【文档说明】安徽省肥东县高级中学2021届高三上学期期中考试数学（理）试题 含答案.doc，共(11)页，253.000 KB，由小赞的店铺上传

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2021届高三年级第一学期期中考试理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试

卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁RS)∪T等于A．(－2,1]B．(－∞，－4]C．

(－∞，1]D．[1，＋∞)2.下列命题正确的是A．若x＝3，则x2－2x－3＝0的否命题是：若x≠3，则x2－2x－3≠0B．∃x0∈R，使得－1＜0的否定是：∀x∈R，均有x2－1＜0C．存在四边相等的四边形不是正方形，该命题是假命题

D．若cosx＝cosy，则x＝y的逆否命题是真命题3.已知函数y＝f(x)是定义在R上的增函数，函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称．若对任意的x，y∈R，不等式f(x2－6x＋21)＋f(y2－8y)＜0恒成

立，则当x＞3时，x2＋y2的取值范围是A．(3,7)B．(9,25)C．(13,49)D．(9,49)4.已知函数f(x)＝ln(x－2)－，(a为常数，且a≠0)，若f(x)在x0处取得极值，且x0∈[e＋2，e2＋2]，而f(x)≥0在[e＋2，e2＋2]上恒成立，则a的取值范围是A

．a≥e4＋2e2B．a＞e4＋2e2C．.a≥e2＋2eD．a＞e2＋2e5.已知向量a，b满足(a＋2b)·(5a－4b)＝0，且|a|＝|b|＝1，则a与b的夹角θ为A．B．C．D．6.如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|

AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*(P≠Q表示点P与点Q不重合)．若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则A．{Sn}是

等差数列B．{}是等差数列C．{dn}是等差数列D．{}是等差数列7.若函数f(x)＝sin(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点(x0,0)成中心对称，x0∈，则x0等于A．B．C．D．8.若函数f(x)的零点与g(

x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25,则f(x)可以是A．f(x)＝4x－1B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝ex－1D．f(x)＝ln9.已知f(x)＝2－|x|，则dx等于A．3B．4C．3.5

D．4.510.设函数f(x)＝若F(x)＝f(x)＋x，x∈R，则F(x)的值域为A．(－∞，1]B．[2，＋∞)C．(－∞，1]∪[2，＋∞)D．(－∞，1)∪(2，＋∞)11.已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为，则a等于A．B．C．1D．212

.函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex＋1的解集为A．{x|x>0}B．{x|x<0}C．{x|x<－1或x>1}D．{x|x<－1或0<x<1}二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20

分.13.已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tanβ＝－，则2α－β＝________.14.已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________.15.已知等

差数列{an}的前三项为a,4,3a，其前n项和为Sn，则＋＋…＋＝________.16.如图，边长为a＋b＋1(a>0，b>0)的正方形被剖分为9个矩形，这些矩形的面积如图所示，则＋＋的最小值是________．三、解答题：共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤

.17.（12分）在△ABC中，角A，B，C的对应分别是a，b，c，c＝2，sin2A＋sin2B－sin2C＝sinAsinB.(1)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积；(2)求AB边上的中线长的

取值范围．18.（12分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1,2)，又点A(8,0)，B(n，t)，C(ksinθ，t).(1)若⊥a，且||＝||，求向量；(2)若向量与向量a共线，当k>4，

且tsinθ取最大值4时，求·.19.（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2n＋1，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝－，记数列的前n项和为Tn.求证：Tn＜，n∈N*.20.（12分）已知函数f(x)＝x

2，g(x)＝x－1.(1)若存在x∈R使f(x)＜b·g(x)，求实数b的取值范围；(2)设F(x)＝f(x)－mg(x)＋1－m－m2，且|F(x)|在[0,1]上单调递增，求实数m的取值范围．21.（12分）设函数f(x)＝lnx＋在内有极

值．(1)求实数a的取值范围；(2)若x1∈(0,1)，x2∈(1，＋∞)．求证：f(x2)－f(x1)>e＋2－.注：e是自然对数的底数．22.（10分）如图，有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD.在点A处有一个可转动的探

照灯，其照射角∠PAQ始终为45°(其中点P，Q分别在边BC，CD上)，设∠PAB＝θ，tanθ＝t.(1)用t表示出PQ的长度，并探求△CPQ的周长l是否为定值；(2)问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少平方百米？理科数学参考答案题号12345678910

1112答案CACBCAAACCAA1.【答案】C【解析】T＝{x|x2＋3x－4≤0}＝{x|－4≤x≤1}，S＝{x|x>－2}，∁RS＝{x|x≤－2}．∴(∁RS)∪T＝{x|x≤1}＝(－∞，1]．故选C.2.【答案】A【解析】对于A：若x＝3，则x2－2x－3＝

0的否命题是：若x≠3，则x2－2x－3≠0，故A正确．3.【答案】C【解析】函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，∴函数y＝f(x)关于点(0,0)对称，即函数为奇函数，且在R上是增函数，故有

f(x2－6x＋21)＜－f(y2－8y)恒成立，即f(x2－6x＋21)＜f(－y2＋8y)恒成立，即(x－3)2＋(y－4)2＜4恒成立，故以(x，y)为坐标的点在以(3,4)为圆心，以2为半径的圆内，且直线x＝3右边的部分，而x2＋y2的几何意义恰好是圆内的点到原点(0,0)的距

离的平方，故最大值是原点到圆心的距离加上半径的长的平方49，最小值是原点到(3,2)的距离的平方13，故选C.4.【答案】B【解析】f′(x)＝－，令f′(x)＝0，可得x0＝1±，∴函数在(－∞，1－)上单调递减，在(1－，1＋)上单调递增，在(1＋，＋∞)上单调递减．∵f

(x)在x0处取得极值，且x0∉[e＋2，e2＋2]，∴函数在区间[e＋2，e2＋2]上是单调函数．∴或∴a＞e4＋2e2，∴a的取值范围是a＞e4＋2e2.5.【答案】C【解析】因为(a＋2b)·(5a－4b)＝0，|a|＝|b|＝1，所以6a·b－8＋5

＝0，即a·b＝.又a·b＝|a||b|cosθ＝cosθ，所以cosθ＝，因为θ∈[0，π]，所以θ＝.6.【答案】A【解析】作A1C1，A2C2，A3C3，…，AnCn垂直于直线B1Bn，垂足分别为C1，C2，C3，…，Cn，则A1C1∥A2C2∥…∥AnCn.

∵|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，∴|CnCn＋1|＝|Cn＋1Cn＋2|.设|A1C1|＝a，|A2C2|＝b，|B1B2|＝c，则|A3C3|＝2b－a，…，|AnCn|＝(n－1)b－(n－2)a(n≥3)，∴Sn＝c[(n－1)b－(n－2)a]＝c[(b－a)n＋(2a－b)]

，∴Sn＋1－Sn＝c[(b－a)(n＋1)＋(2a－b)－(b－a)n－(2a－b)]＝c(b－a)，∴数列{Sn}是等差数列，故选A.7.【答案】A【解析】由题意得＝，T＝π，ω＝2.又2x0＋＝kπ(k∈Z)，x0＝－(k∈Z)，而x0∈

，所以x0＝.8.【答案】A【解析】f(x)＝4x－1的零点为x＝，f(x)＝(x－1)2的零点为x＝1，f(x)＝ex－1的零点为x＝0，f(x)＝ln的零点为x＝.现在我们来估算g(x)＝4x＋2x－2的零点，因为g(0)＝－1，g＝1，所以g(x)的零点

x∈，又函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，只有f(x)＝4x－1的零点适合，故选A.9.【答案】C【解析】f(x)＝2－|x|＝dx＝dx＋dx＝dx＋dx＝＋＝3.5.10

.【答案】C【解析】当x＞0时，F(x)＝＋x≥2；当x≤0时，F(x)＝ex＋x，根据指数函数与一次函数的单调性，F(x)是单调递增函数，F(x)≤F(0)＝1，所以F(x)的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)．1

1.【答案】A【解析】作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示．由z＝2x＋y，得y＝－2x＋z，平移直线y＝－2x＋z，由图象可知当直线y＝－2x＋z经过点A时，直线y＝－2x＋z的截距最小，此时z最小．由解得即A(1，－)，∵点A也在直线y＝a(x－

3)上，∴－＝a(1－3)＝－2a，解得a＝.12.【答案】A【解析】构造函数g(x)＝ex·f(x)－ex，因为g′(x)＝ex·f(x)＋ex·f′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)]－ex>ex－ex＝0，所

以g(x)＝ex·f(x)－ex为R上的增函数．又因为g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式转化为g(x)>g(0)，解得x>0.故选A.13.【答案】－【解析】因为tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝<

1，所以0<α<，又因为tan2α＝＝＝<1，所以0<2α<，所以tan(2α－β)＝＝＝1.因为0<β<π，所以－π<2α－β<，所以2α－β＝－.14.【答案】【解析】a2＝(3e1－2e2)2＝9＋4－2×3×2×＝9，b2＝(3e1－e2)2＝9＋1－2×3×1×＝8

，a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9＋2－9×1×1×＝8，∴cosβ＝＝＝.15.【答案】【解析】∵等差数列{an}的前三项为a,4,3a，∴a＋3a＝2×4，解得a＝2，∴等差数列{an}的首项为2，公差为2，∴Sn＝na1＋＝2n＋n(n

－1)＝n(n＋1)，∴＝＝－，∴＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＝.16.【答案】2【解析】由图示可得＋＋＝＋＋＝＋，当a＋b≥ab＋1时，即有原式≥＋＝，由－2＝＝≥0，可得原式≥2，当且仅当a＝b＝1时，取得等号；当a＋b<ab＋1时，原式>＋＝≥＝2.综上可得，＋＋的最小值是2.17

.【答案】(1)由sin2A＋sin2B－sin2C＝sinAsinB，利用正弦定理化简得：a2＋b2－c2＝ab，∴cosC＝＝＝，即C＝，∵sinC＋sin(B－A)＝sin(B＋A)＋sin(B－A)

＝2sin2A，∴sinBcosA＝2sinAcosA，当cosA＝0，即A＝，此时S△ABC＝；当cosA≠0，得到sinB＝2sinA，利用正弦定理得b＝2a，此时S△ABC＝.即△ABC的面积为.(2)设AB边的中点为

D，∵＝(＋)，∴|CD|2＝＝，∵cosC＝，c＝2，∴由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcosC，即a2＋b2－ab＝4，∴|CD|2＝＝＞1，且|CD|2＝≤3，则CD的范围为(1，]．18.【答案】(1)由题设知＝(n－8，t)，∵⊥a，∴8－n＋2t＝0.又∵||＝|

|，∴5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，得t＝±8.当t＝8时，n＝24；t＝－8时，n＝－8，∴＝(24,8)或＝(－8，－8).(2)由题设知＝(ksinθ－8，t)，∵与a共线，∴t＝－2ksinθ＋16，tsinθ＝(－2ksinθ＋16)sinθ＝－2k(sinθ

－)2＋.∵k>4，∴0＜＜1，∴当sinθ＝时，tsinθ取得最大值.由＝4，得k＝8，此时θ＝，＝(4,8).∴·＝(8,0)·(4,8)＝32.19.【答案】(1)解由S1＝2a1－21＋1，得a1＝4，由Sn＝2an－2n＋1，Sn－1＝2an－1－2

n(n≥2)，两式相减，得an＝2an－2an－1－2n，即an－2an－1＝2n，∴－＝1，∴是以1为公差的等差数列，∵＝2，∴＝2＋(n－1)＝n＋1，∴an＝(n＋1)2n，n∈N*；(2)证明bn＝2n－，Tn＝＋＋…＋.∵2n－＝2＞

2，∴bn＞2bn－1，∴＜·(n≥2)．当n≥2时，Tn＝＋＋…＋＜＋＜＋Tn，∴Tn＜＝.当n＝1时，T1＝＝＜.综上，Tn＜.20.【答案】(1)∃x∈R，f(x)＜bg(x)⇒∃x∈R，x2－bx＋b＜0⇒(－b)2－4b＞0⇒b＜0或b＞4.故实数b的取值范围为(

－∞，0)∪(4，＋∞)．(2)F(x)＝x2－mx＋1－m2，Δ＝m2－4(1－m2)＝5m2－4.①当Δ≤0，即－≤m≤时，则必需⇒－≤m≤0.②当Δ＞0，即m＜－或m＞时，设方程F(x)＝0的根为x1，x2(x1＜x2)．若≥1

，则x1≤0，即⇒m≥2；若≤0，则x2≤0，即⇒－1≤m≤－.综上所述，实数m的取值范围为[－1,0]∪[2，＋∞)．21.【答案】(1)解易知函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，f′(x)＝－＝＝.由函数f(x)在内有极值，可知方程f′(x)＝0在内

有解，令g(x)＝x2－(a＋2)x＋1＝(x－α)(x－β)．不妨设0<α<，则β>e，又g(0)＝1>0，所以g＝－＋1<0，解得a>e＋－2.(2)证明由(1)知，f′(x)>0⇔0<x<α或x>β，f′(x)<0⇔α<x<1或1<x<β，所以函数f(x)在(0，α)

，(β，＋∞)上单调递增，在(α，1)，(1，β)上单调递减．由x1∈(0,1)，得f(x1)≤f(α)＝lnα＋，由x2∈(1，＋∞)，得f(x2)≥f(β)＝lnβ＋，所以f(x2)－f(x1)≥f(β)－f(α)．由(1)易知，α·β＝1，

α＋β＝a＋2，所以f(β)－f(α)＝lnβ－ln＋a＝2lnβ＋a·＝2lnβ＋a·＝2lnβ＋β－.记h(β)＝2lnβ＋β－(β>e)，则h′(β)＝＋1＋＝2>0，所以函数h(β)在(e，＋∞)上单调递增，所以f(x2)－f

(x1)≥h(β)>h(e)＝2＋e－.22.【答案】(1)由题意得BP＝t，CP＝1－t,0≤t≤1.∠DAQ＝45°－θ，DQ＝tan(45°－θ)＝，CQ＝1－＝，所以PQ＝＝＝，所以l＝CP＋CQ＋PQ＝1－t＋＋＝1－t＋1＋t＝2，是定值．(2)S＝S正方形

ABCD－S△ABP－S△ADQ＝1－t－·＝2－[(1＋t)＋]．因为1＋t>0，所以S≤2－2＝2－，当且仅当(1＋t)＝，即t＝－1时取等号．所以探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为(2－)平方百

米．