【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修一）专题5.13 三角函数的应用（重难点题型精讲）（学生版）.docx，共(10)页，2.257 MB，由小赞的店铺上传

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专题5.13三角函数的应用（重难点题型精讲）1．函数，中各量的物理意义在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与函数中的常数有关.2．三角函数的简单应用(1)三角函数应用的步骤(2)三角函数的常见应用类型①三角函数在物体简谐运动问题中的应用

.物体的简谐运动是一种常见的运动，它的特点是周而复始，因此可以用三角函数来模拟这种运动状态.②三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用.物体的旋转显然具有周期性，因此也可以用三角函数来模拟这种运动状态.③三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用.大海中的潮汐现象、日常生活中的气温变化、季

节更替等都具有周期性，因此常用三角函数模型来解决这些问题.【题型1三角函数在物体简谐运动问题中的应用】【方法点拨】物体的简谐运动是一种常见的运动，它的特点是周而复始，因此可以用三角函数来模拟这种运动状态.【例1】（2022·全国·高三阶

段练习（文））如图所示是某弹簧振子做简谐运动的部分图象，则下列判断错误的是（）A．该弹簧振子的振幅为2cmB．该弹簧振子的振动周期为1.6sC．该弹簧振子在0.2s和1.0s时振动速度最大D．该弹簧振子在0.6s和1.4s时的位移为零【变式1-1】（2021·全国·高一专题练习）在图中，点

O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时．则物体对平衡位置的位移x（单位：cm）和时间t（单位：s）之间的

函数关系式为（）A．𝑥=32sin(2𝜋3𝑡−𝜋2)B．𝑥=3sin(2𝜋3𝑡)C．𝑥=32sin(3𝑡+𝜋2)D．𝑥=3sin(2𝜋3𝑡+𝜋2)【变式1-2】（2022·湖南·高一课时练习）如图为一简谐运动的图象，则下列判断正

确的是A．该质点的振动周期为0.7sB．该质点的振幅为−5cmC．该质点在0.1s和0.5s时的振动速度最大D．该质点在0.3s和0.7s时的加速度为0【变式1-3】（2022·宁夏·高三阶段练习（理））我们来看一个简谐运动的实验：将塑料瓶底部扎一个

小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成一个简易单摆．在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象．它表示了漏斗

对平衡位置的位移𝑠（纵坐标）随时间𝑡（横坐标）变化的情况．如图所示．已知一根长为𝐿cm的线一端固定，另一端悬挂一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移𝑠（单位：cm）与时间𝑡（单位：s）的函数关系是𝑠=2cos√𝑔𝐿𝑡，其中𝑔≈980cm

/s2，π≈3.14，则估计线的长度应当是（精确到0.1cm）（）A．3.6B．3.8C．4.0D．4.5【题型2三角函数在圆周运动问题中的应用】【方法点拨】这类题一般明确地指出了周期现象满足的变化规律，例如，周期现象可用形如或的函数来刻画，只

需根据已知条件确定参数，求解函数解析式，再将题目涉及的具体的数值代入计算即可.【例2】（2022·浙江温州·高二期中）一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点𝑃0）开始计时，则点P距离水面的高度h（米）与

t（秒）的一个函数解析式为（）A．ℎ=2sin(π30𝑡−π6)+1B．ℎ=2sin(π30𝑡−π3)+1C．ℎ=2sin(π30𝑡+π6)+1D．ℎ=2sin(π60𝑡−π6)+1【变式2-1】（2022·全国·高一课时练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又

环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为4m，筒车转轮的中心O到水面的距离为2m，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即

P0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦.设盛水筒M从点P0运动到点P时所经过的时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m），则点P第一次到达最高点需要的时间为（）s.

A．2B．3C．5D．10【变式2-2】（2022·北京·高一期末）石景山游乐园“梦想之星”摩天轮采用国内首创的横梁中轴结构，风格现代简约.“梦想之星”摩天轮直径88米，总高约100米，匀速旋转一周时间为18分钟，配有42个球形全透视360度

全景座舱.如果不考虑座舱高度等其它因素，该摩天轮的示意图如图所示，游客从离地面最近的位置进入座舱，旋转一周后出舱.甲乙两名同学通过即时交流工具发现，他们两人进入各自座舱的时间相差6分钟.这两名同学在摩天轮上游玩的过程中，他们所在的高度之

和的最大值约为（）A．78米B．112米C．156米D．188米【变式2-3】（2022·上海市高三期中）如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110𝑚，开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要30min.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动𝑡min

后距离地面的高度为𝐻m，则在转动一周的过程中，高度𝐻关于时间𝑡的函数解析式是（）A．𝐻=55cos(𝜋15𝑡−𝜋2)+65(0≤𝑡≤30)B．𝐻=55sin(𝜋15𝑡−𝜋2)+65(0≤𝑡≤30)C．𝐻=−55cos(𝜋10𝑡+𝜋2)+65(0≤𝑡≤3

0)D．𝐻=−55sin(𝜋10𝑡+𝜋2)+65(0≤𝑡≤30)【题型3三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用】【方法点拨】大海中的潮汐现象、日常生活中的气温变化、季节更替等都具有周期性，因此常用三角函数模型来解决这些问题.【例3】（2021·

全国·高一专题练习）如图是某市夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数𝑦=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)+𝐵，则该市这一天中午12时天气的温度大约是（）A．25°CB．26°CC．27°CD．28°C【变式3-1】（2022·全国·高三专题练习）夏季来临，人们注

意避暑．如图是某市夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数𝑦=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)+𝐵，则该市这一天中午12时天气的温度大约是（）A．25∘CB．26∘CC．27∘CD．28∘C【变式3-2】（2022·全国·高一专题练习）某市一年12个月的月平均气温𝑦与月份

𝑥的关系可近似地用函数𝑦=𝑎+𝐴cos[π6(𝑥−6)]（𝑥=1,2,3,⋅⋅⋅,12）来表示，已知该市6月份的平均气温最高，为28∘C，12月份的平均气温最低，为18∘C，则该市8月份的平均气温为（）A．25.5∘CB．22.5∘CC．20.5

∘CD．13∘C【变式3-3】（2021·全国·高一专题练习）月均温全称月平均气温，气象学术语，指一月所有日气温的平均气温．某城市一年中12个月的月均温𝑦（单位：⬚∘𝐶）与月份𝑥（单位：月）的关系可近似地用函数𝑦=𝐴sin[𝜋6(𝑥−3)]+𝑎（𝑥

=1,2,3,⋯,12）来表示，已知6月份的月均温为29∘𝐶，12月份的月均温为17∘𝐶，则10月份的月均温为（）A．20∘𝐶B．20.5∘𝐶C．21∘𝐶D．21.5∘𝐶【题型4用拟合法建立三角函数模型】【方法点拨】数据拟合问题的实质是根据题目提供的数据画出简图，求相关函数的解

析式进而研究实际问题.在求解与三角函数有关的函数拟合问题时，需弄清楚的具体舍义，只有掌握了这三个参数的含义，才可以实现符号语言(解析式)与图形语言(函数图象)之间的相互转化.【例4】（2022·全国·

高一课时练习）某港口的水深𝑦(单位：m)是时间𝑡(0≤𝑡≤24，单位：h)的函数，下面是该港口的水深数据：𝑡h⁄03691215182124𝑦m⁄10139.9710139.9710一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5m时就是安全的．(1)若有以下几个函数模型：

𝑦=𝑎𝑡+𝑏，𝑦=𝐴sin(𝜔𝑡+ϕ)+𝐾，你认为哪个模型可以更好地刻画y与t之间的对应关系？请说明理由，并求出该拟合模型的函数解析式；(2)如果船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离

港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）“八月十八潮，壮观天下无．”——苏轼《观浙江涛》，该诗展现了湖水涨落的壮阔画面，某中学数学兴趣小组进行潮水涨落与时间的关系的数学建模

活动，通过实地考察某港口水深y（米）与时间0≤𝑡≤24（单位：小时）的关系，经过多次测量筛选，最后得到下表数据：t（小时）03691215182124y（米）10.013.09.97.010.013.010.17.010.1该小组成员通过查阅资料、咨询老师等工

作，以及现有知识储备，再依据上述数据描成曲线，经拟合，该曲线可近似地看成函数图象．(1)试根据数据表和曲线，求出近似函数的表达式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船底与水面的距离）为8米，请你运用上面兴趣小

组所得数据，结合所学知识，给该船舶公司提供安全进此港时间段的建议．【变式4-2】（2021·全国·高一专题练习）某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度𝑦（米）随着时间𝑡（0≤𝑡≤24，单位：小时）而周期性变化

．每天各时刻𝑡的浪高数据的平均值如下表：𝑡（时）03691215182124𝑦（米）1.01.41.00.61.01.40.90.41.0(1)试在图中描出所给点；(2)观察图，从𝑦=𝑎𝑡+𝑏，𝑦=𝐴sin(𝜔𝑡+𝜑)+𝑏，

𝑦=𝐴cos(𝜔𝑡+𝜑)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；(3)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．【变式4-3】（2022·福建·高三期中）平潭国际“花式风

筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y（米）是随着一天的时间t（0≤t≤24，单位小时）呈周期性变化，某天各时刻t的水深数据的近似值如表：t（时）03691215182124y（米）1.

52.41.50.61.42.41.60.61.5(1)根据表中近似数据画出散点图（坐标系在答题卷中）．观察散点图，从①𝑦=𝐴sin(𝜔𝑡+𝜑)，②𝑦=𝐴cos(𝜔𝑡+𝜑)+𝑏，③𝑦=−𝐴sin𝜔𝑡+𝑏(𝐴>0,𝜔>0,−𝜋<𝜑<0)．中选择一个合

适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；(2)为保证队员安全，规定在一天中的5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据（1）中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全．