【文档说明】湖北省武汉市第四十九中2020-2021学年高一下学期5月月考数学试题含答案【武汉专题】.docx，共(13)页，914.909 KB，由小赞的店铺上传

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武汉市第四十九中学2020-2021学年度高一年级五月考试数学试题第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的）1.已知向量()1,2a=−，()2,3b=−，则ab=（）A.8−

B.4C.7D.1−2.在ABC△中，已知63b=，6c=，30C=°，则a=（）A.6B.12C.6或12D.无解3.如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底边长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（）A.1222+B.212+C.12

+D.22+4.复数cos67.5isin67.5z=+°°，则22zz=（）A.2222−B.22i22−+C.22i22−−D.15.如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD是正方形，E，F分别是PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE与直线CF是异面直线；②

直线BE与直线AF异面；③直线//EF平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD。其中正确的有（）A.①②B.②③C.①④D.②④6.在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，点P在线段1AD上运动，则下列命题中错误的是（）A.直线1PC和平面11AADDAAD，D所成的角为定值

B.点P到平面1CBD的距离为定值C.异面直线1CP和1CB所成的角为定值D.直线CD和平面1BPC平行7.如图，在长方体1111ABCDABCD−中，1ABAD==，12AA=，M为棱1DD上的一点，当1AM

MC+取最小值时，1BM的长为（）A.23B.5C.6D.38.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖膈.若三棱锥PABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，2PAAB==，4AC=，三棱锥PABC的

四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A.8B.12C.20D.24二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9

.在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当//BD平面EFGH时，下面结论正确的是（）A.E，F，G，H一定是各边的中点B.G，H一定是CD，DA的中点C.::AEEBAHHD=，且::BFFCDGGC=D.四边形EFGH是平

行四边形或梯形10.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是（）A.圆柱的体积为34RB.圆锥的侧面积为25RC.圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等D.圆柱、圆锥、球的体积

之比为3:1:211.如图，在透明塑料制成的长方体1111ABCDABCD−容器内灌进一些水（未满），现将容器底面一边BC固定在底面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四种说法，其中正确命题的是（）A.水的部分始终呈棱柱状B.水面四边形EFGH的面积为定值C.棱1AD始终与

水面EFGH平行D.若1EAA，1FBB，则AEBF+是定值12.如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，线段11BD上有两个动点E，F，且1EF=，则下列说法中正确的是（）A.存在点E，F使得//AEBFB.异面直线EF与1CD所成的角

为60°C.三棱锥BAEF−的体积为定值212D.1A到平面AEF的距离为33第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（共20分，每道5分）13.设向量()1,4a=−，()2,34bx=−−，若//ab，则x=______，若ab⊥，则x=______.14.若

圆台的母线与高的夹角为6，且上、下底面半径之差为2，则该圆台的高为______.15.已知复数z满足1z=，则2iz−（其中i是虚数单位）的最小值为______.16.如图，已知棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，点P

在线段1BC上运动，给出下列结论：①异面直线AP与1DD所成的角范围为,32；②平面1PBD⊥平面11ACD；③点P到平面11ACD的距离为定值233；④存在一点P，使得直线AP与平面11BCCB所成的角为3。其中正确的结论是______.四、解答题（共

70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知向量()1,1m=−，()1,2n+=.（1）若mn⊥，求的值；（2）若m与n的夹角为34，求的值.18.如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别

是AB、PC的中点.（1）求证：//MN平面PAD；（2）求证：CDMN⊥.19.已知四棱锥VABCD−的底面是面积为16的正方形ABCD，侧面是全等的等腰三角形，一条侧棱长为211，计算它的高和侧面三角形底边上的高。20.如图，三棱锥

PABC−的底面是等腰直角三角形，其中2ABAC==，PAPB=，平面PAB⊥平面ABC，点E，F，M，N分别是AB，AC，PC，BC的中点.（1）证明：平面EMN⊥上平面PAB；（2）当PF与平面ABC所成的角为3时，求二面角

MENB−−的余弦值.21.在斜三棱柱111ABCABC−中，ABAC⊥，1BC⊥平面ABC，E，F分别是1AB，11AC的中点.（1）求证：//EF平面11BCCB；（2）已知2ABAC==，斜三棱柱111ABCABC−的体积为8，求点E

到平面11CCB的距离.22.在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是菱形，ACBDO=.（Ⅰ）若ACPD⊥，求证：AC⊥平面PBD；（Ⅱ）若平面PAC⊥平面ABCD，求证：PBPD=；（Ⅲ）在棱PC上是否存在点

M（异于点C）使得//BM平面PAD，若存在，求PMPC的值；若不存在，说明理由.武汉市第四十九中学2020-2021学年度高一年级五月考试数学试题参考答案1.A2.C3.D4.C5.B6.A7.D8.C9

.CD10.BD11.ACD12.BCD13.47614.2315.116.②③17.（1）1；（2）0或1−.解：（1）因为mn⊥，所以，1210mn=−−+=−=，解得1=；（2）由已知可得2m=，()221

4n=++，由平面向量数量积的定义可得cos4mnmn=，即()22212142−=++−，整理得21521−=−++，解得0=或1=−，∵10−+，所以0=或1=−都符合题意.18.解析：（1）取PD的中点E，连接AE，EN，∵

N为中点，∴EN为PDC△的中位线，∴1//2ENCD=又∵//CDAB=，∴//ENAM=∴四边形AMNE为平行四边形，∴//MNAE又∵MN平面PAD，AE平面PAD，∴//MN平面PAD（2）∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，∴PACD⊥∵ADCD⊥，DDPAA=，∴CD

⊥平面PAD∴CDPD⊥取CD的中点F，连接NF，MF，∴//NFPD∴CDNF⊥又∵CDMF⊥，NFMFF=∴CD⊥平面MNF∵MN平面MNF∴MNCD⊥19.四棱锥的高为6，侧面三角形底边上的高为210解：如下图所示：作VO为四棱锥VABCD−的高，作OMBC⊥于点M，则M

为BC的中点.连接OB，则VOOM⊥，VOOB⊥.∵底面正方形ABCD的面积为16，∴4BC=，2BMCM==.则22222222OBBMOM=+=+=.又211VB=，在RtVOB△中，由勾股定理，可得()()2222211226VOVBOB=−=−=

.在RtVOM△中，由勾股定理，可得222262210VMVOOM=+=+=，即四棱锥的高为6，侧面三角形底边上的高为210.20.（1）证明见解析；（2）77−（1）证明：由题意可得，ABAC⊥，点EN分别是AB，BC的中点，故//ENAC，故ENAB⊥，平面PAB⊥平面AB

C，交线为AB，故EN⊥平面PAB又∵EN在平面EMN内，故平面EMN⊥平面PAB（2）连结PE，由PAPB=，点E是AB的中点，可知PEAB⊥再由平面PAB⊥平面ABC，可知PE⊥平面ABC，连结EF，可知PFE就是直线PF与平面ABC所成的角，于是tan3PEPFEEF==，

22336PEEFAEAF==+=法一：分别以EB，EN，EP为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0E，()0,1,0N，()1,2,0C−，()0,0,6P，16,1,22M−，()0

,1,0EN=，16,1,22EM=−设平面MEN的一个法向量为(),,nxyz=，则00nENnEM==得160220xyzy−=++=取6x=，则1z=，即平面

MEN的一个法向量为()6,0,1n=，又平面ABC的一个法向量为()10,0,1n=，于是1117cos77nnMENBnn−−===注意到二面角MENB−−是钝角，所以二面角MENB−−的余弦值为77−.法二：取PA的中点Q，连接EQ，MQ，则//MQEN，得

点Q在平面EMN内.又因为平面PAB⊥平面ABC，EQ在平面ABC内的射影就是EA，由ENAB⊥，得ENEQ⊥，故二面角MENB−−的平面角为QEBQEA=−，PAB△是等腰三角形，点Q，E分别是PA，AB的中点，故QEAPBA=.于是()2217cos716BEPBAPB==

=+所以()7coscos7QEBQEA=−=−所以二面角MENB−−的余弦值为77−.21.（1）证明见解析；（2）22.【详解】（1）连结1AB，1BC，由三棱柱111ABCABC−知，四边形11ABBA为平行四边形，因为E，F分别是1AB，11AC的中点，即EF为中位

线，所以1//EFBC且112EFBC=，因为EF平面11BCCB，1BC平面11BCCB，所以//EF平面11BCCB.（2）因为1BC⊥平面ABC，所以1BC为三棱柱111ABCABC−的高，又因为2ABAC==

，且ABAC⊥，所以12222ABCS==△，而11118ABCABCABCVSBC−==△，所以14BC=，因为//EF平面11BCCB，所以点E到平面11CCB的距离等于点F到平面11CCB的距离，由等体积法得1111FCCBCCBF

VV−−=即111111133CCBCBFSdSBC=△△,所以22d=，即点E到平面11CCB的距离为22.22.（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）不存在.【详解】（Ⅰ）因为底面ABCD是菱形所以ACBD⊥.又因为ACPD⊥，PDBDD=，所以AC⊥平面PAD.（Ⅱ

）因为平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC平面ABCDAC=，ACBD⊥，BD⊥面PAC所以BDPO⊥.因为底面ABCD是菱形所以BODO=所以PBPD=（Ⅲ）不存在.下面用反证法说明.假设存在点M（异于点C）使得//B

M平面PAD在菱形ABCD中，//BCAD，因为BM平面PAD，AD平面PAD，所以//BC平面PAD.BCBMB=，所以平面//PBC平面PAD.而平面PBC与平面PAD相交，矛盾.获得更多资源请扫

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