【文档说明】四川省资阳市资阳中学2022-2023学年高二上学期期中数学文科试题 含解析.docx，共(21)页，2.415 MB，由小赞的店铺上传

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资阳中学高2021级第三学期半期考试文科数学一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1.椭圆2251162xy+=的离心率为（）A.35B.34C.45D.53【答案】A【解析】【分析】由椭圆方程确定,,abc则可求椭圆的离心率.【详解】解：由椭

圆2251162xy+=，得2225,16ab==，所以2225163cab=−=−=所以离心率35cea==.故选：A.2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）A.圆柱B.三棱台C.圆台D.圆锥【答

案】C【解析】【分析】由已知，得到几何体为旋转体，结合俯视图得到几何体是圆台．【详解】解：由俯视图得到几何体为圆台；故选：C．3.若直线20xya−+=始终平分圆22440xyxy+−+=的周长，则a的值为（）A.4B.6C.-6D.-2【答案】C【解析】【分析】利用圆的性质可得直线平分圆

的周长，必经过圆心，根据圆的一般方程的到圆心坐标，代入直线方程求得a的值.【详解】圆22440xyxy+−+=的圆心坐标为()2,2−,直线平分圆的周长，必经过圆心，点()2,2−在直线20xya−+=上，420,6aa++==−，故选：C.【点睛】根据圆的一般方程求圆心坐标，220dxxye

yf++++=22(40)def+−的圆心坐标为,22de−−.4.已知水平放置ABC的直观图如图所示，3AC=，2BC=，则边AB上的中线的实际长度为（）A.5B.13C.52D.132【答案】C【解析】【分析】根据斜二测画

法的规则即可求解【详解】ABC的实际图形应是直角三角形，两条直角边长分别是4和3，斜边AB上的中线长度为52故选：C5.设m为实数，若方程22121xymm+=−−表示焦点在y轴上椭圆，则实数m的取值范围是（）的的A.322mB.32mC.12mD.312m

【答案】A【解析】【分析】由焦点在y轴上的椭圆的标准方程()222210yxabab+=即可得到答案.【详解】由题意得，120mm−−，解得322m.故选：A.6.圆22240xyxy+−+=与直线10kxy++=的位置关系为（）A.相离B.相

切C.相交D.以上都有可能【答案】C【解析】【分析】先求得直线所过的定点P，再判断点P与圆的位置关系，由此可知直线与圆的位置关系.【详解】因为直线l方程为10kxy++=，所以令0x=，则1y=−，即直线l过定点()0,1P−，因为圆C的方程

为22240xyxy+−+=，故将()0,1P−代入得()()2201204130+−−+−=−，所以点()0,1P−在圆C的内部，故直线l与圆C相交.故选：C.7.设1F、2F为椭圆22143xy+=的左、

右焦点，动点P在椭圆上，当12PFF△面积最大时，12PFPF的值等于（）A.0B.1C.2D.4【答案】C【解析】【分析】根据面积公式可知当P为上或下顶点时，12PFF△面积取最大值，求出点P坐标，由数量积公式即可求出结果

．【详解】根据对称性不妨设点(),,0Pxyy，因为224,3,ab==所以221cab=−=则12PFF△面积为12132SFFycycb===当3yb==时，12PFF△面积取最大值，此时()0,3P，又()()121,0,1,0FF−

则()()121,3,1,3PFPF=−−=−，所以12132PFPF=−+=故选：C．8.已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，以下命题：①若m∥，m⊥，则⊥；②若,,//,//mnm

n，则//；③若⊥，m∥，n∥，则m⊥n；④若,//,mmn=，则//mn.其中正确的是（）A.①④B.①②④C.①②③D.②③④【答案】A【解析】【分析】对于①，根据线面平行性质，结合面面垂直的判定定理，可得答案；对于②、③

，利用线面垂直判定定理，举反例，可得答案；对于④，根据线面平行的性质，结合异面直线的定义，可得答案.【详解】对于①，由m∥，则存在直线a，使得//ma，m⊥，a⊥，则⊥，故①正确；对于②，当//mn

时，存在b=，此时//mb，//nb，且m，n，则//m，//n，符合条件，故②错误；对于③，由⊥，则=c，当////mcn，且m，n时，//m，//n，符合条件，故③错误；对于④，由//m，则任意直线d，直线d与直线m之

间的位置关系为异面或平行，m，且n=，//mn，故④正确.故选：A.9.过点(1,1)M作斜率为12−的直线与椭圆2222:1(0)xyCabab+=相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则ba的值为（）A.22B.1

2C.13D.33【答案】A【解析】【分析】利用点差法即可求得,ab关系，进而求得ba的值.【详解】设1122(,),(,)AxyBxy，则22112222222211xyabxyab+=+=，两式相减得()()()()12121212220xxxxyyy

yab−+−++=又121212yyxx−=−−，121222xxyy+=+=，则222202ab−=，则222ab=，22ba=.故选：A10.如图，圆形纸片的四分之一扇形（阴影部分）是圆锥A的侧面展开图，其余部分是圆锥B的侧面展开图，则圆锥A与圆锥B的表面

积之比为（）A.925B.521C.13D.916【答案】B【解析】【分析】根据圆锥侧面积可得两圆锥的底面圆半径关系，进而根据表面积公式即可求解.的【详解】设圆的半径为r，圆锥A与B的底面半径分别为12,rr，由题意知122,232,2rrrr=

=,解得121,43,4rrrr==,圆锥A的表面积222115πππ416ASrrr=+=，圆锥B的表面积2222321πππ416BSrrr=+=，故521ABSS=．故选:B11.如图，正方体1111ABCD

ABCD−中，O为底面ABCD的中心，E，F分别为棱11AB，11BC的中点，经过E，F，O三点的平面与正方体相交所成的截面为（）A.梯形B.平行四边形C.矩形D.正方形【答案】A【解析】【分析】通过作图的方式确定//EFAC，从而判断出点A，C，F，E确定

一个平面，从而判断出经过E，F，O三点的平面与正方体相交所成的截面是什么四边形.【详解】如图，因为正方体1111ABCDABCD−中，O为底面ABCD的中心，E，F分别为棱11AB，11BC的中点所以在111ABC△中，11//EFAC，1112

EFAC=因为正方体1111ABCDABCD−，所以11//ACAC所以//EFAC，而点O在直线AC上所以点A，C，F，E确定一个平面，所以经过E，F，O三点的平面与正方体相交所成的截面为平面ACFE，即确定的

平面是梯形故选：A12.已知三棱锥SABC−的直观图及其部分三视图如图所示，若三棱锥SABC−的四个面中面积最大的一个三角形面积是47，则三棱锥SABC−的外接球体积为（）A.563B.1123C

.2242127D.84【答案】C【解析】【分析】由已知可得：SC⊥底面ABC，ABC是边长为4的等边三角形，从而得到侧面SAB的面积最大，设SCx=，根据47SABS=求出x．设三棱锥SABC−的外接球的半径为R，利用球的性质、勾股定理即可得出．【详解】解：由已知可得：SC⊥底面AB

C，ABC是边长为4的等边三角形，可得侧面SAB的面积最大，设SCx=，则2214(23)472x+=，解得4x=（负值舍去）．设三棱锥SABC−的外接球的半径为R，则222228(23)233R=+=，即2213R=．三棱锥SABC−的外接球的体

积3422421327RV==．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知椭圆22:12516xyC+=两个焦点为1F、2F，过1F的直线交椭圆于A，B两点，则2FAB的周长为______．【答案】20【解析】【分析】根据椭圆的

标准方程，求出a的值，由2FAB的周长是()()121122AFAFBFBFaa+++=+求出结果．【详解】椭圆22:12516xyC+=，∴5a=，2FAB周长是()()121122420AFAFBFBFaaa+++=+==，故答案为∶20﹒14.已

知圆2221:(0)Cxymm+=与圆222:24150Cxyxy+−−−=恰有两条公切线，则实数m的取值范围________．【答案】(5,35)【解析】【分析】根据两圆相交，列出不等关系，即可求得结果.【详解】由2224150xyxy+−−−=，即22(1

)(2)20xy−+−=，可知圆2C的圆心为(1,2)，半径为25；因为圆1C与圆2C恰有两条公切线，所以圆1C与圆2C相交，则12|25|||25mCCm−+，∵2212||(10)(20)5CC=−+−=，解得：535m，即m的取值范围是(5,

35).故答案为：(5,35).15.已知正三棱锥P—ABC的侧面是顶角为30，腰长为2的等腰三角形，若过A的截面与棱PB、PC分别交于点D、E，则截面△AED周长的最小值为______.【答案】22【解析】【分析】画出正三棱锥的侧面展

开图，利用两点之间线段最短得出截面△AED周长的最小时线段AA的长，再利用勾股定理可求得AA的值.【详解】由题意可得此三棱锥的侧面展开图如图所示，的则△AED周长为ADDEEA++，由于两点之间线段最短，所以当,DE位于如图位置时，截面△AED周长的最小，即

为AA的长，因为30APB=，所以90APA=，因为2PAPA==，所以224422AAPAPA=+=+=，所以截面△AED周长的最小值为22，故答案为：22.16.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，

点P在线段1BC上运动，则下列结论正确的是________．①直线1BD⊥平面11ACD②三棱锥11DACP−的体积为定值③异面直线AP与1AD所成角的取值范围是ππ,62④直线1CP与平面11ACD所成角的正弦值的最大值为63【答案】①②④【解析】【分析】对于①，利用线面垂直的判

定定理及线面垂直的性质定理，即可进行判断；对于②，利用线面平行的判定定理，得出1BC∥平面11ACD，再根据三棱锥的体积的计算方法，即可进行判断；对于③，利用异面直线所成角的计算方法，即可进行判断；对于④，通过建立空间

直角坐标系，利用坐标法求出直线与平面所成角的正弦值，然后借助二次函数，即可进行判断.【详解】对于①，连接11BD，1111ACBD⊥，111ACBB⊥，1111BDBBB=，11BD平面11BBD，1BB平面11

BBD，11AC⊥平面11BBD，1BD平面11BBD，111ACBD⊥，同理，11DCBD⊥，1111ACDCC=，11AC平面11ACD，1DC平面11ACD，直线1BD⊥平面11ACD，故①正确；对于②，1AD∥1BC，1AD平面11ACD，1BC平面11ACD，1BC

∥平面11ACD，点P在线段1BC上运动，点P到平面11ACD的距离为定值，又11ACD的面积为定值，利用等体积法知三棱锥11DACP−的体积为定值，故②正确；对于③，1AD∥1BC，异面直线AP与1AD所成的角即为AP与1BC所成的角，当点P位于C点时，AP与1BC所成的角为π3，

当点P位于1BC的中点时，1ABAC=，1APBC⊥，此时，AP与1BC所成的角为90，异面直线AP与1AD所成角的取值范围是ππ,32，故③错误；对于④，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴，建立空间直角坐

标系，设正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，(),1,Paa，则()0,0,0D，()11,0,1A，()10,1,1C，()11,0,1DA=，()10,1,1DC=，()1,0,1CPaa=−，设平面11ACD的法向量(),,nxyz=

r，则1100nDAnDC==，即00xyyz+=+=，令1x=，得()1,1,1n=−，所以，直线1CP与平面11ACD所成角的正弦值为：()122211111133222CPn

CPnaaa==+−−+，当12a=时，直线1CP与平面11ACD所成角的正弦值取得最大值，最大值为163132=，故④正确.故答案为：①②④三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.求适合下列条件的椭

圆的标准方程：（1）一个焦点坐标为（2，0），短轴长为2；（2）经过点(3,2)A−和点(23,1)B−．【答案】（1）2215xy+=（2）221155xy+=【解析】【分析】（1）由条件求出,,abc的值即可，（2）设椭

圆的方程为()2210,0,mxnymnmn+=，然后将点代入求解即可.【小问1详解】因为椭圆的一个焦点坐标为（2，0），短轴长为2；所以椭圆的焦点在x轴上，设其方程为()222210xyabab+=，所以,222cb==，所以1,5ba

==，所以椭圆的标准方程为2215xy+=，【小问2详解】设椭圆的方程为()2210,0,mxnymnmn+=，因为椭圆经过点(3,2)A−和点(23,1)B−，所以341121mnmn+=+=，解

得11515mn==，所以椭圆的标准方程为221155xy+=.18.如图,在三棱锥−PABC中,,PBPCABAC==,D,E分别是,BCPB的中点．（1）求证：//DE平面PAC;（2）求证：B

C⊥平面PAD．【答案】（1）见解析,（2）见解析.【解析】【分析】(1)根据线面平行的判定定理证明线面平行;(2)根据线面垂直的判定定理证明线面垂直.小问1详解】证明：由题知D,E分别是,BCPB的中点,DEPC,DE平面PACPC，平面PAC,DE∥平面PAC,得证;

【小问2详解】证明：由题知,PBPCABAC==,D是BC的中点,,PDBCADBC⊥⊥,PD平面PAD,AD平面PAD且=PDADD,故BC⊥平面PAD得证.19.如图，已知点P在圆柱1OO的底面圆O上，AB为圆O的直径，OA＝2，∠AOP＝120°，三棱锥

1AAPB−的体积为833．（1）求圆柱1OO的表面积；（2）求异面直线1AB与OP所成角的余弦值．【答案】（1）24π；（2）24．【解析】【分析】(1)连接BP，根据AP⊥PB求出△APB的面积，根据三棱锥的体积公式求出圆柱的高，根据圆柱结构特征即可求其表面积；(2

)取1AA中点Q，连接OQPQ，，根据三角形中位线可得OQ∥1AB，可得POQ或它的补角为所求【角，由余弦定理即可得结果．【小问1详解】连接BP，∵AB是圆O的直径，∴AP⊥BP．由题意，在AOP中，2120OAOPAOP===，

，∴易知23AP=，在BOP中，260OBOPBOP===，，∴2BP=，∵三棱锥1AAPB−的体积为833，∴由11111118····232332323AAPBVAPBPAAAA−===解得14AA=，故圆柱1OO

的表面积为：22π22π2424π+=．【小问2详解】取1AA中点Q，连接OQPQ，，则OQ∥1AB，且1222OQAB==．∴POQ或它的补角为异面直线1AB与OP所成的角，又232APAQ==，，∴4PQ=，在

△OPQ中，由余弦定理得，22248162cos242222POOQPQPOQPOOQ+−+−===−，异面直线1AB与OP所成角的余弦值为24．20.已知线段AB的端点B的坐标是()5,1，端点A在圆()221:1(3)4Cxy−+−=上运动

．（1）求线段AB的中点P的轨迹2C的方程；（2）设圆1C与曲线2C的两交点为M，N，求线段MN的长；【答案】（1）22(3)(2)1xy−+−=；（2）455【解析】【分析】（1）设点P的坐标为(),xy，点A的坐

标为()00,xy，由于点B的坐标为()5,1，且点P是线段AB的中点，利用代入法可得轨迹方程；（2）联立方程()()22134xy−+−=和()()22321xy−+−=，得MN所在公共弦所在的直线方程2

30xy−−=,再由弦长公式可求得结果【小问1详解】设00(,)Axy，(,)Pxy，点A在圆()221:1(3)4Cxy−+−=，所以()22001(3)4xy−+−=①，因为P是A，B的中点，所以005212xx

yy+=+=，即002521xxyy=−=−②，将②代入①得()22(24)426yx+−−=，即P的轨迹方程为：22(3)(2)1xy−+−=；【小问2详解】联立方程()()22134xy−+−=和()()22321xy−+−=，得MN所在公共弦所在的直线方程2

30xy−−=，圆()221:1(3)4Cxy−+−=的圆心为()1,3，半径2，设1C到直线MN的距离为d，则2334555d−−==,所以16254255MN=−=，455MN=；21.如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，平面ADE⊥平面ABCD，

AB＝2AD＝2EF＝4，2AEDE==．（1）求证：//ABEF；（2）求直线AE与平面BCF所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）105.【解析】【分析】(1)根据题意可得//ABCD，利用线面平行判定定理证

明//AB平面CDEF，结合图形即可证明//ABEF；(2)取AD的中点O，BC的中点M，连接,OEOM，则OMAD⊥、OEAD⊥，利用线面垂直的判定定理和性质证得OEOM⊥，建立如图空间直角坐标系，利用向量法即可求出线面角的正

弦值.【小问1详解】因为四边形ABCD为矩形，所以//ABCD，又AB平面CDEF，CD平面CDEF，所以//AB平面CDEF，又平面ABEF平面CDEFEF=，AB平面ABEF，所以//ABEF；【小问2

详解】取AD的中点O，BC的中点M，连接,OEOM，则OMAD⊥，由2AEDE==，得OEAD⊥，且1OE=，因为平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE⊥平面ABCDAD=，OE平面ADE，所以OE⊥平面ABCD，

由OM平面ABCD，得OEOM⊥，建立如图空间直角坐标系Oxyz−，(0,0,0)(1,0,0)(1,4,0)(1,4,0)(0,0,1)(0,2,1)OABCEF−，，，，，，则(1,0,1)(2,0,0)(1,2,1)AEBC

BF=−=−=−−，，，设(,,)nxyz=为平面BCF的一个法向量，则2020nBCxnBFxyz=−==−−+=，令1y=，得0,2xz==，所以(0,1,2)n=，210cos,552nAEnAEnAE===，设直线AE与平面BCF所成角为

，则10sin5=.所以直线AE与平面BCF所成角的正弦值为105.22.已知圆22:4Oxy+=和定点()2,0A−，动点CD､在圆O上．（1）过点()3,2P作圆O的切线，求切线方程；（2）若满足13A

CADkk=−，求证：直线CD过定点．【答案】（1）2y=或125260xy−−=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设直线方程后由点到直线的距离公式列式求解即可；（2）分类讨论直线CD斜率存在与否

的情况，联立直线CD与圆O的方程，直接求得,CD或由韦达定理化简ACADkk，从而证得直线CD过定点(1,0).【小问1详解】因为圆22:4Oxy+=，所以圆心()0,0O，半径2r=，当直线l斜率不存在时，直线l为3x=，易得圆心()0,0O与3

x=的距离为3r，则直线l与224xy+=相离，不满足题意；当直线l斜率存在时，设切线方程为2(3)ykx−=−，即230kxyk−+−=，则22321kk−=+，解得0k=或125k=，所以切线方程为20y−=或

122(3)5yx−=−，即2y=或125260xy−−=.【小问2详解】若直线CD斜率不存在，由对称性得ACADkk=−，又13ACADkk=−，所以33ACk=，故直线AC为3(2)3yx=+，联立2243(2)3xyyx+==+，解得13xy=

=或20xy=−=（舍去），故(1,3)C，则(1,3)D−，直线CD方程为1x=，若直线CD斜率存在，设直线CD方程为ykxm=+，1122(,),(,)CxyDxy联立224ykxmxy=++=，消去y，

得222(1)240kxkmxm+++−=，所以12221kmxxk+=−+，212241mxxk−=+，()()2222224414164160kmkmkm=−+−=−+，而22221212122

2121212()41(2)(2)2()4443ACADyykxxkmxxmmkkkxxxxxxmkkm+++−====−++++++−，化简得(2)()0mkmk−+=，解得2mk=或mk=−，当2mk=时，直线CD为()22ykxkkx=+=+，显然

过点(2,0)−，不符合题意，舍去，故mk=−，直线CD为()1ykxkkx=−=−，显然过定点(1,0)，而直线1x=也过(1,0)，综上：直线CD过定点(1,0).获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com