【文档说明】山东省滕州市第一中学2022-2023学年高二下学期3月质量检测数学试题 word版含解析.docx，共(20)页，992.311 KB，由小赞的店铺上传

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高二年级3月份质量检测数学试题第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列各式正确的是（）A.(sin)cos=(为常数)B.(cos)sinxx=C.(sin)cosxx=D.561()

5xx−−=−【答案】C【解析】【分析】由基本的求导公式可得解【详解】(sin)0=(为常数)；(cos)sinxx=−；(sin)cosxx=；56()5xx−−=−.,,ABD错误故选：

C【点睛】本题考查导数的求导公式，熟练记住常见函数的求导公式是关键,属于基础题2.一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系为22stt=+，设其在2,3t内的平均速度为1v，在3t=时的瞬时速度为2v，则12vv=（）A.76B.78C.67D.87【答案】B【解析】【分析】根据

平均变化率和瞬时变化率定义，可分别计算求得17v=，28v=即可得出结果.【详解】根据平均速度定义可知，在2,3t内的平均速度为221723222332stv=+−==−−；在3t=时的瞬时速度为()()()22200323

323limlim88ttttvtt→→+++−−==+=；的所以1278vv=.故选：B3.已知()()221fxxxf=+，则()3f等于（）A-4B.2C.1D.-2【答案】B【解析】【分析】先求导，求出()12f=−，得到()24fxx¢=-，从而求出

()3642f=−=.【详解】()()221fxxf+=，令1x=得：()()1221ff=+，解得：()12f=−，所以()24fxx¢=-，()3642f=−=故选：B4.已知函数y=f（x）的图象是下列四

个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】.【详解】由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)的图象为增函数，且在区间(－1,0)上增长速度越来越快，而在区间(0,1)上增长速度越来越慢．故选B.5.我们比较熟悉的网

络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程()()fxfx=的实数根x叫做函数()fx的“躺平点”．若函数()exgxx=−，()lnhxx=，()20232023xx=+的“躺平点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（

）A.abcB.bacC.cabD.cba【答案】B【解析】【分析】根据“躺平点”新定义，可解得1a=,0c=，利用零点存在定理可得()1,eb,即可得出结论.【详解】根据“躺平点”定义可得()()gaag=，又()e1xgx=−

；所以ee1aaa−=−，解得1a=；同理()1hxx=，即1lnbb=；令1()lnmxxx=−，则211()0xxmx=+，即()mx为()0,+上的单调递增函数，又1(1)10,(e)10emm=−=−<>，所以()mx在()

1,e有唯一零点，即()1,eb；易知()2023x=，即()()202320232023ccc=+==，解得0c=；因此可得bac.故选：B6.长征五号B运载火箭是专门为中国载人航天工程空间站建设而

研制的一款新型运载火箭，是中国近地轨道运载能力最大的新一代运载火箭，长征五号有效载荷整流罩外形是冯·卡门外形（原始卵形）+圆柱形，由两个半罩组成，某学校航天兴趣小组制作整流罩模型，近似一个圆柱和圆锥组成的几何体，如图所示，若圆锥的母线长为

6，且圆锥的高与圆柱高的比为1:3，则该模型的体积最大值为（）A.403B.803C.1603D.1803【答案】C【解析】【分析】设出圆锥的高，由圆锥与圆柱的体积公式列式，由导数判断单调性后求解最值，【详解】设圆锥的高为h，则圆柱的高为3h，底面圆半径为236rh=−，则该模型

的体积2221103(36)33Vrhrhhh=+=−，令3()36fxxx=−+，则2()336fxx=−+，由()0fx=得23x=，当023x时()0fx，当23x时()0fx，则()fx在(0,23)上单调递增，在(23,)+上单调递

减，当23h=时，max1603V=，故选：C7.若存在实数K，对任意xI，()()fxKgx成立，则称()fx是()gx在区间I上的“K倍函数”．已知函数()2ln1fxx=+和()lngxx=，若()fx是()gx在(1,e的“K倍函数”，则K的取值范围是（）A.(,3−

B.(,4−C.)4,+D.)3,+【答案】A【解析】【分析】根据“K倍函数”定义可知，2ln1lnxKx+在(1,ex上恒成立，构造函数2ln)ln(1xxhx+=并求出其在(1,e

x上的最小值即可得出K的取值范围是(,3−.【详解】根据题意可得，存在实数K，对于任意(1,ex，2ln1lnxKx+恒成立，即2ln1lnxKx+在(1,ex上恒成立，设2ln112lnln()xx

xhx+=+=，则()()2211lnl(n)xxxxhx−==−；当(1,ex，()210l()nhxxx=−<恒成立，所以()hx在(1,ex单调递减，即min()(e)3hxh==，即3K即可.所以K的取值范围是(,3−.故选：A8.已知()fx是定义

域为R的函数()fx的导函数.若对任意实数x都有()()2fxfx−，且()13f=，则不等式()12exfx−−的解集为（）A.(),1−B.()1,+C.(),e−D.()e,+【答案】B【解析】【分析】

依题意原等价于不等式1()21exfx−−，构造函数1()2()exfxgx−−=，利用导数说明函数的单调性，即可得到()()1gxg，从而得解；【详解】解：不等式1()2exfx−−，等价于不

等式1()21exfx−−，构造函数1()2()exfxgx−−=，则1()(()2)()exfxfxgx−−−=，若对任意实数x都有()()2fxfx−，则()0gx，()gx在R上单调递增，又()0(1)

211efg−==，故1()21exfx−−即()()1gxg，故不等式的解集是(1,)+，故选：B．二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5

分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.如图是()yfx=的导函数()fx的图象，则下列判断正确的是（）A.()fx在区间[2,1]−−上是增函数B.=1x−是()fx的极小值点C.()fx在区间[1,2]−上是增函数，在区

间[2,4]上是减函数D.1x=是()fx的极大值点【答案】BC【解析】【分析】根据导函数与函数的单调性、函数的极值的关系判断．【详解】在(2,1)−−上()0fx，()fx递减，A错；(1)0f−=，且当2<<1x

−−时，()0fx，12x−时，()0fx，所以=1x−是()fx的极小值点，B正确；在(1,2)−上，()0fx，()fx递增，在(2,4)上()0fx，()fx递减，C正确；()fx在区间[

1,2]−上是增函数，1x=不是()fx的极大值点，D错．故选：BC．【点睛】本题考查导数与函数的单调性、函数的极值的关系，掌握用导数判断单调性的方法是解题关键．10.对于三次函数()()320axbxdafxcx=+++，现给出定义：设()fx是函数()f

x的导数，()fx是()fx的导数，若方程()0fx=有实数解0x，则称点()()00,xfx为函数()()320axbxdafxcx=+++的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点

”就是对称中心．已知函数()31fxxx=−+，则（）A.()fx有两个极值点B.()fx有三个零点C.点()0,1是曲线()yfx=的对称中心D.直线2yx=是曲线()yfx=的切线【答案】AC【解析】【分析】求导，根据拐点的定义即可求解C，根据单调性即可确定极值点，即可

判断A，根据极小值大于0可判断C，根据切线方程的求解可判断D.【详解】由()31fxxx=−+得()()2316fxxfxx=−=，，令()60fxx==，则0x=，()01f=，所以()0,1是()fx的拐点，进而是()fx的对称中心，故C正确

，令()0fx¢>，则33x或33x−，故()fx在3333−+，-，，单调递增，在3333−，单调递减，故33x=是()fx极小值点，33x=−是极大值点，故A正确，由于33x=是()fx的极小值点，

且3333231103339f=−+=−，故()fx只有一个零点，故B错误，设()00xy是()fx的切点，令()2fx=，解得故1x=和=1x−，当切点为()1,1时，则切线方程为()12121yxyx−=−=−，当切点为()1,1−时，切线方程为()121

23yxyx−=+=−，故2yx=不是切线，故D错误，故选：AC11.关于函数()lnxfxx=，下列结论正确的是（）A.函数()fx的定义域为(0,)+B.函数()fx在(e,)+上单调递增C.函数()fx的最小值为e，没有最大值D.函数()fx的极小值点为e【答案】BD【解

析】【分析】对于A，注意到ln0x可知1x，由此可判断；对于B，对()fx求导，利用导数与函数的单调性的关系可判断其正确；对于C，举反例排除即可；对于D，利用导数与函数极值的关系可判断其正确.【详解】对于A，因为()lnxfx

x=，所以0ln0xx，解得01xx，故()fx的定义域为(0,1)(1,)+，故A错误；对于B，()2ln1()lnxfxx−=，令()0fx，得ex，故()fx在(e,)+上单调递增，故B正确；对于C，令1ex=，则111ee

1eelnef==−，故()fx的最小值不为e，故C错误；对于D，令()0fx，得01x或1ex，所以()fx在(0,1)和(1,e)上单调递减，令()0fx=，得ex=，故结合ex=两侧的

单调性可知ex=是()fx的极小值点，故D正确.故选：BD.12.“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧．如：exy=在点()0,1处的切线为1yx=+，如图所示，易知除切点()0,1外，exy=图象上其余所有的点均在1yx=+的上方，故有e1xx+．

该结论可构造函数()e1xfxx=−−并求其最小值来证明．显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同．请根据以上材料，判断下列命题中正确的命题是（）A.0x，1eln1xx−+B.aR，xR，()ee1xaxa−+C.xR，11e02xx−−−D.0

x，eln1xxxx++【答案】ABD【解析】【分析】利用e1xx+可得()ln1xx+，由()1e11ln1xxx−−++知A正确；由e1xaxa−−+知B正确；利用反例可说明C错误；令()eln1xfxxxx=−−−，利用导数可求得()0fx，知D正确.【详解】对于

A，当1x−时，由e1xx+得：()lneln1xx+，即()ln1xx+；()()1e11ln111ln1xxxxx−=−+−++=+，A正确；对于B，由e1xx+得：e1xaxa−−+，即e1exaxa−+，()ee1xaxa

−+，B正确；对于C，由e1xx+得：1exx−；当1x=时，1e1xx−==，此时1322x+=，则11e2xx−+，即11e02xx−−−不成立，C错误；对于D，令()eln1xfxxxx=−−−，则()()(

)111e11exxfxxxxx=+−−=+−，令()()gxfx=，则()()212e0xgxxx=++，()gx在()0,+上单调递增，又()13e2022f=−

，()()12e10f=−，01,12x，使得()00fx=，当()00,xx时，()0fx¢<；当()0,xx+时，()0fx¢>；()fx\在()00,x上单调递减，在()0,x+上单调递增，()()00000eln1xfxfxxxx=

−−−；由()00fx=得：001exx=，00lnxx=−，()000110fxxx=−+−=，()0fx，即0x，eln1xxxx++，D正确.故选：ABD.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2

0分．13.日常生活中的饮用水通常是经过净化的．随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为()()528480100100cxxx=−．则净化到纯净度为99%

时所需费用的瞬时变化率是净化到纯净度为95%时所需费用的瞬时变化率的______倍．【答案】25【解析】【分析】首先求导()()25284100cxx=−，再计算()()9599cc.【详解】因为()()(

)()220528415284100100cxxx−−==−−，所以()()()()22528499100992552841995005cc−==−.故答案为：2514.若函数2()()fxxxc=−在2x=处

有极值且是极大值，则常数c的值为______【答案】6【解析】【分析】由()fx导函数在2处的函数值为0求出c，再检验在2x=处是否取得极大值即可得解.【详解】函数32222()2,()343()()3cf

xxcxcxfxxcxcxxc=−+=−+=−−，依题意得(2)0f=，即2c=或6c=，2c=时，2()3()(2)3fxxx=−−，当223x时，()0fx，当2x时，()0fx，则()fx2x=处取极小值，不符合条件，6c=时，()3(

2)(6)fxxx=−−，当2x时，()0fx，当26x时，()0fx，则()fx在2x=处取极大值，符合条件，所以常数c的值为6.故答案为：615.已知函数()xxfxeae−=+在0

,1上不单调，则实数a的取值范围为______.【答案】()21,e【解析】【分析】函数()xxfxeae−=+在0,1上不单调,转化为'()xxfxeae−=−在(0,1)有零点，即2xae=有解，研究2xye=取值范围即可.【详解】函数()xxfxeae−=+在0,1上

不单调,即'()xxfxeae−=−在(0,1)有零点，即0'()xxfxeae−−==2xae=当(0,1)x，()221,exe，故()21,ea故答案为：()21,e【点睛】本题考查了导数在

含参函数的单调性问题中的应用，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题.16.牛顿迭代法又称牛顿−拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设r是函数()yfx=的一个零点，任意选取0x作为r的初始近似值，作曲线()yfx=在点0(x

,0())fx处的切线1l，设1l与x轴交点的横坐标为1x，并称1x为r的1次近似值；作曲线()yfx=在点1(x,1())fx处的切线2l，设2l与x轴交点的横坐标为2x，并称2x为r的2次近似值．一般的，作曲线()yfx=在点(nx,())(N)nfxn处的切线1nl+，记1nl+与x轴在

交点的横坐标为1nx+，并称1nx+为r的1n+次近似值．设3()1fxxx=+−的零点为r，取00x=，则r的2次近似值为_____．【答案】340.75【解析】【分析】首先对()fx求导，进而写出切线方程

，再求0y=处对应的x值，结合题设中r的1n+次近似值的定义求r的2次近似值.【详解】由题设2()31fxx=+，设切点为(nx,31)nnxx+−，则切线斜率231nkx=+，切线方程为23(31)()1nnnnyxxxxx=+−++−，令0y=，可得331221213131n

nnnnnnxxxxxxx++−+=−+=++，若00x=，则11x=，234x=，即r的2次近似值为34．故答案为：34．四、解答题：本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数()lnfxx=，()tangxx=.（1）求曲

线()ygx=在ππ,44g处切线的方程；（2）若直线l过坐标原点且与曲线()yfx=相切，求直线l的方程.【答案】（1）2102xyp-+-=（2）e0xy−=【解析】【分析】（1）利用导数几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式写切线方

程即可；（2）根据()lnfxx=设切点坐标()00,lnxx，然后利用导数的几何意义得到斜率01kx=，再利用点斜式写切线方程，将()0,0代入切线方程得到0ex=即可得到切线方程.的【小问1详解】()sintancosxgxxx==，所以()2222coss

in1coscosxxgxxx+==，所以24g=，14g=，所以切线方程为：124yx−=−，整理得2102xyp-+-=.【小问2详解】()lnfxx=，所以()1fxx=，设切点坐标为()00,l

nxx，所以切线斜率为01kx=，则切线方程为：()0001lnyxxxx−=−，又因为切线过原点，所以将()0,0代入切线方程得()0001lnxxx−=−，解得0ex=，所以切线方程为：()11eeyx−=−，整

理得e0xy−=.18.已知函数()()21ln2fxxxmxxm=−−R．（1）若0m=，求函数()fx的单调区间；（2）若函数()fx在()0,+上是减函数，求实数m的取值范围．【答案】（1）单调递减区间是()0,1，单调递增区间是()1,+，（2）1em

【解析】【分析】(1)先对函数()fx求导，利用导数判断函数的单调区间；(2)已知函数()fx在()0,+上是减函数，可知知()0fx恒成立，利用参数分离法,求lnxx的最大值即可求解.【小问1详解】当0m=时，()ln,(0,)fxxxxx=−+，()ln,()0,

1.fxxfxx===()001fxx，()01fxx所以()fx的单调递减区间是()0,1，单调递增区间是()1,+【小问2详解】由函数()fx在()0,+上是减函数，知()0fx恒

成立，()()21lnln2fxxxmxxfxxmx=−−=−．由()0fx恒成立可知ln0xmx−恒成立，则maxlnxmx≥，设()lnxxx=，则()21lnxxx−=，由()()

00,exx，()<0exx知，函数()x在()0,e上递增，在()e,+上递减，∴()()max1eex==，∴1em．19.设a为实数，函数32()fxxxxa=−−+.（1）求()fx的极值；（2）当a在什么范围内取值时，曲线()yfx=与x轴仅有一个交

点？【答案】（1）极大值是15()327fa−=+，极小值是(1)1fa=−.（2）5(,)(1,)27a−−+【解析】【详解】(1)f′(x)＝3x2－2x－1.令f′(x)＝0，则x＝－或x＝1当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－)－(－，1)1(1，＋

∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗所以f(x)的极大值是f(－)＝＋a，.极小值是f(1)＝a－1.(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，由此可知，x取足够大的正数时，有

f(x)＞0，x取足够小的负数时，有f(x)＜0，曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．由(1)知f(x)极大值＝f(－)＝＋a，f(x)极小值＝f(1)＝a－1.∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，∴f(x)极大值＜0或f(x)极小值＞0，即＋a＜

0或a－1＞0，∴a＜－或a＞1，∴当a∈(－∞，－)∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．点睛：(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是

单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．20.已知函数()32113fxxax=-+在2x=−处有极值.（1）求实数a的值及函数()fx的单调区间；（2）求函数()fx在区间1,1−上的最大值和最小值.【答案】（1）1a=−，函数()f

x的增区间为(),2−−、()0,+，减区间为()2,0−（2）最小值1，最大值73【解析】【分析】（1）由已知可得出()20f−=，求出a的值，然后利用导数与函数单调性的关系可求得函数()fx的增区间和减区间；（2）分析函数()fx在区间1,1−上的单调

性，可求得函数()fx的最大值和最小值.【小问1详解】解：因为()32113fxxax=-+，该函数的定义域为R，且()22fxxax=−，由已知可得()2440fa−=+=，解得1a=−，则()3

2113fxxx=++，()22fxxx=+，由()0fx=可得2x=−或0x=，列表如下：x(),2−−2−()2,0−0()0,+()fx+0−0+()fx增极大值减极小值增所以，函数()fx的增区间为(),2−−、()0

,+，减区间为()2,0−.【小问2详解】解：当1,1x−时，函数()fx在1,0−上单调递减，在0,1上单调递增，因为()513f−=，()713f=，则()()max713fxf==，()()

min01fxf==.21.已知函数22()lnfxaxaxx=++，实数0a.（1）讨论函数()fx在区间(0,10)上的单调性；（2）若存在(0,)x+，使得关于x的不等式2()2fxax+成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）()0,2(2,)+

【解析】【分析】（1）采用分类讨论的方法，10,10a与1,10a+，根据导数判断原函数的单调性，可得结果.（2）化简式子，并构造函数2()ln2gxaxx=+−，计算min(

)gx，然后再次构造函数()ln1hxxx=+−，利用导数判断()hx的单调情况，可得结果.【详解】（1）由题知()fx的定义域为(0,)+，2222(2)(1)()aaxaxfxaxxx+−=−++=.∵0a，20ax+，∴由()0fx=可得1xa=.（i

）当10,10a时，110a…，当(0,10)x时，()0,()fxfx单递减；（ii）当1,10a+时，110a，当10,xa时，()0fx，()fx单调递减；当1,10xa时，()0fx，()fx单调递增.综上所

述，10,10a时，()fx在区间(0,10)上单调递减；当1,10a+时，()fx在区间10,a上单调递减，在区间1,10a上单调递增.（2）由题意：不等式2()2fxax+在(0,)x+成立即2l

n20axx+−在(0,)x+时有解.设2()ln2gxaxx=+−，(0,)x+，只需min()0gx.则22()axgxx−=，因为0a，所以在20,a上，()0gx，在2,a+上，()0gx.所以()gx在20,a上单调递

减，在2,a+上单调递增.因此min22()ln2gxgaaaa==+−.不等式2()2fxax+在(0,)x+成立，则2ln20aaa+−恒成立.又0a，所以22ln10aa+−恒成立.令()ln1(0)hxx

xx=+−，则'11()1xhxxx−=−=.在(0,1)上，'()0hx，()hx单调递增；在(1,)+上，'()0hx，()hx单调递减.所以()(1)0hxh=„.因此解22ln10aa+−可得20a且21a，即0a且2a.所以实数a的取值范围是()0,2(2,)

+.【点睛】本题考查导数的综合应用，难点在于构造函数研究性质，化繁为简，考验分析能力以及逻辑思维能力，掌握等价转化思想以及分类讨论的方法，属难题.22.已知函数()()2e2exxfxaax=+−−（1）讨论()fx的单调性；（2）若()fx有两个零点，求a的取值范围.【答案】

（1）见解析；（2）(0,1).【解析】【详解】试题分析：（1）讨论()fx单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对a按0a，0a进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若0a，()fx至多有一个零点.若0a，当lnxa=−时，()fx取得最小值

，求出最小值1(ln)1lnfaaa−=−+，根据1a=，(1,)+a，(0,1)a进行讨论，可知当(0,1)a时有2个零点.易知()fx在(,ln)a−−有一个零点；设正整数0n满足03ln(1)na−，则00000000(

)e(e2)e20nnnnfnaannn=+−−−−.由于3ln(1)lnaa−−，因此()fx在(ln,)a−+有一个零点.从而可得a的取值范围为(0,1).试题解析：（1）()fx的定义域为(

),−+，()()()()2221121xxxxfxaeaeaee=+−−−=+，（ⅰ）若0a，则()0fx，所以()fx在(),−+单调递减.（ⅱ）若0a，则由()0fx=得lnxa=−.当(),lnxa−−时，()0fx

；当()ln,xa−+时，()0fx，所以()fx在(),lna−−单调递减，在()ln,a−+单调递增.（2）（ⅰ）若0a，由（1）知，()fx至多有一个零点.（ⅱ）若0a，由（1）知，当lnxa=−时，()fx取得最

小值，最小值为()1ln1lnfaaa−=−+.①当1a=时，由于()ln0fa−=，故()fx只有一个零点；②当()1,a+时，由于11ln0aa−+，即()ln0fa−，故()fx没有零点；③当()0,1a时，11ln0aa−+，即()ln0fa−.又()()4

222e2e22e20faa−−−−=+−+−+，故()fx在(),lna−−有一个零点.设正整数0n满足03ln1na−，则()()00000000ee2e20nnnnfnaannn=+−−−−.由于3ln1lnaa−−

，因此()fx在()ln,a−+有一个零点.综上，a的取值范围为()0,1.点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数()fx有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不

含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断ya=与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若()fx有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验

证最小值两边存在大于0的点.