【文档说明】第十四讲 三元一次方程组的应用-【暑假辅导班】新七年级数学暑假精品课程（沪科版）（解析版）.docx，共(13)页，266.254 KB，由管理员店铺上传

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1第十四讲三元一次方程组的应用【学习目标】1．理解三元一次方程(或组)的含义；2．会解简单的三元一次方程组；3.会列三元一次方程组解决有关实际问题.【基础知识】一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1

.三元一次方程的定义含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．要点诠释：(1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是1次．(2)三元一次方程的一般形

式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零．2．三元一次方程组的定义一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.要点诠释：(1)三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可．（2）在实际问题中含有三

个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解．二、三元一次方程组的解法解三元一次方程组的一般步骤(1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到

关于另外两个未知数的二元一次方程组；(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；(5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．要点诠释：2

（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是：（2）有些特殊的方程组可用特殊

的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法．三、三元一次方程组的应用列三元一次方程组解应用题的一般步骤1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；2．找出能

够表达应用题全部含义的相等关系；3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；4．解这个方程组，求出未知数的值；5．写出答案(包括单位名称)．要点诠释：(1)解实际应用题必须写“答”，而

且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．【考点剖析】考点一：解三元一次方程

组例1．1．已知方程组235321xyzxyz++=−−=，那么代数式8x–y–z的值是()A．6B．7C．8D．9【答案】B【分析】根据“3x−y−2z＝1”，得到−y−z＝1＋z−3x，代入8x−y−z得：5x＋z＋1，235321xyzxyz++=−−=①②①＋②

得：5x＋z＝6，代入5x＋z＋1，即可得到答案．【详解】3解：∵3x−y−2z＝1，∴−y−z＝1＋z−3x，8x−y−z＝1＋z−3x＋8x＝5x＋z＋1，235321xyzxyz++=−−=①②，①＋②

得：5x＋z＝6，即8x−y−z＝6＋1＝7，故选B．考点二：三元一次方程组的应用例2．2．甲，乙，丙三人共解出100道题，每人都解对其中的60道题，将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出叫做中等题，3人都解出的题叫做容易题，试问：难题和容易题谁

多，多几题（）A．容易题比难题多20题B．难题比容易题多20题C．一样多D．无法确定【答案】B【分析】本题有三个未知数：难题个数、容易题个数、正好两人解出的题（中等难度的题）的个数，有两个等量关系：（1）难度题个数＋容易题个数＋中等难度题个

数＝100．（2）难题个数＋容易题个数×3＋中等难度题个数×2＝60×3．【详解】设共有x道题难题，z道容易题，中等难度的题为y道，根据题意得10023180xyzxyz++++＝①＝②由①×2−②，得x−z＝20．故难题比容易题多20道．故选：B．【真题演练】41．运

用加减法解方程组11393282645xzxyzxyz+=++=−+=较简单的方法是（）A．先消去x，再解22261663837yzyz+=−=−B．先消去z，再解2615381821xyxy−=−+=

C．先消去y，再解D．三个方程相加得8x﹣2y+4z=11再解【答案】C【解析】试题解析：11393282645xzxyzxyz+++−+＝①＝②＝③，②×3+③，得11x+7z=29④，

④与①组成二元一次方程组117291139xzxz++＝＝.故选C．2．在中央电视台2套“开心辞典”节目中，有一期的某道题目是：如图所示，天平中放有苹果、香蕉、砝码，且两个天平都平衡，则一个苹果的重量是一个香蕉的重量的（）A．43倍B．32倍C．

2倍D．3倍【答案】B【解析】【分析】设一个苹果的重量为x、一个香蕉的重量为y、一个砝码的重量为z，先用含z的代数式表示x，y，即解关于x，y的方程组，再求xy即可．5【详解】解：设一个苹果的重量为x、一个香蕉的重量为y、一个砝码的重量为z，由题意得2432xzyzx==+解得42

,,3xzyz==故23423xzzy==．故选：B．3．已知161210abbcca+=+=+=，，，则abc++等于()A．38B．19C．14D．22【答案】B【分析】把三个方程相加得到2a＋2b＋2c＝38，然后两边除以2即可得到a＋b＋c的值．【详解】解：将三

个方程相加可得：2a＋2b＋2c＝38，所以a＋b＋c＝19．故选B.4．下列方程组中，是三元一次方程组的是（）A．015xyyzzw+=+=+=B．021xyyx+=+=C．3472395978xzxyzxyz+=+=−−+=

D．22031xyyzxyz−=+=++=【答案】C【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可．【详解】解：A选项：4个未知数，错误；B选项：2个未知数，错误；C选项，有三个未知数，每个方程的次数是1，是三元一次方程组，正确；D选项，方程的次数为2，错误；故

选：C．5．如下表，从左到右在每个小格子中填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，6若前m个格子中所填整数之和是2020，则m的值为（）A．202B．303C．606D．909【答案】C【分析】根据相邻三个数的和

都相等列方程组即可求解．【详解】设第2，3，4个格子的数是a,b,c根据题意，得1123112123abcabbcabcc+−++−＋＋＝＋＋＝＋＋＋＝解得1231abc−＝＝＝∵相邻三个格子的数是1，12和-3，三个数的和是10，前m个格子的和是2020，2020÷

10＝202．说明有202个相邻三个格子，∴m=202×3=606．故选C．6．下列方程中属于三元一次方程的是（）A．6xy++=B．7xyyz++=C．239xyz+−=D．324422xyzxyz+−=+−【答案】C【解析】【分析】根据三元一次方

程的定义：含有三个未知数，并且最高项的次数是1的整式方程，由此进行判断．【详解】A选项：只有2个未知数，故不是三元一次方程；B选项：最高项的次数为2，故不是三元一次方程；7C选项：239xyz+−=，是三元一

次方程；D选项：化简后2有2个未知数，故不是三元一次方程；故选：C.7．下列方程组中，不是三元一次方程组的是（）A．576xxyxyz=+=++=B．204xyzxyzxz++=−+=−=C．354xyyzxz+=+=+=D．3534

1xyzxyzxyyz++=−=+=【答案】D【分析】根据三元一次方程组的定义，含有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是1，并且共有三个方程，这样的方程组叫做三元一次方程组，找不不符合定义的选项即可．【详解】三元一次方程组要同时满足三个条件：

①含有三个未知数；②所含未知数的项的次数都是1；③是整式方程.由定义可得：A、B、C选项都符合定义，而D选项中的xy，yz项的次数是2，不符合三元一次方程组的定义.故选：D.8．如果方程组3710(1)5xyaxay+=+−=的解中的x与y的值相等，那么a的值是（）A．1B．2C．3D．4【

答案】C【分析】理解清楚题意，运用三元一次方程组的知识，解出a的数值．【详解】解：根据题意得3710(1)5xyaxayxy+=+−==①②③，把③代入①得：3y+7y＝10，解得y=18把y=1代入③得x=1解得：y＝1，x＝1，代入②得：a+

（a﹣1）＝5，解得：a＝3．故选：C．【过关检测】1．三元一次方程3xyz−+=有无数个解，下列四组值中不是该方程的解的是（）A．113xyz===B．212xyz===C．234xyz===D．321xyz=

==【答案】D【分析】把x、y和z的值代入方程检验即可．【详解】因为方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值，所以把A、B、C、D选项中x，y与z的值代入方程3xyz−+=检验可得：只有D选项能使方程左右两边相等.故选：D

.2．若方程组431(1)3xyaxay+=+−=的解x和y相等，则a的值是（）A．11B．10C．12D．4【答案】A【分析】理解清楚题意，构造三元一次方程组，解出a的数值即可.【详解】解：根据题意可得：431(1)3xy

axayxy+=+−==①②③，9把③代入①得，17xy==④，把④代入②得，1(1)37aa+−=，解得a=11.故本题答案为：A.3．在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝0时，y＝2；当x＝﹣1时，y＝0；当x

＝2时，y＝12，则a+b+c＝（）A．4B．5C．6D．8【答案】C【解析】【分析】先把x＝0时，y＝2；x＝﹣1时，y＝0；x＝2时，y＝12分别代入y＝ax2+bx+c，得到一个三元一次方程组解这个方程组即可求出a，b，c的值，进而求得结果．

【详解】把x＝0时，y＝2；x＝﹣1时，y＝0；x＝2时，y＝12分别代入y＝ax2+bx+c，得{2=𝑐0=𝑎−𝑏+𝑐12=4𝑎+2𝑏+𝑐，解得:{𝑎=1𝑏=3𝑐=2，∴a+b+c＝1+3+2＝6，故选：C．4．三元一

次方程组325,2,2xyxyzz−=++==的解是()A．112xyz===B．112xyz==−=C．112xyz=−==D．112xyz=−=−=【答案】B【解析】10试题解析：32522xyxyzz＝①＝②＝−

++，把z=2代入②得：x+y=0③，①+③×2得：5x=5，即x=1，把x=1代入③得：y=-1，则方程组的解为112xyz==−=，故选B．5．三元一次方程组116xyyzxz−=−

=+=的解是（）A．234xyz===B．243xyz===C．324xyz===D．432xyz===【答案】D【解析】【分析】根据加减消元法解三元一次方程组即可得出.【详解】解116xyyzxz−=−=+=

①②③令①+②得x-z=2④，③+④得2x=8，解得x=4把x=4代入①解得y=3，把x=4代入③解得z=2，∴原方程组的解为432xyz===故选D.116．三元一次方程组236216xyzxyz

==++=的解是（）A．135xyz===B．632xyz===C．642xyz===D．456xyz===【答案】C【分析】根据2x=3y=6z，设x=3k,y=2k,z=k，

代入求值即可解题．【详解】解：∵2x=3y=6z，∴设x=3k，y=2k，z=k，∵x+2y+z=16，即3k+4k+k=16，解得：k=2∴642xyz===，故选：C．7．观察方程组5431225117

26xyzxyzxz+−=−+=+=的系数特征，若要使求解简便，消元的方法应选取（）A．先消去xB．先消去yC．先消去zD．以上说法都不对【答案】B【分析】根据此三元一次方程组③中不含未知数y项，即利用①+2②消去y即可．【详解】543122511726xy

zxyzxz+−=−+=+=LLLLLL①②③，根据③中不含未知数y项，即先消去y，得到关于x、z的二元一次方程组．故选B．128．有三种文具，每种价格分别是3元、7元和4元，现在有27元钱，三种文具都要买，恰好使钱用完的买法数有()种．A．1

B．2C．3D．4【答案】B【分析】设每种文具的数量分别为x个，y个，z个，根据题意列出方程，求出方程的正整数解即可．【详解】解：设每种文具的数量分别为x个，y个，z个，根据题意得：37427(19xyzx++=„，13y„，1

6)z„，则当3x=，2y=时，1z=，符合题意；当4x=，1y=时，2z=，符合题意，∵三种文具都要买，则恰好使钱用完的买法数有2种．故选：B．9．已知343xykxyk+=−=+如果x与y互为相反数，那么（）A．0k

=B．34k=−C．34k=D．1k=−【答案】D【分析】先用含k的代数式表示x、y，即解关于x、y的方程组，再代入含k的方程中即得．【详解】由题意得3,43,0,xykxykxy+=−=++=①②③，②+③，得322322xkyk=+=−−，代入①，

得1k=−，故选：D1310．解方程组275357548xyzxyzxyz−+=++=+−=，要使运算简便，应（）A．先消去xB．先消去yC．先消去zD．先消去常数项【答案】B【分析】分析方程组中各未知数

系数的特征，先消去系数为1的未知数，判断即可．【详解】解：解方程组275357548xyzxyzxyz−+=++=+−=，要使运算简便，应先消去y，故选：B．