknknknknknk++−=−++−++++()()224121211116(22)3(22)13221221nknknknk=−−=−++−+−

++11113221221nknk=−−+−++，()()11sin1111111()ln1ln3212323254141nknknnknknnnnnn=+−−+−++−++−+++++−+11132141nnn=−−

++()()1232141nnnn=−++2123861nnnn=−++2121386129nnnnnn−=−++，得证．【点睛】本题第三问的处理关键是能够利用第二问结论，将原式放缩为()()1sin1111ln1ln3221221nkn

knknknk+−−++−++−++，再利用裂项求和法证明，对学生已知条件的利用能力以及综合应用能力提出了较高的要求，属综合困难题.18.某商场为促销设计了一项回馈客户的抽奖活动，抽奖规则是：有放回的从装有大小相同的6个红球和4个黑球的袋中任意抽取一个，若第一次抽

到红球则奖励50元的奖券，抽到黑球则奖励25元的奖券；第二次开始，每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的2倍，抽到黑球则奖励25元的奖券，记顾客甲第n次抽奖所得的奖券数额()16nXn的数学期望为()nEX．（1）求()1EX及2X的分布列．（2）写出()n

EX与()()12nEXn−的递推关系式，并证明()50nEX+为等比数列；（3）若顾客甲一共有6次抽奖机会，求该顾客所得的所有奖券数额的期望值．（考数据：61.262.986）【答案】（1）()140EX=，分

布列见解析；（2）()()11.210(26)nnEXEXn−=+，证明见解析；（3）593.7（元）【解析】【分析】（1）根据条件，直接求出1X，2X的取值及相应的概率，再利用期望的计算公式，即可求出结果；（2）根据条件，建立关系式()()120.6250.4nnEXEX−=+

，即可求出结果，再构造成()()()1501.250nnEXEX−+=+，利用等比数列的定义，即可证明结果；（3）由（2）得到()1901.250nnEX−=−，即可求出结果.【小问1详解】依题意，抽到一个红球的概率为60.610=，抽到一个黑球的概率为0.4，显然

1X的值为25，50，则()()11250.4,500.6PXPX====，所以()1250.4500.640EX=+=，又2X的值为25,50,100，则()()()222250.4,500.40.60.24,1000.60.60.36

PXPXPX========，所以2X的分布列为：2X2550100P0.40.240.36【小问2详解】依题意，当2n时，甲第n次抽到红球所得的奖券数额为()12nEX−，对应概率为0.6，抽到黑球所得的奖券数额为25元，对应概率为0.4，因此当26n时，()()()1120.625

0.41.210nnnEXEXEX−−=+=+，()()1501.260nnEXEX−+=+，即()()()1501.250nnEXEX−+=+，又()150405090EX+=+=，数列()50nEX+为等比数列，公比为1.2，首项为90．【

小问3详解】由（2）得，()()150901.216nnEXn−+=，即()1901.250nnEX−=−，所以顾客甲抽奖6次，所得奖券数额的期望为66190(11.290(12.986)(506300593.711.2)0.2)inEX=−−=−−=−

−（元）．19.已知()24ln2xxxfx+−=.（1）求()fx的定义域；（2）若()fxa恒成立，求a能够取得的最大整数值；（3）证明：()2*268102432ln1492nnnnn+++++++N.【答案】（1）()0,+（2）1（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据函数

有意义，得到不等式组24ln00xxx−，构造函数()24lngxxx=−，通过求导推出()()20gxg，即可得到函数的定义域；（2）由题设不等式恒成立等价转化为2ln0xaxa−+，(0)a恒成立，讨论函数()2

ln,(02)hxxaxaxa=−+得()1hxha，则须使21ln10aa−+，令()()2ln1,1,aaaa=−−+得其当且仅当1a=时取到最小值，得解.（3）利用（2）中得到的不等式进行放缩得到2lnxxx−，取2(1)nxxn+=，推

得()224ln2ln,nnnn++−再对n进行赋值相加即可得证.【小问1详解】要使函数()fx有意义，需满足24ln00xxx−，令()24ln,(0)gxxxx=−，则()24242xgxxxx=−=−，令()0,gx=解得2x=，当()

0,2x时，()()0,gxgx在()0,2上单调递减，当()2,x+时，()()0,gxgx()2,+上单调递增，()()222ln20gxg=−在∴𝑓(𝑥)的定义域为(0,+∞)；【小问2详解】由()fxa恒成立得，24ln2(0)xxaxx−−，当0a

时，不等式恒成立；下面说明当0a且为整数时不等式成立的情况.当2xa时，不等式显然成立，当02xa时，等价于()2224ln(2)xxax−−恒成立，此时2ln0xaxa−+恒成立，令()2ln,(02)hxxaxaxa=−+，则()1,hxax=−，令()

0hx=得1xa=，当12,aa即22a且a为整数时，无解；当102,aa即22a且a为整数时，若10xa，则()0hx，若12xaa，则()0hx，即ℎ(𝑥)在10,a上单调递增，在1,2aa上单调递减，则要使不等式恒成立，须使()

211ln10hxhaaa=−+恒成立，令()()2ln1,1,aaaa=−−+则()120,aaa=−故()a单调递增，从而()()10a=，当且仅当1a=时取等号，此时恰有原不等式

恒成立，综上所述，a能够取得的最大整数值是1；【小问3详解】由（2）可知，当1a=时，2ln0xaxa−+恒成立，即1ln0xx−+，即ln1xx−，当1x时，21xxx−−，即2ln1xxxx−−，令2(1)nxxn+=，则有2222224ln,nn

nnnnnn++++−=即()224ln2ln,nnnn++−于是，2681024149nn+++++()()()ln3ln1ln4ln2ln5ln3ln6ln4ln1ln1ln2lnnnnn−+−+−+−+++−−++−()()21232ln(1)ln(2)

ln1ln2lnln22nnnnnn++++=+++−−==，得证..