【文档说明】吉林省长春市北京师范大学长春附属学校2020-2021学年高二下学期第一次月考数学试卷含答案.docx，共(18)页，1.093 MB，由小赞的店铺上传

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北师大长春附属学校2020—2021学年度下学期高二年级第一次月考数学试卷考试时间：90分钟满分：120分2021年4月2日一、单选题1．如果1x，2x…nx的方差为2，则12212121nxxx+++，的方差为（）A．2B．4C．8D

．162．下列关于命题的说法中正确的是（）①对于命题P：xR，使得210xx++，则:PxR，均有210xx++②“1x=”是“2320xx−+=”的充分不必要条件③命题“若2320xx−+=，则1x=”的逆否命题是“若1x，则2320xx−+”④若pq为假命题，则p､

q均为假命题A．①②③B．②③④C．①②③④D．①③3．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算K2≈0.99，根据这一数据分析，下列说法正确的是()A．有99%的人认为该栏目优秀B．有99%的人认

为该栏目是否优秀与改革有关系C．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为电视栏目是否优秀与改革有关系D．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系附：P(K2≥k)0.1000.0500.0250.010[来源:

学科网]0.001k2.7063.8415.0246.63510.8284．下列问题中，最适合用简单随机方法抽样的是()A．某学校有学生1320人，为了了解学生身体发育情况，准备从中抽取一个容量为300的样本B

．从全班30名学生中，任意选取5名进行家访C．为了准备省政协会议，某政协委员计划从1135个村庄中抽取50个进行收入调查D．为了解某地区癌症的发病情况，从该地区的5000人中抽取200人进行统计5．10名同学

参加投篮比赛，每人投20球，投中的次数用茎叶图表示（如图），设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（）A．abcB．bcaC．cabD．cba6．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．2log101−B．22log31−C．92D．67．一百零八塔，位于宁

夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一.一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，…，若该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群共有（）A．12层B

．13层C．14层D．15层8．在极坐标系中，点2,2A到直线sin34+=的距离为（）A．5B．1C．2D．39．对具有线性相关关系的变量x和y，测得一组数据如下表：若已求得它们的回归直线方程的斜率为6.5，则这条回归直线的方程为（）x24568y30

40605070A．𝑦̂=6.5x+17B．𝑦̂=6.5x+18C．𝑦̂=6.5x+27.5D．𝑦̂=6.5x+17.510．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调

查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照)0,0.5，)0.5,1，…，4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.则估计全市居民月均用水量的中位数是（）A．2.25吨B．2.24吨C．2.06吨D．2.04吨11．已知三棱锥ABC

D−的所有顶点都在球O的球面上，且AB⊥平面BCD，23AB=，4ACAD==，22CD=，则球O的表面积为（）A．20B．18C．36D．2412．双曲线的光学性质为①：如图，从双曲线右焦点2F发

出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点1F．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为2212221,,xyFFab−=为其左､右焦点，若从右焦点2F发出的光线经双曲线上的点A和点B反射

后，满足390,4BADtanABC==−，则该双曲线的离心率为（）A．52B．5C．102D．10二、填空题13．若实数,xy满足约束条件{𝑥+𝑦≤1𝑥−𝑦≤1𝑥≥0，则3zxy=−的最大值是_________

______________．14．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.已知一个5次多项式为()53254321xfxxxx−−=+−，用秦九韶

算法求这个多项式当2x=时3v的值为___________.15．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若ABAF＝2，则AEBF的值是________．16．在三角形ABC中，角A，B，C的对边为

a，b，c，60B=，且2sincossincos4sinbACbcBAB+=，则三角形ABC面积的最大值为__________．三、解答题17．设命题:p实数x满足22430xaxa−+，()0a；命题:q实数x满足()()320xx−−.（1）若1a=，p，q均

为真命题，求x的取值范围；（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围.18．为响应习近平总书记在党的十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，某市旅游局筹划共投入4千万元，对全市各旅游景区的

环境进行综合治理，并且对各旅游景区收益的增加值作了初步的估计，根据旅游局的治理规划方案，针对各旅游景区在治理后收益的增加值绘制出如图所示频率分布直方图，由于操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.（1）旅游局在投入4千万元的治理经费下，估计全市旅游景区收益增加值的平

均数为多少万元(以各组的区间中点值代表该组的取值)；（2）若旅游局投入不同数额的经费，按照以上的研究方法，得到以下数据：投入的治理经费x(单位：千万元)1234567收益的增加值y(单位：万元)232779将第（1）问结果填入表格后，数据显示x与y之间

存在线性相关关系.在优化环境的同时，旅游局还谋划使全市旅游景区收益的总额至少增加10万元，试估计在此目标下，旅游局应该对全市旅游景区至少投入多少千万元的治理经费？(答案精确到0.01).参考公式：回归直线方程ˆˆˆybxa=+中斜

率和截距的最小二乘法估计公式分别为1122211()()ˆ,()ˆˆnniiiiiinniiiixxyyxnxybaybxxxxnxy====−−−===−−−19．如图，四棱锥PABCD−中，四边

形ABCD是边长为2的正方形，PAD为等边三角形，,EF分别为PC和BD的中点，且EFCD⊥.（1）证明:CD⊥平面PAD;（2）（文科）求三棱锥C−PBD的体积。（理科）求二面角E−BD−A余弦值的大小.20

．已知椭圆()22122:10xyCabab+=的左右焦点分别为12,FF，离心率为12，过椭圆右焦点的直线交椭圆于,AB两点，1AFB△的周长为8,O为坐标原点，（1）求椭圆的方程；（2）求面积∆AOB的最大值．参考答案1．C【分析】设原数据的平

均数为x，则新数据的平均数为21x+，利用方差的定义，进行整体代换即可.【详解】设原数据的平均数为x，则新数据的平均数为21x+，则原数据的方差为222121()()()2nxxxxxxn−+−++−=，新数据的方差为222121(2121)(

2121)(2121)nxxxxxxn+−−++−−+++−−2221214()()()428nxxxxxxn=−+−++−==故选：C.2．A【分析】由特称命题的否定为全称命题，即可判断①；运

用充分必要条件的定义，即可判断②；由原命题若p则q的逆否命题为若非q则非p，即可判断③；由pq为假命题，可得p，q中至少一个为假命题，即可判断④．【详解】①对于命题:pxR，使得210xx++，则:pxR均有210xx++…，故①正确；②由“1x=”可推得“2320xx

−+=”，反之由“2320xx−+=”可能推出2x=，则“1x=”是“2320xx−+=”的充分不必要条件，故②正确；③命题“若2320xx−+=，则1x=”的逆否命题是“若1x，则2320xx−+”，故③正确；

④若pq为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故④错误．则正确的命题的有①②③．故选：A3．D4．B5．D【分析】根据茎叶图的数据，分别求出,,abc的值即可.【详解】根据茎叶图得：9912151617171718201510a++++++++

+==，中位数161716.52b+==，众数=17c.所以cba.故选：D【点睛】本题主要考查茎叶图，同时考查了平均数，中位数和众数的求法，属于简单题.6．B【详解】第一次循环，23log2,2Si=+=；第二次循环，2233log2log,32Si=++=；以此类推

得第七次循环，22223893log2loglog3log8,8272Si=++++=+==；结束循环输出229log2log312=−，选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点

条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7．A【分析】利用已知条件将每一层有的塔的数目设为na，依题意可知56,aa，…成等差数列，利用等差数列通项公式以及前n

项和公式即可得出结论.【详解】设该数列为na，依题意可知，56,aa，…成等差数列，且公差为2，55a=，设塔群共有n层，则()()()4513355421082nnnSn−−=++++−+=，解得12n=，所以该塔共有12层，故选：

A8．C【分析】将点A的极坐标化为直角坐标，将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，由点到直线的距离公式可得结果.【详解】设点A的直角坐标为(,)xy，则cos2cos02x===，sin2sin22y===，所以

(0,2)A，由sin34+=得sincoscossin344+=，即sincos32+=，将cos,sinxy==代入得320xy+-=，即直线sin34+=的直角坐标方程为320xy+-=，所以点(0,2)A到

直线320xy+-=的距离为|0232|211+−=+.所以在极坐标系中，点2,2A到直线sin34+=的距离为2.故选：C【点睛】关键点点睛：将极坐标化为直角坐标是解题关键.9．D【

分析】先求得样本中心()5,50，然后由回归直线方程6.5yxa=+过样本中心求解.【详解】因为2456830406050705,5055xy++++++++====,所以样本中心为：()5,50，设回归直线方程为6.5yxa=+,又直线过样本中心，解得17.5a=,所以这条回归直线方程为6.51

7.5yx=+故选：D10．D【分析】利用中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的求解即可.【详解】由频率分布直方图可知，月用水量在)0,0.5的频率为0.080.50.04=.同理，在)0.5,1，)1.5,2，)2,

2.5，)3,3.5，)3.5,4，4,4.5等组的频率分布为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.由()10.040.080.210.250.060.040.0220.5a−++++++=，解得

a0.30=，设中位数为x吨.因为前5组的频率之和为0.040.080.150.210.250.730.5++++=，前4组的频率之和为0.040.080.150.210.480.5+++=，所以22.5x„.由()0.

5020.50.48x−=−，解得2.04x=.故选：D【点睛】利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面

积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.11．A【分析】根据AB⊥平面BCD，得到ABBC⊥，ABBD⊥，再由23AB=，4ACAD==，22CD=，得到BCBD⊥，则三棱锥ABCD−截取于一个长方体，然后由长方体的外接球即为三棱锥的外接

球求解.【详解】因为AB⊥平面BCD，所以ABBC⊥，ABBD⊥，∴224(23)2BCBD==−=，在BCD△中，22CD=，∴222CDBCBD=+，∴BCBD⊥.如图所示：三棱锥ABCD−的外接球即为长方体AGFH-BCED的外接球，设球O的半径为R，则2R=222222(23

)2225BABCBD++=++=，解得5R=，所以球O的表面积为20π，故选：A.12．C【分析】连接11,FAFB，已知条件为190FAB=，13tan4ABF=，设1AFm=，由双曲线定义表示出

2AF，用已知正切值求出2BF，再由双曲线定义得1BF，这样可由勾股定理求出m（用a表示），然后在12AFF△中，应用勾股定理得出,ac的关系，求得离心率．【详解】易知1,,FAD共线，1,,FBC共线，如图，设1AFm=，2AFn=，则2mna−=，由3tan4ABC=−得，

13tan4ABF=，又1290FABFAD==，所以13tan4mABFAB==，43ABm=，则2243BFABAFmn=−=−，所以124122433BFaBFamnam=+=+−=+，由22211AFAB

BF+=得22241(4)33mmam+=+，因为0m，故解得3ma=，则32naaa=−=，在12AFF△中，222(2)mnc+=，即22294aac+=，所以102cea==．故选：C．【点睛】关键点点睛：本

题考查求双曲线的离心率，解题关键是求出,ac的关系，解题方法是利用双曲线的性质及已知条件得出1ABF的性质，从而在这个三角形中把12,AFAF结合双曲线定义用a表示，然后再用勾股定理求得出,ac的关系式．13．3【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最

优解．【详解】作出可行域，如图ABC内部（含边界），作直线:30lxy−=，由3xyz−=得133zyx=−，直线向下平移时，纵截距减小，z增大，所以平移直线l，当直线l过点(0,1)A−时，max03(1)3z=−

−=．故答案为：3．【点睛】方法点睛：本题考查简单的线性规划，解题方法是作出可行域，作出目标函数对应的直线，函数方程变形观察z与直线截距的关系可得最值在哪个点取得，从而求得结论．14．24【分析】根据秦九韶算法的计算过程可得2x=时3v的值.【详解】()()()()()403215fxx

xxxx=+−−+−根据秦九韶算法可知：04v=，1428v==，228313v=−=，3213224v=−=.故答案为：24.15．2【分析】根据矩形的垂直关系和长度关系，先利用平面向量加法的运算律求解1DF=，21CF=−，再利用运算律转化求AEBF即可.【详解】∵AFADDF

=+，0ABAD=uuuruuur，∴()22ABAFABADDFABADABDFABDFDF=+=+===，∴1DF=，21CF=−，∴()()AEBFABBEBCCFABBCABCFBEBCBECF=++

=+++，∵()0,0,221ABBCBECFABCFABCFcos====−−,122BEBCBEBC===,()22122222AEBFABCFBEBC=+=−−+=−++=，故答案为：2.16．√317．（1）)

2,3；（2）()1,2.【分析】解一元二次不等式求出p，q均为真命题时x的取值范围.（1）将1a=代入，根据交集运算求解即可；（2）根据题意，q是p的充分不必要条件，只需233aa，解不等式即可求解

.【详解】解：由题意得，当p为真命题时，3axa；当q为真命题时，23x（1）若1a=时，若p，q均为真命题，则1323xx解得23x，所以x的取值范围为)2,3.（2）若q是

p的充分不必要条件，则233aa得12a，所以实数a的取值范围为()1,2.【点睛】根据充分、必要条件求参数范围的方法：（1）解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(

组)求解；（2）求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.18．（1）5(万元)；（2）旅游局对全市旅游景区至少投入8.12千万元的治理经费.【分析】（1）根据小长方形

面积总和为1可列式求得组距，然后列出式子可求出平均数；（2）根据公式分别求出77211,,,iiiiixyxyx==，即可根据公式求出回归方程，将10y=$代入可求.【详解】（1）设各小长方形的宽度为m，由频率分布直方图中各小长方形面积总和为1可得，()0

.080.100.140.120.040.021m+++++=，解得2.m=各小组依次是[0，2)，[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10)，[10，12]，其中点分别是1，3，5，7，9，11，对应的频率分别为,0

.16,0.20,0.28,0.24,0.08,0.04，故估计全市家庭年均用气量为10.1630.250.2870.2490.08110.045+++++=(万元).（2）空白栏中填5.由题意可知，123456723257794,577xy+

+++++++++++====，7112233245576779174,iiixy==++++++=72222222121234567140iix==++++++=，根据公式可求得，71722

2171747451.2141ˆ40747iiiiixyxybxx==−−===−−，51.21ˆˆ440.144aybx=−=−，所以回归直线方程为1.2140.144yx=+，当10y=$时，101.21

40.144x=+，解得8.12x，即旅游局对全市旅游景区至少投入8.12千万元的治理经费.19．（1）证明见解析；（2）2217.【分析】（1）连接AC，分别证得EFCD⊥和PACD⊥，利用线面垂直的判定，即可求解.（2）利用等积法，

即可求解.【详解】（1）如图所示，连接AC，由ABCD是边长为2的正方形，因为F是BD的中点，可得AC的中点，在PAC△中，因为,EF分别是,PCAC的中点，可得//EFPA，又因为EFCD⊥，所以PACD⊥，又由ADCD⊥，且ADAPA=，所以CD⊥平面PAD.（2）如图所示，取

AD中点O，连接PO，因为PAD△是边长为2的等边三角形，所以POAD⊥且3PO=，由（1）知平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，可得111232233323PBDCBDCVSPO−===

，连接OB，则225OBAOAB=+=，所以2222PBPOOB=+=，又2222BDABAD=+=，又2PD=，所以212(22)172PBDS=−=,设点C到平面PDB的距离为h，则17733CPBDhVh−==，即72333h=，解得2217

h=.20．（1）22143xy+=；（2）32．（3）√77【分析】（1）利用题意定义可求出2a=，再根据离心率可得答案；（2）设出直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理可表示出OAB的面积，再利用函数的性质可得

答案.【详解】（1）设椭圆半焦距为,c由题意可知48,2aa==，由离心率有21,3cb==，所以椭圆方程为22143xy+=，（2）设直线:1ABxty=+，联立方程组221431xyxty+==+，消去x得()2243690

tyty++−=，设()()1122,,,AxyBxy，有12122269,4343tyyyytt−−+==++，由21OF=，所以OAB的面积221222216161243311tSOFyyttt+=−==++++，函数1()3fxxx=+)1,x+，令121xx，则()12

12121212123111()()33xxfxfxxxxxxxxx−−=+−+=−，因为121xx，所以()121212310xxxxxx−−，12())0(fxfx−。所以()fx在)1,x+上单调递增，

因为211t+，所以2213141tt+++，当且仅当0t=时取等号，所以226312311Stt=+++，所以OAB面积的最大值为32．【点睛】本题考查了椭圆的方程、椭圆与直线的位置关系，解题的关键点是利用韦达定理表示出三角形的面积，考查了学生分析问题、解决问题的能力及计算能力.