【文档说明】《苏教版（2019）高一数学下学期期末考试分类汇编》复数（教师版）【高考】.docx，共(16)页，743.056 KB，由小赞的店铺上传

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1专题04复数一、单选题1．（2021·江苏南通·高一期末）设i12iz=−，则z=（）A．2i−−B．2i−+C．2i+D．2i−【答案】A【解析】【分析】根据复数的除尘法则计算．【详解】由已知2212ii(

12i)i2i2iii1z−−−====−−−．故选：A．2．（2021·江苏淮安·高一期末）若复数1iz=+，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数的几何意义可得复数

1iz=+在复平面内对应的点的坐标为（1，1）,从而得到答案.【详解】复数1iz=+在复平面内对应的点的坐标为（1，1）所以z在复平面内对应的点位于第一象限故选：A3．（2021·江苏徐州·高一期末）已知i为虚数单位，则12i2i+=−（

）A．45i33+B．5i3C．iD．i−【答案】C【解析】【分析】由复数的除法运算可得结果.【详解】()()()()12i2i12i225ii2i2i2i5+++−+===−−+.2故选：C.4．（2021·江苏泰

州·高一期末）设13iz=+，21izm=+，若12zz为纯虚数，则实数m=（）A．3−B．13−C．13D．3【答案】D【解析】【分析】先对12zz化简，然后使其实部为零，虚部不为零，求出m【详解】解：因

为13iz=+，21izm=+，所以122(3i)(1i)33iii(3)(31)izzmmmmm=++=+++=−++，所以12zz为纯虚数，所以30m−=且310m+，解得3m=，故选：D5．（2021·江苏·南京市第二十九中学高一期末）已知mR

，i是虚数单位，若2izm=+，且6zz=，则m=（）A．1−或1B．2−或2C．2−或2D．34−或34【答案】C【解析】【分析】由题设知22zzm=+，结合6zz=即可求m的值.【详解】由题意，2(2i)(2i)26zzmmm=+−=+=，∴24m=，可得2m=.故

选：C6．（2021·江苏苏州·高二期末）已知复数()12zii=−+（i为虚数单位），则复数z的实部为（）A．-2B．-1C．1D．2【答案】D【解析】根据复数的乘法运算法则，化简z，即可得出其实部.【详解】因为()122ziii=−+=−+，3所以其

实部为2.故选：D二、多选题7．（2021·江苏·南京市第二十九中学高一期末）欧拉公式icosisine=+（其中i是虚数单位，R）是由瑞典著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在

复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（）A．复数3ie对应的点位于第一象限B．复数i1ixe+的模长等于22C．ie为纯虚数D．42ii3310ee++=【答案】BD【解析】【分析】根据欧拉公式的定义，有3icos3is

in3e=+、icosisin1i2(cosisin)44xexx+=++、icosisine=+、42ii3344221cosisincosisin13333ee++=++++，结合对应三角函数值及复数三角形式的

除法运算即可知各选项的正误.【详解】A：3icos3isin3e=+，而32，则cos30、sin30，故3ie位于第二象限，错误；B：icosisin2[cos()isin()]1i2442(co

sisin)44xexxxx+==−+−++，则其模长为22，正确；C：icosisin1e=+=−，则ie为实数，错误；D：42ii334422111cosisincosisin110333322ee++=++++=−−

+=，正确；故选：BD8．（2021·江苏·南京师大附中高一期末）已知复数13zi=−+(i为虚数单位)，z为z的共轭复数，若复数zwz=，则下列结论正确的有（）A．w在复平面内对应的点位于第二象限B．1w=C．w的实部为12−D．w的虚部为32i4【答案】ABC【解析】【分析】对选项,A求出13

=22wi−+，再判断得解；对选项B，求出1w=再判断得解；对选项,C复数w的实部为12−，判断得解；对选项D,w的虚部为32,判断得解.【详解】对选项,A由题得13,zi=−−213(13)22313=42213(13)(13)iiiwiiii−

−−−−+===−+−+−+−−.所以复数w对应的点为13(,)22−，在第二象限，所以选项A正确；对选项B，因为13144w=+=，所以选项B正确；对选项,C复数w的实部为12−，所以选项C正确；对选项D,w的虚部为32,所以选项D错误.故选：A

BC【点睛】本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查复数的模的计算，考查复数的几何意义，考查复数的实部和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、填空题9．（2021·江苏连云港·高一期末）已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数为0，32i+，24i−+，则

点B所对应的复数为______．【答案】16i+【解析】【分析】根据复数在复平面对应点的性质，结合平行四边形的性质进行求解即可.【详解】因为平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数为0，32i+，24i−+，所以(0,0),(

3,2),(2,4)OAC−，设(,)Bxy，因为平行四边形对角线互相平分，所以对角线OB的中点就是对角线AC的中点，所以03(2)024,1,62222xyxy++−++====，因此点B所对应的复数为16i+，5故答案为：16i+10．（2021·江苏·南京市建邺高级中

学高一期末）计算：101i1i+=−_____________【答案】-1【解析】【分析】根据复数的运算法则，即可求解．【详解】21i(1i)12i1i1i(1i)(1i)2+++−===−−+，101

042221i()i(i)i1(1)1i+===−−．故答案为：1−．四、解答题11．（2021·江苏·南京市建邺高级中学高一期末）在①4zz+=，②z为纯虚数，③11izz=−且1z对应的点在第一象限内，这三个条件中任选一个，补充在

下面的问题中，并解决该问题．已知复数()()2321izmmm=−++−（i为虚数单位），z为z的共轭复数，若_________，求实数m的值或取值范围．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件给分）【答案】答案不唯一，具体见解析【解析】【

分析】若选①：利用共轭复数的定义列式求解即可；若选②：利用纯虚数的定义列式求解即可；若选③：利用复数的除法运算求出1z，再由复数的几何意义列出不等式，求解即可．【详解】选①：2(32)(1)izmmm=−+−−由4zz+=得()()()()()222321i+321i=232=4mmmmmmmm

−++−−+−−−+解得0m=或3m=；选②：z为纯虚数，所以232=010mmm−+−解得2m=；选③：由11izz=−得()()()()21222==321i1i243+1immmmmmzm−++−

−++−−，又1z对应的点在第一象限内，则224302+10mmmm−+−，故1m或3m．612．（2021·江苏宿迁·高一期末）已知复数z满足2z=，2z的虚部为2，在复平面内，z所对应的点A在第一象限．（1）求

复数z；（2）设向量OZ表示复数z对应的向量，()()cosisin0z+的几何意义是将向量OZ绕原点逆时针旋转后得到新的向量对应的复数．利用该几何意义，若OAB是等边三角形，求向量OB对应的复数．【答案

】（1）1iz=−；（2）131322i−++或131322i+−+．【解析】【分析】（1）根据复数模的定义，复数虚部的定义、共轭复数的定义进行求解即可；（2）根据题中所给的复数几何意义，结合等边三角形的性质进行求解即可.【详解】解：（1）设()i,zababR=+

，则2222izabab=−+，22zab=+，因为2z=，2z的虚部为2，所以22222abab+==得2211ab==，因为z所对应的点A在第一象限，所以0a，0b得1a=，1b=，1iz=+，

所以1iz=−．（2）等边三角形OAB可以看成OB向量OA绕旋转3，设向量OB对复数'z，'131313(cossini)(1i)(i)(1i)i332222z−+=++=++=+，或''1313(1i)(cossini)i3322zz

+−+=+=+，所以向量OB对应的复数131322i−++或131322i+−+．13．（2021·江苏·南京市中华中学高一期末）设复数1z，2z满足12z=.（1）若1z在复平面内对应的点位于第一象限，且实部为3，计算11zz；（2）若213iz=+

，12zz是纯虚数，求1z.【答案】（1）13i−；（2）3i−−或3i+.【解析】【分析】7（1）由1z对应的象限以及实部为3，12z=求出1z，再计算11zz；（2）设1izab=+，由纯虚数的定义列出方程组求解即可.【详解

】（1）由题意易得13iz=+，113223i13i23iizz−−===−+（2）()()()12i13i33izzababba=++=−++2230341abaabb−==−+==−或31ab==故13iz=−−或3i+14．（2021·江苏·泰州

中学高一期末）已知复数13zai=+，22zai=−(aR，i是虚数单位).（1）若12zz−在复平面内对应的点落在第一象限，求实数a的取值范围；（2）若虚数1z是实系数一元二次方程260xxm−+=的根，

求实数m的值.【答案】（1）(2,3)；（2）18.【解析】（1）求出122(3)zzaai−=−+−，再根据复数的几何意义可得不等式组，即可得到答案；（2）将复数13zai=+代入一元二次方程，可得

26906180aama−+−=−=，解方程组即可得到答案；【详解】解：（1）由题意得，122(3)zzaai−=−+−，因为12zz−在复平面内对应的点落在第一象限，所以2030aa−−

，解得(2,3)a.（2）由21160zzm−+=得2(3)6(3)0aiaim+−++=，即269(618)0aamai−+−+−=，所以26906180aama−+−=−=，解得318am==.【点睛】本题考查复数的四则运算，复数的几何意义，考查运算求解能力.15．（

2021·江苏省天一中学高一期末）已知复数在复平面内对应的点位于第二象限，且满足2240++=.（1）求复数；8（2）设复数(,)zxyixyR=+满足：z为纯虚数，2z=，求xy的值.【答案】（1）13i=−+；（2）3xy=−.

【解析】【详解】分析：（1）解一元二次方程，得到13i=−，根据在复平面内对应的点位于第二象限，即可判断的取值．（2）根据复数的乘法运算、纯虚数的概念、模的定义，联立方程求得x、y的值，进而求得xy的值．详解：（1）因为2240++=，所以

13i=−，又复数对应的点位于第二象限，所以13i=−+；（2）因为()()()1333ixyixyxyi−++=−−+−，又z为纯虚数，所以30xy−−=，又2z=得224xy+=，解得1y=，3x=−或1y=−，3x=；所以3xy=−.点睛：本题考查了复数相等、纯虚数等概念和复

数的混合运算，对基本的运算原理要清晰，属于基础题．一、单选题1．（2021·江苏南京·高一期末）若32aii−+为纯虚数，则实数a的值为（）A．32−B．23−C．23D．32【答案】C【解析】先化简复数，再利用纯虚数

的定义求解.【详解】由题得()(32)(32)(23)32(32)(32)13aiaiiaaiiii−−−−−+==++−，因为32aii−+为纯虚数，则320(23)0aa−=−+，所以23a=.9故选：C【点睛】结论点睛：复数(,)zabiabR=+则0a

=且0b，不要漏掉了0b.二、多选题2．（2021·江苏常州·高一期末）下列结论正确的是（）A．若复数z满足0zz+=，则z为纯虚数B．若复数1z，2z满足1212zzzz+=−，则120zz=C．若复数z满足1Rz，则zRD．若复数z满足3i1z−=，则||[2,4]z【答案】

CD【解析】【分析】直接利用复数代数形式的运算法则，复数的模，复数的几何意义结合选项判断各选项即可．【详解】解：对于A：设i(,)zababR=+，则izab=−，由于0zz+=，所以0a=，故izb=，当0b=时，z为实

数，故A错误；对于B：设1izab=+，2i,,,,zcdabcdR=+，所以2212||()()zzacbd+=+++，2212||()()zzacbd−=−+−，由于复数1z，2z满足1212||||zzzz+=−，所以2222()

()()()acbdacbd+++=−+−，则440acbd+=，整理得0acbd+=．所以12(i)(i)()()i0zzabcdacbdadbc=++=−++，故B错误；对于C：设i,,zababR=+，所以(

)()2211ii=iiiababzabababab−−==++−+，由于复数z满足1Rz，所以0b=，故zR，故C正确；对于D：设i(,)zababR=+，因为|3i|1z−=，所以22(3)1(0)abb+−=，所以该曲线为以(0,3)为圆心，1为半径的圆，故||4maxz=，|

|312minz=−=，所以||[2z，4]，故D正确．故选：CD．3．（2021·江苏南通·高一期末）在复平面内，复数z对应的点为()1,3则（）10A．2zz+=B．210z=C．10zz=D．51iz=+【答案】AC【

解析】【分析】由对应点的坐标写出复数z，然后由复数的运算法则计算后判断．【详解】13iz=+13i13i2zz+=++−=，A正确222(13i)16i9i86iz=+=++=−+，B错误()()13i13i10zz=+−=，C正确1051i1i2zz===++，D错误故选：AC．4．（2

021·江苏扬州·高一期末）已知实数,,xab和虚数单位i，定义：复数0cossniizxx=+为单位复数，复数1izab=+为伴随复数，复数01i()()zzzfxgx==+为目标复数，目标复数的实部()fx和虚部

()gx分别为实部函数()fx和虚部函数()gx，则正确的说法有（）A．()cossinfxaxbx=−B．()sincosgxaxbx=−C．若()=2sin3fxx−，则3a=，1b=−D．若3a=，1b=−且6()=5gx，则锐角x的正弦值334sin10x+=【

答案】AD【解析】【分析】利用题中给出的信息，即可得到()fx和()gx，从而可判断选项A，B，利用两角和差公式化简()fx，从而得到a和b的值，即可判断选项C，利用辅助角公式化简()gx的解析式，利用角的变换以及三角恒等变换，求解sinx，即可判断选项D．【详解】解：因为()()0

1ii(cossin)(sincos)i()()icossinzzzabxxxabxbxaxxfgx===−+++++=，所以()cossinfxaxbx=−，()sincosgxaxbx=+，11故选项A正确，选项B错误；因

为()2sin()3cossin3fxxxx=−=−，所以3a=，1b=，故选项C错误；因为6()sincos3sincos2sin()65gxaxbxxxx=+=−=−=，所以3sin()65x−=，又因为x为锐角，则(,)663x−−，所

以24cos()1()665xsinx−=−−=，故334sinsin[()]sin()coscos()sin66666610xxxx+=−+=−+−=，故选项D正确．故选：AD．5．（2021·江苏徐州·高一期末）已知复数z满足(3+4i)z=|3-4i|(其中i为虚数单位)，则

（）A．z的虚部为45−iB．复数z在复平面内对应的点位于第一象限C．1zz=D．当θ∈[0，2π)时，|5z-cosθ-isinθ|的最大值为6【答案】BCD【解析】【分析】根据给定的复数等式求出复数z，然后对各选项逐一分析、推理计

算而作答.【详解】由(3+4i)z=|3-4i|得：22223(4)(34i)|34i|5(34i)34i34i(34i)(34i)3(4)55z+−−−−====−++−+−，z的虚部为45−，A不正确；34i55z=+，复数z在复平面内对应的点坐标为34(,)55，它位于第一象限

，B正确；3434i)i)5555((1zz−+==，C正确；因2[)0，，|cosisin|1+=，于是有复数cosisin+在复平面内对应的点的集合是以12原点为圆心的单位圆，而5cosisin(34i)(cosisn||i)||z

−−−−+=，它表示上述单位圆上的点到复数34i−所对应点的距离，从而得5co|ssi|inz−−的最大距离为复数34i−所对应点到原点距离加上半径，即：max||5cosisin34i|16|z=−−−+=，D正确.故选：BCD三、填空题6．（2021·江苏连

云港·高二期末）已知复数1z，2z满足12z=，23z=，124zz−=，则12zz+=________．【答案】10【解析】【分析】利用复数模的运算性质即可得出．【详解】解：12||4zz−=，222121212121122122112214()()

()()23zzzzzzzzzzzzzzzzzzzz=−−=−−=+−−=+−−，化为：12213zzzz+=−，则2221212121212112212212212||()()()()2310zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz+=++

=++=+++=+++=，12||10zz+=，故答案为：10．四、解答题7．（2021·江苏常州·高一期末）已知复数z满足2zz=，且z的虚部为1，z在复平面内所对应的点在第一象限.（1）求z；（2）若z，2z在复平面上对应的点分别为A，B，O为坐标原点，求OAB.【答案】（1

）1iz=+；（2）2OAB=.【解析】【分析】（1）设()iRzaa=+，得出iza=−，根据2zz=和z在复平面所对应的点在第一象限即可得到答案；（2）利用平面向量的夹角公式即可求得.【详解】13（1）由题意得，设()iRzaa=+

，则iza=−，所以212zza=+=，故1a=，又因为z在复平面所对应的点在第一象限，所以1iz=+（2）因为22(1i)2iz=+=，所以(1,1)A，(0,2)B所以(1,1)AO→=−−，(1,1)AB→=−，所以11cos022|||

|AOABOABAOAB→→→→−===,所以2OAB=.8．（2021·江苏扬州·高一期末）已知112iz=+是关于x的实系数方程20xmxn++=的一个复数根.（1）求实数,mn的值；（2）设方程的另一根为2z，复数12,zz对应的向量分别是,ab.若向量ta

b−与atb+rr垂直，求实数t的值.【答案】（1）23mn=−=；（2）1t=.【解析】【分析】（1）将复数根112iz=+代入方程，根据复数的特点，列式求值；（2）根据韦达定理求得2z，根据复数的几何意义可知(1,2),(1,2)ab==−，再代入向量

数量积坐标表示求值.【详解】（1）由题得2(12i)(12i)122i2i0mnmnm++++=−++++=，所以10,2220,mnm−++=+=得2,3.mn=−=（2）由（1）知，关于x的实系数方程为2230xx−+=，所以122zz+=，112i

z=+，则212iz=−，所以(1,2),(1,2)ab==−，则(1,2(1)),(1,2(1))tabttatbtt−=−++=+−.因为tab−与atb+垂直，所以2()()(1)(1)2(1)2(1)10tabatbttttt−+=−+++−=−+=，解得：1t=.9．（

2021·江苏淮安·高一期末）设复数123iz=+，2(i,izmmR=−为虚数单位）.（1）若12zz为实数，求m的值；（2）若12zzz=，且||26z=，求m的值.14【答案】（1）23m=−；（2）1m=

.【解析】【分析】（1）先化简12zz，然后令其虚部为零，可求出m的值；（2）先求出复数z，再由||26z=列方程可求出m的值【详解】（1）由于1222223i(23i)(i)(23)(32)ii111zmmmRzmmmm+++−+===+−+++，所以23201mm+=+，解得2

3m=−；（2）由于12(23i)(i)(23)(32)izzzmmm==++=−++，所以22(23)(32)26zmm=−++=，解得1m=.10．（2021·江苏·扬中市第二高级中学高一期末）（1）计算

20211i()(23i)(14i)1i++−+−；（2）设复数122i,4izazb++=−．（其中,abR），若12zz是纯虚数，且12zz+在复平面内对应的点在直线10xy+−=上，求12zz．【答案】（1）146i+；（2）10．【解析】【分析】(1)根据复

数的乘除法运算法则及i的运算性质求解即可；(2)将12zz和12zz+化为复数的代数形式，再根据12zz+是纯虚数及12zz+在复平面内对应的点在直线10xy+−=上，列出方程即可求出a、b的值，再根据复数的乘法运算求解即可.【详解】解：（1）21i

(1i)2ii1i(1i)(1i)2++===−−+，20214202145051ii1,i(i)ii1i+====−，20211i()(23i)(14i)i(145i)146i1i++−+=++=+−；（2）

12222i(2i)(4i)(24)(8)i4i1616zaabbaabzbbb+++−++===−++为纯虚数，15240280babaab−==+，又12(2)(4)i(22)(44)izzbaa+=++−=++−，12zz+

在复平面内对应点(22,4)aa+−满足22410aa++−−=，1,2ab==，12(2i)(24i)86i10.zz=+−=−=11．（2021·江苏·高二期末）在①()22100zza=；②复平面上表示12zz的点在直线20xy+=上；③(

)1i0za−三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答：已知复数11iz=+，()23iRzaa=+；(i为虚数单位)，满足___________.若1211zzz=+，求：（1）复数z，

以及z；（2）复数2z，以及2z.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)【答案】条件选择见解析；（1）34i55z=−，1z=；（2）2724i2525z=−−，21z=.【解析】【分析】（1）选①，用共轭复数的运算性质即可得到，

选②通过复数的除法运算法则得到，选③通过复数乘法运算法则得到；（2）先求出复数的平方进行化简，然后求出模即可.【详解】（1）若选①，22222==910zzza+=，又0a，所以=1a.若选②，()()()12221+i3i33i1

+i+3i99aaazzaaa−++−===++，又复平面上表示12zz的点在直线20xy+=上，所以22332099aaaa+−+=++，所以=1a.若选③，()()()()()1i1+ii11i0zaaaa−=−=++−得1010aa+−=，所以=1a

.所以2=13iz+.（1）1211111i13i34+i1i13i21055zzz−−==+=+=−++，2234155z=+−=.16（2）223491624724ii=i552525252525z=−=−−−−

，22272412525z=−+−=.