【文档说明】山西省晋中市平遥县部分高中学校2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(18)页，1.406 MB，由小赞的店铺上传

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高二数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第二章2.2．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小

题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在空间直角坐标系中，已知点()()1,2,3,3,0,1AB−−，则线般AB的中点坐标是（）A.()1,1,2−−B.()1,1,2−C.()2,2,4−D.()2,2,4−−【答案】A【解析】【分析】设线般AB的中点M坐标为(),

,xyz，则AMMB=，由空间向量的坐标运算即可求解.【详解】设线般AB的中点M坐标为(),,xyz，由AMMB=可得()()1,2,33,,1xyzxyz−+−=−−−−，所以13231xxyyzz−=−−+=−−=−可得112xyz=−

=−=，所以线般AB的中点坐标是()1,1,2−−，故选：A.2.已知(3,2,3),(1,1,1)abx=−−=−−，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是（）A.(2,)−+B.552,,33−+C.(,2)−−D.5,3

+【答案】B【解析】【分析】根据a与b的夹角为钝角，所以0ab且a与b不共线，列出不等式组，即可解出．【详解】由题知，0ab且a与b不共线，即()()()()3121310(3,2,3)

(1,1,1)xx−+−−+−−−−−，解得2x−且53x．故选：B．【点睛】本题主要考查利用向量的数量积解决向量夹角问题，解题关键是向量夹角大小与数量积符号之间的等价转化．3.若1

,21,4axy=−−r是平面的一个法向量，且()11,2,1,3,,22bc=−=−与平面都平行，则向量a等于（）A.（27531,,52264−−−）B.9531,,52264−−−C.927

1,,52524−−−D.911,,52264−−【答案】D【解析】【分析】由题意可知，,bc均与法向量a垂直，利用空间向量垂直坐标表示，列出方程组求解即可．【详解】因为1,21,4axy=−−r是平面的一个法向量，且()11,2,1,3,,22b

c=−=−与平面都平行，则00abac==，即142041132024xyxy−+−−=+−+=，解得9522752xy=−=，所以911,,52264a=−−．故选：D．

4.已知点()1,4A，()3,2B−，则经过线段AB的中点，且与直线290xy−+=平行的直线的方程为（）A.280xy−−=B.20xy−=C.2100xy+−=D.250xy+−=的【答案】B【解析】【分析】求出

线段AB中点的坐标，根据直线间的平行关系设所求直线方程，代入所过点坐标求得参数，即得答案.【详解】由点()1,4A，()3,2B−，得线段AB中点的坐标为()2,1，故过点()2,1且与直线290xy−+=平行的

直线的方程可设为20xyb−+=，代入点()2,1，可得0b=，故所求直线方程为20xy−=，故选：B5.若直线l：0AxByC++=倾斜角为，则“0AB”是“不是钝角”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A【解析】【分析】根据一般方程的斜率公式，结合特殊倾斜角情况和充分与必要条件的定义判断即可.【详解】若0AB，则l的斜率0AB−，则不是钝角.若0=或90=，则0AB=.故“0AB”是“不是

钝角”的充分不必要条件.故选：A6.已知点()1,2A，(),Bab，(),Ccd，若A是直线1l：10axby++=和2l：10cxdy++=的公共点，则直线BC的方程为（）A.210xy+−=B.210xy++=C.210xy+−=D.210xy++=【

答案】B【解析】【分析】根据条件说明点(),Bab与(),Ccd均满足方程210xy++=，即可得答案.【详解】由点()1,2A在1l：10axby++=上可知，210ab++=，同理由点()1,2A在

2l：10cxdy++=上可知210cd++=，故点(),Bab与(),Ccd均满足方程210xy++=，的由于两点确定一条直线，因此直线BC的方程为210xy++=，故选：B7.如图，将菱形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，,EF分别为,ADBC的

中点，O是AC的中点，2π3ABC=，则折后平面OEF与平面ABC夹角的余弦值为（）A.217B.1111C.31313D.31111【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进

行求解即可.【详解】因为菱形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，所以平面ADC⊥平面ABC，因为ABCD是菱形，O是AC的中点，所以ODAC⊥，OBAC⊥，而平面ADC平面ABCAC=，OD平面ADC，所以OD⊥平面ABC，而OB平面ABC，所以ODOB⊥，以O为原点，,,OBOCOD所

在的直线分别为x轴、y轴、z轴，AB为两个单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，则()3113310,0,1,0,,,,,0,0,,222222DEFOE−=−，13,,0

22OF=．设平面OEF的法向量为(),,nxyz=，则0,0,nOEnOF==得310,22130,22yzxy−+=+=取1y=，则3,3xz=−=，得平面OEF的一个法向量为()3,1,3n=−，易得平面ABC的

一个法向量为()0,0,1OD=，所以平面OEF与平面ABC夹角的余弦值为217nODnOD=．故选：A8.正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，P是空间内的动点，且123PBPD+=，则APPB的最小值为（）.A.132−−B.132+

−C.426−−D.426−+【答案】C【解析】【分析】取1BD的中点M，连接PM，取AB的中点N，连接PN，则由已知条件可得动点P的轨迹为正方体1111ABCDABCD−的外接球，然后由向量的运算可得21APPBPN=

−，从而可求得结果.【详解】取1BD的中点M，连接PM，则12PBPDPM+=，则1223PBPDPM+==，即3PM=，故动点P的轨迹为以M为球心，3为半径的球.由正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，可

知正方体1111ABCDABCD−外接球的半径为3，即动点P的轨迹为正方体1111ABCDABCD−的外接球.取AB的中点N，连接PN，则()()()()APPBPNNAPNNBPNNAPNNA=−++=−+−

2221NAPNPN=−=−.由题可知，2MN=，则3232PN−+，2526526PN−+，则24261426PN−−−−+.所以APPB的最小值为426−−，故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每

小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知空间中三点()()()0,1,0,1,2,0,1,3,1ABC−则下列说法正确的有（）A.2AB=uuurB.AB/

/ACC.1ACAB=D.AC在AB上投影向量的长度为22【答案】ACD【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算，可得答案.【详解】对于A，由()1,1,0AB=，则1102AB=++=uuur，故A正确；对于B，由()1,1,0AB=，()1,2,1AC=−

，因为1112−，所以两向量显然不平行，故B错误；对于C，由()1,1,0AB=，()1,2,1AC=−，则1201ACAB=−++=，故C正确；对于D，AC在AB上投影向量的长度为12cos2110ABACACBACAB===+

+uuuruuuruuuruuur，故D正确.故选：ACD.10.直线l过点()1,2P−，倾斜角为，且4tan23=，则直线l经过点（）A.100,7−B.5,012−C.3,44−

D.()2,1−【答案】ABC【解析】【分析】由二倍角的正切公式求斜率，再由点斜式得到直线的方程，代入点的坐标验证可得.【详解】因为4tan23=，所以22422tan2432tan741tan123===−−

−，则直线l斜率为247−，又直线l过点()1,2P−，所以直线l方程为242(1)7yx−=−+，即247100xy++=.对方程247100xy++=，令0x=，得107y=−，故A正确；令

0y=，得512x=−，故B正确；令4y=−，得34x=，故C正确；将点(2,1)−代入方程左式得24(2)710310−++=−，故D错误.故选：ABC.11.直线1l：yaxb=+与2l：ybxa=+在同一平面直角坐标系内的位置可能是（）A.B.C.D.【

答案】BC【解析】【分析】对于A选项，利用两条直线斜率和截距的大小关系进行判定；对于B选项当0ab时，符合题意；对于C选项，当00ab=或00ab=时，符合题意；对于D选项，根据一条直线斜率不存在即可判断.【详解】对

于A选项，两条直线的斜率和截距均大于0，且其中一条直线的斜率和截距均大于另一条直线的斜率和截距，不符合题意，A不正确．对于B选项，当0ab时，符合题意，B正确．对于C选项，当00ab=或00ab

=时，符合题意，C正确．对于D选项，其中一条直线斜率不存在，不符合题意，D不正确．故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.如图，圆锥轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周

），若AMMP⊥，则MP与底面所成角的正弦值的取值范围是______.【答案】2127,77【解析】【分析】先建立坐标系，设出P点坐标，求出,AMMPuuuruuur，利用AMMP⊥，求出OP的最大值和最小值，从而求解.

【详解】由题意，建立空间直角坐标系，如图所示，MO⊥面O，则MPO即为MP与底面所成角的则(0,1,0),(0,1,0),(0,0,3),ABS−3(0,0,)2M设(,,0)Pxy，221xy+3(0,1,)2AM=，3(,,)2MPxy=−，由AMMP⊥，即0AMMP=得30

4y−=，34y=，则2270116xy−=222299,11616OPxyx=+=+则OP的最小值为34，最大值为1，PM的最小值为223321()()244+=，最大值为2237()122+=，所以MP与底面所成角的正弦值的最大值为3272

7214=，最小值为3212772=，故答案为：2127,7713.如图，已知二面角AEFD−−的平面角大小为3，四边形ABFE，EDCF均是边长为4的正方形，则||BD=________．【答案】42【解析】【分

析】由BDBFFCCD=++，两边平方，利用数量积运算性质计算即可.【详解】因为BDBFFCCD=++，所以22()BDBFFCCD=++222222BFFCCDBFFCBFCDFCCD=+++++又二面角AEFD−−的平面角大小为π3，四边形ABFE，EDCF均为边长为4正方形，所以2

2216BFFCCD===，144()82BFFC=−=−，0BFCDFCCD==，所以232BD=，则||42BD=．故答案为：42.14.某公园的示意图为如图所示的六边形ABCDEF，其中ABAF⊥，AFBC∥，ABDE∥，BCDAFE=，且

3tan4BCD=−，50CDEF==米，80BCDE==米．若计划在该公园内建一个有一条边在AB上的矩形娱乐健身区域，则该娱乐健身区域面积（单位：平方米）的最大值为________．【答案】338003【解析】【分析】以AF所在直线

为x轴，DE所在直线为y轴建立平面直角坐标系，利用直线方程得出3||802PQa=+，120PNa=−，再由面积公式结合二次函数的性质求解.【详解】以AF所在直线为x轴，DE所在直线为y轴建立平面直角坐标系，娱乐健身区域为矩形PQMN．的由题可

知，直线EF的方程为3304yx=−+，直线CD的方程为31104yx=+．设3,304Paa−+，其中040a，则3,1104Qaa+，3120,304Na−+，则3||802PQa=+，120PNa=−，四边形PQMN的面积233100338

0080(120)()2233SPQPNaaa==+−=−−+．当1003a=时，S取得最大值338003．故答案为：338003四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程

或演算步骤．15.已知()0,2,3A，()2,1,6B−，()1,1,5C−．是否存在点D，使四边形ABDC为等腰梯形，且//ABCD?若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】不存在，理由见解析【解析】【分析】假设存在点(),,Dxyz满足条件，得出向

量CD，BD的坐标，由四边形ABDC是等腰梯形，且//ABCD，且ACBD=，求出,,xyz的值，再检验即可得.【详解】由已知得()1,3,2AC=−，()2,1,3AB=−−，则,,ABC三点不共线.假设存在点(),,Dxyz满足条件，则()1,1,5CDxyz=−+−，()2,1

,6BDxyz=+−−．因为四边形ABDC是等腰梯形，且//ABCD，所以ACBD=．即222221(3)214BDAC==+−+=所以()()()22211521321614xyzxyz−+−==−−++−+−=，

解得128xyz=−=−=或115xyz==−=．当1x=−，2y=−，8z=时，()2,1,3ABCD==−−，且,,ABC三点不共线，故此时四边形ABDC为平行四边形，不合题意；当1x=，1y=−，5z=时，点D与点C重合，不合题意．故假设不成立，即不存在满足条件的点D．

16.如图，直三棱柱111ABCABC−的体积为4，1ABC的面积为22．（1）求A到平面1ABC的距离；（2）设D为1AC的中点，1AAAB=，平面1ABC⊥平面11ABBA，求二面角ABDC−−的正弦值．【答案】（1）2（2）32【解析】分析】（1）由等体积法运算即可得解；（2）由面面

垂直的性质及判定可得⊥BC平面11ABBA，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.【【小问1详解】在直三棱柱111ABCABC−中，设点A到平面1ABC的距离为h，则111111112211433333AABCAAABCAAB

CABBCCCBVShhVSAAV−−−======，解得2h=，所以点A到平面1ABC的距离为2；【小问2详解】取1AB的中点E,连接AE,如图，因为1AAAB=，所以1AEAB⊥,又平面1ABC⊥平面11ABBA，平面

1ABC平面111ABBAAB=，且AE平面11ABBA，所以AE⊥平面1ABC，在直三棱柱111ABCABC−中，1BB⊥平面ABC，由BC平面1ABC，BC平面ABC可得AEBC⊥，1BBBC⊥，又1,AEBB平面

11ABBA且相交，所以⊥BC平面11ABBA，所以1,,BCBABB两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得2AE=，所以12AAAB==，122AB=，所以2BC=，则()()(

)()10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0AABC,所以1AC的中点()1,1,1D，则()1,1,1BD=，()()0,2,0,2,0,0BABC==,设平面ABD的一个法向量(),,mxyz=，则020mBDxyzmBAy=++=

==，可取()1,0,1m=−，设平面BDC的一个法向量(),,nabc=，则020nBDabcnBCa=++===，可取()0,1,1n=−r，则11cos,222mnmnmn===，所以二面角ABDC−−的正弦值为213122

−=.17.已知直线l：()()22150axay++−+=.（1）证明无论a为何值，直线l经过定点P，并求出点P的坐标；（2）若斜率大于0，且经过（1）中点P的直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，求OAB△面积的最小值.【答案】（1）证明见解析，点P的坐标为()2,1−（

2）4【解析】【分析】（1）利用直线系方程即可证明，运算即可得解.（2）利用直线方程、三角形面积公式、基本不等式运算即可得解.【小问1详解】解：证明：将直线l的方程转化为()2250xyaxy++−+=，令20250xyxy+=−+=，解得21x

y=−=，故无论a为何值，直线l经过定点P，且点P的坐标为()2,1−.【小问2详解】解：由题意可设该直线的方程为()12ykx−=+，0k令0y=，得12,0Ak−−；令0x=，得()0,21Bk+，因为OAB△是直角三角形

，所以OAB△的面积()1111212122221224122+==+=+=++−−kSOAOBkkkkkk，当且仅当122kk=即12k=时，等号成立，故OAB△面积的最小值为4.18.已知菱形ABCD中，(4,

7)A−，(2,3)C−，BC边所在直线过点(5,9)P．求：（1）AD边所在直线的方程；（2）对角线BD所在直线的方程．【答案】（1）4230xy−+=（2）35130xy−+=【解析】【分析】（1）利用互相平行的直线斜率相等，利用点斜式即可得直线方程；（2）由互

相垂直的直线斜率间关系，以及中点，利用点斜式可得直线方程.【小问1详解】由已知得直线//ADBC，又93452BCk+==−，4ADk=AD边所在直线的方程为：()744yx−=+，即4230xy−+=【小问2详解】由已知得AC与BD互相垂直平分，又73542

3ACk+==−−−，且AC中点为()1,2−，35BDk=，BD所在直线方程为：()3215yx−=+，即35130xy−+=.19.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是正方形，2AB=，5PAPD==，E为BC的中点．（1）证明：ADPE⊥．（2）若二面角PADB−−的平面角为2

3，G是线段PC上的一个动点，求直线DG与平面PAB所成角的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）取AD的中点F，可证得ADEF⊥，ADPF⊥，从而AD⊥平面PEF，根据线面垂直的性质可得结论；（2）过点P作PO

垂直于直线EF，垂足为O，可得⊥PO平面ABCD，以O为原点，OE，OP所在的直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系．写出点的坐标，求出平面PAB的法向量，可得直线DG与平面PAB所成的角的正弦值的表达式，结合换元法及二

次函数的性质得出答案.【小问1详解】如图，取AD的中点F，连接PF，EF．∵底面ABCD是正方形，PAPD=，∴ADEF⊥，ADPF⊥．∵EFPFF=，,EFPF平面PEF，∴AD⊥平面PEF．又∵PE平面PEF，∴ADPE⊥．【小问2详

解】由（1）可知，二面角PADB−−的平面角为PFE，且为2π3，过点P作PO垂直于直线EF，垂足为O，∵AD⊥平面PEF，PO平面PEF，∴POAD⊥，∵,,ADEFFADEF=平面ABCD，∴⊥PO平面ABCD，以O为原点，OE，OP所

在的直线分别为y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．易得π3PFO=，2PF=，1OF=，3PO=，则()0,0,3P，()1,1,0A，()1,3,0B，()1,3,0C−，()1,1,0D−，()1,1,3PA=

−，()0,2,0AB=，()1,1,3DP=−，()1,3,3PC=−−，设平面PAB的法向量为(),,nxyz=r，则0,0,nPAnAB==得30,20,xyzy+−==取1z=，则()

3,0,1n=．设(),3,3PGPC==−−，0,1，则()1,31,33DGDPPG=+=−−−，设直线DG与平面PAB所成的角为，则()()()()22231sincos,13131DGnDGnDGn

−===−+−+−()()()22313141−=−+−，令1t=−，则0,1t，()()()()2222313sin3141234ttt−==−+−−+22313124ttt=−+．当0t=时，sin0=，0=；当0t时，2211sin3341

21313442ttt==−+−+，当132t=，即23t=，13=时，sin取得最大值，且最大值为32，此时π3=．所以直线DG与平面PAB所成角的最大值为π3．