【文档说明】北京市西城区2021-2022学年高一下学期期末数学试题 含解析.docx，共(18)页，1.359 MB，由小赞的店铺上传

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北京市西城区2021—2022学年度第二学期期末试卷高一数学2022.7一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.在复平面内，复数2iiz=+对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】

【分析】先化简计算出z，然后根据z对应的点的坐标判断出所在象限即可.【详解】因为2ii1iz=+=−+，所以z对应点的坐标为()1,1−，所以z对应点所在象限为第二象限，故选：B.2.设向量()3,1a=，(

)1,2b=-，则()2abb−=（）A.-11B.-9C.-7D.-5【答案】A【解析】【分析】利用向量坐标运算求2ab−坐标，再由数量积的坐标运算求()2abb−.详解】由题设，2(5,3)ab−=−，所以()25(1)(3)211abb−=−

+−=−故选：A3.设m，n为两条直线，，为两个平面.若∥，mn∥，m⊥，则（）A.n∥B.n⊥C.m∥D.以上答案都不对【答案】B【解析】【分析】由空间中的线面关系判断即可.【详解】解：mn∥，m⊥，n⊥【.又∥

，n⊥.故选：B.4.若3cos5=，则3sin2−=（）A.35B.35-C.45D.45−【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式化简目标式，即可得答案.【详解】33sincos25−=−=−.故

选：B5.函数()sin26fxx=+，0,2x的最大值和最小值分别为（）A.1，-1B.12，12−C.1，12D.1，12−【答案】D【解析】【分析】利用正弦型函数的性质求区间最值即可.【详解】由题设，72[,]666x+，故()1si

n2[,1]62xfx+−=，所以()fx最大值和最小值分别为1，12−.故选：D6.在ABC中，若222abckab+−=，则实数k的取值范围是（）A.()2,2−B.()1,1−C.11,22−D.(

)0,1【答案】A【解析】【分析】由余弦定理及已知条件可得(1,1)2k−，即可求k的取值范围.【详解】由222cos(1,1)22kababCc==+−−，故()2,2k−.故选：A7.已知向量a，b满足4a=，2b=，()abb+⊥，那么向量a，b的夹角

为（）A.6B.3C.23D.56【答案】C【解析】【分析】设向量a，b的夹角为，由()abb+⊥得2cos0abb+=，即可求出1cos2=−，即可求出向量a，b的夹角.【详解】设向量a，b的夹角为，因为()a

bb+⊥，则()200abbabb+=+=，所以2cos042cos40abb+=+=，解得：1cos2=−，所以23=.故选：C.8.函数()1cos2sinxfxx−=的图像（）A.关于原点对称B.关于y轴对称C.关

于直线x=对称D.关于点,02对称【答案】A【解析】【分析】利用二倍角余弦公式化简()fx，注意定义域，进而判断奇偶性，代入法验证对称轴和对称中心.【详解】由题设，()2sinfxx=且{|}xxkZk，所以()fx为奇函数，关于原点对称，A正

确，B错误；()2sin0f==，()fx关于(,0)对称，C错误；()2sin222f==，()fx关于2x=对称，D错误；故选：A9.设(),−，则“3,44−”是“sincos0+”的（）A.充分而不必

要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由sincos2sin()4+=+，利用正弦型函数的性质及充分、必要性定义判断条件间的充分必要关系.【详解】由sincos2sin()4+=+，当3,44

−，则(0,)4+，此时sincos0+，充分性成立；当sincos0+，则[2,2]4kk++且Zk，即3[2,2]44kk−+且Zk，又(),−，故3,44−，必要性成立；所以“3,44−

”是“sincos0+”的充分必要条件.故选：C10.如图，正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD四条边上的一个动点，则PAPB的取值范围是（）A.1,2−B.0,2C.0,4D.1,4−【答案】D【解

析】【分析】建立平面直角坐标系，分点P在CD上，点P在BC上，点P在AB上，点P在AD上，利用数量积的坐标运算求解.【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系：则()()0,2,2,2AB，当点P在CD上时，设()(),002Pxx，则()(),2,2,2PAxPBx=−

=−−，所以()()224133,4PAPBxxx=−+=−+；当点P在BC上时，设()()2,02Pyy，则()()2,2,0,2PAyPBy=−=−，所以()220,4PAPBy=−；

当点P在AB上时，设()(),202Pxx，则()(),0,2,0PAxPBx==−，所以()()22111,0PAPBxxx=−=−−−；当点P在AD上时，设()()0,02Pyy，则()

()0,2,2,2PAyPBy=−=−−，所以()220,4PAPBy=−；综上：PAPB的取值范围是1,4−.故选：D二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.设复数z满足i1iz

=−，则z=___________.【答案】2【解析】【分析】先利用复数的除法化简，再利用复数的模公式求解.【详解】解：因为复数z满足i1iz=−，所以复数()21ii1i1iii−−===−−z，所以()()22

112z=−+−=，故答案为：212.在ABC中，3a=，3A=，3sin3B=，则b=___________.【答案】2【解析】【分析】直接由正弦定理，求解边长b即可.【详解】解：由正弦定得：sinsinbaBA=，所以33sin32sin32aBbA===.故答案

为：2.13.已知长方体的棱长分别为3，4，5，长方体的各个顶点都在一个球面上，则该球的表面积等于_______________．【答案】50【解析】【分析】根据长方体的结构特征，可得长方体的体对角线长等于其外接球的直径，由此求出球的半径，进而可得球的表面积.【详解】因

为长方体的体对角线长等于其外接球的直径，该长方体的棱长分别为3，4，5，所以外接球的直径为222234552r=++=，则522r=，所以该球的表面积为2450Sr==.故答案为：5014.在直角ABC中，斜边4AB=，则ABA

CBCBA+=___________.【答案】16【解析】【分析】利用相反向量和向量的加法法则即可求解.【详解】()2216ABACBCBAABACCBABABACCBABAB+=+=+===故

答案为：1615.已知a为常数，)0,2，关于的方程2sincos0a−+=有以下四个结论：①当0a=时，方程有2个实数根；②存在实数a，使得方程有4个实数根；③使得方程有实数根的a的取值范围是1,1−；④如果方程共有n个实数根，记n的取值集合

为M，那么1M，3M.其中，所有正确结论的序号是___________.【答案】①②④【解析】【分析】由2sincos0a−+=可得：2coscos10a+−−=，令cost=，所以方程变为：

210tta+−−=，所以关于的方程2sincos0a−+=有根问题就转化为yt=与cosy=，)0,2的交点个数，对选项一一分析即可得出答案.详解】由2sincos0a−+=可得：2coscos10a+−−=，令cost=，所以方程变为：210tta+−−=，所以

关于的方程2sincos0a−+=有根问题就转化为yt=与cosy=，)0,2的交点个数.对于①，当0a=时，方程变为：210tt+−=，则1450=+=，则设方程【210tt+−=的两根为12,tt，1215151,1,1,

122tt−+−−=−=−，而1yt=与cosy=，)0,2的图象有2个交点，故①正确；对于②，当()12,1,1tt−时，方程有4个实数根，故②正确.对于③，当54a=−时，方程为2104

tt++=，则()2210t+=，所以12t=−，则12y=−与cosy=，)0,2的图象有2个交点，所以③不正确；对于④，当1a=−时，方程为20tt+=，解得：121,0tt=−=，则则0y=与cosy=，)0,2的图

象有2个交点，1y=−与cosy=，)0,2的图象有1个交点，故关于的方程2sincos0a−+=有3个实根.当1a=时，方程为220tt+−=，解得：121,2tt==−，则则1y=与cosy=，)

0,2的图象有1个交点，=2y−与cosy=，)0,2的图象没有个交点，故关于的方程2sincos0a−+=有1个实根.所以④正确.故选：①②④三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字

说明，演算步骤或证明过程.16.在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边经过点()1,2−−.（1）求tan2的值；（2）求cos4+的值.【答案】（1）43−；（2）1010.【解析】【分析】（1）利用三角函数的定义先求tan

，再利用二倍角公式求解tan2即可；（2）利用三角函数的定义先求sin,cos，再利用余弦两角和公式求解cos4+即可【小问1详解】解：角以Ox为始边，终边经过点()1,2−−所以2tan21−==−所以222tan224tan21tan123

===−−−.【小问2详解】解：角以Ox为始边，终边经过点()1,2−−所以222222515sin,cos55(1)(2)(1)(2)−−==−==−−+−−+−所以5225210coscoscossinsin()4445

25210+=−=−−−=.17.如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，//ADBC，90BAD=，2ADBC=，E为PD的中点.（1）若2PAADAB===，求四棱锥PA

BCD−的体积；（2）求证：BC⊥平面PAB；（3）求证：//EC平面PAB.【答案】（1）2；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题设知ABCD为直角梯形，结合已知求其面积，根据PA⊥平面ABCD

知四棱锥PABCD−的高为PA，利用体积公式求体积.（2）由题设得BCAB⊥，线面垂直的性质有PABC⊥，根据线面垂直的判定证结论.（3）若F为PA中点，连接,EFBF，根据中位线、平行四边形性质可得//ECB

F，最后由线面平行的判定证结论.【小问1详解】由//ADBC，90BAD=知：ABCD为直角梯形，又2ADBC=，2PAADAB===且PA⊥平面ABCD，所以1BC=，故12(12)32ABCDS=+=，所以四棱锥

PABCD−的体积12323V==.【小问2详解】由题设知：ADAB⊥，而//ADBC，故BCAB⊥，又PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，可得PABC⊥，ABPAA=，,ABPA面PAB，故BC⊥平面PAB.【小问3详解】若F为PA中点，连接,EFBF，E为PD的中点，所以//EF

AD且12EFAD=，又//ADBC，2ADBC=，所以//EFBC且EFBC=，故EFBC为平行四边形，则//ECBF，EC面PAB，BF面PAB，所以//EC平面PAB.18.在ABC中，27b=，23B=，从①2

ca=；②21sin14A=；③2a=这三个条件中任选一个作为题目的已知条件.（1）求sinC的值；（2）求ABC的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）217（2）23【解析】【分析】（1）选①，由余弦定理求出2,4ac==，再由正弦定理代入即可求

出答案；选②，由()sinsinCAB=+由两角和的正弦公式代入即可求出答案；选③，由正弦定理求出sinA，再由()sinsinCAB=+由两角和的正弦公式代入即可求出答案；（2）选①或③，直接由面积公式代入即可得出答案；选②，，由正弦定理求出a，再由由面

积公式代入即可得出答案.【小问1详解】由题知，三角形为钝角三角形选①，由余弦定理得：222224281cos2222acbaaBacaa+−+−===−，解得：2,4ac==，所以由正弦定理得：34sin212sinsinsin727cbcBCCBb====.选②，

因为21sin14A=，所以57cos14A=，所以()()sinsinsinsincoscossinCABABABAB=−−=+=+211573211421427=−+=选③，由正弦定理得：32sin212sinsinsin1427a

baBAABb====，所以57cos14A=，所以()()sinsinsinsincoscossinCABABABAB=−−=+=+211573211421427=−+=.【小问2详解】选①，因为2,4ac==

，23B=，所以ABC的面积为：113sin2423222SacB===选②，由正弦定理得：2127sin142sinsinsin32abbAaABB====，1121sin22723227SabC===.选③，因为27b=，2a=

，21sin7C=，所以1121sin22723227SabC===.19.已知函数()32cossin32fxxx=+−.（1）求()fx的最小正周期；（2）设0a，若函数()fx在区间()0

,a上单调递增，求a的最大值.【答案】（1）；（2）12.【解析】【分析】（1）利用和角正弦公式、辅助角公式可得()sin(2)3fxx=+，即可求最小正周期；（2）由题设2(,2)333xa++，根据正弦型函数的性质求a的范围，即可得最大值.【小问1

详解】由题设，313()cos(sin3cos)sin2cos2sin(2)2223fxxxxxxx=+−=+=+，所以()fx的最小正周期22T==.【小问2详解】当()0,xa且0a，则2(,2)333xa++，且(

)fx在()0,a上单调递增，所以232a+，则12a，综上，012a，故a最大值为12.20.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，12AA=，O为上底面1111DCBA的中心.（1）求证：AOBD⊥；（2）求点A到平面

1ABD的距离；（3）判断棱1CC上是否存在一点E，使得AOBE∥？并说明理由.【答案】（1）见解析（2）233（3）不存在【解析】【分析】（1）连接11,ABAD，三角形11ABD是等边三角形，即可证明11AOBD⊥，进一步通过11//BDBD，所以AOBD⊥.（2）设点A

到平面1ABD的距离为d，所以11AABDAADBVV−−=，代入即可得出答案.【小问1详解】连接11,ABAD，因为11ABAD=，O为11BD中点，所以11AOBD⊥，又因为11//BDBD，所以AOBD⊥.【小问2详解】设点A到平面

1ABD的距离为d，所以11AABDAADBVV−−=，所以111133ABDABDSdSAA=，则()2314422242d+=，所以233d=.的所以A到平面1ABD距离为233.【小问3详解】不存在,如下图，作一个相同的正方体11BCFMBCGH−，取1O

为上底面11BCGH的中心，连接11,OOOB，易知1AOOB是平行四边形，所以AO//1OB，而1OB与BE相交，所以棱1CC上不存在一点E，使得AOBE∥.21.设函数()fx的定义域为21,a，其中常数1a.若存在常数0T，使得对任意的1,xa，都有()()faxTf

x=，则称函数()fx具有性质P.（1）当1,100x时，判断函数2yx=和cosyx=是否具有性质P？（结论不要求证明）（2）若3a=，函数()fx具有性质P，且当1,3x时，()sin6fxx

=，求不等式()3fx的解集；（3）已知函数()fx具有性质P，()10f=，且()fx的图像是轴对称图形.若()fx在1,a上有最大值()0AA，且存在011,xaaa+−

使得()0fxA=，求证：其对应的1T=.【答案】（1）2yx=具有性质P，cosyx=不具有性质P；（2）(6,9；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由函数()fx具有性质P判断即可；

（2）若3a=，函数()fx具有性质P，当1,3x时，()sin6fxx=，可确定T的值，再利用性质的P求出()fx在3,9x上的解析式，按分段函数解不等式即可；（3）根据函数()fx具有性质P，且函

数图像是轴对称图形，在区间1,a上有最大值()0AA，分别讨论01T，1T时，函数的最值情况，得出矛盾，即可证明.【小问1详解】解：函数2yx=具有性质P；函数cosyx=不具有性质P；【小问2详解】解：若3a=，函数()fx

具有性质P，则存在常数0T，对任意1,3x，使得()3()fxTfx=，又当1,3x时，()sin6fxx=故当1x=时，有()3(1)fTf=，即sin3sin166T=

，所以2T=所以当1,3x时，33,9x，()32sin6fxx=，即3,9x时，()2sin18fxx=故当1,3x时，不等式()3fx为sin36x，无

解；当3,9x时，不等式()3fx为π2sin318x，又πππ,1862x，故不等式解得：69x，即解集为：(6,9.【小问3详解】证明：已知函数()fx具有性质P，则存在

常数0T，使得1,xa，都有()()faxTfx=，所以()22()(1)0faTfaTf===，所以函数()fx的图像端点为(1,0)和2(,0)a由()fx的图像是轴对称图形，得其对称轴为直线：212ax+=①若01T，因为

1,xa时，()fxA所以对任意2,xaa，有()()xfxTfTAAa=由基本不等式得，1a有212aa+所以对任意221,2axa+，有()fxA根据图像的对称性，得对任意21,xa，有()fxA这样与存在()0fxA=矛盾.②若1T，由

011,xaaa+−，得()00()faxTfxTAA==又201axaa+−，由图像的对称性知，200()(1)faxfaax=+−且2011,aaxa+−，所以200(1)(

)faaxfaxTAA+−==这与()fx在1,a上有最大值()0AA矛盾.综上：1T=.【点睛】本题是函数新定义问题，需要注意的是定义域与区间上函数所具有的性质，可以利用端点处函数值所具有的性质求解参数，与对称性和最值结合时，可以利用反证法，证明与矛盾，从而得证结论.获得

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