【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修一）专题5.13 三角函数的应用（重难点题型精讲） Word版含解析.docx，共(17)页，2.503 MB，由小赞的店铺上传

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专题5.13三角函数的应用（重难点题型精讲）1．函数，中各量的物理意义在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与函数中的常数有关.2．三角函数的简单应用(1)三角函数应用的步骤(2)三角函数的常见应用类型①三角函数在物体简谐运动问题中的应用.物体的简谐运动是一种常见

的运动，它的特点是周而复始，因此可以用三角函数来模拟这种运动状态.②三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用.物体的旋转显然具有周期性，因此也可以用三角函数来模拟这种运动状态.③三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用.大海中的潮汐现象、日常生活中的气温变

化、季节更替等都具有周期性，因此常用三角函数模型来解决这些问题.【题型1三角函数在物体简谐运动问题中的应用】【方法点拨】物体的简谐运动是一种常见的运动，它的特点是周而复始，因此可以用三角函数来模拟这种运动状态.【例1】（2022·全国·高三阶段练习（文））如图所示是某弹簧振子做简谐

运动的部分图象，则下列判断错误的是（）A．该弹簧振子的振幅为2cmB．该弹簧振子的振动周期为1.6sC．该弹簧振子在0.2s和1.0s时振动速度最大D．该弹簧振子在0.6s和1.4s时的位移为零【解题思路】由简谐运动图象可得出该弹簧振子的振幅、最小正周期，可判断AB选项的正误，再根据简谐振动

的几何意义可判断CD选项的正误.【解答过程】由图象及简谐运动的有关知识知，该弹簧振子的振幅为2𝑐𝑚，振动周期为2×(1−0.2)=1.6𝑠，当𝑡=0.2𝑠或1.0𝑠时，振动速度为零，该弹簧振子在0.6s和1

.4s时的位移为零.所以，ABD选项正确，C选项错误.故选：C.【变式1-1】（2021·全国·高一专题练习）在图中，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时．则物体对平衡位置的位移x（单

位：cm）和时间t（单位：s）之间的函数关系式为（）A．𝑥=32sin(2𝜋3𝑡−𝜋2)B．𝑥=3sin(2𝜋3𝑡)C．𝑥=32sin(3𝑡+𝜋2)D．𝑥=3sin(2𝜋3𝑡+𝜋2)【解题思路】设

𝑥=𝑓(𝑡)=𝐴sin(𝜔𝑡+𝜑)(𝜔>0)，根据振幅确定𝐴，根据周期确定𝜔，根据𝑓(0)=3确定𝜑，即可得出结果.【解答过程】设位移𝑥关于时间𝑡的函数为𝑥=𝑓(𝑡)=𝐴sin(𝜔𝑡+𝜑)(𝜔>0)，根据题中条件，可得𝐴=3，周期𝑇=2

𝜋𝜔=3，故𝜔=2𝜋𝑇=2𝜋3，由题意可知当𝑥=0时，𝑓(𝑡)取得最大值3，故3sin𝜑=3，则𝜑=𝜋2+2𝑘𝜋(𝑘∈𝑍)，所以𝑥=3sin(2𝜋3𝑡+𝜋2+2𝑘𝜋)=3sin(2𝜋3𝑡+𝜋2).故选：D．【变式1-2】（2022·湖南·高一课时

练习）如图为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是A．该质点的振动周期为0.7sB．该质点的振幅为−5cmC．该质点在0.1s和0.5s时的振动速度最大D．该质点在0.3s和0.7s时的加速度为0【解题思路】由简谐运动得出周期和振幅，质点位移为零时，速度最大，加速度最

小；位移最大时，速度最小，加速度最大.振动图象上某点的切线斜率的正负代表速度的方向，根据以上知识可判断出各选项命题的正误.【解答过程】对于A、B选项，由图可得知振幅为5𝑐𝑚，周期为2×(0.7−0.3)=0.8𝑠，A、B选项错误；对于C选项，质点在0.1𝑠和0.5𝑠时刻，质点的

位移为最大值，可知速度为零，C选项错误；对于D选项，质点在0.3𝑠和0.7𝑠时刻，质点的位移为0，则质点受到的回复力为0，所以加速度为0，D选项正确.故选D.【变式1-3】（2022·宁夏·高三阶段练习（理））我们来看一个简谐运动的实验

：将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成一个简易单摆．在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的

图象．它表示了漏斗对平衡位置的位移𝑠（纵坐标）随时间𝑡（横坐标）变化的情况．如图所示．已知一根长为𝐿cm的线一端固定，另一端悬挂一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移𝑠（单位：cm）与时间𝑡（单位：s）的函数关系是𝑠=2cos√𝑔𝐿𝑡，其中𝑔≈980cm/s2，π≈3.1

4，则估计线的长度应当是（精确到0.1cm）（）A．3.6B．3.8C．4.0D．4.5【解题思路】由图象观察得出函数𝑠=2cos√𝑔𝑙𝑡的最小正周期为0.4𝑠，再利用余弦型函数的周期公式可求得𝑙的值.【解答过程】解：由题意，函数关系式为𝑠=2cos√𝑔𝑙𝑡，由图象可知

，函数𝑠=2cos√𝑔𝑙𝑡的最小正周期为𝑇=0.4𝑠，𝑇=2𝜋√𝑔𝑙=25，所以，𝑙=𝑔25𝜋2=98025×3.142≈4.0𝑐𝑚，故选：C.【题型2三角函数在圆周运动问题中的应用】【方法点拨】这类题一般明确地指出了周期现象

满足的变化规律，例如，周期现象可用形如或的函数来刻画，只需根据已知条件确定参数，求解函数解析式，再将题目涉及的具体的数值代入计算即可.【例2】（2022·浙江温州·高二期中）一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮

现时（图中点𝑃0）开始计时，则点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的一个函数解析式为（）A．ℎ=2sin(π30𝑡−π6)+1B．ℎ=2sin(π30𝑡−π3)+1C．ℎ=2sin(π30𝑡+π6)

+1D．ℎ=2sin(π60𝑡−π6)+1【解题思路】依据题给条件去求一个函数解析式即可解决.【解答过程】设点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的一个函数解析式为ℎ=𝐴sin(𝜔𝑡+𝜑)+𝐵(𝐴>0，𝜔>0，|𝜑|<π2)，由{𝐴+𝐵=3−𝐴+𝐵=−1，

可得{𝐴=2𝐵=1，由𝑇=2π|𝜔|=60，可得𝜔=π30，由t=0时h=0，可得2sin𝜑+1=0，则sin𝜑=−12，又|𝜑|<π2，则𝜑=−π6，则点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的一个函数解析式为

ℎ=2sin(π30𝑡−π6)+1，故选：A.【变式2-1】（2022·全国·高一课时练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.

如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为4m，筒车转轮的中心O到水面的距离为2m，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即P0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的

水平直线为x轴建立平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦.设盛水筒M从点P0运动到点P时所经过的时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m），则点P第一次到达最高点需要的时间为（）s.A．2B．3C．5D．10【解题思路】设点𝑃离水面

的高度为ℎ(𝑡)=𝐴sin(𝜔𝑡+𝜑)+2，根据题意求出𝐴,𝜔,𝜑，再令ℎ(𝑡)=6可求出结果.【解答过程】设点𝑃离水面的高度为ℎ(𝑡)=𝐴sin(𝜔𝑡+𝜑)+2，依题意可得𝐴=4，𝜔=8𝜋60=2𝜋15，𝜑=−𝜋6，所以ℎ(𝑡)=

4sin(2𝜋15𝑡−𝜋6)+2，令ℎ(𝑡)=4sin(2𝜋15𝑡−𝜋6)=6，得sin(2𝜋15𝑡−𝜋6)=1，得2𝜋15𝑡−𝜋6=2𝑘𝜋+𝜋2，𝑘∈𝑍，得𝑡=15�

�+5，𝑘∈𝑍，因为点P第一次到达最高点，所以0<𝑡<2𝜋2𝜋15=15，所以𝑘=0,𝑡=5s.故选：C.【变式2-2】（2022·北京·高一期末）石景山游乐园“梦想之星”摩天轮采用国内首

创的横梁中轴结构，风格现代简约.“梦想之星”摩天轮直径88米，总高约100米，匀速旋转一周时间为18分钟，配有42个球形全透视360度全景座舱.如果不考虑座舱高度等其它因素，该摩天轮的示意图如图所示，游客从离地面最近的位置进入座舱，旋转一周后出舱.甲

乙两名同学通过即时交流工具发现，他们两人进入各自座舱的时间相差6分钟.这两名同学在摩天轮上游玩的过程中，他们所在的高度之和的最大值约为（）A．78米B．112米C．156米D．188米【解题思路】角速度为2π18=π9，游客从离地面最近的位置进入座舱，游玩中到地

面的距离为𝑓(𝑡)=44sin(π9𝑡−π2)+56=44cosπ9𝑡+56,(0≤𝑡≤18)，进而甲乙在摩天轮上游玩的过程中他们所在的高度之和𝑔(𝑡)=(44cosπ9𝑡+56)+[44cosπ9(𝑡+6)+56]，再利用三角函数值域的研究方法求解即可【解答过程】因为角速度

为2π18=π9，所以游客从离地面最近的位置进入座舱，游玩中到地面的距离为𝑓(𝑡)=44sin(π9𝑡−π2)+56=44cosπ9𝑡+56,(0≤𝑡≤18)，由题意可得甲乙在摩天轮上游玩的过程中他们所在的高度之和𝑔

(𝑡)=(44cosπ9𝑡+56)+[44cosπ9(𝑡+6)+56]=112+44[cosπ9𝑡+cos(π9𝑡+2π3)]=112+44(12cosπ9𝑡+√32sinπ9𝑡)=112+44sin(π9𝑡+π6),(0≤𝑡≤18)，因为0≤𝑡≤18，所以π6≤π9𝑡+π6

≤13π6，所以−12≤sin(π9𝑡+π6)≤1，−22≤44sin(π9𝑡+π6)≤44，所以90≤112+44sin(π9𝑡+π6)≤156，所以𝑔(𝑡)max=156，即他们所在的高度之和的最大值约为156，故选：C.【变

式2-3】（2022·上海市高三期中）如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110𝑚，开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要30min.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动𝑡min后距离地面的高度为𝐻m，则在转动一周的

过程中，高度𝐻关于时间𝑡的函数解析式是（）A．𝐻=55cos(𝜋15𝑡−𝜋2)+65(0≤𝑡≤30)B．𝐻=55sin(𝜋15𝑡−𝜋2)+65(0≤𝑡≤30)C．𝐻=−55cos(𝜋10𝑡+𝜋2)+65(0≤𝑡≤30)D．𝐻=−

55sin(𝜋10𝑡+𝜋2)+65(0≤𝑡≤30)【解题思路】根据题意，设𝐻(𝑡)=𝐴sin(𝜔𝑡+𝜑)+𝐵(0≤𝑡≤30)，进而结合题意求解即可.【解答过程】解：根据题意设，𝐻(𝑡)=𝐴sin(𝜔𝑡+𝜑)+𝐵(0≤𝑡≤30)

，因为某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，所以，该摩天轮最低点距离地面高度为10m，所以{𝐴+𝐵=120−𝐴+𝐵=10，解得𝐴=55,𝐵=65，因为开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要30min，所以，𝑇=2𝜋𝜔=30，解得𝜔=𝜋15，因为

𝑡=0时，𝐻(0)=10，故10=55sin𝜑+65，即sin𝜑=−1，解得𝜑=−𝜋2+2𝑘𝜋,𝑘∈Z.所以，𝐻(𝑡)=55sin(𝜋15𝑡−𝜋2)+65(0≤𝑡≤30)故选：B.【题型3三角函数在生活

中的周期性变化问题中的应用】【方法点拨】大海中的潮汐现象、日常生活中的气温变化、季节更替等都具有周期性，因此常用三角函数模型来解决这些问题.【例3】（2021·全国·高一专题练习）如图是某市夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数𝑦=𝐴sin(𝜔�

�+𝜑)+𝐵，则该市这一天中午12时天气的温度大约是（）A．25°CB．26°CC．27°CD．28°C【解题思路】由函数图像分析：由图像的最高点和=最低点求𝐴,B，由周期求𝜔，根据特殊点求�

�,得到函数解析式，把x=12带入即可求出中午12时天气的温度.【解答过程】对于函数𝑦=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)+𝐵，由图像可知：{−𝐴+𝐵=10𝐴+𝐵=30解得：{𝐴=10𝐵=20；从𝑥=6到𝑥=14为函数的半个周期，即𝑇2=8，所以𝑇=16，即2𝜋𝜔=16，

解得：𝜔=𝜋8；所以𝑦=10sin(𝜋8𝑥+𝜑)+20又有图像经过(14,30)，所以10sin(π8×14+𝜑)+20=30，解得：𝜑=3𝜋4+2𝑘𝜋(𝑘∈𝑍)所以𝑦=10sin(𝜋8𝑥+3�

�4)+20，当x=12时，𝑦=10sin(𝜋8×12+3𝜋4)+20=5√2+20≈27.故选：C.【变式3-1】（2022·全国·高三专题练习）夏季来临，人们注意避暑．如图是某市夏季某一天从6时到14时

的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数𝑦=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)+𝐵，则该市这一天中午12时天气的温度大约是（）A．25∘CB．26∘CC．27∘CD．28∘C【解题思路】根据函数的图象求出

𝑦=10sin(𝜋8𝑥+3𝜋4)+20，令𝑥=12即得解.【解答过程】解：由题意以及函数的图象可知，𝐴+𝐵=30，−𝐴+𝐵=10，所以𝐴=10，𝐵=20.∵𝑇2=14−6，∴𝑇=16.∵𝑇=2𝜋𝜔，∴�

�=𝜋8,∴𝑦=10sin(𝜋8𝑥+𝜑)+20.∵图象经过点(14,30)，∴30=10sin(𝜋8×14+𝜑)+20，∴sin(𝜋8×14+𝜑)=1，∴𝜑可以取34𝜋，∴𝑦=10sin(𝜋8𝑥+3𝜋4)+20.当𝑥=12时，𝑦=1

0sin(𝜋8×12+3𝜋4)+20=10×√22+20≈27.07.故选：C.【变式3-2】（2022·全国·高一专题练习）某市一年12个月的月平均气温𝑦与月份𝑥的关系可近似地用函数𝑦=𝑎+𝐴cos[π6(𝑥−6)]（𝑥=1,2,3,⋅⋅⋅,12）来表示，已知该市6月份的

平均气温最高，为28∘C，12月份的平均气温最低，为18∘C，则该市8月份的平均气温为（）A．25.5∘CB．22.5∘CC．20.5∘CD．13∘C【解题思路】根据已知条件列方程可求得𝑎和𝐴的值，可得函数解析式，将𝑥=8代入即可求解.【

解答过程】由题意可得：{𝑓(6)=𝑎+𝐴cos[π6(6−6)]=28𝑓(12)=𝑎+𝐴cos[π6(12−6)]=18即{𝑎+𝐴=28𝑎−𝐴=18，解得：{𝑎=23𝐴=5，所以𝑓(𝑥)=23+5cos[π6(𝑥−6)]，所以该

市8月份的平均气温为𝑓(8)=23+5cos[π6(8−6)]=23+5cosπ3=25.5∘C，故选：A.【变式3-3】（2021·全国·高一专题练习）月均温全称月平均气温，气象学术语，指一月所有日气温的平均气温．某城市一年中12个月的月均温𝑦（单位：⬚∘𝐶）与月份𝑥（单位：月）的关

系可近似地用函数𝑦=𝐴sin[𝜋6(𝑥−3)]+𝑎（𝑥=1,2,3,⋯,12）来表示，已知6月份的月均温为29∘𝐶，12月份的月均温为17∘𝐶，则10月份的月均温为（）A．20∘𝐶B．20.5∘

𝐶C．21∘𝐶D．21.5∘𝐶【解题思路】由题意得出关于𝐴、𝑎的方程组，可得出函数解析式，在函数解析式中令𝑥=10可得结果.【解答过程】由题意可得{𝐴sin𝜋2+𝑎=𝐴+𝑎=29𝐴sin3𝜋2+𝑎=𝑎−𝐴=17，解得{𝐴=6𝑎=23，所以，函数解析式为

𝑦=6sin[𝜋6(𝑥−3)]+23，在函数解析式中，令𝑥=10，可得𝑦=6sin7𝜋6+23=6×(−12)+23=20.因此，10月份的月均温为20∘𝐶.故选：A.【题型4用拟合法建立三角函数模型】【方法点拨】数据拟合

问题的实质是根据题目提供的数据画出简图，求相关函数的解析式进而研究实际问题.在求解与三角函数有关的函数拟合问题时，需弄清楚的具体舍义，只有掌握了这三个参数的含义，才可以实现符号语言(解析式)与图形语言(函数图象)之间的相互转

化.【例4】（2022·全国·高一课时练习）某港口的水深𝑦(单位：m)是时间𝑡(0≤𝑡≤24，单位：h)的函数，下面是该港口的水深数据：𝑡h⁄03691215182124𝑦m⁄10139.9710139.9710一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5m时就是安全的

．(1)若有以下几个函数模型：𝑦=𝑎𝑡+𝑏，𝑦=𝐴sin(𝜔𝑡+ϕ)+𝐾，你认为哪个模型可以更好地刻画y与t之间的对应关系？请说明理由，并求出该拟合模型的函数解析式；(2)如果船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在

港内停留的时间最多不能超过多长时间？【解题思路】(1)通过题目数据拟合函数图像，可判断函数模型𝑦=𝐴sin(𝜔𝑡+ϕ)+𝐾更好，再由图像点坐标代入函数，求出函数解析式为𝑦=3sin𝜋6�

�+10(0⩽𝑡⩽24).(2)根据题意已知可求出水深𝑦范围，解三角函数不等式可得答案，船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1时进港，而下午的17时离港.【解答过程】（1）𝑦=𝐴sin(𝜔𝑡+ϕ)+𝐾函数模型更好地刻画y与t之间的对应关系.根据上述数据描出的曲线如图所示，经

拟合，该曲线可近似地看成正弦函数𝑦=𝐴sin(𝜔𝑡+ϕ)+𝐾的图像.从拟合曲线可知，函数𝑦=𝐴sin(𝜔𝑡+ϕ)+𝐾在一个周期内由最大变到最小需9-3=6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12，因此2𝜋𝜔=12,𝜔=𝜋6.又∵当𝑡=0时，𝑦=10；当𝑡

=3时𝑦max=13，∴𝐾=10,𝐴=13−10=3,ϕ=0，∴所求函数的表达式为𝑦=3sin𝜋6𝑡+10(0⩽𝑡⩽24).（2）由于船的吃水深度为7m，船底与海底的距离不少于4.5m，故在船舶航行时，水深𝑦应大于或等于7+4.5=11.5(m).令𝑦=3s

in𝜋6𝑡+10⩾11.5,可得sin𝜋6𝑡⩾12,∴2𝑘𝜋+𝜋6⩽𝜋6𝑡⩽2𝑘𝜋+5𝜋6(𝑘∈𝑍),∴12𝑘+1⩽𝑡⩽12𝑘+5(𝑘∈𝑍)取𝑘=0，则1≤𝑡≤5；取𝑘=1，则13≤𝑡≤17；取𝑘=2时，25

≤𝑡≤29（不符合题意，舍去).∴当1≤𝑡≤5与13≤𝑡≤17时，船能够安全进港，船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1时进港，而下午的17时离港，在港内停留的时间最长为16h.【变式4-1】

（2023·全国·高三专题练习）“八月十八潮，壮观天下无．”——苏轼《观浙江涛》，该诗展现了湖水涨落的壮阔画面，某中学数学兴趣小组进行潮水涨落与时间的关系的数学建模活动，通过实地考察某港口水深y（米）与时间0≤𝑡≤24（单位：小时）的关系，经过多次测量筛选，最后得到下表数据：t（小

时）03691215182124y（米）10.013.09.97.010.013.010.17.010.1该小组成员通过查阅资料、咨询老师等工作，以及现有知识储备，再依据上述数据描成曲线，经拟合，该曲线可近似地看成函数图象．(1)试根据数据表和曲线，求

出近似函数的表达式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船底与水面的距离）为8米，请你运用上面兴趣小组所得数据，结合所学知识，给该船舶公司提供安全进此港时间段的建议．【解题思路】（1）根据数据,画出散点图、连线，结合正弦型函数的性质进行求

解即可；（2）根据正弦型函数的单调性进行求解即可.【解答过程】（1）画出散点图，连线如下图所示：设𝑦=𝐴sin𝜔𝑡+𝑏，根据最大值13，最小值7，可列方程为：{𝐴+𝑏=13−𝐴+𝑏=7⇒{𝐴=3𝑏=10，再由𝑇=2𝜋𝜔=12，得𝜔=𝜋

6，𝑦=3sin𝜋6𝑡+10(0≤𝑡≤24)；（2）3sin𝜋6𝑡+10−8≥3.5⇒sin𝜋6𝑡≥12．∵0≤𝑡≤24，∴0≤𝜋6𝑡≤4𝜋，∴𝜋6≤𝜋6𝑡≤5𝜋6，或𝜋6+2𝜋≤𝜋6𝑡≤5𝜋6+2𝜋解得1≤𝑡≤5

，或13≤𝑡≤17，所以请在1：00至5：00和13：00至17：00进港是安全的．【变式4-2】（2021·全国·高一专题练习）某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度𝑦（米）随着时间𝑡（0≤𝑡≤24，单位：小时）而

周期性变化．每天各时刻𝑡的浪高数据的平均值如下表：𝑡（时）03691215182124𝑦（米）1.01.41.00.61.01.40.90.41.0(1)试在图中描出所给点；(2)观察图，从𝑦=𝑎�

�+𝑏，𝑦=𝐴sin(𝜔𝑡+𝜑)+𝑏，𝑦=𝐴cos(𝜔𝑡+𝜑)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；(3)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．【解题思路】（1）利用表格数据直接描点即可；（2

）根据散点图可确定应选择𝑦=𝐴sin(𝜔𝑡+𝜑)+𝑏，结合数据计算可得模型解析式；（3）令𝑦=25sin(𝜋6𝑡)+1≥0.8，可解得𝑡的范围，进而确定结果.【解答过程】(1)散点图如下，(2)由散点图可知：应选择𝑦=𝐴sin(𝜔𝑡+𝜑)+𝑏，则𝐴=1

.4−0.62=25，𝑏=1，𝑇=2𝜋𝜔=12，即𝜔=𝜋6，将(0,1)代入可得：1=25sin𝜑+1，解得：𝜑=0，∴该模型的解析式为：𝑦=25sin(𝜋6𝑡)+1(0≤𝑡≤24).(3)令𝑦=25sin(𝜋6𝑡)+1≥0.8，则sin

(𝜋6𝑡)≥−12，∵0≤𝑡≤24，∴0≤𝜋6𝑡≤4𝜋，∴0≤𝜋6𝑡≤7𝜋6或11𝜋6≤𝜋6𝑡≤19𝜋6或23𝜋6≤𝜋6𝑡≤4𝜋，解得：0≤𝑡≤7或11≤𝑡≤19或23≤𝑡≤24，∴

应在白天11点到19点之间训练.【变式4-3】（2022·福建·高三期中）平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y（米）是随着一天的时间t（0≤t≤24，单位小时）呈周

期性变化，某天各时刻t的水深数据的近似值如表：t（时）03691215182124y（米）1.52.41.50.61.42.41.60.61.5(1)根据表中近似数据画出散点图（坐标系在答题卷中）．观察散点

图，从①𝑦=𝐴sin(𝜔𝑡+𝜑)，②𝑦=𝐴cos(𝜔𝑡+𝜑)+𝑏，③𝑦=−𝐴sin𝜔𝑡+𝑏(𝐴>0,𝜔>0,−𝜋<𝜑<0)．中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；(2)为保证队员安全，规定在一天中的5～18时且水深不

低于1.05米的时候进行训练，根据（1）中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全．【解题思路】（1）根据表中近似数据画出散点图，选②𝑦=𝐴cos(𝜔𝑡+𝜑)+𝑏做为函数模型，由此利用三角函数的图象和性质求出该拟合模型

的函数解析式即可．（2）由𝑦=0.9sin(𝜋6𝑡)+1.5，令y≥1.05，得sin(𝜋6𝑡)≥−12，从而解出12𝑘−1≤𝑡≤12𝑘+7，即可求出结果．【解答过程】（1）根据表中近似数据画出散点图，如图所示：结合散点图可知，图形进行了上下平移和左右平移，故选②𝑦=𝐴

cos(𝜔𝑡+𝜑)+𝑏做为函数模型，∴𝐴=2.4−0.62=0.9，𝑏=2.4+0.62=1.5，∵𝑇=2𝜋𝜔=12，∴𝜔=𝜋6，∴𝑦=0.9cos(𝜋6𝑡+𝜑)+1.5，又∵函

数y＝0.9cos（𝜋6𝑡+φ）+1.5的图象过点(3,2.4)，∴2.4=0.9cos(𝜋6×3+𝜑)+1.5，∴cos(𝜋2+𝜑)=1，∴sin𝜑=−1，又∵−𝜋<𝜑<0，∴φ=−𝜋2，∴𝑦=0.9cos(𝜋6𝑡−𝜋

2)+1.5=0.9sin(𝜋6𝑡)+1.5，（2）由（1）知：𝑦=0.9sin(𝜋6𝑡)+1.5令y≥1.05，即0.9sin(𝜋6𝑡)+1.5≥1.05，∴sin(𝜋6𝑡)≥−12，∴2𝑘𝜋−𝜋6≤𝜋6𝑡≤2𝑘𝜋+

7𝜋6(𝑘∈𝑍)，∴12𝑘−1≤𝑡≤12𝑘+7，又∵5≤t≤18，∵5≤t≤7或11≤t≤18，∴这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练，才能确保集训队员的安全．