【文档说明】上海市川沙中学2021-2022学年高三下学期期中数学试题 含解析.docx，共(19)页，848.800 KB，由小赞的店铺上传

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上海市川沙中学2021-2022学年高三下期中考试数学试卷一､填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.已知集合{1,0,1,2}A=−，{|03}Bxx=，则AB=_________

__【答案】{1,2}【解析】【分析】利用交集的定义进行求解.【详解】因为{1,0,1,2}A=−，{|03}Bxx=，所以{1,2}AB=.故答案为：{1,2}.2.已知复数z满足：2ii0z++=（i为虚数单位），则||z=___________.【答

案】5【解析】【分析】根据复数代数形式的乘除运算及共轭复数定义求出z，再根据复数模的公式计算可得；【详解】解：因为2ii0z++=，所以2iiz+=−，所以()22ii2i12iiiz++===−+−−，所以12iz=−−，所以()

()22125z=−+−=故答案为：53.已知向量(3,4)a=，()sin,cosb=，且//abrr，则πtan4+=___________.【答案】7【解析】【分析】根据向量平行列方程，求得tan，进而求得πtan4

+【详解】由于//abrr，所以33cos4sin,tan4==，所以31πtan14tan7341tan14+++===−−.故答案为：74.关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵为103114

，则2xy+=_________.【答案】5【解析】【分析】根据二元一次函数的增广矩阵求得二元一次方程组，解得x，y，从而求得结果.【详解】由增广矩阵知二元一次方程组为34xxy=+=，解得3,

1xy==，故25xy+=，故答案：55.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积(单位：2cm)为___________．【答案】32【解析】【分析】根据俯视图发现几何体底面为直角三角形，有一条棱与底面垂直，那么四个面都是直

角三角形，画出几何体的直观图，求四个直角三角形面积之和即为表面积．【详解】该几何体的直观图如图所示，表面积为1111345434452222S=+++61061032=+++=.故答案为：32.为6.已知22()nxx−的二项展开式中，所有二项

式系数的和等于64，则该展开式中常数项的值等于_________．【答案】60【解析】【分析】首先根据条件求出n，然后写出展开式的通项，然后可得答案.【详解】因为所有二项式系数的和等于64，所以264n=，所以6n=，所以展开式的通项为()66366222rrrrrrCxCxx−−−=−

，令630r−=得2r=，所以该展开式中常数项的值等于()226260C−=.故答案为：60.7.已知()sin(0)fxx=在π0,3单调递增，则实数的最大值为_________

__.【答案】32【解析】【分析】根据正弦函数的单调性求得正确答案.【详解】sinyx=在ππ,22−上递增，在π3π,22上递减.0，当π03x时，π03x，由于()sin(0)fxx=在π0,3

单调递增，所以ππ3,0322，所以的最大值是32.故答案为：328.若,xy满足约束条件220101xyxyx+−−+，则2zxy=−的最小值为___________．【答案】3−.【解析】【分析】画出约束条件表示的平面区域，结合图象求出最优解，再计算目

标函数的最小值．【详解】解：画出x，y满足约束条件220101xyxyx+−−+……„，表示的平面区域，如图所示；结合图象知目标函数2zxy=−过A时，z取得最小值，由110xxy=−+=，解得(1,2)A，所以z的最小值为1223z=−=−．故答案为

：3−．【点睛】本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合解题方法，是基础题．9.已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是___．【答案】（﹣7，

3）【解析】【详解】设x<0，则－x>0.∵当x≥0时，f(x)＝x2－4x，∴f(－x)＝(－x)2－4(－x)．∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x2＋4x(x<0)，∴f(x)

＝由f(x)＝5得245{0xxx−=或245{0xxx+=∴x＝5或x＝－5.观察图像可知由f(x)<5，得－5<x<5.∴由f(x＋2)<5，得－5<x＋2<5，∴－7<x<3.∴不等式f(x＋2)<5的解集是{x|－7<x<3}．10.一个三位数，个位､十位､百位上的数字依次为xy

z､､，当且仅当yx且yz时，称这样的数为“凸数”(如341)，则从集合1,2,3,4,5中取出三个不相同的数组成的“凸数”个数为___________.【答案】20【解析】【分析】首先分析y只能去3,4,5，然后分类讨论满足题意的凸数

个数，最后相加即可.【详解】由题意可得y只能去3,4,5，当3y=时，凸数有132,231共2个；当4y=时，凸数有142,241,143,341,243,342共6个；当5y=时，凸数有152,251,153,351,154,451,253,352,254,452,354,

453共12个；综上，共有20个凸数.故答案为：20【点睛】本题主要考查分类加法技术原理，在求解过程中要明确分类标准，在每一类里面的计算要注意不重不漏.11.在正方形ABCD中，O为对角线交点，E为边BC上的动点，若(,0)AEACDO=+，则21

+的最小值为___________.【答案】92【解析】【分析】由向量的线性运算得,的关系式，然后由基本不等式得最小值．【详解】由题意2AEACDOOCOB=+=+，2AEAOOEOCOEOCO

B=+=+=+，(21)OEOCOB=−+，因为E在线段BC上，所以211−+=，22+=，10,2，所以21+1211229(2)()(5)222=++=++，当且仅当22

=，即23==时等号成立．故答案为：92．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因

式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．12.已知函数()yfx=的定义域是[0,)+，满足2

201()4513,?2834xxfxxxxxx=−+−+且(4)()fxfxa+=+，若存在实数k，使函数()()gxfxk=+在区间[0,2021]上恰好有2021个零点，则实数a的取值范围为____的【答案】11(,)505504−【解析】【分析】方程()

()gxfxk=+在[0,2021]x上恰有2021个零点，等价于存在Rk，使()fxk=−在[0,2021]x上恰有2021个交点，作出函数()fx的图像，数形结合，再根据函数周期性的应用，使每个交点都处在(1,2)之间才能取到2021个

点，代入条件求得参数取值范围.【详解】由函数在[0,4)x上的解析式作出如图所示图像，由(4)()fxfxa+=+知，函数()fx是以4为周期，且每个周期上下平移|a|个单位的一个函数，若使[0,2021]x时，存在Rk，方程()()

gxfxk=+在[0,2021]x上恰有2021个零点，等价于()fxk=−在[0,2021]x上恰有2021个交点，如图所示，知在每个周期都有4个交点，即(1,2)k−时满足条件，且必须每个周期内均应使k−处在极大值和极小值

之间，才能保证恰有2021个交点，则当0a时，需使最后一个完整周期[2016,2020)中的极小值(2018)2f，即(2018)(2)50415042ffaa=+=+，解得1504a，即1[0,)504a当a<0时

，需使最后一个极大值(2021)1f，即(2021)(1)50525051ffaa=+=+，解得1505a−，即1(,0)505a−，综上所述，11(,)505504a−故答案为：11,505504−【点睛】方法点睛：作出函数图像，数形结合将

问题转化为函数交点问题，根据边界条件列出不等式组，从而求得参数取值范围.二､选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）13.若abR，，则“22ab”是“ab”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.

充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】D【解析】【分析】由特殊值法，根据2a=−，1b=，得到“22ab”不是“ab”的充分条件；根据1a=，2b=−，得到“22ab”不是“ab”的必要条件，进而可得

出结果.【详解】若2a=−，1b=，满足22ab，但不能推出ab；所以“22ab”不是“ab”的充分条件；若1a=，2b=−，满足ab，但不能推出22ab；所以“22ab”不是“ab”的必要条件；因此，“

22ab”是“ab”的既不充分也不必要条件.故选D【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型.14.下列命题为真命题是（）A.若直线l与平面α上的两条直线垂直，则直线l与平面α垂直B.若两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线

平行C.若两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面垂直D.若直线l上不同两点到平面α的距离相等，则直线l与平面α平行【答案】B【解析】【分析】根据线面垂直的性质定理与判定定理、空间直线平面间的位置关系判断．

【详解】A.若直线l与平面α上的两条直线垂直，当平面内两条直线平行时，直线l与平面α不一定垂直，A错；B.若两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行，这是线面垂直的性质定理，B正确；C.若两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面垂直，这两

个平面可以相交，也可以平行，C错；D.若直线l上的不同两点到平面α的距离相等，直线l与平面α可能相交也可能平行，D错．故选：B．15.若无穷等比数列na各项的和为4，则2a的取值范围是（）A.(0,8)B.(0,4)(4,8)

C.(8,0)(0,1)−D.(8,0)(0,1]−的的【答案】D【解析】【分析】根据无穷等比数列na各项的和为4，得到11,0,41aqqSq==−，求得1a，进而得到2a求解.【详解】因为

无穷等比数列na各项的和为4，所以11,0,41aqqSq==−，解得14(1)aq=−，所以2214(1)412aqqq=−=−−+，由二次函数的性质得：2(8,0)(0,1]a

−，故选：D16.已知抛物线1C、2C的焦点都为(2,3)F，1C的准线方程为0x=，2C的准线方程为30xy−=，1C与2C相交于M、N两点，则直线MN的方程为（）A.30xy+=B.30xy−=C.0xy−=D.30xy+=【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的定义

可以判定M,N到直线30xy−=的距离和到y轴的距离相等，结合图形可知，直线MN的倾斜角为60°且经过原点.【详解】如图所示，根据抛物线的定义，可得M，N到直线30xy−=的距离和到y轴的距离都等于到焦点的距离，故M,N到直线30xy−=的距离和到y轴的距离相等，结合图形可知，直线MN是直

线30xy−=与y轴的角平分线上的点，由于直线30xy−=是过原点且倾斜角为30°的直线，由图可知，直线MN的倾斜角为60°，且经过坐标原点，故直线MN的方程为3yx=,故选：B.【点睛】本题考查抛物线的定义，关键是利用抛物线的定义得到M,N直线

30xy−=的距离和到y轴的距离相等.三､解答题（本大题共5题，满分76分）17.如图，等腰RtAOB△，2OAOB==，点C是OB的中点，AOB绕BO所在的边逆时针旋转一周.（1）求ABC旋转一周所

得旋转体的体积V和表面积S；（2）设OAOD⊥，求异面直线AC与BD所成角的大小.【答案】（1）43V=，()2542S=+（2）10arccos10【解析】【分析】（1）依题意ABC旋转一周所得的几何体为大圆锥里面

挖去一个小圆锥，根据圆锥的体积公式及侧面积公式计算可得；（2）取OD的中点E，连接CE、AE，即可得到ACE为异面直线AC与BD所成的角，再由余弦定理计算可得.【小问1详解】解：在等腰直角AOB中2OAOB==，

所以222222AB=+=，又点C是OB的中点，所以1BCOC==，所以225ACAOOC=+=，所以ABC旋转一周所得旋转体的体积()21422133V=−=；表面积()()55222422S=+=+.【小问2详解】解：如图取OD的中点E

，连接CE、AE，因为点C是OB的中点，所以//CEBD，122CEBD==，所以ACE为异面直线AC与BD所成的角或其补角，因为OAOD⊥，所以225AEAOOE=+=，在AEC△中由余弦定理2222cosAEACCE

ACCEACE=+−，即()()()222525225cosACE=+−，解得10cos10ACE=，所以10arccos10ACE=，即异面直线AC与BD所成角为10arccos10.18.已知函数()sinfxx=，将函数()yfx=的图象上每个点的横坐标缩短到原来

的12，然后向左平移π6个单位，再向上平移32个单位，得到()ygx=的图象.（1）当π0,2x时，求()gx的值域；（2）已知锐角ABC的内角,,ABC的对边分别为a，b，c，若3()2fA=，4a=，5bc+=，

求ABC的面积.【答案】（1）30,12+（2）334【解析】【分析】（1）根据正弦函数图像变换得()π3sin232gxx=++，再求π0,2x上的值域即可；（2）根据

3()2fA=，ABC为锐角三角形，得π3A=，再由4a=，5bc+=，根据余弦定理解决即可.【小问1详解】由题知，函数()sinfxx=，将函数()yfx=的图象上每个点的横坐标缩短到原来的12，得到()sin2fxx=，再向左平移

π6个单位，得到()πsin23fxx=+，然后向上平移32个单位，得到()π3sin232gxx=++，由于π0,2x，所以ππ4π2333x+，所以3πsin2123x−+，所以π330sin

21322x+++所以函数()gx的值域为30,12+；【小问2详解】由题知，函数()sinfxx=，3()2fA=，ABC为锐角三角形所以π3A=，因为4a=，5bc+=，所以由余弦定理22()22cosabcbcbcA=+−−，即16253bc=−，

所以3bc=，所以11333sin32224ABCSbcA==鬃=，所以ABC的面积为334.19.已知某电子公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元，设该公司一年内共生产该款手机x万部并

全部销售完，每万部的销售收人为()Rx万美元，且()**24006,040,N740040000,40,N,xxxRxxxxx−=−且且„（1）写出年利润W（万美元）关于年产量x（万部）的函数解析式（利润=销售

收入−成本）；（2）当年产量为多少万部时，该公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.【答案】（1）2**638440,040,N40000167360,40,NxxxxWxxxx−+−

=−−+且且（2）年产量为32万部时，利润最大，最大利润为6104万美元【解析】【分析】（1）分段分别求出利润W与x的函数解析式，再写出分段函数的形式即可；（2）当040x时，利用二次函数性质求W的最大值，当40x时，利用基本

不等式求出W的最大值，再比较两者大小，即可得到W的最大值.【小问1详解】当040x时，()()21640638440WxRxxxx=−+=−+−，当40x时，()()400001640167360WxRxxxx=−+=−−+，∴2**638440,040,N40000167360,4

0,NxxxxWxxxx−+−=−−+且且．【小问2详解】①当040x时，()226384406326104Wxxx=−+−=−−+，∴当32x=时，()max326104WW==，②当40x时，40000400004000016

736016736021673605760Wxxxxxx=−−+=−++−+=，当且仅当4000016xx=，即50x=时，等号成立，即当50x=时，max57606104W=，综上所述，当32x=时，W取得最大值为6104万美元，即当年产量为32万部时，公司在该款

手机的生产中所获得的利润最大，最大利润为6104万美元．20.已知椭圆22163xy+=上有两点(2,1)P−及(2,1)Q−，直线:lykxb=+与椭圆交于A、B两点，与线段PQ交于点C（异于P、Q）．（1）当1k=且12PCCQ=时，求直线l的方程；（

2）当2k=时，求四边形PAQB面积的取值范围；（3）记直线PA、PB、QA、QB的斜率依次为1k、2k、3k、4k，当0b且线段AB的中点M在直线yx=−上时，计算12kk的值，并证明：2212

342+kkkk．【答案】（1）10xy−+=（2）20106,93（3）1212kk=，证明见解析【解析】【分析】（1）设(),Cab，根据12PCCQ=求解；（2）设直线l的方程是2yxb=+，与椭圆方程联立，利用弦长公式求得AB，再由直线l与线段PQ相交，

得到b的范围，然后由ABPQ⊥，由12SABPQ=求解；（3）设直线l的方程是ykxb=+，与椭圆方程联立，由AB的中点坐标是1212,22xxyy++，由1212022xxyy+++=，结合韦达定理解得12k=求解.【小问1详解】解：设(),Cab，则()()2,1,

2,1PCabCQab=+−=−−−，因为12PCCQ=，所以()()12221112aabb+=−−=−−，解得2313ab=−=，所以直线l的方程是1233yx−=−−，即10xy−+=；【小问2详解】设直线l的方程是2yxb=+，与椭圆方程联立

得2298260xbxb++−=，则()()()222283626255421299bbbAB−−−=+=，因为线l与线段PQ相交，所以4141055bb−−+++，解得55b−，因为1,22PQlk

k=−=，则1PQlkk=−，所以ABPQ⊥，且25PQ=，所以四边形PAQB的面积是2110554229SABPQABb===−，所以以四边形PAQB的面积的范围是20106,93；【小问3详解】设直线l的方程是ykxb=+，与椭

圆方程联立得()222124260kxkbxb+++−=，设()()1122,,,AxyBxy则2121222426,1212kbbxxxxkk−+=−=−++，线段AB的中点坐标是1212,22xxyy

++，由题意得1212022xxyy+++=，即12120xxyy+++=，因为1122,ykxbykxb=+=+，所以()()12120kxxb+++=，即()2412012kbkbk+−+=+，

即()2212012bkk−=+，解得0b=（舍去）或12k=，当12k=时，212124412,33bbxxxx−+=−=−，()()()2121212121212121111114222242bxxxxbyykkxxx

xxx−+++−−−===+++++，因()()()2121212341212121111114222242bxxxxbyykkxxxxxx+++++++===−−−++，因为12kk，由基本不

等式得2212342kkkk+成立.21.已知数列*()nanN的首项a1=1，前n项和为Sn．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有11111kkknnnSSa++−=成立，则称此数列为“λ~k”数列．（1）若等差数列na是“λ~1”数列，求λ的值；（2）若数列na是“

323−”数列，且an＞0，求数列na的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列na为“λ~3”数列，且an≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，【答案】（1）1（2）21,134,2nnnan−==

（3）01【解析】【分析】（1）根据定义得+11nnnSSa+−=，再根据和项与通项关系化简得11nnaa++=，最后根据数列不为零数列得结果；（2）根据定义得111222+1+13()3nnnnSSSS−=−，根据平方差公式化简得+1=

4nnSS，求得nS，即得na；为（3）根据定义得111333+11nnnSSa+−=，利用立方差公式化简得两个方程，再根据方程解的个数确定参数满足的条件，解得结果【详解】（1）+111111101nnnnnnSSaaaaa++++−==

==Q（2）11221100nnnnnaSSSS++−Q111222+1+13()3nnnnSSSS−=−Q1111112222222+1+1+11()()()3nnnnnnSSSSSS−=−+1111111222222+1+1+1+11()=2=44

3nnnnnnnnnnSSSSSSSSS−−=+=111Sa==，14nnS−=1224434,2nnnnan−−−=−=21,134,2nnnan−==（3）假设存在三个不同的数列na为"3"−数列.111113333333+11+1+1()()n

nnnnnnSSaSSSS+−=−=−1133+1nnSS=或11221123333333+1+1+1()()nnnnnnSSSSSS−=+++1nnSS=或22113333333+1+1(1)(1)

(2)0nnnnSSSS−+−++=∵对于给定的，存在三个不同的数列na为"3"−数列，且0na1,10,2nnan==或()22113333333+1+1(1)(1)(2)01nnnnSSSS−+−++=有两个不等的正根.(

)22113333333+1+1(1)(1)(2)01nnnnSSSS−+−++=可转化为()2133333+1+12133(1)(2)(1)01nnnnSSSS−++−+=，不妨设()1310nnSxxS+=，则()3233(1)(2)(1)01xx

−+++−=有两个不等正根，设()()3233(1)(2)(1)01fxxx=−+++−=.①当1时，32323(2)4(1)004=+−−，即01，此时()3010f=−，33(2)02(1)x+=−−对，满足

题意.②当1时，32323(2)4(1)004=+−−，即314，此时()3010f=−，33(2)02(1)x+=−−对，此情况有两个不等负根，不满足题意舍去.综上，01【点睛】本题考查数列新定

义、由和项求通项、一元二次方程实根分步，考查综合分析求解能力，属难题.