【文档说明】十年（2015-2024）高考真题分项汇编 数学 专题13 立体几何的空间角与空间距离及其综合应用小题综合 Word版含解析.docx，共(20)页，1.849 MB，由小赞的店铺上传

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专题13立体几何的空间角与空间距离及其综合应用小题综合考点十年考情（2015-2024）命题趋势考点1异面直线所成角及其应用（10年6考）2022·全国新Ⅰ卷、2021·全国乙卷、2018·全国卷2017·全国卷、2016·全国卷、2015·浙江卷要熟练掌握几何法和向量法求解空间角与空间距离，

本节内容是新高考卷的常考内容，要熟练掌握方程思想求值，需强化巩固复习.考点2线面角及其应用（10年4考）2024·全国新Ⅱ卷、2023·全国乙卷、2022·浙江卷2022·全国甲卷、2022·全国新Ⅰ卷、2

018·浙江卷2018·全国卷、2018·全国卷、2018·全国卷考点3二面角及其应用（10年6考）2023·北京卷、2023·全国乙卷、2023·全国新Ⅱ卷2022·浙江卷、2019·浙江卷、2018·浙江卷2017·浙江卷、2015·浙江卷考

点4点面距及其应用（10年1考）2019·全国卷考点01异面直线所成角及其应用1．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知正方体1111ABCDABCD−，则（）A．直线1BC与1DA所成的角为90B．直线1BC与1CA所成的角为9

0C．直线1BC与平面11BBDD所成的角为45D．直线1BC与平面ABCD所成的角为45【答案】ABD【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.【详解】如图，连接1BC、1BC，因为11//DABC，所以直线1BC与1BC所成的角即为直线1BC与1DA所成的角，因为

四边形11BBCC为正方形，则1BC⊥1BC，故直线1BC与1DA所成的角为90，A正确；连接1AC，因为11AB⊥平面11BBCC，1BC平面11BBCC，则111ABBC⊥，因为1BC⊥1BC，1111ABBCB=，所以1BC⊥平面11ABC，又1AC平

面11ABC，所以11BCCA⊥，故B正确；连接11AC，设1111ACBDO=，连接BO，因为1BB⊥平面1111DCBA，1CO平面1111DCBA，则11COBB⊥，因为111COBD⊥，1111BDBBB=，所以1CO⊥平面11BBDD，所以1CBO为直线1B

C与平面11BBDD所成的角，设正方体棱长为1，则122CO=，12BC=，1111sin2COCBOBC==，所以，直线1BC与平面11BBDD所成的角为30，故C错误；因为1CC⊥平面ABCD，所以1CBC为直线1BC与平面A

BCD所成的角，易得145CBC=，故D正确.故选：ABD2．（2021·全国乙卷·高考真题）在正方体1111ABCDABCD−中，P为11BD的中点，则直线PB与1AD所成的角为（）A．π2B．π3C．π4D．π6【答案】D【分析】平移直线1AD

至1BC，将直线PB与1AD所成的角转化为PB与1BC所成的角，解三角形即可.【详解】如图，连接11,,BCPCPB，因为1AD∥1BC，所以1PBC或其补角为直线PB与1AD所成的角，因为1BB⊥平面1111DCBA，所以11BBPC⊥，又

111PCBD⊥，1111BBBDB=，所以1PC⊥平面1PBB，所以1PCPB⊥，设正方体棱长为2，则1111122,22BCPCDB===，1111sin2PCPBCBC==，所以16PBC=.故选：D3．（2018·全国·高考真题）在正方体1111ABCDABCD

−中，E为棱1CC的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为A．22B．32C．52D．72【答案】C【分析】利用正方体1111ABCDABCD−中，//CDAB，将问题转化为求共面直线AB与AE所成角的正切值

，在ABE中进行计算即可.【详解】在正方体1111ABCDABCD−中，//CDAB，所以异面直线AE与CD所成角为EAB，设正方体边长为2a，则由E为棱1CC的中点，可得CEa=，所以5BEa=，则55tan22BEaEABABa

===.故选C.【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求两直线

的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.4．（2017·全国·高考真题）已知直三棱柱111CC−中，C120=，2=，1CCC1==，则异面直

线1与1C所成角的余弦值为A．32B．155C．105D．33【答案】C【详解】如图所示，补成直四棱柱1111ABCDABCD−，则所求角为21111,2,21221cos603,5BCDBCBDCDAB==+−===，易得22211CDBDBC=+，因

此111210cos55BCBCDCD===，故选C．平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的

角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,]2，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线

之间所成角的范围．5．（2016·全国·高考真题）平面过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A，,ABCDm=平面，11ABBAn=平面，则m，n所成角的正弦值为A．32B．22C．33D．13【答案】A【详解】试题分析：如图，设平面11CBD平面ABCD='m，

平面11CBD平面11ABBA='n，因为//平面11CBD，所以//',//'mmnn，则,mn所成的角等于','mn所成的角.延长AD，过1D作11DEBC∥，连接11,CEBD，则CE为'm，同理11BF为'n，而111,BDCEBFAB∥∥，则','

mn所成的角即为1,ABBD所成的角，即为60，故,mn所成角的正弦值为32，选A.【点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成的角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形、解形求角、得钝求补.6．（2015·浙江·高考真题）如图，三棱锥ABCD−中，3,2ABACBDCDADBC=

=====，点,MN分别是,ADBC的中点，则异面直线,ANCM所成的角的余弦值是．【答案】78【详解】如下图，连结DN，取DN中点P，连结PM，PC，则可知即为异面直线，所成角（或其补角）易得，，，∴，即异面直线，所成角的余弦值为.考点：异面直线的夹角.考点02线面角及其应用1．（2024

·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台111ABCABC-的体积为523，6AB=，112AB=，则1AA与平面ABC所成角的正切值为（）A．12B．1C．2D．3【答案】B【分析】解法一：根据台体的体积公

式可得三棱台的高433h=，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求得433AM=，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台111ABCABC-补成正三棱锥−PABC，1AA与平面ABC所成角即为PA与平面

ABC所成角，根据比例关系可得18PABCV−=，进而可求正三棱锥−PABC的高，即可得结果.【详解】解法一：分别取11,BCBC的中点1,DD，则11333AD,AD==，可知1111316693,233222ABCABCSS====，设正三棱台111A

BCABC-的为h，则()11115293393333ABCABCVh−=++=，解得433h=，如图，分别过11,AD作底面垂线，垂足为,MN，设AMx=，则22211163AAAMAMx=+=+，23DNADAMMNx=--=-，可得()2

221116233DDDNDNx=+=−+，结合等腰梯形11BCCB可得22211622BBDD−=+,即()22161623433xx+=−++，解得433x=，所以1AA与平面ABC所成

角的正切值为11tan1AMAADAM?=；解法二：将正三棱台111ABCABC-补成正三棱锥−PABC，则1AA与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角，因为11113PAABPAAB==，则111127PABCPABCVV−−=，可知1112652273ABCABCPABCVV−−==

，则18PABCV−=，设正三棱锥−PABC的高为d，则1136618322PABCVd−==，解得23d=，取底面ABC的中心为O，则PO⊥底面ABC，且23AO=，所以PA与平面ABC所成角的正切值tan1POPAOAO==.故选：B.2．（2023·全国乙卷·高考真题）已知ABC为

等腰直角三角形，AB为斜边，ABD△为等边三角形，若二面角CABD−−为150，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（）A．15B．25C．35D．25【答案】C【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求

解作答.【详解】取AB的中点E，连接,CEDE，因为ABC是等腰直角三角形，且AB为斜边，则有CEAB⊥，又ABD△是等边三角形，则DEAB⊥，从而CED为二面角CABD−−的平面角，即150CED=，显然,,

CEDEECEDE=平面CDE，于是AB⊥平面CDE，又AB平面ABC，因此平面CDE⊥平面ABC，显然平面CDE平面ABCCE=，直线CD平面CDE，则直线CD在平面ABC内的射影为直线CE，从而DCE为直线CD与平面ABC所成的角，令2AB=，则1,3C

EDE==，在CDE中，由余弦定理得：2232cos13213()72CDCEDECEDECED=+−=+−−=，由正弦定理得sinsinDECDDCECED=，即3sin1503sin727DCE==，显然DCE是锐角，2235cos1

sin1()2727DCEDCE=−=−=，所以直线CD与平面ABC所成的角的正切为35.故选：C3．（2022·浙江·高考真题）如图，已知正三棱柱1111,ABCABCACAA−=，E，F分别是棱11,BCAC上的点．记EF与1AA所成的角为，EF与平面ABC所成的角为，二面角

FBCA−−的平面角为，则（）A．B．C．D．【答案】A【分析】先用几何法表示出，，，再根据边长关系即可比较大小．【详解】如图所示，过点F作FPAC⊥于P，过P作PMBC⊥于M，连接PE，则EFP=，

FEP=，FMP=，tan1PEPEFPAB==，tan1FPABPEPE==，tantanFPFPPMPE==，所以，故选：A．4．（2022·全国甲卷·高考真题）在长方体1

111ABCDABCD−中，已知1BD与平面ABCD和平面11AABB所成的角均为30，则（）A．2ABAD=B．AB与平面11ABCD所成的角为30C．1ACCB=D．1BD与平面11BBCC所成的角为45【答案】D【分析】根

据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出．【详解】如图所示：不妨设1,,ABaADbAAc===，依题以及长方体的结构特征可知，1BD与平面ABCD所成角为1BDB，1BD与平面11AABB所成角为1DBA，所以11sin30cbBDBD==，即bc=，22212BD

cabc==++，解得2ac=．对于A，ABa=，ADb=，2ABAD=，A错误；对于B，过B作1BEAB⊥于E，易知BE⊥平面11ABCD，所以AB与平面11ABCD所成角为BAE，因为2tan2cBAEa==，所以30BAE，B错误；对于C，223ACabc=+=，2212CBb

cc=+=，1ACCB，C错误；对于D，1BD与平面11BBCC所成角为1DBC，112sin22CDaDBCBDc===，而1090DBC，所以145DBC=．D正确．故选：D．5．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知正方体1111ABCDABCD−，则（）A．直线

1BC与1DA所成的角为90B．直线1BC与1CA所成的角为90C．直线1BC与平面11BBDD所成的角为45D．直线1BC与平面ABCD所成的角为45【答案】ABD【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.【详解】如图，连接1BC、1BC，因为11//

DABC，所以直线1BC与1BC所成的角即为直线1BC与1DA所成的角，因为四边形11BBCC为正方形，则1BC⊥1BC，故直线1BC与1DA所成的角为90，A正确；连接1AC，因为11AB⊥平面11BBCC，1BC平面11BBCC，则111ABBC⊥，因为1BC⊥1

BC，1111ABBCB=，所以1BC⊥平面11ABC，又1AC平面11ABC，所以11BCCA⊥，故B正确；连接11AC，设1111ACBDO=，连接BO，因为1BB⊥平面1111DCBA，1CO平面1111DCBA，则11COBB⊥，因为111COB

D⊥，1111BDBBB=，所以1CO⊥平面11BBDD，所以1CBO为直线1BC与平面11BBDD所成的角，设正方体棱长为1，则122CO=，12BC=，1111sin2COCBOBC==，所以，直线1BC与平面1

1BBDD所成的角为30，故C错误；因为1CC⊥平面ABCD，所以1CBC为直线1BC与平面ABCD所成的角，易得145CBC=，故D正确.故选：ABD6．（2018·浙江·高考真题）已知四棱锥SABCD−的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角

为1，SE与平面ABCD所成的角为2，二面角SABC−−的平面角为3，则A．123B．321C．132D．231【答案】D【分析】分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形

，根据边的大小关系确定角的大小关系.【详解】设O为正方形ABCD的中心，M为AB中点，过E作BC的平行线EF，交CD于F，过O作ON垂直EF于N，连接SO、SN、OM，则SO垂直于底面ABCD，OM垂直于AB，因此123,,,SENSEOSMO

===从而123tan,tan,tan,SNSNSOSOENOMEOOM====因为SNSOEOOM，，所以132tantantan,即132，选D.【点睛】线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面.7．（

2018·全国·高考真题）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为78，SA与圆锥底面所成角为45°，若SAB△的面积为515，则该圆锥的侧面积为．【答案】402π【分析】先根据三角形面积公式求出母线长,再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据圆锥侧面积公

式求出结果.【详解】因为母线SA，SB所成角的余弦值为78，所以母线SA，SB所成角的正弦值为158，因为SAB△的面积为515，设母线长为,l所以21155154528ll==，因为SA与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为π2cos42l

l=，因此圆锥的侧面积为22ππ402π2rll==．【整体点评】根据三角形面积公式先求出母线长，再根据线面角求出底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求出侧面积，思路直接自然，是该题的最优解．8．（2018·全国·高考真题）在长

方体1111ABCDABCD−中，2ABBC==，1AC与平面11BBCC所成的角为30，则该长方体的体积为A．8B．62C．82D．83【答案】C【分析】首先画出长方体1111ABCDABCD−，利用题中条件，得到130ACB=，根据2AB=，求得123BC=，可以确定12

2CC=，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.【详解】在长方体1111ABCDABCD−中，连接1BC，根据线面角的定义可知130ACB=，因为2AB=，所以123BC=，从而求得122CC=，所以该长方体的体积为2222

82V==，故选C.【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.9．（20

18·全国·高考真题）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为A．334B．233C．324D．32【答案】A【分析】首先利用正方体的棱是3组每组有互相

平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.【详解】根据相互平行的直线与平面所成

的角是相等的，所以在正方体1111ABCDABCD−中，平面11ABD与线11111,,AAABAD所成的角是相等的，所以平面11ABD与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面1CBD也满足与正方体的每条棱所在的

直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面11ABD与1CBD中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为22，所以其面积为232336()424S==，故选A.点睛：该题考查的是有关平面被正方体所

截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.考点03二面角及其应用1．

（2023·北京·高考真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若25m,10mA

BBCAD===，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD的夹角的正切值均为145，则该五面体的所有棱长之和为（）A．102mB．112mC．117mD．125m【答案】C【分析】先根据线面角的定义求得5tantan14EMOEGO==，从而依次求E

O，EG，EB，EF，再把所有棱长相加即可得解.【详解】如图，过E做EO⊥平面ABCD，垂足为O，过E分别做EGBC⊥，EMAB⊥，垂足分别为G，M，连接,OGOM，由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为EMO和EGO，所以5tantan14EMOEGO==

.因为EO⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以EOBC⊥，因为EGBC⊥，,EOEG平面EOG，EOEGE=，所以BC⊥平面EOG，因为OG平面EOG，所以BCOG⊥，.同理：OMBM⊥，又BMBG⊥，故四边形O

MBG是矩形，所以由10BC=得5OM=，所以14EO=，所以5OG=，所以在直角三角形EOG中，()222253149EGEOOG=+=+=在直角三角形EBG中，5BGOM==，()22223958EBEGBG=+=+=，又因为55255515EFAB=−−=−−=，所有棱长之和为2252

101548117m+++=.故选：C2．（2023·全国乙卷·高考真题）已知ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，ABD△为等边三角形，若二面角CABD−−为150，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（）A．15B．25C．35D．2

5【答案】C【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.【详解】取AB的中点E，连接,CEDE，因为ABC是等腰直角三角形，且AB为斜边，则有CEAB⊥，又ABD△是等边三角形，则DEAB⊥，从而CED

为二面角CABD−−的平面角，即150CED=，显然,,CEDEECEDE=平面CDE，于是AB⊥平面CDE，又AB平面ABC，因此平面CDE⊥平面ABC，显然平面CDE平面ABCCE=，直线CD平面CDE，则

直线CD在平面ABC内的射影为直线CE，从而DCE为直线CD与平面ABC所成的角，令2AB=，则1,3CEDE==，在CDE中，由余弦定理得：2232cos13213()72CDCEDECEDECED=+−=+−−=，由正弦定理得sins

inDECDDCECED=，即3sin1503sin727DCE==，显然DCE是锐角，2235cos1sin1()2727DCEDCE=−=−=，所以直线CD与平面ABC所成的角的正切为35.故选：C3．（2023·全国

新Ⅱ卷·高考真题）（多选）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，120APB=，2PA=，点C在底面圆周上，且二面角PACO−−为45°，则（）．A．该圆锥的体积为πB．该圆锥的侧面积为43πC．22AC=D．PAC△的面积为3【答案】AC【分析】根据圆锥

的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性.【详解】依题意，120APB=，2PA=，所以1,3OPOAOB===，A选项，圆锥的体积为()21π31π3=，A选项正确；B选项，圆锥的侧面积为π3223π

=，B选项错误；C选项，设D是AC的中点，连接,ODPD，则,ACODACPD⊥⊥，所以PDO是二面角PACO−−的平面角，则45PDO=，所以1OPOD==，故312ADCD==−=，则22AC=，C选项正确；D选项，

22112PD=+=，所以122222PACS==，D选项错误.故选：AC.4．（2022·浙江·高考真题）如图，已知正三棱柱1111,ABCABCACAA−=，E，F分别是棱11,BCAC上的点．记EF与1AA所成的角为，EF与平面ABC所成的角为，二面角FBCA−−的平面

角为，则（）A．B．C．D．【答案】A【分析】先用几何法表示出，，，再根据边长关系即可比较大小．【详解】如图所示，过点F作FPAC⊥于P，过P作PMBC⊥于M，连接PE，则EFP=

，FEP=，FMP=，tan1PEPEFPAB==，tan1FPABPEPE==，tantanFPFPPMPE==，所以，故选：A．5．（2019·浙江·高考真题）设三棱锥VABC−的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是

棱VA上的点（不含端点），记直线PB与直线AC所成角为，直线PB与平面ABC所成角为，二面角PACB−−的平面角为，则A．,B．,C．,D．,【答案】B【解析】本题以三棱锥为载体，综合考查

异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.【详解】方法1：如图G为AC中点，V在底面ABC的投影为O，则P在底面投影D在线段AO上，过D作DE垂直AE，易得/

/PEVG，过P作//PFAC交VG于F，过D作//DHAC，交BG于H，则,,BPFPBDPED===，则coscosPFEGDHBDPBPBPBPB====，即，tantanPDPDEDBD==，即y，综上所述，答案为B.方法2：

由最小角定理，记VABC−−的平面角为（显然=）由最大角定理=，故选B.方法3：（特殊位置）取VABC−为正四面体，P为VA中点，易得333222cossin,sin,sin6633====，故选B.【点睛】常规解法下易出现的

错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.6．（2018·浙江·高考真题）已知四棱锥SABCD−的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为1

，SE与平面ABCD所成的角为2，二面角SABC−−的平面角为3，则A．123B．321C．132D．231【答案】D【分析】分别作出线线角、线面角以及二

面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系.【详解】设O为正方形ABCD的中心，M为AB中点，过E作BC的平行线EF，交CD于F，过O作ON垂直EF于N，连接SO、SN、OM，则SO垂直于底面ABCD，OM垂直于AB，因此123,,,SENSEOSMO==

=从而123tan,tan,tan,SNSNSOSOENOMEOOM====因为SNSOEOOM，，所以132tantantan,即132，选D.【点睛】线线角找平行，

线面角找垂直，面面角找垂面.7．（2017·浙江·高考真题）如图，已知正四面体D–ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P，Q，R分别为AB，BC，CA上的点，AP=PB，2BQCRQCRA==，分别记二面角D–PR–Q，D–PQ–R，D–QR–P的平面角为α,β,γ，则A．γ<α<βB．α<

γ<βC．α<β<γD．β<γ<α【答案】B【详解】设O为三角形ABC中心，则正四面体D–ABC的顶点在底面ABC的投影为O，过O分别作PR、PQ、RQ的垂线，垂足分别为E、F、G，连结DE、DF、DG，则有=,=,=,DE

ODFODGO=所以tan=,tan=,tan=ODODODOEOFOG只需比较OE、OF、OG的大小：在底面三角形ABC中，建立如图示的坐标系，不妨设2AB=,则()()()1,0,1,0,0,3,ABC−()123230,0,,,,,3333PQR−

所以直线RP的方程为32yx=−，直线PQ的方程为23yx=，直线RQ的方程为35339yx=+,由点到直线的距离公式，可求出：221391,,,21393OEOFOG===所以OEOGOF,所以tantantan，有α,β,γ均为锐角，

所以α<γ<β.故选：B【点睛】立体几何是高中数学中的重要内容，也是高考重点考查的考点与热点．这类问题的设置一般有线面位置关系的证明与角度距离的计算等两类问题．解答第一类问题时一般要借助线面平行与垂直的判定定理进行；解答第二类问题时先建立空间直角

坐标系，运用空间向量的坐标形式及数量积公式进行求解．8．（2015·浙江·高考真题）如图，已知ABC，D是AB的中点，沿直线CD将ACD折成ACD¢，所成二面角ACDB−−的平面角为，则A．ADB

B．ADBC．ACBD．ACB【答案】B【详解】设ADC=，设2AB=，则由题意1ADBD==，在空间图形中，设ABt=，在ADB中，2222222112cos22112ADDBABttADBADDB+−+−−===，在空间图形中，过A作AN

DC⊥，过B作BMDC⊥，垂足分别为N，M，过N作//NPMB，连结AP，∴NPDC⊥，则ANP就是二面角ACDB−−的平面角，∴ANP=，在RtAND中，coscosDNADADC==，，同理，sinBMPN==

，cosDM=，故2cosBPMN==，显然BP⊥面ANP，故BPAP⊥，在RtABP中，2222222(2cos)4cosAPABBPtt=−==−−，在ANP中，222coscos2ANNPAPANPANNP+−==2222sins

in(4cos)2sinsint+−−=222222222222cos2cos1coscos2sin2sinsinsinsinttADB+−−==+=+，∵210sin，22cos0sin，∴coscosADB（当2=时取等号），∵，[0,]A

DB，而cosyx=在[0,]上为递减函数，∴ADB，故选B.考点：立体几何中的动态问题考点04点面距及其应用1．（2019·全国·高考真题）已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为3，那么P到平面ABC的距离为

．【答案】2.【分析】本题考查学生空间想象能力，合理画图成为关键，准确找到P在底面上的射影，使用线面垂直定理，得到垂直关系，勾股定理解决．【详解】作,PDPE分别垂直于,ACBC，PO⊥平面ABC，连CO，知,CDPDCDPO⊥⊥，=PDODP，CD\^平面PDO，OD平面PDO，CDO

D⊥3PDPE==∵，2PC=．3sinsin2PCEPCD==，60PCBPCA==，POCO⊥，CO为ACB平分线，451,2OCDODCDOC====，又2PC=，422PO=−=．【点睛】画图视角选择不当，线面垂直定理使用不够灵活，难以发现垂直关系

，问题即很难解决，将几何体摆放成正常视角，是立体几何问题解决的有效手段，几何关系利于观察，解题事半功倍．