【文档说明】天津市静海区第一中学2023-2024学年高二上学期12月月考试题+数学+含解析.docx，共(21)页，1.093 MB，由管理员店铺上传

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静海一中2023-2024第一学期高二数学（12月）学生学业能力调研试卷命题人：刘纪茹审题人：陈中友考生注意：本试卷分第Ⅰ卷基础题（131分）和第Ⅱ卷提高题（16分）两部分共147分，卷面分3分，共150分.第Ⅰ卷基础题（共131分）一、选择题:每小题5分，共40分.

1.已知直线1l：10kxy++=与2l：()410kxky+−+=平行，则k值是（）A.5B.0或5C.0D.0或12.在数列{}na中，112a=，111nnaa−=−（2n，Nn+），则2023a=（）A.12B.1C.1−D.23.若圆22240+−++=xyxym截直线3

0xy+−=所得弦长为2，则实数m的值为（）A.1−B.2−C.4−D.31−4.若双曲线与椭圆2211664xy+=有相同焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为（）A.y2－x2＝96B.y2－x2＝160C.y2－x2＝80D.y2－x2＝245.已知等差

数列na的前n项和为nS，592aa+=−，357S=，直线l过点(,)(,)mnMmaNna，*(,,N)mnmn，则直线l的斜率为（）A.2B.2−C.4D.4−6.已知抛物线C：216yx=的焦点为F，点P是抛物线C上的一点，10PF=，过点P作y轴

的垂线，垂足为P，则PF=（）A.25B.27C.45D.477.已知nS是等差数列{na}的前n项和，且70a，690aa+则（）的的A.数列{na}为递增数列B.80aC.nS的最大值为

7SD.140S8.已知双曲线2222:1(0,0)xyEabab−=的右焦点为F，过点F的直线l与双曲线E的右支交于B，C两点，且3CFFB=，点B关于原点O的对称点为点A，若0AFBF=，则双曲线E的离心率为（）A.3B.2

33C.103D.102二、填空题：每小题5分，共30分.9.在商店里，如图分层堆砌易拉罐，最顶层放1个，第二层放4个，第三层放9个.如此下去，第六层放___________个.10.若抛物线2ymx=的准线与直线1x=间的距离为3，则抛物线的方程为______.11.若方程22(1)1m

xmy+−=表示焦点在y轴上双曲线，则实数m的取值范围为__________.12.已知O为坐标原点，点P在圆22:810210Cxyxy+−−+=上运动，则线段OP中点M的轨迹方程为__________.13.设等差数列na，

nb的前n项和分别为,nnST，nN，都有2343nnSnTn+=−，则214313aabb++的值为__________.14.直线l与双曲线E：22221(0,0)xyabab−=的一条渐近线

平行，l过抛物线C：24yx=的焦点，交C于,AB两点，若6AB=，则E的离心率为_______.三、解答题：（本大题共4小题，共61分）15.（1）数列na的前n项和212343nSnn=++，求

数列na的通项公式；（2）已知数列na中，11a=，前n项和23nnnSa+=，求数列na的通项公式；（3）请写出nS与na的关系，并写出已知nS求na时应注意什么？16.如图，在三棱柱111ABCABC-中，AB⊥平面11BBCC，已知11π,1,23BCCBC

ABCC====，点E是棱1CC中点．的的的（1）求证：1CB⊥平面ABC；（2）求平面11ABE与平面1ABE夹角的正弦值;（3）求点1C到平面11ABE的距离.17.已知椭圆E：()222210xyabab+=的上顶点为B，左焦点为F，且B，F在直线20

xy−+=上.（1）求E的标准方程；（2）设直线l与E交于P，Q两点，且四边形BPFQ为平行四边形，求l的方程.18.已知数列na中，115a=−，121nnnaaa+=+，记1nnba=（1）求证：数列nb是等差数列，并求出nb；（2）设12nnTb

bb=+++，求nT；（3）若(1)nna−，对任意的*3,Nnn恒成立，求的取值范围.第Ⅱ卷提高题（共16分）19.已知椭圆C：22221(0)xyabab+=右焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且B

Fx⊥轴，直线AB交y轴于点Q，若||2||AQBQ=；（1）求椭圆的离心率；（2）设经过点F且斜率为34−的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心1C在直线4x=−上，且1OCAP∥.求椭圆的方程.静海一中2023-2024第一

学期高二数学（12月）学生学业能力调研试卷命题人：刘纪茹审题人：陈中友考生注意：本试卷分第Ⅰ卷基础题（131分）和第Ⅱ卷提高题（16分）两部分共147分，卷面分3分，共150分.第Ⅰ卷基础题（共131分）一、选择题:每小题5分，共40分.1.已知直线1l：10kxy++=与2l：(

)410kxky+−+=平行，则k的值是（）A.5B.0或5C.0D.0或1【答案】C【解析】【分析】两直线11110AxBlyC++=：与22220AxBlyC++=：平行的条件是1221ABAB=且不重合.【详解】若直线1l：10kxy++

=与2l：()410kxky+−+=平行，则(4)kkk−=，解得5k=或0k=；而当5k=时两直线重合.综上所述，k的值为0.故选：C2.在数列{}na中，112a=，111nnaa−=−（2n，Nn+），则2023a=（）A.12B.1C.1−D.2【答案】A【解析】【分析】利用

数列的递推公式求出数列{}na的前4项，推导出{}na为周期数列，从而得到2023a的值【详解】2111121aa=−=−=−，3211112aa=−=+=，431111122aa=−=−=，可得数列{}na是以3为周期的周期数列，202336741112aaa+===，故

选：A3.若圆22240+−++=xyxym截直线30xy+−=所得弦长为2，则实数m的值为（）A.1−B.2−C.4−D.31−【答案】C【解析】【分析】先将圆的方程转化为标准方程形式,可得圆心为()1,2−,半径为()55rmm=−,再求出圆心到直线距

离,根据弦长为2222rd-=,即可求得m.【详解】由题,由圆的一般方程22240+−++=xyxym可得圆的标准方程为()()22125xym−++=−,则圆心为()1,2−,半径为()55rmm=−,所以圆心到直线距离为12322

2d−−==,则弦长为2222rd-=,即581m−−=,所以4m=−,故选:C【点睛】本题考查利用弦长求参数,考查点到直线距离公式的应用,考查圆的一般方程与标准方程的转化.4.若双曲线与椭圆2211664xy+=有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y

＝－x，则双曲线的方程为（）A.y2－x2＝96B.y2－x2＝160C.y2－x2＝80D.y2－x2＝24【答案】D【解析】【分析】由题设，若双曲线为x2－y2＝λ(λ≠0)，由椭圆方程写出焦点坐标，

根据曲线共焦点、双曲线参数关系列方程求参数λ.【详解】设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0,43)，∴λ<0且22(43)−=，得λ＝－24.故选：D.5.已知等差数列na的前n项和为nS，592aa+=−，357S=，直线l过点(,)(

,)mnMmaNna，*(,,N)mnmn，则直线l的斜率为（）A.2B.2−C.4D.4−【答案】D【解析】【分析】根据条件，求出公差4d=−，再利用等差数列的通项公式得到4()nmaanm=−−，即可求出结果.【详解】因为数列na为等差数

列，设数列na的首项为1a，公差为d，又592aa+=−，357S=，所以1121223357adad+=−+=，解得到4d=−，所以()4()nmmaanmdanm=+−=−−，得到4nmaanm−=−−，所以直线l的斜率为4−，故选：D.6.已知抛物线C：216yx=的焦点为F，点

P是抛物线C上的一点，10PF=，过点P作y轴的垂线，垂足为P，则PF=（）A.25B.27C.45D.47【答案】D【解析】【分析】设00(,)Pxy，由抛物线定义，0104PFx==+，解出0x，代入抛物线

方程，可求20y，再由两点间距离公式可求PF.【详解】由抛物线C：216yx=，得焦点()4,0F，设00(,)Pxy，所以()00,Py，由0410PFx=+=，解得06x=，所以0021696yx==，所以220447PFy=+=.故选：D.7.已知n

S是等差数列{na}的前n项和，且70a，690aa+则（）A.数列{na}为递增数列B.80aC.nS的最大值为7SD.140S【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的性质逐项判断即可【详解】76980aaaa=++，因为70a,所以80a,所以B错公差870daa=−所以A错

因为前7项均为正,从第8项开始为负,所以nS的最大值为7S,所以C对，()()114147814702aaSaa+==+,所以D错故选：C8.已知双曲线2222:1(0,0)xyEabab−=的右

焦点为F，过点F的直线l与双曲线E的右支交于B，C两点，且3CFFB=，点B关于原点O的对称点为点A，若0AFBF=，则双曲线E的离心率为（）A.3B.233C.103D.102【答案】D【解析】【分析】由双曲线的性质可得四边形1AFBF为矩形，然后结合双曲线的定义及1RtCBF△的勾股定理

可得1||3BFa=，||BFa=，再由1RtBFF△的勾股定理即可求得结果.【详解】设双曲线的左焦点为1F，连接AF，1AF，1BF，如图所示，,又因为0AFBF=，所以AFBF⊥，所以四边形1AFBF为矩形，设||BFt=，则||3CFt=，由双曲

线的定义可得：12||BFat=+，1||23CFat=+，又因为1CBF为直角三角形，所以22211||||||BCBFCF+=，即222(4)(2)(23)tatat++=+，解得ta=，所以1||3BFa=，||BFa=，又因为1BFF△为直角三角

形，1||2FFc=，所以22211||||||BFBFFF+=，即：22294aac+=，所以2252ca=，即102cea==.故选：D.二、填空题：每小题5分，共30分.9.在商店里，如图分层堆砌易拉罐，最顶层放1个，第二

层放4个，第三层放9个.如此下去，第六层放___________个.【答案】36【解析】【分析】根据每一层图形的个数与层数n的关系进行仔细观察，发现规律．【详解】最顶层放1个，第二层放4个，第三层放9个，可

知，第n层放2n个，所以第六层放36个，故答案为：36.10.若抛物线2ymx=的准线与直线1x=间的距离为3，则抛物线的方程为______.【答案】216yx=−或28yx=【解析】【分析】先求出抛物线的准线，再根据距离列方程求解即可.【详解】抛物线2ymx=的准线为4mx=−，则1

34m−−=，解得16m=−或8m=，故抛物线的方程为216yx=−或28yx=.故答案为：216yx=−或28yx=.11.若方程22(1)1mxmy+−=表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为__________.【答案】1m−【解析】【分析】将22(1)1m

xmy+−=变形为221111xymm−=+，再根据条件即可求出结果.【详解】由22(1)1mxmy+−=变形得到221111xymm−=+，因为方程22(1)1mxmy+−=表示焦点在y轴上的双曲线，所以10101mm+，解

得1m−，故答案为：1m−.12.已知O为坐标原点，点P在圆22:810210Cxyxy+−−+=上运动，则线段OP的中点M的轨迹方程为__________.【答案】225(2)52xy−+−=

【解析】【分析】设出中点坐标(,)Mxy，圆上的点()00,Pxy，由中点坐标公式把P的坐标用M的坐标表示，代入圆的方程得答案.【详解】设点(,)Mxy，点()00,Pxy，则000,20,2xxyy+=+=

所以002,2.xxyy==因为点()00,Pxy在圆22:810210Cxyxy+−−+=上，所以220000810210xyxy+−−+=，所以22(2)(2)8(2)10(2)210xyxy+−−+=，所以点M的轨迹方程为22214504xyxy+−−+=

即225(2)52xy−+−=，故答案为：225(2)52xy−+−=.13.设等差数列na，nb的前n项和分别为,nnST，nN，都有2343nnSnTn+=−，则214

313aabb++的值为__________.【答案】1119【解析】【分析】利用等差数列的性质与前项和公式即可得解.【详解】因为2343nnSnTn+=−，所以11511515214115313115151521533311241535719152++++======+++−aaa

aSaabbbbbbT.故答案为：1119.14.直线l与双曲线E：22221(0,0)xyabab−=的一条渐近线平行，l过抛物线C：24yx=的焦点，交C于,AB两点，若6AB=，则E的离心率为_______.【答案】3【解析】【分析】设直线l的方程为(1)ykx=−，联立抛物线方程24

yx=，消y得到2222(24)0kxkxk−++=，利用韦达定理及抛物线焦点弦的弦公式即可求得2k=，进而可求出结果.【详解】因为24yx=的焦点为(1,0)F，设直线l的方程为(1)ykx=−，1122(,),(,)Ax

yBxy，由24(1)yxykx==−，消y得到2222(24)0kxkxk−++=，由韦达定理得212222442kxxkk++==+，又6AB=，所以1224226ABxxpk=++=++=，得到22k=，所以2k=，又直线l与双曲线E：222

21(0,0)xyabab−=一条渐近线平行，所以2ba=，故双曲线的离心率为221123cbeaa==+=+=，故答案为：3.三、解答题：（本大题共4小题，共61分）15.（1）数列na的前n项和212343nSnn=++，

求数列na的通项公式；（2）已知数列na中，11a=，前n项和23nnnSa+=，求数列na的通项公式；（3）请写出nS与na的关系，并写出已知nS求na时应注意什么？【答案】（1）47,11265,2,12nnannn==+N；（2）(

)12nnna+=；（3）答案见解析.【解析】的【分析】（1）由11,1,2,nnnSnaSSnn−==−N可求得数列na的通项公式；（2）根据na与nS的关系可推出111nnanan−+=−，再利用累乘法可求出数列na的通项公式；（3）根据

nS与na的关系可得出结论.【详解】解：（1）因为数列na的前n项和212343nSnn=++，当1n=时，11124734312aS==++=，当2n时，()()2211212653113434312nnnnaSSnnnn−+=−=++−−+−

+=，14712a=不满足6512nna+=，故47,11265,2,12nnannn==+N；（2）数列na中，11a=，前n项和23nnnSa+=，则()32nnSna=+，当2n时，由

()32nnSna=+可得()1131nnSna−−=+，上述两个等式作差可得()()1321nnnanana−=+−+，可得()()111nnnana−−=+，所以，111nnnaan−+=−，因为11a=，则2133aa==，3226aa==，435

103aa==，L，以此类推可知，对任意的nN，0na，所以，当2n时，111nnanan−+=−，所以，2131aa=，3242aa=，4353aa=，L，111nnanan−+=−，上述等式全部相乘可得()()()13451112312nnnnaan+

+==−，所以，()()11122nnnnnaa++==，11a=也满足()12nnna+=，故对任意的nN，()12nnna+=；（3）11,1,2,nnnSnaSSnn−==−

N，解题时需注意令n等于初始值，求出初始项的值，同时要注意等差、等比数列的定义从第几项开始.16.如图，在三棱柱111ABCABC-中，AB⊥平面11BBCC，已知11π,1,23BCCBCABCC====，点E是棱1CC的中点．（1）

求证：1CB⊥平面ABC；（2）求平面11ABE与平面1ABE夹角正弦值;（3）求点1C到平面11ABE的距离.【答案】（1）证明见解析（2）255（3）12【解析】【分析】（1）根据条件，利用余弦定理得13BC=，由勾股定理得1⊥BCBC，再根据条件及线面垂直的判断定理，即可证

明结果；（2）以1,,BCBCBA为,,xyz轴建立空间直角坐标系，分别求出平面11ABE与平面1ABE，再利用两平面夹角的向量法即可求出结果；（3）根据（2）中结果，利用点到面的距离的向量法即可求出结果.【小问1详解】在1BCC中，因为11π,1,23BC

CBCCC===，由余弦定理知222111π2cos14233BCBCCCBCCC=+−=+−=，得到13BC=，的所以22211CCBCBC=+，故1⊥BCBC，又AB⊥平面11BBCC，1BC平面11BBCC，所以1ABBC⊥，又ABBCB=，,ABBC平面ABC，所以1

CB⊥平面ABC.【小问2详解】如图所示，以1,,BCBCBA为,,xyz轴建立空间直角坐标系，因为11,2BCABCC===，13BC=，则()0,0,2A，()0,0,0B，()1,0,0C，()10,3,0C，()11,3,0B−，又点E是棱1CC的中点，所以13,,

022E，设平面11ABE的法向量为1(,,)nxyz=，11(0,0,2)AB=−，133(,,2)22AE=−−，由1111100nABnAE==，得到20332022zxyz−=−−=，取1x=，3,0yz

==，得到1(1,3,0)n=，设平面1ABE的法向量为()2,,nxyz=uur，()11,3,2AB=−−，133,,022EB=−，由212100nABnEB==，得到32033022xyzxy−+−=−+

=，取1x=，3,1yz==，得到()21,3,1n=，平面11ABE与平面1ABE夹角的平面角为锐角，故余弦值121212425cos,525nnnnnn===.【小问3详解】因为平面11ABE的法向量为1(1,3,0)n=，11(1,0,2)CA=−，所以距

离为111111213CAndn===+.17.已知椭圆E：()222210xyabab+=的上顶点为B，左焦点为F，且B，F在直线20xy−+=上.（1）求E的标准方程；（2）设直线l与E交于P，Q两点，且四边

形BPFQ为平行四边形，求l的方程.【答案】（1）22184xy+=（2）230xy−+=【解析】【分析】（1）根据椭圆的标准方程，利用条件求出,bc，即可得出结果；（2）根据题意，设直线l的方程为(1

)1ykx=++，联立椭圆方程得2222(12)(44)2460kxkkxkk+++++−=，由韦达定理得2212122244246,1212kkkkxxxxkk++−+=−=++，再利用条件得//BPQF，从而得到12(1)(2)0kxx−++=，即可求出结

果.【小问1详解】因为椭圆的上顶点为B，左焦点为F，均在直线20xy−+=上，令0x=，得2y=，令0y=，得到2x=−，所以(0,2),(2,0)BF−，得到2,2bc==，所以222222a=+=，故椭圆E的标准方程为22184xy+=.【小问2详解】因为四

边形BPFQ为平行四边形，则直线过BF中点(1,1)−，易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为(1)1ykx=++，1122(,),(,)PxyQxy，为由22184(1)1xyykx+==++，消y得到

2222(12)(44)2460kxkkxkk+++++−=，易知，直线l与椭圆恒有两个交点，又由韦达定理知，2212122244246,1212kkkkxxxxkk++−+=−=++，又11(,2)BPxy=−，22(2,)QF

xy=−−−，因为四边形BPFQ为平行四边形，所以//BPQF，得到2121(2)(2)0yxxy−++−=，又11(1)1ykx=++，22(1)1ykx=++，代入2121(2)(2)0yxxy−++−=，整理得12(1)()220kxxk−++−=，即12(1)(2)0kxx−++=，将

21224412kkxxk++=−+代入，得到2244(1)(2)012kkkk+−−=+，即224(1)()012kkk−−=+，所以12k=或1k=，又1FBk=，故1k=舍去，所以，直线l的方程为

1(1)12yx=++，即230xy−+=.18.已知数列na中，115a=−，121nnnaaa+=+，记1nnba=（1）求证：数列nb是等差数列，并求出nb；（2）设12nnTbbb=+++，求nT；（3）若(1)nna−，对任意的*3,Nnn恒成立

，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析，27nbn=−（2）226,32618,3nnnnTnnn−=−+（3）1,3+【解析】【分析】（1）由递推关系121nnnaaa+=+，得到1112nnaa+−=，即可证明结果，进而求出通项公式；（2）根据（1）结

果，知27nbn=−，分3n和3n两种情况，利用等差数列的前n项和公式即可求出结果；（3）根据条件得到21297nn−+，对任意的*3,Nnn恒成立，再利用数列的函数性质，求出2297nn−+的最小值，即可求出结果.【小问1详解】由121nnnaaa+=+，得到121112

nnnnaaaa++==+，即1112nnaa+−=，又1nnba=，所以11112nnnnbbaa++−=−=为常数，又115a=−，得到15b=−，所以数列nb是公差为2，首项为5−的等差数列，1(1)5(1)227

nbbndnn=+−=−+−=−.【小问2详解】由（1）知，27nbn=−，当3n时，0nb，所以21212(527)()62nnnnnTbbbbbbnn−+−=+++=−+++=−=−，当3n时，

0nb，所以12123451231234()2()nnnnTbbbbbbbbbbbbbbbbb=+++=−++++++=−++++++++，得到2(527)2(531)26182nnnTnn−+−=−−−−+=−+，综上

，226,32618,3nnnnTnnn−=−+.【小问3详解】由（1）知127nna=−，得到127nan=−，所以(1)nna−，对任意的*3,Nnn恒成立，即1(1)27nn−−，对任意的*3

,Nnn恒成立，又230n−，显然有0，得到21(1)(27)297nnnn−−=−+，对任意的*3,Nnn恒成立，令2297(3)yxxx=−+，对称轴934x=，所以22

97yxx=−+在区间(3,)+上单调递增，故当4n=时，2297nn−+有最小值为3，所以13，得到13，所以的取值范围为1,3+.第Ⅱ卷提高题（共16分）19.已知椭圆C：22221(0)xyabab+=右焦点为F，右顶点为A，点B

在椭圆上，且BFx⊥轴，直线AB交y轴于点Q，若||2||AQBQ=；（1）求椭圆的离心率；（2）设经过点F且斜率为34−的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心1C在直线4x=−上，且1OCAP∥.求椭圆的方程.【答案】（1）12；（2）2211

612xy+=；【解析】【分析】（1）由题意可得||||ABBQ=，即acc−=，再由离心率公式可得所求值；（2）求得2ac=，3bc=，可得椭圆方程为2222143xycc+=，设直线FP的方程为3()4yxc=+，

联立椭圆方程求得P的坐标，以及直线AP的斜率，由两条直线平行的条件和直线与圆相切的条件，解方程可得2c=，即可得到所求椭圆方程．详解】（1）||2||AQBQ=，所以||||ABBQ=即acc−=【可得12cea==；（2）32ba=，12ca=，即2ac=，

3bc=，可得椭圆方程为2222143xycc+=，设直线FP的方程为3()4yxc=−−，代入椭圆方程可得2276130xcxc−−=，解得xc=−或13xc=，代入直线PF方程可得32cy=或914cy=−（舍去），可得3,2cP

c−，圆心1C在直线4x=上，且1OCAP∥，可设()4,Ct−，可得3243ctc=−−，解得2t=，即有()14,2C−，可得圆的半径为2，由直线FP和圆C相切的条件为dr=，可得|1283|25c−+−=，解得2c=

，可得4a=，23b=，可得椭圆方程为2211612xy+=.【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，注意运用直线和椭圆方程联立，求交点，以及直线和圆相切的条件dr=，考查化简运算能力，属于中档题．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号ww

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