【文档说明】【精准解析】山西省山西大学附中2020届高三下学期3月模块诊断数学试题.pdf，共(23)页，445.292 KB，由小赞的店铺上传

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-1-山西大学附中2019～2020学年高三第二学期3月(总第十二次)模块诊断数学试题（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1.已知全集UR，集合2|1,|

0AxxBxx，则UUCACB（）A.1,1B.0,1C.1,0D.1,0【答案】D【解析】【分析】根据不等式解法得到集合A，再由集合补集得到结果.【详解】由题意得，|11Axxx或

，|11UCAxx，|0UCBxx，∴1,0UUCACB.故选D.【点睛】本题考查了集合的补集的概念以及运算，涉及不等式的计算，属于基础题.2.若12zi，则41izzA.1B.-1C.iD.-i【答案】C【解析】试题分析：441(12)(1

2)1iiizzii，故选C．【考点】复数的运算、共轭复数．【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i换成−

1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依照平面向量的加、减法的几何意义进行理解．-2-3.已知2ab，且2ab与a垂直，则a与b的夹角是（）A.3B.6C.34D.4【答案】A【解

析】【分析】利用向量的数量积的定义即可求解.【详解】解：22224cos0abaaab得1cos2，求得a与b的夹角是3.故选：A.【点睛】本题考查向量的数量积的定义及运算，属于基本题.4.已知0.

64a，1.12b，4log12c，则（）A.cbaB.bacC.abcD.cab【答案】A【解析】【分析】利用对数函数的单调性比较c与2的大小关系，再利用指数函数的单调性得出2ab

，即可得出a、b、c三个数的大小关系.【详解】指数函数2xy为增函数，则1.21.1222ab，对数函数4logyx是0,上的增函数，则44log12log162c，因此，cba.故选：A.【点睛】本题考查指数与对数的大小比较，一般利用指数函数与对数函数的

单调性，结合中间值法来得出各数的大小关系，考查推理能力，属于中等题.5.已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A.若//,//,mn则//mnB.若m，n，则mn-3-C.

若m，mn，则//nD.若//m，mn，则n【答案】B【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B正确.考点：空间点线面位置关系．6.73111xx展开式中3x的系数为（）A.-7B.28C.35D.42【答案】B

【解析】【分析】71x的通项为17rrrTCx,令3,6rr分别得到系数，进而求和.【详解】∵二项式71x的通项为17rrrTCx，分别令3,6rr，则3x的系数为367728CC.故选B.【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策

略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r项，由特定项得出r值，最后求出其参数.7.已知等差数列{}na的前n项和为nS，22a，728S，则数列

11nnaa的前2020项和为（）A.20202021B.20182020C.20182019D.20212020【答案】A【解析】【分析】根据等差数列前n项和公式及728S，可得4a的值.代入22a由等差数列通项公式，即可-4-求得首项与公差，进而得数列{}na的

通项公式.结合裂项求和法即得数列11nnaa的前2020项和.【详解】等差数列{}na的前n项和为nS，728S，由等差数列前n项和公式可得74728Sa所以44a，结合22a

，由等差数列通项公式可得4121342aadaad，解得111ad，由等差数列通项公式可得111nann，则1111nnaann.所以122334202020211111aaaaaaaa111112233420202021

11111111223342020202120202021.故选：A.【点睛】本题考查了等差数列前n项和的性质应用，等差数列通项公式的求法，裂项求和的应用，属于基础题.8.圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母表示.早在公元480年左右，南北朝时期的

数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第7位的人，这比欧洲早了约1000年.生活中，我们也可以通过如下随机模拟试验来估计的值：在区间0,1内随机取2m个数，构成m个数对,xy，设x，y能与1构成钝角三

角形三边的数对,xy有n对，则通过随机模拟的方法得到的的近似值为（）A.2mnmB.2mnnC.24mnmD.22mnn【答案】C【解析】-5-【分析】根据在区间0,1内随机取2m个数，则有0101xy，试验的全部结果构成以1为边长的正方形，其面积为1.因

为x，y能与1构成钝角三角形，由余弦定理的及三角形知识得2211xyxy求得相应的面积，再利用几何概型的概率公式求解.【详解】依题有0101xy，试验的全部结果构成以1为边长的正方形，其面积为1.因为x，y能与1构成钝角三角形，由余弦定理的及三角形知

识得2211xyxy，构成如图阴影部分，其面积为142，由几何概型概率计算公式得1421nm，解得24mnm.故选：C【点睛】本题主要考查数学史和几何概型的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力

，属于中档题.9.函数1sin1xxefxxe的部分图象大致为（）A.B.C.D.-6-【答案】B【解析】【分析】结合图象，先判断奇偶性，然后根据x趋近0时判断.【详解】1sin1xxefxxe的定义域为,00,，

11sinsin11xxxxeefxxxee，fx是偶函数，排除A，C.又0x且无限接近0时，101xxee且sin0x，此时0fx，排除D，故选：B.【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，还考查了数形结

合的思想和理解辨析的能力，属于中档题.10.已知双曲线2222:10,0xyEabab的右顶点为A，抛物线2:8Cyax的焦点为F．若在E的渐近线上存在点P，使得APFP，则E的离心率的取值范围

是（）A.()1,2B.321,4C.32,4D.()2,+¥【答案】B【解析】由题意得，(,0),(2,0)AaFa，设00(,)bxaPx，由APFP，得2220020320cAPPFxaxaa,因为在E的渐近线上

存在点P，则0，-7-即222222293294209884caaaceea，又因为E为双曲线，则3214e，故选B.【点睛】本题主要考查了双曲线的基本性质的应用，抛物线基本性质的应用，向量数量积坐标运算以及一元二次方程根的判别式的运用，属于中档题，

首先可画一张草图，分析其中的几何关系，然后将APFP系用代数形式表示出来，即可得到一个一元二次方程，若要使得一元二次方程有实数解，0，水到渠成，即可得到答案，因此将几何关系转化成方程是解题

的关键.11.设函数()sin()fxx，其中0,,43，已知()fx在[0,2]上有且仅有4个零点，则下列的值中满足条件的是（）A.136B.116C.74D.34【答案】A【解

析】【分析】设tx，则2t„„，从而将问题转化为sinyt在[,2]上有4个零点，从而得到425„，再利用不等式恒成立问题求得的范围，即可得答案.【详解】设tx，则2t„„，所以sinyt在[,2]上有4个零点

，因为,43，所以425„，所以52222„，所以5342222„，即15783„，满足的只有A.故选：A.【点睛】本题考查根据三角函数的零点个数求参数值，考查函数与方程思想、转化与化归思-8-想，考查逻辑推理能力和运算求

解能力，求解时注意换元法的应用.12.在正四棱锥PABCD中，已知异面直线PB与AD所成的角为060，给出下面三个命题：1p：若2AB，则此四棱锥的侧面积为443；2p：若,EF分别为,PCAD的中点，则//EF平面PAB；3p：若,,,,PABCD都在球O的表面上，则球O的表面积是

四边形ABCD面积的2倍.在下列命题中，为真命题的是（）A.23ppB.12()ppC.13ppD.23()pp【答案】A【解析】因为异面直线PB与AD所成的角为60，AD平行于BC，故角PBC=60，正四棱锥-ABCDP中，PB=PC，故三角形PBC

是等边三角形；当AB=2，此四棱锥的侧面积为43，故1p是假命题；取BC的中点G，,EF分别为,PCAD的中点故得//,//ABFGPBEG，故平面EFG//平面PAB，从而得到EF//平面PAB，故2p是真命题；设AB=a,AC和BD的交点为O，则

PO垂直于地面ABCD，PA＝ａ，AO＝２ａ２，PO＝２ａ２O为球心，球的半径为２ａ２，表面积为22πa,又正方形的面积为2a,故3p为真．故23pp为真；12pp13pp23pp均为假．

故答案为A．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.）13.已知3sinα＝1，则2sincos的值为_____．【答案】37．【解析】【分析】-9-由已知利用二倍角的三角函数公式可得cos2的值

，进而得解．【详解】∵3sin＝1，∴1sin3，可得cos2＝212sin＝27199，∴1sin337cos279．故答案为：37．【点睛】本小题主要考查二倍角公式的运用，属于基础题.14.已知数列na满足11a，且*11009nnaannN

，该数列的前m项和为nS，则2019S______.【答案】1010【解析】【分析】利用20191234520182019...Saaaaaaa即可求解.【详解】解：20191234520182019.

..Saaaaaaa12100941009...201810091009100910071100710051003...1...1009110102.故答案为：1010.【点睛

】本题考查数列求和的并项求和方法，属于基础题.15.2020年年初，新冠肺炎疫情袭击全国.口罩成为重要的抗疫物资，为了确保口罩供应，某工厂口罩生产线高速运转，工人加班加点生产.设该工厂连续5天生产的口罩数依次为1x，2x，3x，4x，

5x（单位：十万只），若这组数据1x，2x，3x，4x，5x的方差为1.44，且21x，22x，23x，24x，25x的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产口罩__________十万只.【答案】1.6【解析】-10-【分析】设1x，2x，3x，4x，5x的平均数为x，根据方差的

计算公式有22212511.445xxxxxx.即2222125125257.2xxxxxxxx，再利用21x，22x，23x，24x，25x的平均数为4求解.【详解】依题意，得22212520xxx

.设1x，2x，3x，4x，5x的平均数为x，根据方差的计算公式有22212511.445xxxxxx.2222125125257.2xxxxxxxx，即22201057.2x

x，1.6x.故答案为：1.6【点睛】本题主要考查样本中的数字特征，还考查了数据处理和运算求解的能力，属于基础题.16.已知函数lnxfxmx，若220fkfk有两个不同的实数解，则实数m的取值范围是______.【答案】1121,1ee

【解析】【分析】原题等价于()2fk或()1fk，即有2lnkmk或1lnkmk，则条件等价于①2lnkmk有2解，1lnkmk无解；②2lnkmk有1解，1lnkmk有1解；③2lnkm

k无解，1lnkmk有2解；作出函数()lnkgxk的图象，数形结合即可-11-【详解】解：2()()20fkfk可化为[()2][()1]0fkfk，解得()2fk或()1fk，即有2lnkmk或1lnkmk，则方程2()()20

fkfk有两个不同的实数解，等价于：①2lnkmk有2解，1lnkmk无解；②2lnkmk有1解，1lnkmk有1解；③2lnkmk无解，1lnkmk有2解；令函数()lnx

gxx，(0)x，21()0lnxgxx时，xe，即有()gx在(0,)e上单调递增，在(,)e上单调递减，()maxgxg（e）1e，作出函数()gx的图象如图：则①2lnkmk有2解，1lnkmk无解，此时102

11meme，此时无解，舍去；②2lnkmk有1解，1lnkmk有1解，此时因为21mm，则需1210mem，解得12me；③2lnkmk无解，1lnkmk有2解，此时12101meme，解得

111me，综上，11{2}(1,1)mee，故答案为：11{2}(1,1)ee．-12-【点睛】本题考查方程的根与函数零点的关系，数形结合思想，分类讨论思想，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.设A

BC的内角,,ABC所对的边分别是,,abc，且2coscosacbCB.（1）求角B的大小；（2）设3b，求ABC周长的最大值.【答案】（1）3；（2）33【解析】【分析】（1）由2coscosacbCB边化角得：2sinsinsincoscosACBCB，即2si

ncossinABA，又(0,)A，sin0A，所以1cos2B，从而求出角B；（2）因为3b，3B，由余弦定理2221cos22acbBac，得2()33acac，再结合基本不等式得到223()()3334acacac

„，解得323ac„，从而求出ABC周长的最大值．【详解】解：（1）2coscosacbCB．由正弦定理，边化角得：2sinsinsincoscosACBCB，即2sincossincos

sincosABCBBC，2sincossin()ABBC，又ABC，sin()sinBCA，2sincossinABA，又(0,)A，sin0A，1cos2B，又(0,)B，3B；（2）3b，3B，2221cos

22acbBac，-13-223acac，2()33acac，0a，0c，2()4acac„，223()()3334acacac„，2()12ac„，又3b，323ac„，所以ABC周长的最大值为33

，当且仅当3abc时取到最大值.【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理综合应用，是基础题．18.已知菱形ABCD的边长为4,ACBDO,60ABC,将菱形ABCD沿对角线BD折起,使ACa,得到三棱锥ABCD,如图所

示.(1)当22a时,求证:AO平面BCD;(2)当二面角ABDC的大小为120时,求直线AD与平面ABC所成的正切值.【答案】（1）见解析；（2）3010.【解析】【分析】(1)根据线面垂直定义,即

可求得答案.(2)由于平面ABC不是特殊的平面,故建系用法向量求解,以O为原点建系,,OCOD所在的直线分别为x轴,y轴,求出平面ABC的法向量n,求解AD和n的夹角,即可求得答案.【详解】(1)在AOC△中,2,22OAOCACa,222OAOCAC

90AOC,即AOOC,-14-AOBD,且AOBDO,AO平面BCD.(2)由(1)知,OCOD,以O为原点,,OCOD所在的直线分别为x轴,y轴建立如图的空间直角坐标系Oxyz:则(0,0,0),(0,23,0),(2,0,

0),(0,23,0)QBCD.,AOBDCOBDAOC为二面角ABDC的平面角,120AOC点(1,0,3)A(1,23,3)AD,(1,23,3)BA,(2,23,0

)BC设平面ABC的法向量为(,,)nxyz,则00nBCnBA故22302330xyxyz取1x,则3,33yz31,,33n

设直线AD与平面ABC所成的角为,||43sin13||||1343ADnADn210cos1sin13-15-sin330tancos1010直线AD与平面ABC所

成的正切值:3010.【点睛】本题考查了线面角求法,根据题意画出几何图形,掌握其结构特征是解本题的关键.对于立体几何中角的计算问题,可以利用空间向量法,利用向量的夹角公式求解,属于基础题.19.某校为了解学生对消防安全知识的掌握情况，开展了网上消防安全知识有奖竞赛活动，并对参

加活动的男生、女生各随机抽取20人，统计答题成绩，分别制成如下频率分布直方图和茎叶图：（1）把成绩在80分以上（含80分）的同学称为“安全通”.根据以上数据，完成以下22列联表，并判断是否有95%的把握认为是否是“安全通”与性别有关男生女生

合计安全通非安全通合计（2）以样本的频率估计总体的概率，现从该校随机抽取2男2女，设其中“安全通”的人数为X，求X的分布列与数学期望.附：参考公式22()()()()()nadbcKacbdabcd，其中nabcd.参考数据：-16-20Pkk

0.1000.0500.0250.0100.0050.0010k2.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）填表见解析；没有95%的把握认为“安全通”与性别有关（2）详见解析【解析】【分析】（1）根据题目所给数据，计算并填写好22列

联表.计算出2K的值，由此判断没有95%的把握认为“安全通”与性别有关.（2）根据相互独立事件概率乘法公式，结合男生、女生中安全通的人数，计算出分布列，进而求得数学期望.【详解】（1）由题知，女生样本数据中“安全通”为6人，非“安全通”为14人，男生样本中“安全通”人数为(0.0350.02

5)102012人，非“安全通”的人数为8人，列出22列联表如下：男生女生合计安全通12618非安全通81422合计202040假设0H：“安全通”与性别无关，所以2K的观测值为240(681214)3.6363.84120201822k

，所以没有95%的把握认为“安全通”与性别有关.（2）由题知，随机选1女生为“安全通”的概率为0.3，选1男生为“安全通”的概率为0.6，X的可能取值为0，1，2，3，4，-17-22(0)(10.3)(10.6)0.07

84PX，122122(1)0.3(10.3)(10.6)(10.3)0.6(10.6)0.3024PXCC，22112222(2)0.3(10.6)0.3(10.3)0.6(10.6)(10.3)0.60.3924PXCC，122122(3)0.3(

10.3)0.60.30.6(10.6)0.1944PXCC，22(4)0.30.60.0324PX，所以X的分布列为X01234P0.07840.30240.39240.19440.0324所以()00.078410.30

2420.392430.194440.03241.8EX.【点睛】本题考查茎叶图与直方图的应用，考查22列联表及离散型随机变量的分布列及数学期望等知识，考查数据处理能力、求解运算能力，考查样本估

计总体思想.20.已知椭圆222210xyabab的短半轴长为2，离心率为22．（1）求椭圆的方程；（2）设,AB是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且点A在第一象限，AEx轴，垂足为E，连接BE并延长交椭圆于点

D，证明：ABD是直角三角形．【答案】（1）22142xy（2）见解析【解析】【分析】（1）由题得22,2cba，222abc，解之即得椭圆的方程；（2）设11,Axy，,yDDDx，则11,Bxy，1,0Ex，联立直线BE的方程和椭圆的方程求出-18-21121

838Dyxxy，312138Dyyy，证明1ABADkk，ABD是直角三角形即得证.【详解】（1）依题意可得22,2cba，所以2222222212cabaaaa，得2a，所以椭圆的方程是22142xy.（2）设11,Axy，,yDDDx，

则11,Bxy，1,0Ex，直线BE的方程为1112yyxxx，与22142xy联立得222211121114022yyyxxxx，因为Dx，1x是方程的两个解，所以212211122211121482212Dyyxxxxyyx

又因为2211142xy，所以21121838Dyxxy，代入直线方程得312138Dyyy3112211122111112138241838ABADyyyyykkyxxxxy

所以ABAD，即ABD是直角三角形.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.21.已知函数()fx为反比例函数,曲线()()cosgxfxxb在2x处的切线方程为62yx

.-19-（1）求()gx的解析式;（2）判断函数3()()12Fxgx在区间(0,2]内的零点的个数,并证明.【答案】（1）3cos()1xgxx；（2）函数()Fx在(0,2)上有3个零点.【解析】【分析】(1)设()(0)afxax,则c

os()axgxbx,直线62yx的斜率为6,过点,12,2(sincos)()axxxgxx,所以3a,12gb,即可求得()gx的解析式;(

2)函数()Fx在(0,2]上有3个零点.因为33cos3()()122xFxgxx,则23(sincos)()xxxFxx,根据函数的单调性和结合已知条件,即可求得答案.【详解】(1)设()(0)afxax,则co

s()axgxbx,直线62yx的斜率为6,过点,122(sincos)()axxxgxx,则26,2ag,3a,12gb3cos()1xgxx

.(2)函数()Fx在(0,2]上有3个零点.证明:33cos3()()122xFxgxx则23(sincos)()xxxFxx又93330,06222FF

-20-()Fx在(0,]2上至少有一个零点,又()Fx在(0,]2上单调递减,故在(0,]2上只有一个零点,当3,22x时,cos0x,故()0Fx,所以函数(

)Fx在3(,)22上无零点.当3,22x时,令()sincos,()cos0hxxxxhxxx,()hx在3,22上单调递增,3(2)0,02hh,03,22x,使得()Fx在

03,2x上单调递增,在0,2x上单调递减.又3(2)0,02FF,函数()Fx在3,22上有2个零点.综上所述,函数()Fx在(0,2)上有3个零点.【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解切线的方程和求解函数的零点个数,其中

解答中准确求得函数的导数,合理利用导数的几何意义求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系

xOy中，直线l的参数方程为42xtyt（t为参数）.以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2221cos.（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设点P在直线l上

，点Q在曲线C上，求PQ的最小值.【答案】（1）42yx，2212yx；（2）45305.-21-【解析】【分析】（1）消参可得直线的普通方程，由cossinxy可求出曲线C的直角坐标方程.（2）设点Q的坐标

为cos,2sin，利用点到直线的距离公式以及辅助角公式即可求解.【详解】（1）直线l的普通方程为42yx曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为2212yx（2）曲线的参数方程为cos2sinxy设点Q的坐标为cos,2sin

2cos2sin46sin4464530=5555PQ故PQ的最小值为45305.【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式、辅助角公式以及三角函数的性质，属于基础题.

选修4-5：不等式选讲23.已知函数()2|1||2|fxxx．（1）解不等式()6fx„；（2）设函数()fx的最小值为m，已知0a，0b且2ababm，求ab的最小值．【答案】（1）{|22}xx；

（2）4.【解析】【分析】（1）先化简函数3,1()4,123,2xxfxxxxx，分类讨论，即可求得不等式的解集；-22-（2）由（1），求得函数fx的最小值，得到3m，得到5abab，进

而(1)(1)4ab，再结合基本不等式，即可求解ab的最小值，得到答案.【详解】（1）由题意，函数3,1()2124,123,2xxfxxxxxxx，所以当1x时，由36x，解得

21x；当12x时，由36x，解得12x；当2x时，由36x，解得2x，所以不等式()6fx„的解集为{|22}xx.（2）由（1）知3,1()4,123,2xxfxxxxx，可得函数fx在(,1)单调

递减，在(1,)上单调递增，所以fx的最小值为13f，即3m，所以5abab，即(1)(1)4ab，因为0b，则11b，又由(1)(1)40ab，所以10a，所以

(1)(1)2(1)(1)4ababab，当且仅当112ab，即3,1ab时，取得等号，所以ab的最小值为4.【点睛】本题主要考查了含绝对值的不等式的求解，一次函数和分段函数的性质，以及基本不等式求最值的综合应

用，着重考查推理与计算能力.-23-