【文档说明】江苏省镇江市2024_2025学年第一学期期初高三质量监测 数学答案.docx，共(16)页，1.070 MB，由小赞的店铺上传

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第1页/共16页学科网（北京）股份有限公司2024~2025学年度上学期高三期初试卷数学2024.9注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题

目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中

，只有一项是符合题目要求的.1.已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第50百分位数为（）A.6B.7C.8D.9【答案】C【解析】借助百分位数定义计算即可得.【详解】由60.53=，故这组数据的中位数为7982+=.故选：C.2.已知集合2340Axxx=−−

，20Bxx=−N，则AB=（）A.{3,4}B.{0,1}C.1,0,1−D.{2,3,4}【答案】B【解析】由题意可得14Axx=−，|2Bxx=N，则{0,1}AB=.故选：B.3.已知0x，0y，4

xy=，则2xy+的最小值为（）．A.4B.42C.6D.82【答案】B【解析】由于0x，0y，所以22242xyxy+=，当且仅当222xy==时取等号，故2xy+的最小值为42.第2页/共1

6页学科网（北京）股份有限公司故选：B4.由数字2，3，4组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为（）A.23B.56C.34D.12【答案】A【解析】将234，，组成没有重复数字的三位数，共有33A6=种，而其

中偶数有两种情况：①以2为个位数的三位数，是342342，，共有2种②以4为个位数的三位数，是234324，，共有2种所以，这个三位数是偶数的情况共有224+=种，所以，这个三位数是偶数的概率为事件A，则()426

3PA==.故选：A.5.若正三棱锥的所有棱长均为3，则该正三棱锥的体积为（）A.33B.212C.924D.6【答案】C【解析】如图，正三棱锥PABC−，3PAPBPCABACBC======，取BC中点D，连接AD，取等

边三角形ABC的中心O，连接PO，由正四面体的性质可知，顶点与底面中心连线垂直底面，∴⊥PO平面ABC即三棱锥PABC−的高为PO，∵3ABACBC===，∴332AD=，∴3AO=，∴()22336OP=−=，∴111392·33633

224PABCABCVSOP−===.故选：C第3页/共16页学科网（北京）股份有限公司6.随机变量X服从2N（，），若13PXPX（）＝（），则下列选项一定正确的是（）A31PX（）＝B.1＝C.2＝D.311PXPX

（）＋（）＝【答案】C【解析】因为13PXPX（）＝（），由正态分布的对称性，可得2=，正态分布方差无法判断，()31PX，()()311PXPX+，所以ABD错误.故选:：C7.已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，点N为侧面四边形11CDDC的中心，则四面体11

NCBC的外接球的体积为（）A.2πB.4πC.22πD.82π3【答案】D【解析】如图：取1BC中点O，连结11111,,,,,NONCNCNBNDBD，因为1111ABCDABCD−的棱长为2的正方体，.第4页/共16页学科网

（北京）股份有限公司所以112OCOBOC===，且11122ONBD==，所以四面体11NCBC的外接球的球心为为O，且外接球半径2R=，所以四面体11NCBC的外接球的体积()3482π2π33V==.故选：D.8.已知定义域为R的函数()fx，满足

()()()()()11fxfyfxyfxfy−−++=，且()()00,10ff−=，则以下选项错误的是（）A.()10f=B.()fx图象关于()2,0对称C.()fx图象关于()1,0对称D.()fx为偶函数【答案】B【解析】对于A，令1,0xy==，则()(0)1

(1)(1)(0)fffff+=，所以𝑓(1)=0，故A正确；对于B，令0xy==，则()(1)1(0)(0)(0)fffff+=，即2(0)(0)ff=，解得：()00f=或()01f=，因为()00f，所以()01f=，令1xy==，()(0

)0(2)(1)(1)fffff+=，所以(2)1f=−，所以()fx图象不关于(2,0)对称，故B错误；对于C，令1y=，则有()()()()()1011fxffxfxf−++=即()()110fxf

x−++=，故()fx图象关于(1,0)对称，故C正确.对于D，令1y=−，则有()()()()()1211fxffxfxf−+−=−即()()110fxfx−−+−=，即()()11fxfx−=−，即()()()11fxfxfx=−−=−，因为函数()fx的定义域为R，所以()fx为偶

函数，故D正确.故选：B.公众号：高中试卷君二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列求导运算

正确的是（）第5页/共16页学科网（北京）股份有限公司A.3(e3exx=)B.221xxx=+C.(2sin3)2cosxx−=D.()2ln22xxxx=−−【答案】CD

【解析】对于A选项，()()'333ee33exxxx==，A错误；对于B选项，()()()()()()()()22222222212122122221212121xxxxxxxxxxxxxx+−++−

+==++++＝，B错误；对于C选项，()2sin32cosxx−=，C正确；对于D选项，()()()221122ln22222xxxxxxxxxxxxx−−−−===−−−−−，D正确.故选：CD.10.

已知事件A与B发生的概率分别为()()34,55PAPB==，则下列说法正确的是（）A.()1225PAB=B.()2|5PABC.()2325PAB+=D.()2|13PBA【答案】BD【解析】对于A，由于题目中没确定事件A与B是否相互独立，所以()()(

)34125525PABPAPB===，不一定成立，故A错误；对于B，由于()()()()()34155PABPAPBPABPAB+=+−=+−，则()25PAB，则()()()2125|4255PABPABPB==，故

B正确；对于C，由于题目中没确定事件A与B是否相互独立，所以()()()()341223552525PABPAPBPAB+=+−=+−=，也不一定成立，故C错误；对于D，()()()225|335PA

BPBAPA==，故()2|13PBA，故D正确；故选：BD.第6页/共16页学科网（北京）股份有限公司11.函数𝑦=𝑓(𝑥)的定义域为I，区间DI，对于任意1x，()212xDxx，恒满足()()121222fxfxxxf++，则称函数()fx在区

间D上为“凸函数”.下列函数在定义域上为凸函数的是（）A.()lnfxx=B.()exfx=C()2fxx=D.()fxx=【答案】AD【解析】对A：1x，()20,x+，()()1212121212lnlnl

nln2222fxfxxxxxxxfxx++++=，由()lnfxx=在(0,+∞)上单调递增，故其等价于12122xxxx+，化简可得()2120xx−，故满足题意，故A正确；对

B：1x，2xR，()()121212122eee222xxxxfxfxxxf++++，取11x=−，21x=，可得1202ee1xx+==，121eeee22xx++=，又11ee2+，故此时不满足题意，故B错误；对C：1x，

2xR，()()222121212122222fxfxxxxxxxf++++，化简得()2120xx−恒成立，不满足题意，故C错误；对D：1x，)20,x+，()()121212122222fxfxxxxxxxf++++

，左右平方后化简可得()2120xx−，故满足题意，故D正确.故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某人参加一次考试，共有4道试题，至少答对其中3道试题才能合格.若他答每道题的正确率均为0.5，并且答每道题之间相互独立，则他能合格的概率为_

_____..第7页/共16页学科网（北京）股份有限公司【答案】516【解析】解：某人参加考试，4道题目中，答对的题目数X满足二项分布1~4,2XB，所以()()()44341153342216PXPXPXC==+==+=

故答案为：51613.已知二次函数()fx从1到1x+的平均变化率为23x+，请写出满足条件的一个二次函数的表达式()fx=_______．【答案】22xx−（答案不唯一）【解析】设𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+

𝑐，则()()()()()21Δ11Δ1ΔΔ21Δ1Δfxfaxbxcabcaxabxx+−++++−++==+++−，由题意知223aab=+=，解之得21ab==−，显然c的取值不改变结果，不妨取0c=，则()22fxxx=−.故答案为：22xx−14.

勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间像球一样来回自由滚动，并且始终保持与两平面都接触（如图）．勒洛四面体是以一个正四面体的四个顶点分别为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分围成的几何体．若构成勒洛四面体ABCD的正四面体ABCD的棱长为2，在该“空心

”勒洛四面体ABCD内放入一个球，则该球的球半径最大值是_______．【答案】622−【解析】勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的4个弧面都相切，即为勒洛四面体内切球，由对称性知，勒洛四面体ABCD内切球球心是正四面体ABCD的内切球、外接球球心O，第8页/共16页学科网（北

京）股份有限公司正BCD△外接圆半径1233OB=，正四面体ABCD的高2211263AOABOB=−=，设正四面体ABCD的外接球半径为R，在1RtBOO△中，2222623()()33RR=−+，解得62R=，因此，勒洛四面体ABC

D内切球半径为622−.故答案为：622−．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某自助餐厅为了鼓励消费，设置了一个抽奖箱，箱中放有8折、8.5折、9折的奖券各2张，每张奖券的形状都相同，每位顾客可以从中任取2张奖券，最终餐厅将在结账时按照2张奖券中

最优惠的折扣进行结算．（1）求一位顾客抽到的2张奖券的折扣均不相同的概率；（2）若自助餐的原价为100元/位，记一位顾客最终结算时的价格为X，求X的分布列及数学期望()EX．【答案】（1）45（2）答案见详解【

解析】【小问1详解】从6张奖券中，任取2张奖券共有2615C=种选法，抽到的两张奖券相同的有3种选法，所以一位顾客抽到的2张奖券的折扣均不相同的概率为1534155P−==.【小问2详解】X的所有可能取值为80，85，90，()1122261CC2380C5PX+===，

第9页/共16页学科网（北京）股份有限公司()1122261CC185C3PX+===，()261190C15PX===，X的分布列为：X808590P3513115()31124780859053153E

X=++=.16.如图，在四棱锥PABCD−中，23PA=，//ADBC，1AD=，2ABBC==，AD⊥平面PAB，PDAB⊥，E，F分别是棱PB，PC的中点．（1）证明：//DF平面ACE；（2）求二面角ACEB−−的正弦值．【答案】

（1）证明见详解（2）427【解析】【小问1详解】如图，连接EF，因为,EF分别为,PBPC的中点，第10页/共16页学科网（北京）股份有限公司所以//EFBC，12EFBC=，又//ADBC，12ADBC=，所以//EFAD，EFAD=，所以四边形ADFE是平行四边形，则//

DFAE，因为AE平面ACE，DF平面ACE，所以//DF平面ACE.【小问2详解】因为AD⊥平面PAB，,PAAB平面PAB，所以ADAP⊥，ADAB⊥，又ABPD⊥，,ADPA是平面PAD内两条相交直线，AB⊥平面PAD，又PA平面PAD，ABPA⊥，所以,,

ABAPAD两两互相垂直，以A为坐标原点，AB，AP，AD的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则𝐴(0,0,0)，()2,0,0B，()2,0,2C，()0,0,1D，()1,3,0E，第11页/共16页学科网（北京）股份有限公司()2,0,2AC=，()

1,3,0AE=，()0,0,2BC=，()1,3,0BE=−，设平面ACE的一个法向量为𝑛1⃗⃗⃗⃗=(𝑥1,𝑦1,𝑧1)，则1100nACnAE==，即111122030xzx

y+=+=，令11y=−，得13x=，13z=−，()13,1,3n=−−，设平面BCE的一个法向量为()2222,,nxyz=，则2200nBCnBE==，即2222030zxy=−+=，令21y=，得23x=，20z=，()23,1,0n=，设二面角A

CEB−−的平面角为，1212317cos772nnnn−===，则42sin7=.所以二面角ACEB−−的正弦值为427.17.我们可以用“配方法”和“主元法”等方法证明“二元不等式”：()2

22,ababab+R，当且仅当ab=时，222abab+=等号成立．公众号：高中试卷君（1）证明“三元不等式”：3333abcabc++)(),,0,abc+．（2）已知函数()22fxxx=+．①解不等式()5fx；②对任意𝑥∈(0,+∞)，()22

fxmm+恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）见解析（2）①((),120,12,x−−−+；②3,1−.【解析】小问1详解】因为),,0,abc+，则()()()3322323222ababbaaabbbaaa

bbba+−+=−+−=−+−()()()()2220abababab=−−=−+（当且仅当ab=时取等），所以3322ababba++（当且仅当ab=时取等），【第12页/共16页学科网（北京）股份有限公司同理332

2acacca++（当且仅当ac=时取等），3322bcbccb++（当且仅当cb=时取等），三式相加可得：()()()()3332222222222222abcabbaaccabccbabcbcacab+++++++=+++++，又因为2222222,2,2ababbcbcacac++

+，所以()33322226abcabcabcabcabc++++=，所以3333abcabc++（当且仅当abc==时取等）.【小问2详解】①由()5fx可得：225xx+，所以3250xxx+−，即3222242

0xxxxxx−+−−+，即()()()222220xxxxxx−+−−−，则()()22210xxxx−+−，所以()()()2121200xxxxx−+−++，解得：((),120,12,x−−

−+②因为当𝑥∈(0,+∞)时，()22232111133fxxxxxxxxx=+=++=，当且仅当211xxx==，即1x=时取等，所以当𝑥∈(0,+∞)时，()min3fx=，对任意𝑥∈(0,+∞)，()22fxmm+恒成立，则()()2min213mmfxf+=

=，所以2230mm+−，解得：31m−.所以实数m的取值范围为：3,1−.18.在如图所示的平行六面体1111ABCDABCD−中，1145AABAAD==，.第13页/共16页学科网（北京）股份有限公司160,1,2,22BADABADAA====．（1）求1AC的长度；（2）

求二面角1BAAD−−的大小；（3）求平行六面体1111ABCDABCD−的体积．【答案】（1）33（2）π2（3）22【解析】【小问1详解】根据图形可知：111ACABBCCCABADAA=++=++，则22222111

11222ACABADAAABADAAABADADAAABAA=++=+++++148212cos602122cos452222cos45=+++++33=；【小问2详解】公众号：高中试卷君作11,BEAADFAA⊥⊥，则,EBFD等于二面角

1BAAD−−的一个平面角，因为1145AABAAD==，11,2,22ABADAA===，则22cos45,cos452,222AEABAFADBEDF======，第14页/共16页学科网

（北京）股份有限公司易知()()EBFDEAABFAADEAFAEAADABFAABAD=++=+++212cos13521cos13512cos602=+++0=，所以cos,0EBFDE

BFDEBFD==，所以π,2EBFD=，即二面角1BAAD−−的大小为π2；【小问3详解】由（2）知BE⊥平面11ADDA，而四边形11ADDA的面积14SAADF==，则平行六面体1111ABCDABCD−的

体积422VBE==.19.已知函数()2e1exxfxax−=+．（1）函数()yfx=是否具有奇偶性?为什么?（2）当1a=−时，求()fx的单调区间；（3）若()fx有两个不同极值点1x，2x，证明：()()1278fxfx+．【

答案】（1）函数()yfx=不具有奇偶性（2）()fx的单调递增区间为(),0−，单调递减区间为()0,+（3）证明见解析【解析】【小问1详解】()22e1eeexxxxfxaxax−−−−=−=−−，而()2eexxfxax−−=−+，显然()()fxfx−，且()()f

xfx−−，所以()fx既不是奇函数，也不是偶函数，故函数𝑦=𝑓(𝑥)不具有奇偶性.【小问2详解】1a=−时，()2e1exxfxx−=−，第15页/共16页学科网（北京）股份有限公司()()()()222422ee2ee1e2e12ee1eeexx

xxxxxxxxxfx−−−+−−−=−==，故当0x时，𝑓′(𝑥)>0，()fx在(),0−上单调递增，当0x时，𝑓′(𝑥)<0，()fx在(0,+∞)上单调递减，故()fx的单调递增区间为(),0−，单调递减区间

为(0,+∞)【小问3详解】()222eeexxxafx−+=，因为()fx有两个不同极值点1x，2x，故()0fx=即202eexxa−+=有两个不等的实根，令ext=，所以202att−+=有两个不等的正数根12,tt，

所以1212Δ1801020attatta=−+==，得108a，且1212e,exxtt==，所以()()()12121212121222221211e1e1lnlneexxxxttfxfxaxaxatttt−−−−+=+++=+++()()()22

12121212122212221142221lnlnln44ttttttttaaaaattaaattaaa−++−++=+=+=++，设()21ln4gaaaa=++，()221ln1ln0gaaa−==+，所以()ga在

10,8上单调递增，所以()11113ln2317ln16888482828gag=++=++=，故()()1278fxfx+.【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是能根据题意转化为202att−+=有两个不等的正数根12,tt，

进而得108a，且1212e,exxtt==，再得第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司()()1221ln4fxfxaaa+=++，利用单调性可证()()1278fxfx+.