【文档说明】河北省邯郸市2023届高三二模数学试题 含解析.docx，共(30)页，2.677 MB，由小赞的店铺上传

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邯郸市2023届高三年级第二次模拟试题数学本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔

把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.1.已知集合2Axx=，23Bxxx=，则()RAB=ð（）A.20xx−B.02xxC.3xxD.23xx−【答案】A【解析】【分析】首先解绝对值不等式求出集合A，再求出集合B，最后根据

补集、交集的定义计算可得.【详解】由2x，得22x−，所以2|22Axxxx==−，不等式23xx≤的解集为03xx，所以23|03Bxxxxx==，所以R0Bxx

=ð或3x，所以()R|20ABxx=−ð；故选：A.2.若()1izz+=，则2iz+=（）A.12−B.12C.1i2−D.1i2【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用复数运算求出z，再利用复数

乘方计算作答.【详解】由()1izz+=得：(1i)iz−=，即ii(1i)1i11i1i(1i)(1i)222z+−+====−+−−+，所以221111i(i)iii=i2222z+=−++=−+.故选：D3.向量m，n满足5mn=，且()1

,3m=−，则n在m上的投影向量为（）A.55,3−B.13,1010−C.13,22−D.10310,55−【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解作答.详解】由

()1,3m=−得22||(1)310m=−+=，又5mn=，所以n在m上的投影向量为5113()(1,3)(,)222||||1010mnmmmm==−=−.故选：C4.已知直线yx=是曲线()lnfx

xa=+的切线，则=a（）A.1−B.1C.2−D.2【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，求出函数()fx的导数，再利用导数的几何意义求解作答.【详解】函数()lnfxxa=+，求导得1()fxx=，令直线y

x=与曲线()lnfxxa=+相切的切点为00(,ln)xxa+，于011x=且00lnxax+=，所以01ax==.故选：B5.2023年3月13日，第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京人民大会堂闭幕，为记录这一历

史时刻，来自A省的3名代表和B省的3名代表合影留念.假设6名代表站成一排，则A省的3名代表互不相邻，且B省的3名代表也互不相邻的概率为（）【是A.120B.110C.310D.15【答案】B【解析】【分析】先求出6名代表站成一排的所以排法，再求A省的3名代表互不相邻，且B省的

3名代表也互不相邻的所有排法，利用古典概型概率公式求其概率.【详解】6名代表站成一排的所有排法共有66A720=种排法，A省的3名代表互不相邻，且B省的3名代表也互不相邻的排法可分为两类：第一类：A省的3名代表坐在第1,3,5位置，共有3333AA36=种排法，第二类：A省的3名代表坐

在第2,4,6位置，共有3333AA36=种排法，所以A省的3名代表互不相邻，且B省的3名代表也互不相邻的排法共有33332AA72=种排法，所以事件A省的3名代表互不相邻，且B省的3名代表也互不相邻的概率72172010P==.故选：B.6.已知函数()()πcos2(||)2fxx

=−，将函数()fx的图象沿x轴向左平移π6个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则函数()fx的极值点为（）A.()ππZ6kk+B.()ππZ62kk+C.()ππZ12kk+D.()ππZ122kk+【答案】B【解析】【分析】求出变换后的函数解析式，再利用余弦函数的性质求出，进

而求出极值点作答.【详解】函数()fx的图象沿x轴向左平移π6个单位长度得ππ()cos(2)63fxx+=+−的图象，依题意，ππ,Z3kk−=，而π||2，则π0,3k==，因此π()cos(2)3fxx=−，由ππ,Zxkk−=23得：ππ,Z62kxk=+，所

以函数()fx的极值点为ππ(Z)62kk+.故选：B7.如图①，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为()2π33VRhh=−，其中R是球的半径，h是

球缺的高.某航空制造公司研发一种新的机械插件，其左右两部分为圆柱，中间为球切除两个相同的“球缺”剩余的部分，制作尺寸如图②所示（单位：cm）.则该机械插件中间部分的体积约为（π3）（）A.362326cmB.362328cmC.362

352cmD.362356cm【答案】C【解析】【分析】根据球的截面的性质由条件求出球的半径，切除掉的“球缺”的高，结合球的体积公式和“球缺”的体积公式可得结论.【详解】过球心和“球缺”的底面圆的圆心作该几何体的截面

，可得截面图如下：由已知可得14AB=，设D为AB的中点，则7AD=，由已知可得()258ODAE+=，又5AE=，所以24OD=，由求得截面性质可得ODAV为以OA为斜边的直角三角形，所以2225OAODAD=+=，即球的半径25R=，所以以O为球心，OA

为半径的球的体积31462500ππ33VR==，又π3，所以162500V，因为球的半径25R=，24OD=，所以“球缺”的高为1，所以一个“球缺”的体积()22π3743VRhh=−，所以该机械插件中间部分的体积约为6250074262352−=()3cm.

故选：C.8.设ln5ln3a=−，232e5b=，23c=，则（）A.bcaB.abcC.acbD.cab【答案】A【解析】【分析】要比较,ac的大小只需比较2ln13+与2

3的大小，故考虑构造函数()()ln1fxxx=+−，利用函数的单调性比较其大小，要比较,bc的大小，只需比较23e与213+的大小，故考虑构造函数()e1xgxx=−−，利用导数判断函数的单调性，利用单调性比较大小即可.【详解】因为52ln5ln3lnln133a=−==+

，又23c=由函数()()ln1fxxx=+−，01x，可得()11011xfxxx−=−=++，所以函数()()ln1fxxx=+−在()0,1上为减函数，所以()203ff，所以22ln1033+−，故2ln5ln33−，所以a

c，因为232e5b=，23c=，故要比较,bc的大小只需比较23e与53的大小，故只需比较23e与213+的大小，故考虑构造函数()e1xgxx=−−，其中01x，由()e1xgxx=−−求导可得()e10xgx=−，所以函数()e1xgxx=−−在()0,1上单调递增，所以()2

03gg，所以232e103−−，所以232e13+，即235e3，所以2322e53，即bc，所以bca，故选：A.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于观察被比较的数的结构特征，确定两者的结构上的共性，考虑构造

函数，利用函数的单调性确定被比较的数的大小.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知()fx是定义在R上的函数，()()0fx

fx−−=，且满足()1fx+为奇函数，当)0,1x时，()πcos2xfx=−，下列结论正确的是（）A.()10f=B.()fx的周期为2C.()fx的图象关于点()1,0中心对称D.2023222f=−【答

案】ACD【解析】【分析】由()1fx+为奇函数可得()()11fxfx−+=−+，取0x=可求，()1f判断A，举反例判断B，由奇函数的性质结合图象变换判断C，由条件判断其周期，结合周期性性质判断D.【详解】因为()1fx+为奇函数，所以()()11fxf

x−+=−+，所以()()0101ff−+=−+，所以()10f=，A正确；因为当)0,1x时，()πcos2xfx=−，所以()0cos01f=−=−，因为()()11fxfx−+=−+，所以()()201ff=−=，故()()20ff，所以2不是()fx

的周期，故B错误；因为()1fx+为奇函数，所以函数()1fx+的图象关于原点对称，所以()fx的图象关于点()1,0中心对称，C正确；由()()11fxfx−+=−+，()()0fxfx−−=，可得()()()()211fxfxfxfx+=−−−+=−−=−，所以()()()()4

222fxfxfxfx+=++=−+=，所以函数()fx为周期函数，周期为4，所以202311142532222ffff=−=−=，又当)0,1x时，()πcos2xfx=−，所以2023π2cos242f=−=−，D

正确；故选：ACD.10.已知O为坐标原点，抛物线()2:20Expyp=的焦点F到准线的距离为2，过点()0,2且斜率为k的直线l与E交于A，B两点，()3,2C−−，则下列叙述正确的是（）A.E的准线方程为=1x−B.4OAOB=

−恒成立C.若2k=，则20FAFB+=D.若CFACFB=，则32k=−【答案】BD【解析】【分析】由条件求出抛物线方程，由此判断A，再联立方程组利用设而不求法判断BCD.【详解】因为抛物线22xpy=的焦点F到准线的距离为2，所以2p=，所

以抛物线方程为24xy=，其准线方程为1y=−，A错误；由已知直线AB的方程为2ykx=+，联立242xyykx==+，消y，可得2480xkx−−=，方程2480xkx−−=的判别式216320k=+，设()()1122,,,AxyBxy，则12124,

8xxkxx+==−，所以221212444xxyy==，所以12124OAOBxxyy=+=−，B正确；当2k=时，12128,8xxxx+==−，所以1212222220yyxx+=+++=，所以12222FAFB

yy+=++=，C错误；由CFACFB=可得,,FCFAFCFB=，所以cos,cos,FCFAFCFB=，故FCFAFCFBFCFAFCFB=，又()3,2C−−，所以()3,3FC=−−，()()1122,1,,1FAxyFBxy=−=−，11FAy=+

，21FBy=+，所以11221233333311xyxyyy−−+−−+=++，所以1122123633363311xyxyyy−+−−−+−−=++，所以12122233xxkxkx−−=++，所以12213232xkxxkx−=−，又12xx，所以32k=−，D正

确；故选：BD.11.如图，在平行六面体1111ABCDABCD−中，E，F分别是AB，BC中点，以A为顶点的三条棱长都是2，11π3AADAABBAD===，则（）A.//EF平面11ACDB.126AC=C.四边形11BDDB的面积为2D.平行六面体1111ABCDABCD−的体积为4

2【答案】ABD【解析】的【分析】根据线面平行、线面垂直、空间距离、线线角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.详解】A选项，如图，连接1111,,,,EFACACADCD，由于,EF分别是,ABBC的中点，所以//EFAC，根据棱柱的性质可知11//ACAC，所以

11//EFAC，由于EF平面11ACD，11AC平面11ACD，所以//EF平面11ACD，所以A选项正确.B选项，因为()()2211ACABADAA=++uuuruuuruuuruuur222111222222222224222=+++++

=，所以126AC=，即126AC=，所以B选项正确.C选项，如图，连接11,BDBD，则11111111,BDBAADDDBDBAADDD=++=++，22221111222BDBAADDDBAADADDDBADD=+++++222222222cos120222cos6

0222cos1208=+++++=，即122BD=，同理122BD=，故四边形11BDDB为矩形，面积为224=，所以C选项错误.D选项，如图，过1A作1AE⊥平面ABCD，易知E在直线AC上，【因为AB平面ABCD，故1AEAB

⊥，过E作EFAB⊥于F，连接1AF，由1,AEABEFAB⊥⊥，而11,,AEEFEAEEF=平面1AEF，得AB⊥平面1AEF，易得1ABAF⊥，故1cos601AFAA==，23cos303AF

AE==，2211263AEAAAE=−=，故平行六面体1111ABCDABCD−的体积为132622242223=，所以D选项正确.故选：ABD12.已知函数()()23fxxx=−，若存在abc满足()()()fafbfc==，

()()gxfxm=+，下列结论正确的是（）A.若()()()0gagbgc===，则()4,0m−B.9abc++=C.()0,4abcD.()2,3ab+【答案】ACD【解析】【分析】利用导数判断函数()()23fxxx=−的单调性，结合关键点的坐标作

出函数图象，由()()()0gagbgc===，可得直线ym=−与函数()yfx=的图象有三个交点，观察图象确定m的范围，设()fat=可得()()()()fxtxaxbxc−=−−−，比较系数，结合条件判断B，C，D.【详解

】因为()()23fxxx=−，所以()()()()()2323331fxxxxxx=−+−=−−，令()0fx=，可得1x=或3x=，当1x时，()0fx¢>，函数()fx在(),1−上单调递增，当13x时，()0fx

，函数()fx在()1,3上单调递减，当3x时，()0fx¢>，函数()fx在()3,+上单调递增，又()()21134f=−=，()30f=，()00f=，()44f=，作出函数()fx的图象如下：对于A，由()()()0gagbgc===，可得,,abc为方程()

0gx=的三个根，即,,abc为方程()0fxm+=的三个根，即,,abc为方程()fxm=−的三个根，故直线ym=−与函数()yfx=的图象有三个交点，所以04m−，所以()4,0m−，A正确；设()()()fafbfct===，可

得04t，因为abc，所以01a，13b，34c，则()()()()fxtxaxbxc−=−−−，所以()()()()23xxtxaxbxc−−=−−−，所以()()323269xxxtxabcxabbccaxabc−

+−=−+++++−，所以6abc++=，tabc=，又04t，34c，所以()0,4abc，()2,3ab+，B错误，C正确，D正确；故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于利用导数确定函数的单调性，作出函数的图象，结合图

象研究函数的零点或方程的根.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.()41313xx+−的展开式中，常数项为_________.（用数字作答）【答案】9−【解析】【分析】根据题意，()()()4441131313313xxxxx

+−=−+−，所以只需求()413x−的展开式中含x的项和常数项即可.【详解】由题意得()()()4441131313313xxxxx+−=−+−，因为()413x−的展开式的通项为()()4144C33C1rrrrrrTxx−+==−−，令1r

=，()11422C31xxT=−−=，令0r=，()0014C13Tx==−，所以()41313xx+−的常数项为1239−+=−，故答案为：9−14.已知直线:50lxy−+=与圆22:2440Cxyxy+−−−=交于A，B两点，若M是圆上的一动点，则MAB△面积的最大值是

___________.【答案】223+##322+【解析】【分析】求出圆C圆心到弦AB的长度d，求出弦AB的长度，M到弦AB的最大距离为d＋r(r为圆C半径)，根据三角形面积公式即可求出答案．【详解】22:(1)(2)9Cxy−+−=，则圆C的圆心为()1,2C，半径为

3r=，圆心C到直线l（弦AB）的距离为125222d−+==，则2222982ABrd=−=−=，则M到弦AB的距离的最大值为223dr+=+，则MAB△面积的最大值是()12232232AB+=+.故答案为：223+15.若数列

na从第二项起，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列na为二阶等差数列.某数学小组在数学探究课上，用剪刀沿直线剪一圆形纸片，将剪()*nnN刀最多可以将圆形纸片分成的块数记为nb，经实际操作可得12b=，24b=，37b=，411b=，…，根据这一规律，得到二阶等差数列nb，则

8b=________；若将圆形纸片最多分成1276块，则n=_________.【答案】①.37②.50【解析】【分析】由二阶等差数列的定义结合所给条件求出数列nb的通项公式，再由通项公式求8b和1276所对应的项数.【详解】因为数列nb为二阶等差数列，所以数

列1nnbb+−为等差数列，由12b=，24b=，37b=，411b=，可得2132432,3,4bbbbbb−=−=−=，所以数列1nnbb+−为首项为2，公差为1的等差数列，所以11nnbbn+−=+，所以当2,Nnn时，21324312,3,4,,nnbbbbbbbbn−

−=−=−=−=，将以上各式相加可得，1234nbbn−=++++，又12b=，所以222nnnb++=，其中2,Nnn，经验证12b=也满足该关系，所以222nnnb++=，所以28882372

b++==，令1276nb=，则2212762nn++=，解得50n=.故答案为：37；50.16.已知O为坐标原点，椭圆()2222:10xyCabab+=的右焦点为F，上顶点为B，线段BF的中垂线交C于M、N两点，交y轴于点P，2BPPO=，

BMN的周长为16，则椭圆的标准方程为_________.【答案】2211612xy+=【解析】【分析】由2BPPO=及勾股定理可得223bc=，再证明MN过椭圆的另一个焦点F，从而求出FMN的周长，又由BMN的周

长等于FMN的周长，解得4a=，即可求出椭圆的标准方程.【详解】如图，由题意可得2BPPO=，可得21||,||33BPbOPb==，连接PF，在RtPOF中，由勾股定理得222OPOFPF+=，所以22212()()33bcb+=，整理得223bc=，所以2223acc

−=即224ac=，所以椭圆C的离心率1e2ca==.在RtBOF中||1cos||2OFcBFOBFa===，所以60BFO=.设直线MN交x轴于点F，交BF于点H，在RtHFF中，有||||2cosHFFFacBFO==

=，所以F为椭圆C的左焦点.又,MBMFNBNF==，所以BMN的周长等于FMN的周长.又FMN的周长为4a，所以416a=.解得4a=.所以2c=，22212bac=−=.故答案为：2211612

xy+=四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知条件：①22cosabcB=+；②2sincossin223cosaABbAaC+=；③23sin32cos2CC=−.从三

个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足：___________.（1）求角C的大小；（2）若23c=，ABC与BAC的平分线交于点I，求ABI△周长的最大值.注：

如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分【答案】（1）条件选择见解析，π3C=；（2）423+【解析】【分析】（1）选①，利用余弦定理求解作答；选②，利用二倍角正弦、正弦定理边化角求解作答；选③，利用二倍角的余弦公式计算作答.（2

）根据给定条件，结合（1）的结论求出AIB，再利用正弦定理结合三角恒等变换求解作答.【小问1详解】选择条件①，22cosabcB=+，在ABC中，由余弦定理得222222222acbacbabcbaca+−+−=+

=+，整理得222abcab+−=，则2221cos22abcCab+−==，又()0,πC，所以π3C=..选择条件②，2sincossin223cosaABbAaC+=，于是sincossincos3c

osaABbAAaC+=，在ABC中，由正弦定理得，2sincossinsincos3sincosABABAAC+=，因为sin0A，则sincossincos3cosABBAC+=，即()sin3cosABC+=，因为πA

BC++=，因此sin3cosCC=，即tan3C=，又()0,πC，所以3C=.选择条件③，23sin32cos2CC=−，在ABC中，因为23sin2(2cos1)2cos2CCC=−−=−，即3sincos2CC+=，则πsin16C+=，又()0,πC

，即有ππ7π,666C+，则ππ62C+=，所以π3C=.【小问2详解】由（1）知，π3C=，有2π3ABCBAC+=，而BAC与ABC的平分线交于点I，即有π3ABIBAI+=，于是2π3AIB=，设ABI=，则π3BAI=−，且π

03，在ABI△中，由正弦定理得，234π2πsinsinsin()sin33BIAIABAIB====−，所以)4sinπ3(BI=−，4sinAI=，所以ABI△的周长为3234sin(4siπ)

n−++31234(cossin)4sin22=+−+π2323cos2sin4sin()233=++=++，由π03，得ππ2π333+，则当ππ32+=，即π6=时，ABI△的周长取得最大值423+，所以A

BI△周长的最大值为423+.18.已知数列na中，0na，13a=，记数列na的前n项的乘积为nS，且1nnnSa+=.（1）求数列na的通项公式；（2）设11nnnaba−=+，数列nb的前n

项和为nT，求证：()1,nTnn−.【答案】（1）3nna=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据21nnnSa+=，可得2211nnnSa+++=，两式相除可得11nnnnaa++=，两边取对数可得1lglg1nnaann+=+，结合2n=时求得29a=，可得

21lglglg321aa==，可得lgnan是常数列，即可求得答案.（2）由（1）的结论可得11nnnaba−=+的解析式，从而求得nT，结合放缩法以及等比数列的前n项和公式确定nT的范围.【小问1详解】

由题意知nS为正项数列na的前n项的乘积，且1nnnSa+=，当2n=时，()2232122Saaa==，所以()23223aa=，解得29a=；又21nnnSa+=①，2211nnnSa+++=②，②÷①得，22111nnnnnaaa++++=，即11nnnnaa++=，所以11lgl

gnnnnaa++=，即()1lg1lgnnnana+=+，所以1lglg1nnaann+=+，所以21lglglg321aa==，结合1lglg1nnaann+=+，可知数列lgnan是常数列，所以1lglglg31na

an==，所以lglg3lg3nnan==，所以3nna=.【小问2详解】由（1）可得1312113131nnnnnnaba−−===−+++，则12122221111112313131313131nnnTn=−+−++−=−+++++++++

，由于1212111111111111331131313133323213nnnn−++++++==−+++−，故1211121313131nnTnn=−+++−+++，且nTn，所以1nnTn−，即()1,nTnn−.19.某企业

为在推进中国式现代化新征程中展现更大作为，在提升员工敬业精神和员工管理水平上实施新举措制定新方案.现对员工敬业精神和员工管理水平进行评价，从企业中选出200人进行统计，其中对员工敬业精神和员工管理水平都满意的有50人，对员工敬业

精神满意的人数是总人数的40%，对员工管理水平满意的人数是总人数的45%.（1）完成对员工敬业精神和员工管理水平评价的2×2列联表，依据小概率值0.01=的独立性检验，能否认为对员工敬业精神满意与对员工管理水平满意有关联？项目对员工管理水平满意对员工管理水平不满意合

计对员工敬业精神满意对员工敬业精神不满意合计（2）若将频率视为概率，随机从企业员工中抽取3人参与此次评价，设对员工敬业精神和对员工管理水平都满意的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望.（3）在统计学中常用()()()PBATBAPBA=表

示在事件A发生的条件下事件B发生的优势，现从该企业员工中任选一人，A表示“选到对员工管理水平不满意”、B表示“选到对员工敬业精神不满意”，请利用样本数据，估计()TBA的值.附：()()()()()22nadbcabcdacbd−=++++，nabcd

=+++.0.050.010.001x3.8416.63510.828【答案】（1）表格见解析，能认为对员工敬业精神满意与对员工管理水平满意有关联；（2）分布列见解析，()34EX=；（3）()TBA的值为83.【解析】【分析】（1）根据给定的数据完善2×2列联表，再计算2观测值作答.（2

）求出X的可能值，求出对应的概率，列出分布列并计算期望作答.（3）根据给定定义，利用条件概率计算作答.【小问1详解】由题意可得关于对员工敬业精神和员工管理水平评价的2×2列联表项目对员工管理水平满意对员工管理水平不满意合计对员工敬业精神

满意503080对员工敬业精神不满意4080120合计90110200零假设为0H：对员工敬业精神满意与对员工管理水平满意无关.据表中数据计算得：()220.012005080304016.4986.6358012090110x−==，根据小概率值0.01=的独立性检验，我

们推断0H不成立，即认为对员工敬业精神满意与对员工管理水平满意有关联.【小问2详解】对员工敬业精神和对员工管理水平都满意的概率为14，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，其中()33270464PX===；()2

1313271C4464PX===；()2231392C4464PX===；()3113464PX===，所以随机变量X的分布列为X0123P27642764964164则()27279130123646464644EX=+++=.【

小问3详解】()()()()()()()()()()()808303PABPBAPAPABnABTBAPABPABnABPBAPA======，所以估计()TBA的值为83.20.四棱锥PABCD−中，BCAD∥，BC⊥平面PAB，22PAABBCAD====，E为AB的中点，且PEEC⊥.

（1）求证：BD⊥平面PEC.（2）求二面角EPCD−−的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）105【解析】【分析】(1)方法一：证明PE⊥平面BCD得PEBD⊥；再证明BDCE⊥即可；方法二：依题意得AD⊥平面PAB，以A为坐标原点，AB方向为x轴正方

向，建立空间直角坐标系，设PAB=，()0,，求出B、C、D、E、P的坐标，根据PEEC⊥，结合向量即可求出，求出平面PEC的法向量m，证明mBD∥即可．(2)方法一：以E为坐标原点，EB，EP所在直线分别为x轴，z轴，过点E作BC的平行线为y轴，建立空间直角坐标

系Exyz，利用向量法即可求解；方法二：求出平面PCD的法向量为n，结合(1)即可求解．【小问1详解】方法一：因为BC⊥平面PAB，PE平面PAB，所以BCPE⊥.因为PEEC⊥，ECBCC=，,ECBC平面BCD，所以PE⊥平面BCD

，又BD平面BCD，所以PEBD⊥.又因为1tantan2ABDBCE==，所以ABDBCE=，90ABDCEB+=，即BDCE⊥.因为PECEE=，,PECE平面PEC，所以BD⊥平面PEC.方法二

：依题意得AD⊥平面PAB，以A为坐标原点，AB方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设PAB=，()0,，则()2,0,0B，()2,2,0C，()0,1,0D，()1,0,0E，

()2cos,0,2sinP，()12cos,0,2sinPE=−−，()1,2,0CE=−−.因为PEEC⊥，所以2cos10PECE=−=，1cos2=，所以3=.所以()1,0,3P，()1,2,3PC=−

，()0,0,3PE=−，()1,1,3PD=−−.设平面PEC的法向量为(),,mxyz=.由0PCm=，0PEm=，得23030xyzz+−=−=，令1y=，则2x=−，即()2,1,0m=−.由

()2,1,0BDm=−=，所以BD⊥平面PEC.【小问2详解】方法一：由（1）得PEAB⊥，E为AB的中点，所以2PBPAAB===.以E为坐标原点，EB，EP所在直线分别为x轴，z轴，过点E作BC的平行线为y轴，建立空间直角坐

标系Exyz，则()0,0,3P，()1,2,0C，()1,1,0D−，()1,0,0B，()1,2,3PC=−，()1,1,3PD=−−，()0,0,3PE=−.设平面PCD的法向量为(),,mxyz=.由0PCm=，0PDm=得23030xyz

xyz+−=−+−=，令1x=，则=2y−，3z=−，即()1,2,3m=−−.由（1）知平面PCE的一个法向量为()2,1,0BD=−，所以410cos,585mBDmBDmBD−===−.根据观察，二

面角EPCD−−为锐二面角，所以二面角EPCD−−的余弦值为105.方法二：设平面PCD的法向量为(),,nabc=.由0PCn=，0PDn=，得23030abcabc+−=−+−=，令1a=−，则2b=，3c=，即()1,2,3n=−.所

以410cos,558mnmnmn===.所以二面角EPCD−−的余弦值为105.21.已知双曲线2222:1xyCab−=（0a，0b）过()12,0P，()20,4P，()3210,3P−，()4210,3P四个点中的三个点.（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l与双曲线C交于A，

B两点，且11PAPB⊥，求证：直线l经过一个不在双曲线C上的定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）2214xy−=（2）证明见解析，定点的坐标为10,03【解析】【分析】(1)根据双曲线的对称性可知3P，4P在双曲线上，而2P不可能

在双曲线上，从而可知1P也在双曲线上，即可求双曲线的方程；(2)分类讨论，当直线l的斜率存在时，设直线的方程为ykxm=+，联立方程组，由韦达定理可用含有km、的式子表示12xx+、12xx，再由11PAP

B⊥得到含有12xx、的方程，把12xx+、12xx代入化简即可求出m的值，从而求出定点坐标.当直线l的斜率不存在时，设l的方程为()2xnn=，同理可求出定点坐标.【小问1详解】根据双曲线的对称性可知()3210,3P−

，()4210,3P关于y轴对称，所以3P，4P必同时在双曲线上，而()20,4P不可能在双曲线22221xyab−=上.则双曲线还经过点()12,0P，则22214xyb−=，将点()3210,3P−代入，可得21b=.所以双曲线C的

方程为2214xy−=.【小问2详解】(ⅰ)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxm=+，()11,Axy，()22,Bxy，联立2244ykxmxy=+−=，整理得，()222148440kxkmxm−−−−=

.由()()()2222140Δ8414440kkmkm−=−−−−−得222140140kkm−−+（*），且122814kmxxk+=−，21224414mxxk−−=−，因为()12,0P

，所以()1112,PAxy=−，()1222,PBxy=−，因为11PAPB⊥，所以110PAPB=，即()()1212220xxyy−−+=，所以()()()121212240xxxxkxmkxm−+++++=，即()()()2212121240kxxkmxxm++

−+++=，所以()()2222244812401414mkmkkmmkk−−++−++=−−，化简得22316200mkmk++=，即()()31020mkmk++=，所以103mk=−或2mk=−，且均满足（*），当2mk=−时，直线l的方程为()2ykx=−，直线l过定点()2,0，即点1P

，不符合题意，舍去；当103mk=−时，直线l的方程为103ykx=−，直线l过定点10,03，符合题意.(ⅱ)当直线l的斜率不存在时，设l的方程为()2xnn=，由2244xnxy=−=，解得22214ABABxxn

nyy====−，依题意，因为11PAPB⊥，()12,0P，所以2Ayn=−，即()222Ayn=−，所以221444nnn−=−+，即2316200nn−+=，解得2n=（舍）或103n=，所以直线l的方程为103x=，直线l过点10,03，综上所述，直线l经

过一个不在双曲线C上的定点，定点的坐标为10,03.22.已知函数()()2ln1fxxxmxm=+−+.（1）若()fx单调递减，求m的取值范围；（2）若()fx的两个零点分别为a，b，且

2ab，证明：2632eab.（参考数据：ln20.69）【答案】（1）e,2+（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由已知可得()0fx在0x时恒成立，由此可得maxln22xmx

+，再利用导数求函数ln2xyx+=的最大值，由此可得m的取值范围；（2）令atb=，则10,2t，由已知可得要证明2632eab只需证明()ln25ln21ttt+−，利用导数求()ln21tytt=+−的最小值即可证明结论.【小问1详解】由()()2ln1fxx

xmxm=+−+得，()()ln220fxxmxx=−+，因为()fx单调递减，所以()ln220fxxmx=−+≤在0x时恒成立，所以ln22xmx+≥在0x时恒成立，即maxln22xmx+，令()()ln20xgx

xx+=，则()2ln1xgxx−−=，可知10ex时，()0gx，()gx单调递增；1ex时，()0gx，()gx单调递减，则1ex=时()gx取最大值1eeg=，所以2em≥，即e2m，所以m的取值范围是e,2+.

【小问2详解】因为()()ln220fxxmxx=−+有两个零点a，b，令()()()ln220xfxxmxx==−+，则()12xmx=−，当0m时，()0x，()x单调递增，不符合题意，当0m时，由

()120xmx=−=可得12xm=，当102xm时，()0x，函数()x在10,2m上单调递增，当12xm时，()0x，函数()x在1,2m+上单调递减，由可知0m，1ln2102fmm=−+，要证明26

32eab，只需证明ln2ln5ln26ab+−.由已知可得ln220ln220amabmb−+=−+=，化简得ln22ln22amabmb=−=−，所以lnln2abmab−=−，()()lnlnlnln2ln22626261aabababmababaab

bb−+=+−=+−=+−−−.令atb=，则10,2t，要证明ln2ln5ln26ab+−，只需证明()ln25ln21ttt+−.令()()ln21thttt=+−，且10,2t，则()()223ln1

1ttthtt−−+=−，令()23ln1utttt=−−+，且10,2t，则()()()22123210ttutttt−−=−+=，则()ut在10,2t时单调递增，故()113ln23022utu=+−，故()0ht

，则()ht在10,2t时单调递减，所以()15ln22hth=，即()ln25ln21ttt+−，则有ln2ln5ln26ab+−，所以2632eab，即原不等式成立.【点睛】关键点点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究

含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue

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