【文档说明】《新九年级数学暑假精品课程 （北师大版）》第十一讲 位似图形（解析版）.doc，共(32)页，1.616 MB，由管理员店铺上传

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1第十一讲位似图形【学习目标】1.了解图形的位似,利用位似可以将一个图形放大或缩小.2.能准确地利用图形的位似将一个图形放大或缩小，了解常用的几何图形放大或缩小的数学依据.3.掌握位似图形的性质.【基础知识】1.如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过

同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形;这个点叫做位似中心;这时的相似比又称为位似比.2.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.3.位似变换:①变换后的图形,不仅与原图相似,而且对应顶点的连线相交于一点,并且对应点到这一交点的距离成比例.像这种特殊的相似变换叫做

位似变换.这个交点叫做位似中心.②一个图形经过位似变换后得到另一个图形,这两个图形就叫做位似形.③利用位似的方法,可以把一个图形放大或缩小.【考点剖析】考点一：判定位似图形例1．（1）下列各选项中的两个图形不是位似图形的是（）A．B．C．D．【答

案】D【详解】解：A、B和C中的两个图形都是位似图形，A中的位似中心是点C，2B中的位似中心是点O，C中的位似中心是点O.只有选项D的对应顶点的连线相不交于一点，对应边不互相平行，故D不是位似图像.故选D．（2）如图是与ABCV位似的三角形的几种画法，其中正确的有()A．1个B．2个

C．3个D．4个【答案】D【详解】解：由位似图形的画法可得：4个图形都是ABCV的位似图形．故选：D．（3）下列各组图形中的两个三角形均满足ABCDEF∽△△，这两个三角形不是位似图形的是（）3A．B．C．D．【答案】B【详解】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似

多边形叫位似图形．根据位似图形的概念，A、C、D三个图形中的两个图形都是位似图形；B中的两个图形不符合位似图形的概念，对应边不平行，故不是位似图形．故选：B．考点二：确定位似中心例2．（1）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCD与矩形EFGO是位

似图形，位似中心在y轴上，对应点B、F的坐标分别为（﹣4，4）、（2，1），则位似中心的坐标为（）A．（0，1）B．（0，2）C．（0，3）D．（0，4）【答案】B【详解】如图，连接BF交y轴于P，∵矩形ABCD与矩形EFGO是位似图形，位似中心在y轴上，点B、F为

对应点，∴点P为位似中心，∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1），∴点C的坐标为（0，4），点G的坐标为（0，1），BC=4，GF=2，OG=1，∴CG＝3，∵BC∥GF，∴△BCP∽△FGP，∴G

PPC＝GFBC＝12，PC=CG-PG，4解得：GP＝1，∴OP=OG+GP=2，∴点P的坐标为（0，2），故选：B．（2）图中的两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（）A．点PB．点QC．点RD．点S【答案

】A【详解】解：如图所示：图中的两个三角形的位似中心是点P．故选：A．考点三：与位似图形有关的计算例3．（1）如图，以点O为位似中心，把△ABC中放大到原来的2倍得到△A′B′C′．以下说法错误的是（）5A．△ABC∽△A′

B′C′B．点C，O，C′三点在同一条直线上C．AB∥A′B′D．AO：AA′＝1：2【答案】D【详解】解：∵点O为位似中心，把△ABC中放大到原来的2倍得到△A′B′C′，∴△ABC∽△A′B′C，OA：OA′＝1：2，AB∥A′B′，CC′经过点O．故选：D．（2

）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且AB：DE＝3：2，则△ABC的面积与△DEF面积之比为（）A．3：2B．3：5C．9：4D．9：5【答案】C【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，∴△AB

C∽△DEF，∵AB：DE＝3：2，∴22223924ABCDEFSABABSDEDE====．故选：C．考点四：平面直角坐标系中的位似图形计算例4．（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，五边形A1B1C1D1E1

与五边形ABCDE是位似图形，坐标原点O是位似中心，若五边形A1B1C1D1E1与五边形ABCDE的面积之比为9：1，且线段OA1＝9，则线段OA6的长度为（）A．3B．4C．5D．6【答案】A【详解】∵五边形A1B1C1D1E1与五边

形ABCDE是位似图形，五边形A1B1C1D1E1与五边形ABCDE的面积之比为9：1∴1193AEAE==，11//AEAE∴11AEOAEO=∵11AOEAOE=∴11AOEAOE△∽△∴1113AEOAAEOA==∵OA1＝9∴133OAOA==故选：A．（2）如图，在直角坐

标系中，OABV的顶点为()0,0O，()6,3A，()6,6B，以点O为位似中心，在第一象限内作与OABV的位似比为13的位似图形OCDV，则点C的坐标为（）7A．()1,2B．()2,1C．()2,2D．()3,6【答案】B【详解】解：∵OABV的顶点为()0,0O，()6,3A，()6

,6B，以点O为位似中心，在第一象限内作与OABV的位似比为13的位似图形OCDV，∴点C的横坐标为1623=，纵坐标为1313=，∴点C的坐标为()2,1；故选B．（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，五边形11111ABCDE与五边形ABCDE是位似图形，坐标原点O是位似中心

，若五边形11111ABCDE与五边形ABCDE的位似比为3：1，且五边形11111ABCDE的面积为18，则五边形ABCDE的面积为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【详解】8解：Q五边形11111ABCDE与五边形ABCDE的位似比为3：1，

五边形11111ABCDE与五边形ABCDE的面积比为9：1，Q五边形11111ABCDE的面积为18，五边形ABCDE的面积为2，故选：B．（4）如图，已知矩形ABCD与矩形BEFG是位似图形，平面直角坐标系的原点O是位似中心，若点D的坐标为(2,1)−，点F的坐标为(8,2)−，

则:ABCDBEFGSS=矩形矩形（）A．1:4B．1:6C．1:8D．1:9【答案】A【详解】解：()82F−Q，，矩形BEFG，2,EFBG==()2,1,D−Q1,2,ADOA==Q矩形ABCD与矩形BEFG是位似图形，2,AB

CDBEFGSADSBG=矩形矩形211,24ABCDBEFGSS==矩形矩形故选：.A（5）如图，已知△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形，且△ABC和△EDC的位

似比为1：2，△ABC9面积为4，则△EDC的面积是_____．【答案】16【详解】设△EDC的面积是是x，∵△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形，且△ABC和△EDC的位似比为1：2，△ABC面积为4，∴4：x=1:4,解得x=16，故答案为：16

．【真题演练】1．在下列图形中，不是位似图形的是()A．B．C．D．【答案】D【详解】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．根据位似图形的概念，A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形；D中的两个图形不符合位似图形的概念，对应顶点不能相交于一点，故不是位似图形．故选：D．

2．下列说法不正确的是（）A．位似图形一定是相似图形B．相似图形不一定是位似图形C．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比D．位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行【答案】D10【解析

】如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫位似图形，这个点叫做位似中心，因而A，B，C正确，D错误．解：根据位似图形的定义可知，B

，C正确，似图形中每组对应点所在的直线相交于一点，D错误．故选D．3．如图，ABC与DEF位似，其位似中心为点O，且ODAD=，则ABC与DEF的位似比是（）A．2:1B．4:1C．2:1D．2:3【答案】A【详解】由题目可知，本题图形位似中心为点

O，∵OD=AD，∴AO:DO=2:1，∴△ABC与△DEF位似比为2:1，故答案为A选项．4．图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（）A．点PB．点OC．点MD．点N【答案】A【详解】解：如图所示，连接两对对应点之后，它们的连线都经过点P，因此位似中心是

点P；11故选：A．5．如图，以点O为位似中心，把ABCV放大为原图形的2倍得到ABCV，以下说法中错误的是（）A．:1:2BOBB=B．//ACACC．ABCABC∽△△D．点C、点O、点C三点

在同一直线上【答案】A【详解】解：Q以点O为位似中心，把ABCV放大为原图形的2倍得到ABCV，:1:2BOOB=，ABCABCV:V，则选项C正确；:1:3BOBB=，则选项A错误；ABCQV与ABCV是位似图

形，//ACAC，则选项B正确；Q以点O为位似中心，点C与点C是对应点，点C、点O、点C三点在同一直线上，则选项D正确；故选：A．6．如图，BC∥ED，下列说法不正确的是（）A．两个三角形是位似图形12B．点A是两个三角形的位似中心C．B与D、C与E是

对应位似点D．AE：AD是相似比【答案】D【详解】解：A、∵BC∥ED，∴△ADE∽△ABC，∵△ADE与△ABC对应点的连线相交于一点，对应边平行或在同一条直线上，∴△ADE与△ABC是位似图形，本选项说法正确，不符合题意；B、点A是两个三角形的位似中心，本选项说法正确，不符合题意；C、

B与D、C与E是对应位似点，本选项说法正确，不符合题意；D、AE：AD不是相似比，AE：AC是相似比，本选项说法错误，符合题意；故选：D．7．如图，ABCV与DEFV是位似图形，且位似中心为O，:2:1OBBE=，若ABCV的面积为4，则DEFV的面积为（）A．2

B．6C．8D．9【答案】D【详解】解：∵OB：BE=2：1，∴OB：OE=2：3，∵△ABC与△DEF是位似图形，且位似中心为O，∴AB：DE=OB：OE=2：3，△ABC∽△DEF，∴222439A

BCDEFSABSDE===△△，13∴S△DEF=94S△ABC=94×4=9．故选：D．8．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-4，4）、（0，4），点C、D的坐标分别为（0，1）、（2，1）．若线段AB和CD是位似图形，且位似中心在y轴上，则位似中

心的坐标为（）A．(0,0)．B．()0,2．C．()0,3．D．(3,0)．【答案】B【详解】解：如图所示：连接AD，交y轴于点E，∵点A、B的坐标分别为（-4，4）、（0，4），点C、D的坐标分别为（0，1）、（2，1）；∴AB=4，CD=2，BC=3

，AB∥DC，∴△ABE∽△DCE，ABBEDCCE=，24BECE=，∴2=3ECEC－，解得：EC=1，则E点坐标为：（0，2），故位似中心的坐标为：（0，2）．故选：B．9．ABCV位似于DEFV，它们的周长比为2:3

，已知位似中心O到A的距离为3，那么O到D的距离为（）14A．4B．4.5C．6D．9【答案】B【详解】∵它们周长的比为2:3∴OA:OD=2:3，即323CD=解得:OD=4.5，即O到D的距离为4.5，故选:B.10．如图，在网格

图中，以D为位似中心，把ΔABC放大到原米的2倍，则点A的对应点为（）A．O点B．E点C．G点D．F点【答案】C【详解】如图，点A的对应点为G点．15故选：C．11．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，两个正方形的面积之比为1：2，点A的坐标为（1，0），则E

点的坐标为（）A．（2，0）B．（32，32）C．（2，2）D．（2，2）【答案】C【详解】解：Q正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，正方形OABC∽正方形ODEF，Q两个正方形的面积之比为1:2，两个正方形的相似比为1

:2，Q点A的坐标为(1,0)，四边形OABC为正方形，点B的坐标为(1,1)，Q正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，E点的坐标为(2，2)，故选：C．1612．如图，以点O为位似中心，将ABCV放大得到,DEFV若2OEOB=，则ABCV与DEFV的面积

之比为___________．【答案】14【详解】由题，根据位似图形的性质可得：12OBBCOEEF==，且ABCV放大得到DEFV，∴△ABC∽△DEF，相似比为12，根据相似图形面积比等于相似比的平方，∴1=4ABCDEFSSVV：，故答案为：14．13．如图，正六边形OABCDE

与正六边形OABCDE是关于原点О的位似图形，相似比为3:2，若点()6,0C，则正六边形OABCDE的周长为_________；【答案】27【详解】解：连接EC，如图所示：17∵正六边形OABCDE与正六边形OABCDE是关于原点О的位似图形，相似比为3:2，∴

32OCOC=，∵点()6,0C，∴6OC=，∴OC=9，∵六边形OABCDE是正六边形，∴∠OED=∠EDC=120°，OA=AB=BC=CD=DE=OE，∴∠DEC=∠DCE=30°，∠OEC=90°，∴OC=2OE，∴92OE=，∴正六边形OABCDE的周长为9

6272=；故答案为27．14．如图，在边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点．（1）画图并填空：请在方格纸上建立平面直角坐标系，使点A、C的坐标分别为（2，3），（6，2），那么点B的坐标的为；（2）画图：以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画

出放大后的△A′B′C′；（3）请直接写出△A′B′C′的面积．18【答案】（1）见解析，（2，1）；（2）见解析；（3）△A′B′C′的面积＝16【详解】解：（1）如图，B点坐标为（2，1）；故答案为（2，1）；（2）如图，△A′B′C′为所作；（3）△A′B′C′的面积＝12×4

×8＝16．15．如图，在平面直角坐标系中，ABCV三个顶点的坐标分别为()0,3A，()3,4B，()2,2C．()1画出ABCV关于x轴对称得到的111ABC△，并写出1A和1B的坐标：()2画出以点B为位似中心，将ABCV放大2倍的位似图形222(ABCV在网格线内作图)．【答案

】（1）见解析；()10,3A−，()13,4B−；（2）见解析．【详解】解：()1如图所示：111ABC△即为所求，()10,3A−，()13,4B−；19()2设点2A的坐标为2(,)Amn，由题意得：点2B与点B重合，即2(3,4)B，且点A是22AB的中点

，则302432mn+=+=，解得32mn=−=，即2(3,2)A−，同理可得2(1,0)C，顺次连接点222,,ABC可得222ABC△，如图所示：【过关检测】1．在下列四个三角形中，以O为位似中心且与ABCV位似

的图形番号是（）20A．①B．②C．③D．④【答案】B【详解】解：∵②与△ABC相似，对应点的连线相交于点O，对应边互相平行，∴②与△ABC是位似图形且O为位似中心，故选：B．2．如图，在74的方格中，点A，B，C，D在格点上，线段CD是由线段AB位似放大得到，则它们的位似中心是（

）A．点1PB．点2PC．点3PD．点4P【答案】A【详解】解：∵如图，连接CA，DB，并延长，则交点即为它们的位似中心．∴它们的位似中心是1P．故选：A．3．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到ABCV，

以下说法错误的是（）21A．S△ABC∶S△A’B’C=1∶2B．AB∶AB=1∶2C．点A，O，A’三点在同一条直线上D．BC∥BC【答案】A【详解】∵以点O为位似中心，把ABCV放大为原图形的2倍得到ABCV，∴ABCABC:△△，且相似比为1:2．∴1:4ABCABCSS

=VV:，故A选项错误，符合题意；:1:2ABAB=，故B选项正确，不符合题意；A，O，A′三点在同一直线上，故C选项正确，不符合题意；//BCBC，故D选项正确，不符合题意；故选：A．4．如图，VABC与VDEF位似，点O为位似中心，已知OA：AD＝1：2，则VABC与VDE

F的面积比为（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：9【答案】D【详解】解：∵OA：AD＝1：2，22∴OA：OD＝1：3，∵△ABC与△DEF位似，∴AB∥DE，∴△OBA∽△OED，∴13ABOADEOD==，即△ABC与△DEF的相似比为13，∴△ABC与△

DEF的面积比＝213＝19，故选：D．5．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是O，OEEA＝23，则S四边形EFGH÷S四边形ABCD＝（）A．49B．425C．23D．25【

答案】B【详解】∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是点O，OEEA＝23∴OEOA＝EFAB＝25则EFGHEFGHABCDABCDSSSS==四边形四边形四边形四边形2EFAB＝225＝425故选

：B6．如图，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，M是位似中心，若点B的坐标为()2,4−，点E的坐标为()1,2，则点M的坐标为（）23A．()4,0B．()2,0−C．()3,0D．()2,0【答案】D【详解】解：∵四边形OABC是

矩形与四边形ODEF是矩形，∴BC⊥y轴于C，DE⊥y轴于D，∵点B的坐标为（-2，4），点E的坐标为（1，2），∴C（0，4），D（0，2），∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，M是位似中心，∴直线BD与直线CE交于M，设BD解析式为ykxb=+代入点的坐标得，-24

2kbb+==，解得12kb=−=，∴BD解析式为2yx=−+，设CE解析式为11ykxb=+代入点的坐标得，11124kbb+==，24解得1124kb=−=，∴CE解析式为-y2x4=+，∴224y

xyx=−+=−+，解得20xy=−=，∴M点坐标为（2，0）．故选：D．7．在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（4，2），以原点O为位似中心，把△OAB按相似比1：2缩小，则点B的对应点B′的坐标

是（）A．（2，1）B．（﹣2，1）C．（2，1）或（﹣2，1）D．（2，1）或（﹣2，﹣1）【答案】D【详解】解：∵B点坐标为（4，2），以原点O为位似中心，把△OAB按相似比1：2缩小，∴点B的对应点B′的坐标为（2，1）或（﹣2，﹣1）

．故选：D．8．如图，矩形OEFG的两边OE和OG都在坐标轴上，以y轴上一点为位似中心作这个矩形的位似图形ABCD，且对应点C和F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1）．则位似中心的坐标是（）A．（0，2）B．

（0，2.5）C．（0，3）D．（0，4）【答案】A【详解】解：如图，连接CF交y轴于P，25∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点C，F的坐标分别为（-4，4），（2，1），∴点D的坐标为（0，4），点G的坐标为（0，

1），∴DG=3，∵CD∥GF，∴12GPGFPDCD==，∴GP=1，PD=2，∴点P的坐标为（0，2），故选：A．9．如图，将ABOV的三边扩大一倍得到CEDV（顶点均在格点上），它们是以点P为位

似中心的位似图形，则点P的坐标是（）A．(0,3)B．(3,3)C．(0,2)D．(0,3)−【答案】D【详解】如图所示：26P(0,−3)点即为所求点故选：D.10．如图，在68网格图中，每个小正方

形边长均为1，点O和ABCV的顶点均为小正方形的顶点，以O为位似中心，在网络图中作ABCV，使ABCV和ABCV位似，且位似比为1∶2；连接（1）中的AA，则四边形AACC的周长为（）．A．82B．62C．424+D．624+【答案】D【详解】如图，∵

OA=4，OB=2，OC=4，ABCV和ABCV位似，且位似比为1∶2；∴OA=2，OB=1，OC=2，AC224442=+=，∴AA=CC=2，AC222222=+=，27∴四边形AACC的周长

为422222+++=624+，故选D11．在如图所示的网格中，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形，小明认为四边形ABCD的位似图形是四边形NHMR；小亮认为四边形ABCD的位似图形是四边形NPMQ，你认为正确的是______．（选填“小明”或“小亮”）．【答案】小亮【详解

】解：延长AO、BO、CO、DO分别到Q、P、M、N，则四边形NPMQ是四边形ABCD的位似图形，所以小亮正确．28故答案为：小亮．12．如图，线段CD两个端点的坐标分別为1,1,(1,0)2CD，以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B的

坐标为()3,0，则点A的坐标为_____．【答案】(32，3)【详解】解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内，将线段CD放大得到线段AB，∴B点与D点是对应点，则位似比为：1：3，∵C(12，1)，∴点A的坐标为：(32，3)．故答案为(32，3)．13．已知：如图△ABC

三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣2）、B（﹣3，﹣4）、C（﹣1，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．（1）以点C为位似中心，在网格中画出△A1B1C，使△A1B1C与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A1的坐标；（2）△A1B1C与△ABC的面积比为．29【答案】（1）

见解析，A1的坐标为（﹣3，0）；（2）4：1【详解】解：（1）如图，△A1B1C为所作；点A1的坐标为(﹣3，0)；（2））∵△A1B1C与△ABC的位似比为2：1，∴△A1B1C与△ABC的面积比为4：1．故答案为4：1．14．如图，是由边长为1的小正方形组成的网

格，已知格点正方形ABCD及格点O．30（1）将正方形ABCD向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到正方形1111DCBA；（2）以O为位似中心，在点O的同侧画出正方形1111DCBA的位似图形ABCD，使位似比为1∶2；

（3）除了点O外，正方形ABCD和正方形1111DCBA还有位似中心吗？如果有，请找出来．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）有，答案见解析．【详解】解：（1）图形如图所示：（2）图形如图所示：（3）有，如图所示，P点即为所求：3115．在坐标平面内，△ABC的顶点位置

如图所示．（1）将△ABC作平移交换（x，y）→（x+2，y﹣3）得到△A1B1C1，画出△A1B1C1．（2）以点O为位似中心缩小△ABC得到△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC的相似比为1：2，且点A与其对应点A2位于点O的两侧，画出△A2B2C2．【答案】（1）见解析；（2）

见解析【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△A2B2C2为所作．32