【文档说明】东北三省三校（哈师大附中）2021届高三第三次模拟考试 数学（理）答案.pdf，共(4)页，611.305 KB，由小赞的店铺上传

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哈师大附中三模（理科）数学答案一、选择题：ＤＤＤＢＤＤＡＡＢＡＡＣ二、填空题：１３．－３；１４．２１６；１５．２０；１６．（－∞，－２），（－２，＋∞），［－１，２］１７．选择条件是：；△ＡＢＣ（１分）解：由已知：２ｓｉｎＡ

＋π()６＝２∴ｓｉｎＡ＋π()６＝１（４分）∵Ａ＋π６∈π６，７π()６∴Ａ＋π６＝π２∴Ａ＝π３（７分）选①：由Ｓ△ＡＢＣ＝１２ｂｃｓｉｎＡ＝槡３４ｂｃ槡＝３∴ｂｃ＝４（８分）由余弦定理：４＝ｂ２＋ｃ２－ｂｃ（１０分）解得：ｂ＝２，ｃ＝２（１２分）选②：由已知：ｂ＋ｃ槡

＝２３由余弦定理得：４＝ｂ２＋ｃ２－ｂｃ（１０分）解得：ａ＝槡４３３，ｂ＝槡２３３或ａ＝槡２３３，ｂ＝槡４３３（１２分）选③：由→ＡＢ·→ＡＣ＝３得：ｂｃ＝６（８分）由余弦定理：４＝ｂ２＋ｃ２－ｂｃ≥２ｂｃ－ｂｃ∴ｂｃ≤４矛盾∴△ＡＢＣ不存在（

１２分）１８．解：（１）由已知得：小明中奖概率为２３，小红中奖的概率为２５．且两人中奖与否互不影响．（１分）设“这两人的累计得分Ｘ≤３”为事件Ａ，则Ａ的对立事件为“Ｘ＝５”∵Ｐ（Ｘ＝５）＝２３×２５＝４１５（４分）∴Ｐ（Ａ）＝１

－Ｐ（Ｘ＝５）＝１１１５（６分）（２）设小明、小红都选择方案甲，抽奖中奖次数为Ｘ１，都选择乙方案抽奖，中奖次数为Ｘ２，则这两人选择甲方案抽奖，累计得分的期望为Ｅ（２Ｘ１），选择乙方案抽奖累计得分期望为Ｅ（３Ｘ２）（８分）由已知：Ｘ１～Ｂ２，()２３；Ｘ２～Ｂ２，()

２５（１０分）∴Ｅ（Ｘ１）＝２×２３＝４３，Ｅ（Ｘ２）＝２×２５＝４５∴Ｅ（２Ｘ１）＝２Ｅ（Ｘ１）＝８３，Ｅ（３Ｘ２）＝３×４５＝１２５∵Ｅ（２Ｘ１）＞Ｅ（３Ｘ２）∴他们选择甲方案抽奖时，累计得分的期望较大（１２分）—１—１９．（１）∵

ＰＤ⊥平面ＡＢＣＤ，ＡＤ、ＣＤ平面ＡＢＣＤ．∴ＰＤ⊥ＡＤ，ＰＤ⊥ＣＤ在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＤ⊥ＣＤ∴ＤＡ、ＤＣ、ＤＰ三条线两两垂直（１分）如图，分别以ＤＡ、ＤＣ、ＤＰ所在直线为ｘ轴、ｙ轴、ｚ轴建立空间直角坐标系则：Ａ（２，０，０），Ｂ（

２，４，０），Ｃ（０，４，０），Ｐ（０，０，４）（２分）∵→ＰＥ＝３→ＥＣ∴Ｅ（０，３，１）；∵→ＰＦ＝２→ＦＢ∴→ＰＦ＝２３→ＰＢ＝４３，８３，()８３∴→ＡＦ＝→ＡＰ＋→ＰＦ＝（

－２，０，４）＋４３，８３，－()８３＝－２３，８３，()４３设→ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ）为平面ＢＤＥ的一个法向量由→ｎ·→ＤＥ＝０→ｎ·→ＤＢ{＝０得：２ｘ＋４ｙ＝０３ｙ＋ｚ{＝０取→ｎ＝（－２，１，－３）（４分）∵→ＡＦ·→ｎ＝４３＋８３－４＝０∴

→ＡＦ⊥→ｎ又∵ＡＦ平面ＢＤＥ∴ＡＦ∥平面ＢＤＥ（７分）（２）假设存在Ｍ满足→ＡＭ＝λ→ＡＰ（０≤λ≤１），使ＣＭ⊥平面ＢＤＥ→ＣＭ＝→ＣＡ＋→ＡＭ＝（２，－４，０）＋λ（－２，０，４）＝（２－２λ，－４，４λ）（８分）若ＣＭ⊥平面ＢＤＥ，则→ＣＭ∥→ｎ∴２－２λ－

２＝－４１＝４λ－３（１０分）即：２－２λ＝８１２＝４{λ∴λ∈故不存在满足条件的点Ｍ（１２分）２０．解：（１）由已知：Ｃ２（４，０）；Ｃ１的准线为：ｘ＝－１４．（２分）∴圆心Ｃ２到Ｃ１准线距离为４－－()１４＝１７４（３分）（２）

设Ｐ（ｙ２０，ｙ０），Ａ（ｙ２１，ｙ１）·Ｂ（ｙ２２，ｙ２）切线ＰＡ：ｘ－ｙ２０＝ｍ１（ｙ－ｙ０）由ｘ＝ｍ１ｙ＋ｙ２０－ｍ１ｙ０ｙ２＝{ｘ得：ｙ２－ｍ１ｙ－ｙ２０＋ｍ１ｙ０＝０由ｙ０＋ｙ１＝ｍ１得：ｙ１＝ｍ１－ｙ０切线ＰＢ：ｘ－ｙ

２０＝ｍ２（ｙ－ｙ０）同理可得：ｙ２＝ｍ２－ｙ０依题意：Ｃ２（４，０）到ＰＡ：ｘ－ｍ１ｙ－ｙ２０＋ｍ１ｙ０＝０距离｜４－ｙ２０＋ｍ１ｙ０｜ｍ２１槡＋１＝１—２—整理得：（ｙ２０－１）ｍ２１＋（８ｙ０－２ｙ３０）ｍ１＋ｙ４０

－８ｙ２０＋１５＝０同理：（ｙ２０－１）ｍ２２＋（８ｙ０－２ｙ３０）ｍ２＋ｙ４０－８ｙ２０＋１５＝０∴ｍ１＋ｍ２＝２ｙ３０－８ｙ０ｙ２０－１（ｙ２０≠１）（９分）∵ｋ１＝ｙ０ｙ２０－４，ｋ２＝ｙ１－ｙ２ｙ２１－ｙ２２＝１ｙ１＋ｙ２＝１ｍ１＋ｍ２－２ｙ０＝ｙ２

０－１－６ｙ０∴ｋ１ｋ２＝ｙ０ｙ２０－４·ｙ２０－１－６ｙ０＝－５２４．解得：ｙ＝±４故所求Ｐ点坐标为（１６，４）或（１６，－４）（１２分）２１．解：（１）由已知：ｆ′（ｘ）＝ａ＋１＋ｌｎｘ（１分）依题意：ｆ（ｅ）＝３ｅ－３ｅ＝０＝ａｅ＋ｅｌｎｘ＋ｂｆ′（ｅ）＝ａ＋１＋ｌｎｅ＝ａ{＋２

＝３解得：ａ＝１，ｂ＝－２ｅ（４分）（２）由（１）知：ｆ（ｘ）＝ｘ＋ｘｌｎｘ－２ｅｆ（ｘ）＋２ｅｘ－１＞ｎ即：ｘ＋ｘｌｎｘｘ－１＞ｎ设：ｇ（ｘ）＝ｘ＋ｘｌｎｘｘ－１，（ｘ＞１）原问题转化为ｇ（ｘ）ｍｉ

ｎ＞ｎ（５分）ｇ′（ｘ）＝（１＋１＋ｌｎｘ）（ｘ－１）－（ｘ＋ｘｌｎｘ）（ｘ－１）２＝ｘ－ｌｎｘ－２（ｘ－１）２令ｈ（ｘ）＝ｘ－ｌｎｘ－２，（ｘ＞１）∵ｈ′（ｘ）＝１－１ｘ＝ｘ－１ｘ＞０∴ｈ（ｘ）在（１，＋∞）上递增．又∵ｈ（３）＝１ｌｎ３＜０ｈ（４）＝２－２ｌｎ２

＞０∴ｈ（ｘ）存在唯一零点，设为ｘ０，ｘ０∈（３，４）ｈ（ｘ）＞０ｘ＞ｘ０，ｈ（ｘ）＜０｜＜ｘ＜ｘ０∴ｇ′（ｘ）＞０ｘ＞ｘ０，ｇ′（ｘ）＜０｜＜ｘ＜ｘ０∴ｇ（ｘ）在（１，ｘ０）递减，（ｘ０，＋∞）上递增∴ｇ（

ｘ）ｍｉｎ＝ｇ（ｘ０）＝ｘ０＋ｘ０ｌｎｘ０ｘ０－１（９分）∵ｇ′（ｘ０）＝０∴ｘ０－ｌｎｘ０－２＝０∴ｌｎｘ０＝ｘ０－２∴ｇ（ｘ）ｍｉｎ＝ｘ０＋ｘ０（ｘ０－２）ｘ０－１＝ｘ０∈（３，４）∴ｘ０＞ｎ（１１分）∴ｎ的

最大值为３（１２分）—３—２２．解：（１）消参得ｌ的普通方程为：ｙ＝１－ｘ（２分）∵ρ２＝１２３ｃｏｓ２θ＋４ｓｉｎ２θ∴３ρ２ｃｏｓ２θ＋４ρ２ｓｉｎ２θ＝１２∵ρｃｏｓθ＝ｘρｓｉｎθ＝{ｙ∴３ｘ２＋４ｙ２＝１２∴ｘ２４＋ｙ２３＝１∴Ｃ的直角坐标方程为：ｘ２４＋ｙ２

３＝１．（５分）（２）设Ａ、Ｂ对应参数为ｔ１，ｔ２，则Ｍ对应参数为ｔ１＋ｔ２２由ｔ的几何意义知：｜ＰＭ｜＝｜ｔ１＋ｔ２｜２将ｘ＝－槡２２ｔｙ＝１＋槡２２�������ｔ代入３ｘ２＋４ｙ２－１２＝０得：３ｘ１２ｔ２＋４ｔ２２槡＋２ｔ()＋１－１２＝０∴７ｔ２槡＋８２ｔ－１６＝

０Δ＞０∴ｔ１＋ｔ２＝－槡８２７∴｜ＰＭ｜＝｜ｔ１＋ｔ２｜２＝槡４２７（１０分）２３．（１）解：当ｘ＜－１时，ｆ（ｘ）＝１－２ｘ－２ｘ－２＝－４ｘ－１≥４∴ｘ≤－５４∴ｘ≤－５４当－１≤ｘ≤１２时，ｆ（ｘ）＝１－２ｘ＋２ｘ＋２＝３≥４∴ｘ∈当ｘ＞１２时，ｆ（ｘ）＝

２ｘ－１＋２ｘ＋２＝４ｘ＋１≥４∴ｘ≥３４∴ｘ≥３４∴不等式解集为：－∞，－(]５４∪３４，＋[)∞（５分）（２）ｆ（ｘ）＝｜２ｘ－１｜＋｜２ｘ＋２｜＝｜１－２ｘ｜＋｜２ｘ＋２｜≥｜（１－２ｘ）＋（２ｘ＋２）｜＝３当且仅当（１－２ｘ）（２ｘ＋

２）≥０，即：－１≤ｘ≤１２时，ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝３∴ｍ＝３（７分）∴ａ＋２ｂ＋３ｃ＝３由柯西不等式可得：（ａ２＋ｂ２＋ｃ２）（１２＋２２＋３２）≥（ａ＋２ｂ＋３ｃ）２∴ａ２＋ｂ２＋ｃ２≥３２１２＋２２＋３２＝９１４当且仅当ａ１＝ｂ２＝ｃ

３即：ａ＝３１４，ｂ＝６１４，ｃ＝９１４时：ａ２＋ｂ２＋ｃ２最小值为９１４（１０分）—４—