【文档说明】专题19 圆与相似三角形-2020-2021学年九年级数学全一册重点题型通关训练（人教版）（解析版）.docx，共(20)页，214.288 KB，由管理员店铺上传

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专题十九圆与相似三角形【导例】1.已知：如图，MN为⊙O的直径，ME是⊙O的弦，MD垂直于过点E的直线DE，垂足为点D，且ME平分∠DMN．求证：（1）DE是⊙O的切线；（2）ME2＝MD•MN．【解析】（1）∵ME平分∠

DMN，∴∠OME＝∠DME，∵OM＝OE，∴∠OME＝∠OEM，∴∠DME＝∠OEM，∴OE∥DM，∵DM⊥DE，∴OE⊥DE，∵OE过O，∴DE是⊙O的切线；（2）连接EN，∵DM⊥DE，MN为⊙O的直径，∴∠MDE＝∠

MEN＝90°，∵∠NME＝∠DME，∴△MDE∽△MEN，∴MEMD＝MNME，∴ME2＝MD•MN【方法点睛】圆中很容易出现相等角，如：①圆周角；②半径构成的等腰三角形；*③弦切角.而相似三角形只需要通过

两对角分别相等即可得证（往往含有公共角），此时就可以利用相似三角形的相似比进行线段的求解（相似比经常能与三角函数挂钩）.【典例精讲】一、出现比例设方程【例1】如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，D为BC的中点，以AC为直

径的⊙O交AB于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE：EB＝1：2，BC＝6，求AE的长．【解析】（1）证明：连接OE、EC，∵AC是⊙O的直径，∴∠AEC＝∠BEC＝90°，∵D为BC的中点，∴ED＝DC＝BD，∴∠1＝∠2，∵OE＝OC，∴∠3＝∠4，∴∠1+∠3＝∠2

+∠4，即∠OED＝∠ACB，∵∠ACB＝90°，∴∠OED＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）解：由（1）知：∠BEC＝90°，∵在Rt△BEC与Rt△BCA中，∠B＝∠B，∠BEC＝∠BCA，∴△BEC∽△BC

A，∴BEBC＝BCBA，∴BC2＝BE•BA，∵AE：EB＝1：2，设AE＝x，则BE＝2x，BA＝3x，∵BC＝6，∴62＝2x•3x，解得：x＝√6，即AE＝√6．变式训练2.如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上两点，CD＝BD，过点D作AC的垂线分别交AC，AB延长线于

点E，F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AE＝3，sin∠EAF＝45，求⊙O的半径．【解析】（1）证明：连接OD，AD，∵CD＝BD，∴∠CAD＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB，∴∠C

AD＝∠ADO，∵AE⊥ED，∴∠AED＝90°，∴∠EAD+∠EDA＝90°，∴∠ADO+∠EDA＝90°，∴EF⊥OD，∴EF是⊙O的切线；（2）解：在Rt△AEF中，∠AEF＝90°，∴sin∠EAF＝EFAF，∵sin∠E

AF＝45，设EF＝4k，AF＝5k（k＞0），则AE＝3k，∵AE＝3，∴k＝1，∴AF＝5，∵EF⊥OD，EF⊥AE，∴OD∥AE，∴△FOD∽△FAE，∴FOFA=ODAE.∴5−r5=r3，∴r＝158．

【例2】如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：△PBD∽△DCA；（3）当AB＝

6，AC＝8时，求线段PB的长．【解析】（1）证明：∵圆心O在BC上，∴BC是圆O的直径，∴∠BAC＝90°，连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠DAC，∵∠DOC＝2∠DAC，∴∠DOC＝∠BAC＝90°，即OD⊥BC，∵PD∥BC，∴OD⊥PD，∵O

D为圆O的半径，∴PD是圆O的切线；（2）证明：∵PD∥BC，∴∠P＝∠ABC，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠P＝∠ADC，∵∠PBD+∠ABD＝180°，∠ACD+∠ABD＝180°，∴∠PBD＝∠ACD，∴△PBD∽△DCA；（3）解：∵△ABC为直角三

角形，∴BC2＝AB2+AC2＝62+82＝100，∴BC＝10，∵OD垂直平分BC，∴DB＝DC，∵BC为圆O的直径，∴∠BDC＝90°，在Rt△DBC中，DB2+DC2＝BC2，即2DC2＝BC2＝100，∴DC＝DB＝5√2，∵△PBD∽△DCA，∴PBDC＝

BDAC，则PB＝DC·BDAC＝5√2×5√28=254.二、求斜线段之比转化为构造平行线X型相似【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．（1）求证：DH是⊙O的切线；（2）若A为

EH的中点，求EFFD的值．【解析】（1）证明：连接OD，如图所示：∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ODB＝∠ACB，∴OD∥AC，∵DH⊥AC，∴DH⊥OD，∴DH是⊙O的切线；（2）解：∵A为EH的中点，∴AE＝AH，设A

E＝AH＝x，则EH＝2x.∵∠E=∠B，∴∠E=∠C，即ED=DC.又DH⊥EC，∴H为EC中点，此时EC=2EH=4x，AC=EC-EA=3x∵OA＝OB，BD＝CD，∴OD是△ABC的中位线，∴OD＝12AC＝32x，OD∥AC，∴△AEF∽△ODF，∴EFFD＝AEOD

＝x32x＝23．【专题过关】3.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC＝∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC∥DE，当AB＝8，CE＝2时，求AC的长．【解析】（1）如图，连接BD，∵∠BAD＝90°，∴点O必在BD上，即：BD是直

径，∴∠BCD＝90°，∴∠DEC+∠CDE＝90°，∵∠DEC＝∠BAC，∴∠BAC+∠CDE＝90°，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠BDC+∠CDE＝90°，∴∠BDE＝90°，即：BD⊥DE，∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）∵DE∥AC，∵

∠BDE＝90°，∴∠BFC＝90°，∴CB＝AB＝8，AF＝CF＝12AC，∵∠CDE+∠BDC＝90°，∠BDC+∠CBD＝90°，∴∠CDE＝∠CBD，∵∠DCE＝∠BCD＝90°，∴△BCD∽△DCE，∴BCCD=CDCE

，∴8CD=CD2，∴CD＝4，在Rt△BCD中，BD＝√BC2+CD2＝4√5同理：△CFD∽△BCD，∴CFBC=CDBD，∴CF8=44√5，∴CF＝8√55，∴AC＝2AF＝16√55．4.如图，在△ABC，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC

的延长线上，且∠CBF＝12∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AB＝5，sin∠CBF＝√55，求BC和BF的长．【解析】（1）证明：连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠1+∠2＝90°．∵AB＝AC，∴∠1＝12∠CAB．∵∠CBF＝12∠CAB，

∴∠1＝∠CBF∴∠CBF+∠2＝90°即∠ABF＝90°∵AB是⊙O的直径，∴直线BF是⊙O的切线．（2）解：过点C作CG⊥AB于G．∵sin∠CBF＝√55，∠1＝∠CBF，∴sin∠1＝√55，∵在Rt△AEB中，∠AE

B＝90°，AB＝5，∴BE＝AB•sin∠1＝√5，∵AB＝AC，∠AEB＝90°，∴BC＝2BE＝2√5，在Rt△ABE中，由勾股定理得AE＝√AB2−BE2＝2√5，∴sin∠2＝AEAB＝2√55＝CGBC，cos∠2＝BEAB＝√55＝BGBC，在Rt△

CBG中，可求得GC＝4，GB＝2，∴AG＝3，∵GC∥BF，∴△AGC∽△ABF，∴GCBF=AGAB∴BF＝GC·ABAG＝203.5.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，过点C作CE∥BD交AD的延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若CD＝CE＝6，DE

＝4，求⊙O的半径．【解析】（1）如图1，连接OB，OD，OC，OC交BD于点F，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，C为劣弧BD的中点，∴CD＝BD，∴OC⊥BD，又∵CE∥BD，∴∠OCE＝∠OFD＝90°，∴OC⊥CE，∴CE是⊙O

的切线；（2）解：∵CD＝CE＝6，∴∠E＝∠CDE，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠CDE+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠CDE＝∠E，∵CE∥BD，∴∠DCE＝∠BDC，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠DCE＝∠BAC，∴△C

DE∽△ABC，∴CDAB=DEBC.∴6AB=46，∴AB＝9，在△ABC中，连接AO并延长交BC于点G，连接OB，如图2，∵∠BAC＝∠DCE，∠ABC＝∠CDE，∴∠ABC＝∠CDE＝∠E＝∠ACB，∴AB＝AC，∵OB＝OC，∴AG⊥BC，∴BG＝CG＝3，则AG＝6√

2，设半径为r，则32+（6√2-r）2=r2，解得，r＝278√2，∴⊙O的半径为278√2．【专题提升】6.如图，AB是⊙O的直径，CB与⊙O相切于点B，AB=2√5，BC=2．（1）尺规作图，在⊙O上

找一点D，使CD=CB．（2）在（1）所作的图形中，求证：CD与⊙O相切．（3）在（1）所作的图形中，点E是线段OB上一点（与端点O，B不重合），连接ED，EC，当CE+DE的值最小时，求CEDE的值．【解析】（1）以点C为圆心BC长为半径交圆于点D，

则点D为所求点；（2）连接OC，∵OC=CO，BC=CD，OB=OD，∴△COB≌△COD（SSS），∴∠ODC=∠OBC=90°，∴CD与⊙O相切；（3）如图3，延长CB到F使，BF=BC，则点C、F关于OB对称，连接OC、EC，连接DF交

OB于点E，则此时CE+DE的值最小，理由：∵点C、F关于OB对称，故CE=EF，∴CE+DE=EF+DE=DF为最小，连接BD交OC于点G，过点D作DH⊥OB于点H，∵BC、CD均为圆的切线，故BG⊥OC，在Rt△OBC中，C

O=√BO2+BC2=√（√5）2+22=3S△OBC=12OB•BC=12CO•BG，即√5×2=3•BG，解得BG=2√53，则BD=2BG=4√53，在△BOD中，DH2=OD2-OH2=BD2-BH2，即DH2=（√5）2-（√5-BH）2=（4

√53）2-BH2，解得DH=209，∵DH⊥OB，BF⊥OB，∴DH∥BF，∴△DHE∽△FBE，∴CEDE=EFDE=BFDH=2209=910．7.如图，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，BC＝BD，连接CD交⊙O于点E

，∠BCD＝∠DBE．（1）求证：BD是⊙O的切线．（2）过点E作EF⊥AB于F，交BC于G，已知DE＝2√10，EG＝3，求BG的长．【解析】（1）证明：如图1，连接AE，则∠A＝∠C，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴∠A+∠ABE＝90°，∵∠C＝∠DBE，∴∠ABE+∠DBE

＝90°，即∠ABD＝90°，∴BD是⊙O的切线（2）解：如图2，延长EF交⊙O于H，∵EF⊥AB，AB是直径，∴BEBH=，∴∠ECB＝∠BEH，∵∠EBC＝∠GBE，∴△EBC∽△GBE，∴BEBG=BCBE，

∵BC＝BD，∴∠D＝∠C，∵∠C＝∠DBE，∴∠D＝∠DBE，∴BE＝DE＝2√10，又∠AFE＝∠ABD＝90°，∴BD∥EF，∴∠D＝∠CEF，∴∠C＝∠CEF，∴CG＝GE＝3，∴BC＝BG+CG＝B

G+3，∴2√10BG=BG+32√10，∴BG＝﹣8（舍）或BG＝5，即BG的长为5．