【文档说明】四川省南充市2021-2022学年高二下学期期末考试数学（理）试题 含解析.docx，共(22)页，1.627 MB，由小赞的店铺上传

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南充市2021—2022学年度下期普通高中二年级学业质量监测理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知a，Rb，()2iiiab−=+（i为虚数单位），则（）A1a=，2

b=−B.1a=−，2b=C.1a=−，2b=−D.1a=，2b=【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用复数乘法结合复数相等列式求解作答.【详解】依题意，2i1iab−=−+，而a，Rb，所以1,2ab=−=−.故选：C2.命题“Rx，10xex

−−”的否定为（）A.0Rx，0010xex−−B.Rx，10xex−−C.Rx，10xex−−D.0Rx，0010xex−−【答案】D【解析】【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【详解】解：命题为全称命题“

Rx，10xex−−”，则命题的否定为0Rx，0010xex−−，故选：D．3.“1m=”是“直线1l：()410mxmy−++=与直线2l：()220mxmy++−=互相垂直”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【

答案】A【解析】【分析】根据给定直线方程求出12ll⊥的等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答..【详解】依题意，12(4)(2)0llmmmm⊥−++=，解得0m=或1m=，所以“1m=”是“直

线1l：()410mxmy−++=与直线2l：()220mxmy++−=互相垂直”的充分不必要条件.故选：A4.若曲线2yxaxb=++在点()0,b处的切线方程是20xy−+=，则（）A.1a=−，2

b=−B.1a=，2b=C.1a=，2b=−D.1a=−，2b=【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用导数的几何意义求解作答.【详解】因曲线2yxaxb=++在点()0,b处的切线方程是20xy−+=，对函数2yxaxb=++求导得：2yxa=+，所以1a=，2b

=.故选：B5.函数232()log2xfxxx+=−的大致图象是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】探讨给定函数的性质，结合当(0,2)x时函数()fx值的符号即可判断作答.【详解】函数232()

log2xfxxx+=−定义域为(2,2)−，232()()log()2xfxxfxx−−=−=−+，则有函数()fx是奇函数，其图象关于原点对称，选项B，C不满足；当(0,2)x时，212xx+

−，即32log02xx+−，因此()0fx，选项A不满足，D符合条件.故选：D6.某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：3cm）为（）A.643B.32C.963D.64【答案】B【解析

】【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步利用割补法的应用求出结果．【详解】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥，如图所示：故111(48)4432332DABCEABCEVVSDC−=

==+=四边形．故选：B．7.调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.02mg/mL．如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减小，他至少

要经过几小时才可以驾驶机动车（精确到小时）（）A.5小时B.4小时C.3小时D.2小时【答案】B【解析】【分析】设n个小时后才可以驾车，根据题意可知，每单位时间内酒精下降的量成等比数列，进而可得方程，求得n

．【详解】解：设n个小时后才可以驾车，由题得方程0.3(150%)0.02n−„，即11()215n，因为411216=，31128=，所以4n，即至少要经过4小时后才可以驾驶机

动车．故选：B．8.抛物线24xy=的焦点为F，过点F的直线交抛物线于M，N两点，点P为平面上任意一点，O为坐标原点，则()()OPPMPNPO+−=（）A.－5B.－3C.3D.5【答案】B【解析】【分析】根据直线与抛物线的位置关系，利用韦达定理和向量数量积的坐标运算即可求解.【

详解】解：设()11,Mxy，()22,Nxy，由题意，直线MN的斜率存在，因为抛物线24xy=的焦点为(0,1)F，所以不妨设直线MN的方程为1ykx=+，由241xyykx==+，可得2440xkx−−=，所以124xxk+=，124xx=−，()()

()222121212121114411yykxkxkxxkxxkk=++=+++=−++=，所以()()()()11221212,,3OPPMPNPOMONxyxyxxOyy===+−=+−，故选：B.9.将边长为1的正方

形11AAOO（及其内部）绕1OO旋转一周形成圆柱，如图，AC长为2π3，11AB长为π3，其中1B与C在平面11AAOO的同侧，则异面直线1BC与OA所成的角的余弦值为（）A.32B.33C.22D.13【答案】C【解析】【分析】作出过点1B的圆柱的母线1BB，连接,

BCOB，证明//BCOA即可推理、计算作答.【详解】作出过点1B的圆柱的母线1BB，连接,BCOB，如图，则有111π3AOBAOB==，而2π3AOC=，即有π3BOC=，OBC为正三角形，π3OBCAOB==，因此，//BCOA，1BCB是异面直线1BC与OA所

成的角，由1BB⊥平面OBC得1BBBC⊥，而11BCOBOAAABB====，从而有1π4BCB=，12cos2BCB=，所以异面直线1BC与OA所成的角的余弦值为22.故选：C10.过椭圆C：()2222

10xyabab+=右焦点F的直线l：20xy−−=交C于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为12−，则椭圆C的方程为（）A.22184xy+=B.22195xy+=C.22173xy+=D.221106xy+=【答案】A【解析】【分析】由l与x轴交点横坐标

可得半焦距c，设出点A，B坐标，利用点差法求出22,ab的关系即可计算作答.【详解】依题意，焦点(2,0)F，即椭圆C的半焦距2c=，设1122(,),(,)AxyBxy，00(,)Pxy，则有2222221122222222bxayabbxayab+=

+=，两式相减得：2212121212()()a()()0bxxxxyyyy+−++−=，而1201202,2xxxyyy+=+=，且0012yx=−，即有2212122()()0bxxayy−−+−=，又直线l的斜率12121yyxx−=−，因此有222

ab=，而2224abc−==，解得228,4ab==，经验证符合题意，所以椭圆C的方程为22184xy+=.故选：A11.过坐标原点O作直线l：()()2160axay++−−=的垂线，垂足为(),Hs

t，则22st+的取值范围是（）A.0,22B.(0,22C.0,8D.(0,8【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，将22st+表示成a的函数，求出函数的值域的作答.【详解】依题意，(,)OHst=，直线

l的方向向量(1,2)naa=−+，则有(1)(2)0(2)(1)6asatasat−++=+−−=，解得22226(2)(2)(1)6(1)(2)(1)asaaataa+=++−−=−++−，因此，22222363619(2)(1)2()22s

taaa+==++−++，因当12a=−时，2192()22a++取最小值92，则有23608192()22a++，所以22st+的取值范围是(0,8].故选：D12.设0.010.01ea=，199b=，ln

0.99c=−，则（）A.cabB.cbaC.abcD.acb【答案】A【解析】【分析】根据给定数的特征，构造对应的函数，借助导数探讨单调性比较函数值大小作答.【详解】令函数e,,ln(1)1xxyxtuxx===−−−，(0,21)x−，显然0,0yt，则lnlnln

[lnln(1)]ln(1)ytxxxxxx−=+−−−=+−，令()ln(1)fxxx=+−，(0,21)x−，求导得1()1011xfxxx=+=−−，即()fx在(0,21)−上单调递减，(0,21)

x−，()(0)0fxf=，即lnlnytyt，因此当(0,21)x−时，e1xxxx−，取0.01x=，则有0.010.0110.01e10.0199ab===−，令()eln(1)xgxyuxx=−=+

−，(0,21)x−，21(1)e1()(1)e11xxxgxxxx−+=++=−−，令2()(1)e1xhxx=−+，(0,21)x−，2()(21)e0xhxxx=+−，()hx在(0,21)−上单调递减，(0,21)x−，()(0)0

hxh=，有()0gx，则()gx在(0,21)−上单调递增，(0,21)x−，()(0)0gxg=，因此当(0,21)x−时，eln(1)xxx−−，取0.01x=，则有0.010.01eln(10.01)ln0.99ac=

−−=−=，所以cab.故选：A【点睛】思路点睛：涉及某些数或式大小比较，探求它们的共同特性，构造符合条件的函数，利用函数的单调性求解即可.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知非零向量a

，b的夹角为π3，3a=，()aab⊥−，则b=______．【答案】23【解析】【分析】利用垂直关系的向量表示，结合数量积的定义及运算律求解作答.【详解】非零向量a，b的夹角为π3，3a=，则由()aab⊥−得：()0−=aab，即20aab−=，于是得2π33||||

cos||32aababb====，所以||23b=.故答案为：2314.若双曲线2221(0)xymm−=的渐近线与圆22410xyx+−+=相切，则m=______．【答案】33【解析】【分析】求出渐近线方程

，求出圆心与半径，利用点到直线的距离等于半径求解即可．【详解】解：双曲线2221(0)xymm−=的渐近线：xmy=，圆22410xyx+−+=的圆心(2,0)与半径3，双曲线2221(0)xymm

−=的渐近线与圆22410xyx+−+=相切，2231m=+，解得33m=或33m=−（舍去）．故答案为：33．15.如图，平面四边形ABCD中，ABAD⊥，ABAD=，3BC=，1CD=，则四边形ABCD的面积的最大值为______．【答案】612+

【解析】【分析】令(0π)BCD=，利用余弦定理、三角形面积公式将四边形ABCD的面积表示为的函数，再求出函数最大值作答.【详解】连接BD，如图，令(0π)BCD=，在BCD△中，由余弦定理得：2222cos423cosBDBCCDBCCD=+−=−，因

ABAD⊥，ABAD=，则22123cos2ABBD==−，因此，四边形ABCD的面积21133sin1cossin2222ABDBCDSSSABBCCD=+=+=−+6π1sin()24=+−，而ππ3π444−−，则当ππ42−=，即3π4=时，max612S=+，所

以四边形ABCD的面积的最大值为612+.故答案为：612+16.已知函数()32fxxaxbxc=+++一个零点为1x=，另外两个零点可分别作为一个椭圆、一双曲线的离心率，则1ba−的取值范围是______．【答案】12,3−−

【解析】【分析】由给定零点及范围求出a，b满足的约束条件，再利用斜率型的线性规划问题求解作答.【详解】依题意，(1)10fabc=+++=，即1cab=−−−，322()1(1)[(1)1]fxxaxbxabxxaxab=++−−−=−+++

++，令2()(1)1gxxaxab=+++++，则二次函数()gx的两个零点12,xx满足，1201xx，于是得(0)10(1)230gabgab=++=++，将a视为x，b视为y，画出不等式组10230xyxy++++表示的可行域，如图中阴影区域，

其中(2,1)P−，目标函数1ba−，即01yx−−表示可行域内的点(,)xy与定点(1,0)A确定的直线l的斜率，经过点,AP的直线0l的斜率为101213−=−−−，过点A平行于直线230xy++=的直线1l的斜率为2−，观察图形

知，当直线l从0l开始绕点A顺时针旋转到1l的过程中的每个位置的直线（不含0l，1l）都过可的行域内的点，即直线l的斜率12,3k−−，所以1ba−的取值范围是12,3−−.故答案为：12,3−−

【点睛】关键点睛：涉及二元不等式组类型问题，作出不等式组表示的平面区域，利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义是解题的关键．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答

．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知公差d不为零的等差数列na中，37a=，又249,,aaa成等比数列．（1）求数列na的通项公式；（2）设11nnnbaa+=，求数列nb前n项和nS．【答案】（1）32nan=−（2）31

+nn【解析】【分析】（1）利用已知条件和等比中项，求出数列的首项和公差，即可求出通项公式；（2）利用裂项相消法即可求出结果.【小问1详解】解：公差d不为零的等差数列na中，37a=，又249,,aaa成等比数列，所以31242927aadaaa=+=

=ìïíïî，即()()()121112738adadadad+=+=+?ìïíïî，解得11,3==ad，则1(1)13(1)32naandnn=+-=+-=-；【小问2详解】的解：由（1）可知，111111(32)(31)33231nn

nbaannnn+===−−+−+，可得数列nb的前n项和11111111113447323133131nnSnnnn骣骣琪琪=-+-+?-=-=琪琪-+++桫桫.18.已知函数32()2(R,R)fxxaxbxab=

+++在1x=−处取得极值3．（1）求a，b的值；（2）求函数()fx在区间22−,上的最值．【答案】（1）1,1ab==−；（2）最大值为12，最小值为0.【解析】【分析】（1）求出函数()fx的导数，利用给定极值点和极值列式求出a，b并验证作答.（2）由

（1），利用导数求出()fx在给定区间上最值作答.【小问1详解】依题意，2()32fxxaxb=++，则有(1)320(1)13fabfab−=−+=−=−+=，解得1,1ab==−，此时，2()321(31)(1)fxxxxx=+−=−+，显然1

x−时，()0fx，当113x−时，()0fx，即在1x=−处取得极大值(1)3f−=，所以1,1ab==−.【小问2详解】由（1）知，32()2fxxxx=+−+，()(31)(1)fxxx=−+，当2

1x−−或123x时，()0fx，当113x−时，()0fx，即()fx在[2,1]−−，1[,2]3上单调递增，在1[1,]3−上单调递减，(2)0f−=，(1)3f−=，149()327f=，(2)12f=，因此，min()(2)0fxf=−=，max()(2

)12fxf==，所以函数()fx在区间22−,上的最大值为12，最小值为0.的19.如图，四棱锥PABCD−中，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD中，ABAD⊥，4ABAD+=，2CD=，45CDA=.（1）求证：PA⊥平面

ABCD；（2）设ABAP=，若直线PB与平面PCD所成角为30°，求线段AB的长.【答案】（1）证明见解析（2）45【解析】【分析】（1）由平面PAB⊥平面ABCD、ADAB⊥可得AD⊥平面PAB，然后可得ADP

A⊥，同理可得ABPA⊥，即可证明；（2）设ABAPt==，以A为原点，建立空间坐标系Axyz−，求出平面PCD的法向量，利用空间向量求出线面角，得到关于t的方程，求解即可.【小问1详解】因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB=，ADAB⊥，AD

平面ABCD，所以AD⊥平面PAB，因为PA平面PAB，所以ADPA⊥，同理可得ABPA⊥，因为ABADA=，所以PA⊥平面ABCD，【小问2详解】的如图以A为原点，以AB，AD，AP所在直线为,,xyz轴建立空间坐标系Axyz−

，在底面ABCD内，作//CEAB交AD于E，则CEAD⊥，在直角CDE△中，1DECE==设ABAPt==，则(),0,0Bt，()0,0,Pt，由4ABAD+=，则4ADt=−，则()0,3,0Et−，()1,3,0Ct−，()0,4,0Dt−，所以()0,4,

PDtt=−−uuur，()1,1,0CD=−，(),0,PBtt=−uur设平面PCD的法向量为(),,nxyz=r，得()400nPDtytznCDxy=−−==−+=，取xt=，则(),,4ttnt=−r

故由直线PB与平面PCD所成角大小为30°，则有sin30cos,nPBnPBnPB==ouurruurruurr，即()22222244122tttttt++−=−，化简得：2524160tt−+=，解得：45t=或4

t=（舍去，因为40ADt=−），即45AB=.20.如图所示：已知椭圆E：()222210xyabab+=的长轴长为4，离心率32e=．A是椭圆的右顶点，直线l过点()1,0M−交椭圆于C，D两点，交y轴于点P，PCCM=，PDDM

=．记ACD△的面积为S．（1）求椭圆E的标准方程；（2）求S的取值范围；（3）求证：+为定值．【答案】（1）2214xy+=；（2）33(0,)2；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出半焦距c及b即可作答.（2）设出直线l的方程，与

椭圆E的方程联立，结合韦达定理求出面积S的表达式即可求解作答.（3）由（2）中信息，用点C，D的坐标表示出,即可计算作答.【小问1详解】令椭圆E的半焦距为c，依题意，2a=，32cea==，解得3c=，则2221bac

=−=，所以椭圆E的标准方程为2214xy+=.【小问2详解】依题意，直线l不垂直于坐标轴，设直线l：1xty=−，0t，设1122(,),(,)CxyDxy，由22144xtyxy=−+=消去x并整理得：22(4)230tyty+−−

=，则12224tyyt+=+，12234yyt=−+，22221212121222221243||()()4()444ttyyyyyyyyttt+−=−=+−=+=+++，由（1）知(2,0)A，则有2122221636||||12433tSAMyyttt+=−==++++，令

233ut=+，显然函数1yuu=+在(3,)+上单调递增，2214333tt+++，则3302S，所以S的取值范围是33(0,)2.【小问3详解】由（2）知，1(0,)Pt，由PCCM=得111

()yyt−=−，即111ty=−+，而PDDM=，同理211uty=−+，因此，2121212221184222334tyytttytytyyt+++=−++=−+=−+=−−+，所以83+=−为定值.【点睛】思路点睛：圆锥曲线

中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.21.设函数22()ln()Rfxaxxaxa=−+−．（1）当0a时，讨论函数()fx的单调性；（2）设()2()2lnxxaax=+−，记(

)()()hxfxx=+，当0a时，若方程()()Rhxmm=有两个不相等的实根1x，2x，求证：12xxa+．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析0【解析】【分析】（1）求导后转化为含参的函数，讨论单调性的实质就是解含参的不等式，

借助分子函数的图象，完成讨论．（2）本问题为极值点偏移问题，可转换为单变量的不等式证明，构造函数证明即可．【小问1详解】解：定义域为(0,)+，222()()22()2axaxaxaxafxxaxxx−+−−=−+−==；令()0fx=，

则得到导函数的两个零点，xa=或2ax=−，由于分母为正，故我们只关注分子函数()2()()2agxxax=−+，其为二次函数，借助其图象，以两个零点的大小关系为分类标准得到如下：①当2aa−时，即0a时，

当(0,)xa时，()0fx，()fx单调递减，当(,)xa+时，()0fx，()fx单调递增；②当2aa=−时，即0a=时，()0gx…恒成立，即()0fx…恒成立，故()fx在(0,)+上单调递增；综上所述，当0a时，()fx的单减区间为(0,

)a，单增区间为(,)a+；当0a=时，()fx只有单增区间(0,)+；【小问2详解】证明：由题可知，2()()()(2)(0)hxfxxxaxalnxx=+=+−−，设1x，2x是方程()hxm=的两个不等实根，不妨设为120xx，则21112222(2)(2)x

axalnxmxaxalnxm+−−=+−−=，两式相减整理得到2212121212()22axxlnxlnxxxxx−+−=−+−，从而得到221212121222xxxxaxxlnxlnx−+−=−+−，要证12xxa+，故只需要证明22121212121222xxxxxxxxln

xlnx−+−+−+−，由于12120xxlnxlnx−+−，转化为221212121212()()22xxxxlnxlnxxxxx+−+−−+−，即12121222xxlnxlnxxx−−+，即11

2122221xxxlnxxx−+，令12(0,1)xtx=，则上述式子转化为22((0,1))1tlnttt−+设22()1tRtlntt−=−+，则22214(1)()0(1)(1)tRtttt−=−=++…，当且仅当1t=时等号成立，故()Rt在(0,1)上单

调递增，故有()(1)RtR0=，(0,1)t故22((0,1))1tlnttt−+得证，即12xxa+.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参

数方程为232252xtyt=+=+（t为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程为25sin=．（1）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（2）若点P直角坐标为()3,5，圆C与

直线l交于A，B两点，求PAPB+的值．【答案】（1）直线l的普通方程为350xy−−+=，圆C的直角坐标方程为22(5)5xy+−=（2）32【解析】【分析】（1）由直线l的参数方程为消去参数t即可得直线l的普通方程，又由222xy=+，siny=，化简即可得

圆C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程得23240tt++=，设12,tt是上述方程的两实数根，又直线l过点(3,5)P，则A、B两点对应的参数分别为12,tt，从而根据韦达定理及直线参数方程中t的几何意义即

可求解.【小问1详解】解：由直线l的参数方程为232252xtyt=+=+（t为参数），消去参数t可得直线l的普通方程为350xy−−+=，又由圆C的极坐标方程为25sin=，可得225s

in=，因为222xy=+，siny=，所以圆C的直角坐标方程为22(5)5xy+−=；【小问2详解】解：将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程得22223522tt++=，即23240tt++=，设12,tt是上述方程的两实数根，则1212Δ03

24tttt+=−=，所以120,0tt，又直线l过点(3,5)P，则A、B两点对应的参数分别为12,tt，所以121232tttPAPtB=+=+=+.23.设实数a、b，满足2242ab+=．（1）求2+ab的取值范围；（2）若39abM−−=+

，求M的最小值．【答案】（1）222ab−+（2）23【解析】【分析】（1）利用基本不等式可得出关于2+ab的不等式，即可解得2+ab的取值范围；（2）利用基本不等式结合指数运算可求得M的最小值.【小问1详解】解：因为()()222222422244a

bababab+=+++=，222ab−+.当且仅当1a=，12b=时，22ab+=；当且仅当1a=−，12b=−时，22ab+=−.因此，2+ab的取值范围是222ab−+.【小问2详解】解：因为22123323233

39abbabaM−−−−−−−=+=+=，当且仅当1a=，12b=时，等号成立，因此，M的最小值为23.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com