【文档说明】十年（2015-2024）高考真题分项汇编 数学 专题13 立体几何的空间角与空间距离及其综合应用小题综合 Word版含解析.docx，共(20)页，1.849 MB，由小赞的店铺上传

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专题13立体几何的空间角与空间距离及其综合应用小题综合考点十年考情（2015-2024）命题趋势考点1异面直线所成角及其应用（10年6考）2022·全国新Ⅰ卷、2021·全国乙卷、2018·全国卷2017·全国卷、2016·全国卷、2015·浙江卷要熟练掌握几何法和向量法求解空间角与

空间距离，本节内容是新高考卷的常考内容，要熟练掌握方程思想求值，需强化巩固复习.考点2线面角及其应用（10年4考）2024·全国新Ⅱ卷、2023·全国乙卷、2022·浙江卷2022·全国甲卷、2022·全国新Ⅰ卷、2018·浙江卷2018·全国卷、2018·全

国卷、2018·全国卷考点3二面角及其应用（10年6考）2023·北京卷、2023·全国乙卷、2023·全国新Ⅱ卷2022·浙江卷、2019·浙江卷、2018·浙江卷2017·浙江卷、2015·浙江卷考点4点面距及其应用（10年1考）2019·全国卷考点01异面直线所成角

及其应用1．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知正方体1111ABCDABCD−，则（）A．直线1BC与1DA所成的角为90B．直线1BC与1CA所成的角为90C．直线1BC与平面11BBDD所成的角为45D．直线1BC与平面ABCD所成的角为45【答案】A

BD【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.【详解】如图，连接1BC、1BC，因为11//DABC，所以直线1BC与1BC所成的角即为直线1BC与1DA所成的角，因为四边形11BBCC为正方形，则1BC⊥1BC，故

直线1BC与1DA所成的角为90，A正确；连接1AC，因为11AB⊥平面11BBCC，1BC平面11BBCC，则111ABBC⊥，因为1BC⊥1BC，1111ABBCB=，所以1BC⊥平面11ABC，又1AC平面11ABC，所以11B

CCA⊥，故B正确；连接11AC，设1111ACBDO=，连接BO，因为1BB⊥平面1111DCBA，1CO平面1111DCBA，则11COBB⊥，因为111COBD⊥，1111BDBBB=，所以1CO⊥平面11BBDD，所以1CBO为直线1BC

与平面11BBDD所成的角，设正方体棱长为1，则122CO=，12BC=，1111sin2COCBOBC==，所以，直线1BC与平面11BBDD所成的角为30，故C错误；因为1CC⊥平面ABCD，所以1CBC为直线1BC与

平面ABCD所成的角，易得145CBC=，故D正确.故选：ABD2．（2021·全国乙卷·高考真题）在正方体1111ABCDABCD−中，P为11BD的中点，则直线PB与1AD所成的角为（）A．π2B．π3C．π4D．π6【答案】D【分析】平移直线1AD至1BC，将直线PB与1AD所

成的角转化为PB与1BC所成的角，解三角形即可.【详解】如图，连接11,,BCPCPB，因为1AD∥1BC，所以1PBC或其补角为直线PB与1AD所成的角，因为1BB⊥平面1111DCBA，所以11BBPC⊥，又111PCBD⊥，1111BBBD

B=，所以1PC⊥平面1PBB，所以1PCPB⊥，设正方体棱长为2，则1111122,22BCPCDB===，1111sin2PCPBCBC==，所以16PBC=.故选：D3．（2018·全国·高

考真题）在正方体1111ABCDABCD−中，E为棱1CC的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为A．22B．32C．52D．72【答案】C【分析】利用正方体1111ABCDABCD−中，//CDAB，将问题转化为求共面直线A

B与AE所成角的正切值，在ABE中进行计算即可.【详解】在正方体1111ABCDABCD−中，//CDAB，所以异面直线AE与CD所成角为EAB，设正方体边长为2a，则由E为棱1CC的中点，可得CEa=，所以5B

Ea=，则55tan22BEaEABABa===.故选C.【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出

三边或三边比例关系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.4．（2017·全国·高考真题）已知直三棱柱111CC−中，C120=，2=，1CCC1==，则异面直

线1与1C所成角的余弦值为A．32B．155C．105D．33【答案】C【详解】如图所示，补成直四棱柱1111ABCDABCD−，则所求角为21111,2,21221cos603,5BCDBCBDCD

AB==+−===，易得22211CDBDBC=+，因此111210cos55BCBCDCD===，故选C．平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,]2，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所

成角的范围．5．（2016·全国·高考真题）平面过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A，,ABCDm=平面，11ABBAn=平面，则m，n所成角的正弦值为A．32B．22C．33D．13【答案】A【详解】试题分析：如图，设平面11CBD平面AB

CD='m，平面11CBD平面11ABBA='n，因为//平面11CBD，所以//',//'mmnn，则,mn所成的角等于','mn所成的角.延长AD，过1D作11DEBC∥，连接11,CEBD，则CE为'm，同理11BF为'n，而111,BDCEBFAB∥∥，则','mn所成的角即为1,AB

BD所成的角，即为60，故,mn所成角的正弦值为32，选A.【点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成的角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形、解形求角、得钝求补.6．（2015·浙江·高考真题）如图，三棱锥ABCD−中，3,2ABACBDCDADBC======，点,M

N分别是,ADBC的中点，则异面直线,ANCM所成的角的余弦值是．【答案】78【详解】如下图，连结DN，取DN中点P，连结PM，PC，则可知即为异面直线，所成角（或其补角）易得，，，∴，即异面直线，所成角的余弦值为.考点：异面

直线的夹角.考点02线面角及其应用1．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台111ABCABC-的体积为523，6AB=，112AB=，则1AA与平面ABC所成角的正切值为（）A．12B．1C．2D．3【答案】B【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱

台的高433h=，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求得433AM=，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台111ABCABC-补成正三棱锥−PABC，1AA与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角，根据比例关系可得18PABCV−=，进而可求正三棱锥−PAB

C的高，即可得结果.【详解】解法一：分别取11,BCBC的中点1,DD，则11333AD,AD==，可知1111316693,233222ABCABCSS====，设正三棱台111ABCABC-的为h，则()11115293393333ABCABCVh−=++

=，解得433h=，如图，分别过11,AD作底面垂线，垂足为,MN，设AMx=，则22211163AAAMAMx=+=+，23DNADAMMNx=--=-，可得()2221116233DDDNDNx=+=−+，

结合等腰梯形11BCCB可得22211622BBDD−=+,即()22161623433xx+=−++，解得433x=，所以1AA与平面ABC所成角的正切值为11tan1AMAADAM?=；解法二：将正三棱台111ABCABC-

补成正三棱锥−PABC，则1AA与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角，因为11113PAABPAAB==，则111127PABCPABCVV−−=，可知1112652273ABCABCPABCVV−−==，则18PABCV−=，设正三棱锥−PABC的高为d，则1

136618322PABCVd−==，解得23d=，取底面ABC的中心为O，则PO⊥底面ABC，且23AO=，所以PA与平面ABC所成角的正切值tan1POPAOAO==.故选：B.2．（2023·全国乙卷·高考真题）已知ABC为等腰直角三角形，

AB为斜边，ABD△为等边三角形，若二面角CABD−−为150，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（）A．15B．25C．35D．25【答案】C【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.【详解】取AB的中点E，连接,CEDE，因为ABC是

等腰直角三角形，且AB为斜边，则有CEAB⊥，又ABD△是等边三角形，则DEAB⊥，从而CED为二面角CABD−−的平面角，即150CED=，显然,,CEDEECEDE=平面CDE，于是AB⊥平面CDE，又AB平面ABC，因此平面CDE⊥平面ABC，显然平

面CDE平面ABCCE=，直线CD平面CDE，则直线CD在平面ABC内的射影为直线CE，从而DCE为直线CD与平面ABC所成的角，令2AB=，则1,3CEDE==，在CDE中，由余弦定理得：2232cos13213()72CDCED

ECEDECED=+−=+−−=，由正弦定理得sinsinDECDDCECED=，即3sin1503sin727DCE==，显然DCE是锐角，2235cos1sin1()2727DCEDCE=−=−=，所以直线CD与平面

ABC所成的角的正切为35.故选：C3．（2022·浙江·高考真题）如图，已知正三棱柱1111,ABCABCACAA−=，E，F分别是棱11,BCAC上的点．记EF与1AA所成的角为，EF与平面ABC所成的角为，二面角FBC

A−−的平面角为，则（）A．B．C．D．【答案】A【分析】先用几何法表示出，，，再根据边长关系即可比较大小．【详解】如图所示，过点F作FPAC⊥于P，过P作PMBC⊥于M，连接PE，则EFP=，FEP=，F

MP=，tan1PEPEFPAB==，tan1FPABPEPE==，tantanFPFPPMPE==，所以，故选：A．4．（2022·全国甲卷·高考真题）在长方体1111ABCDAB

CD−中，已知1BD与平面ABCD和平面11AABB所成的角均为30，则（）A．2ABAD=B．AB与平面11ABCD所成的角为30C．1ACCB=D．1BD与平面11BBCC所成的角为45【答案】D【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出．【详解】如图所示：不

妨设1,,ABaADbAAc===，依题以及长方体的结构特征可知，1BD与平面ABCD所成角为1BDB，1BD与平面11AABB所成角为1DBA，所以11sin30cbBDBD==，即bc=，22212BDcabc==++，解得2ac=．对于A，ABa=，ADb=，2ABAD=，A错误；对

于B，过B作1BEAB⊥于E，易知BE⊥平面11ABCD，所以AB与平面11ABCD所成角为BAE，因为2tan2cBAEa==，所以30BAE，B错误；对于C，223ACabc=+=，2212CBbcc=+=，1ACCB

，C错误；对于D，1BD与平面11BBCC所成角为1DBC，112sin22CDaDBCBDc===，而1090DBC，所以145DBC=．D正确．故选：D．5．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知正方体1111ABCDAB

CD−，则（）A．直线1BC与1DA所成的角为90B．直线1BC与1CA所成的角为90C．直线1BC与平面11BBDD所成的角为45D．直线1BC与平面ABCD所成的角为45【答案】ABD【分析】数形结合，依次对所给选

项进行判断即可.【详解】如图，连接1BC、1BC，因为11//DABC，所以直线1BC与1BC所成的角即为直线1BC与1DA所成的角，因为四边形11BBCC为正方形，则1BC⊥1BC，故直线1BC与1DA所成的角为90，A正确；连接1AC，因为11AB⊥平面11BBCC，1BC平面1

1BBCC，则111ABBC⊥，因为1BC⊥1BC，1111ABBCB=，所以1BC⊥平面11ABC，又1AC平面11ABC，所以11BCCA⊥，故B正确；连接11AC，设1111ACBDO=，连接BO，因为1BB⊥平面1111DCBA，1CO平面1111DCBA，则11CO

BB⊥，因为111COBD⊥，1111BDBBB=，所以1CO⊥平面11BBDD，所以1CBO为直线1BC与平面11BBDD所成的角，设正方体棱长为1，则122CO=，12BC=，1111sin2COCBOBC==，所以，直线1BC与平面11BBDD所成的角为30，故C错误；因

为1CC⊥平面ABCD，所以1CBC为直线1BC与平面ABCD所成的角，易得145CBC=，故D正确.故选：ABD6．（2018·浙江·高考真题）已知四棱锥SABCD−的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（

不含端点），设SE与BC所成的角为1，SE与平面ABCD所成的角为2，二面角SABC−−的平面角为3，则A．123B．321C．132D．231【答案】D【分析】分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，

根据边的大小关系确定角的大小关系.【详解】设O为正方形ABCD的中心，M为AB中点，过E作BC的平行线EF，交CD于F，过O作ON垂直EF于N，连接SO、SN、OM，则SO垂直于底面ABCD，OM垂直于AB，因此123,,,SENSEOSMO===从而123tan,tan,ta

n,SNSNSOSOENOMEOOM====因为SNSOEOOM，，所以132tantantan,即132，选D.【点睛】线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面.7．（2018·全国·高考真题）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为78，SA与圆

锥底面所成角为45°，若SAB△的面积为515，则该圆锥的侧面积为．【答案】402π【分析】先根据三角形面积公式求出母线长,再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求出结果.【详解】因为母线SA，SB所成角的余弦值为78，所以母线SA

，SB所成角的正弦值为158，因为SAB△的面积为515，设母线长为,l所以21155154528ll==，因为SA与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为π2cos42ll=，因此圆锥的侧面积为22ππ402π2rll==．【整体点

评】根据三角形面积公式先求出母线长，再根据线面角求出底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求出侧面积，思路直接自然，是该题的最优解．8．（2018·全国·高考真题）在长方体1111ABCDABCD−中，2ABBC==，1AC与平面11

BBCC所成的角为30，则该长方体的体积为A．8B．62C．82D．83【答案】C【分析】首先画出长方体1111ABCDABCD−，利用题中条件，得到130ACB=，根据2AB=，求得123BC=，可以确定122CC=，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.【详解】在长方体1111ABC

DABCD−中，连接1BC，根据线面角的定义可知130ACB=，因为2AB=，所以123BC=，从而求得122CC=，所以该长方体的体积为222282V==，故选C.【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为

长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.9．（2018·全国·高考真题）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为A．33

4B．233C．324D．32【答案】A【分析】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面

的对角线的一半，应用面积公式求得结果.【详解】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体1111ABCDABCD−中，平面11ABD与线11111,,AAABAD所成的角是相等的，所以平面11ABD与正方体的

每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面1CBD也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面11ABD与1CBD中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为22，所以其面积为232336(

)424S==，故选A.点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.考点03二面角

及其应用1．（2023·北京·高考真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若25m,10mABBCAD===，且等腰梯形所在的平面

、等腰三角形所在的平面与平面ABCD的夹角的正切值均为145，则该五面体的所有棱长之和为（）A．102mB．112mC．117mD．125m【答案】C【分析】先根据线面角的定义求得5tantan14EMOEGO

==，从而依次求EO，EG，EB，EF，再把所有棱长相加即可得解.【详解】如图，过E做EO⊥平面ABCD，垂足为O，过E分别做EGBC⊥，EMAB⊥，垂足分别为G，M，连接,OGOM，由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为E

MO和EGO，所以5tantan14EMOEGO==.因为EO⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以EOBC⊥，因为EGBC⊥，,EOEG平面EOG，EOEGE=，所以BC⊥平面EOG，因为OG平面EOG，所以BCOG⊥，.同理：O

MBM⊥，又BMBG⊥，故四边形OMBG是矩形，所以由10BC=得5OM=，所以14EO=，所以5OG=，所以在直角三角形EOG中，()222253149EGEOOG=+=+=在直角三角形EBG中，5BGOM==，()22223958EBEGBG=+=+=

，又因为55255515EFAB=−−=−−=，所有棱长之和为2252101548117m+++=.故选：C2．（2023·全国乙卷·高考真题）已知ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，ABD△为等边三角形，若二面角CABD−−为1

50，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（）A．15B．25C．35D．25【答案】C【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.【详解】取AB的中点E，连接,CEDE，因为ABC是等腰直角三角形，且AB为斜边，则有CEAB⊥，又ABD△是等边三角形，

则DEAB⊥，从而CED为二面角CABD−−的平面角，即150CED=，显然,,CEDEECEDE=平面CDE，于是AB⊥平面CDE，又AB平面ABC，因此平面CDE⊥平面ABC，显然平面CDE平面A

BCCE=，直线CD平面CDE，则直线CD在平面ABC内的射影为直线CE，从而DCE为直线CD与平面ABC所成的角，令2AB=，则1,3CEDE==，在CDE中，由余弦定理得：2232cos13213()72CDCEDECEDECED=+−=+−−=

，由正弦定理得sinsinDECDDCECED=，即3sin1503sin727DCE==，显然DCE是锐角，2235cos1sin1()2727DCEDCE=−=−=，所以直线CD与平面ABC所成的角的正切为35.故选：C3

．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）（多选）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，120APB=，2PA=，点C在底面圆周上，且二面角PACO−−为45°，则（）．A．该圆锥的体积为πB．该圆锥的侧面积为43πC．22AC=

D．PAC△的面积为3【答案】AC【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性.【详解】依题意，120APB=，2PA=，所以1,3OPOAOB===，A选项，圆锥的体积为()21π31π3=，A选

项正确；B选项，圆锥的侧面积为π3223π=，B选项错误；C选项，设D是AC的中点，连接,ODPD，则,ACODACPD⊥⊥，所以PDO是二面角PACO−−的平面角，则45PDO=，所以1OPOD==，故312ADCD==−=，则22AC=，C选项正确；D选项，2211

2PD=+=，所以122222PACS==，D选项错误.故选：AC.4．（2022·浙江·高考真题）如图，已知正三棱柱1111,ABCABCACAA−=，E，F分别是棱11,BCAC上的点．记EF与1AA

所成的角为，EF与平面ABC所成的角为，二面角FBCA−−的平面角为，则（）A．B．C．D．【答案】A【分析】先用几何法表示出，，，再根据边长关系即可比较大小

．【详解】如图所示，过点F作FPAC⊥于P，过P作PMBC⊥于M，连接PE，则EFP=，FEP=，FMP=，tan1PEPEFPAB==，tan1FPABPEPE==，tantanFPFPPMPE==，所以，故选：

A．5．（2019·浙江·高考真题）设三棱锥VABC−的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点），记直线PB与直线AC所成角为，直线PB与平面ABC所成角为，二面角PACB−−的

平面角为，则A．,B．,C．,D．,【答案】B【解析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明

确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.【详解】方法1：如图G为AC中点，V在底面ABC的投影为O，则P在底面投影D在线段AO上，过D作DE垂直AE，易得//PEVG，过P作//PFAC交VG于F，过D作//DHAC，交BG于H，则

,,BPFPBDPED===，则coscosPFEGDHBDPBPBPBPB====，即，tantanPDPDEDBD==，即y，综上所述，答案为B.方法2：由最小角定理，记VABC−

−的平面角为（显然=）由最大角定理=，故选B.方法3：（特殊位置）取VABC−为正四面体，P为VA中点，易得333222cossin,sin,sin6633====，故选B.【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能

正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.6．（2018·浙江·高考真题）已知四棱锥SABCD−的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为1，SE与平面ABCD所成的角为2，二面角SABC−−的平面角为3，

则A．123B．321C．132D．231【答案】D【分析】分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系.【详解】设O为正方形ABCD的中心，M为AB中点，过E作BC的平行线EF，交CD于F，过O作ON垂

直EF于N，连接SO、SN、OM，则SO垂直于底面ABCD，OM垂直于AB，因此123,,,SENSEOSMO===从而123tan,tan,tan,SNSNSOSOENOMEOOM====因为SNSOEOOM，，所以132tanta

ntan,即132，选D.【点睛】线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面.7．（2017·浙江·高考真题）如图，已知正四面体D–ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P，Q，R分别为AB，BC，CA上的点，AP=PB，2BQCRQCRA==，分别记二面角D–PR–Q

，D–PQ–R，D–QR–P的平面角为α,β,γ，则A．γ<α<βB．α<γ<βC．α<β<γD．β<γ<α【答案】B【详解】设O为三角形ABC中心，则正四面体D–ABC的顶点在底面ABC的投影为O，过O分别作PR、PQ、RQ的垂线，垂足分别为E、F、G，连结DE、DF、DG，则有=,=,=,

DEODFODGO=所以tan=,tan=,tan=ODODODOEOFOG只需比较OE、OF、OG的大小：在底面三角形ABC中，建立如图示的坐标系，不妨设2AB=,则()()()1,0,1,0,0,

3,ABC−()123230,0,,,,,3333PQR−所以直线RP的方程为32yx=−，直线PQ的方程为23yx=，直线RQ的方程为35339yx=+,由点到直线的距离公式，可求出：221391,,,2

1393OEOFOG===所以OEOGOF,所以tantantan，有α,β,γ均为锐角，所以α<γ<β.故选：B【点睛】立体几何是高中数学中的重要内容，也是高考重点考查的考点与热点．这类问题的设置一般有线面位置关系的证明与角度距离的计算

等两类问题．解答第一类问题时一般要借助线面平行与垂直的判定定理进行；解答第二类问题时先建立空间直角坐标系，运用空间向量的坐标形式及数量积公式进行求解．8．（2015·浙江·高考真题）如图，已知ABC，D是AB的中点，沿直线CD将

ACD折成ACD¢，所成二面角ACDB−−的平面角为，则A．ADBB．ADBC．ACBD．ACB【答案】B【详解】设ADC=，设2AB=，则由题意1ADBD==，在空

间图形中，设ABt=，在ADB中，2222222112cos22112ADDBABttADBADDB+−+−−===，在空间图形中，过A作ANDC⊥，过B作BMDC⊥，垂足分别为N，M，过N作//NP

MB，连结AP，∴NPDC⊥，则ANP就是二面角ACDB−−的平面角，∴ANP=，在RtAND中，coscosDNADADC==，，同理，sinBMPN==，cosDM=，故2cos

BPMN==，显然BP⊥面ANP，故BPAP⊥，在RtABP中，2222222(2cos)4cosAPABBPtt=−==−−，在ANP中，222coscos2ANNPAPANPANNP+−==2222sinsin(

4cos)2sinsint+−−=222222222222cos2cos1coscos2sin2sinsinsinsinttADB+−−==+=+，∵210sin，22cos0sin，∴co

scosADB（当2=时取等号），∵，[0,]ADB，而cosyx=在[0,]上为递减函数，∴ADB，故选B.考点：立体几何中的动态问题考点04点面距及其应用1．（2019·全国·高考真题）已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两

边AC，BC的距离均为3，那么P到平面ABC的距离为．【答案】2.【分析】本题考查学生空间想象能力，合理画图成为关键，准确找到P在底面上的射影，使用线面垂直定理，得到垂直关系，勾股定理解决．【详解】作,PDPE分别垂直于,ACBC，PO⊥平面ABC，连CO，知,CDPDCDPO⊥⊥，=PDO

DP，CD\^平面PDO，OD平面PDO，CDOD⊥3PDPE==∵，2PC=．3sinsin2PCEPCD==，60PCBPCA==，POCO⊥，CO为ACB平分线，451,2OCDODCDOC====，又2PC=，422PO=−=．【点睛】画图视

角选择不当，线面垂直定理使用不够灵活，难以发现垂直关系，问题即很难解决，将几何体摆放成正常视角，是立体几何问题解决的有效手段，几何关系利于观察，解题事半功倍．