【文档说明】山东省滕州市第一中学2022-2023学年高二下学期3月质量检测数学试题 word版含解析.docx，共(20)页，992.311 KB，由小赞的店铺上传

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高二年级3月份质量检测数学试题第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列各式正确的是（）A.(sin)cos=(为常数)B.(cos)sinxx=

C.(sin)cosxx=D.561()5xx−−=−【答案】C【解析】【分析】由基本的求导公式可得解【详解】(sin)0=(为常数)；(cos)sinxx=−；(sin)cosxx=；56()5xx−−=−.,,ABD错误故选：C【点睛】本题考查导数的求导公式，熟练

记住常见函数的求导公式是关键,属于基础题2.一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系为22stt=+，设其在2,3t内的平均速度为1v，在3t=时的瞬时速度为2v，则12vv=（）A.76B.78C.67D.87【答案】B【解析

】【分析】根据平均变化率和瞬时变化率定义，可分别计算求得17v=，28v=即可得出结果.【详解】根据平均速度定义可知，在2,3t内的平均速度为221723222332stv=+−==−−；在3t=时的瞬时速度为()()()22200323323l

imlim88ttttvtt→→+++−−==+=；的所以1278vv=.故选：B3.已知()()221fxxxf=+，则()3f等于（）A-4B.2C.1D.-2【答案】B【解析】【分析】先求导，求出()12f=−，得到()24fxx¢=-，从而求出()3642f

=−=.【详解】()()221fxxf+=，令1x=得：()()1221ff=+，解得：()12f=−，所以()24fxx¢=-，()3642f=−=故选：B4.已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函

数的图象是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】.【详解】由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)的图象为增函数，且在区间(－1,0)上增长速度越来越快，而在区间(0,1)上增长速度越来越慢．故选B.5.我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程()()fxfx=的实

数根x叫做函数()fx的“躺平点”．若函数()exgxx=−，()lnhxx=，()20232023xx=+的“躺平点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（）A.abcB.bacC.cabD.cba【答案】B【解析】【分析】根据“躺平点”新定义，可解得1a=

,0c=，利用零点存在定理可得()1,eb,即可得出结论.【详解】根据“躺平点”定义可得()()gaag=，又()e1xgx=−；所以ee1aaa−=−，解得1a=；同理()1hxx=，即1lnbb=；令1()ln

mxxx=−，则211()0xxmx=+，即()mx为()0,+上的单调递增函数，又1(1)10,(e)10emm=−=−<>，所以()mx在()1,e有唯一零点，即()1,eb；易知()2023x=，即()()202320232023ccc=+==，解得0c=；因此可得bac

.故选：B6.长征五号B运载火箭是专门为中国载人航天工程空间站建设而研制的一款新型运载火箭，是中国近地轨道运载能力最大的新一代运载火箭，长征五号有效载荷整流罩外形是冯·卡门外形（原始卵形）+圆柱形，由两个半罩组成，某学校航天兴趣小组制作整流罩模型，近似一个圆柱和圆锥组成的几何体，如图

所示，若圆锥的母线长为6，且圆锥的高与圆柱高的比为1:3，则该模型的体积最大值为（）A.403B.803C.1603D.1803【答案】C【解析】【分析】设出圆锥的高，由圆锥与圆柱的体积公式列式，由导数判断单调性后求解最值，【详解】设圆锥的高为h，则圆柱的高为3h，底面圆半径为236rh

=−，则该模型的体积2221103(36)33Vrhrhhh=+=−，令3()36fxxx=−+，则2()336fxx=−+，由()0fx=得23x=，当023x时()0fx，当23x时()0fx，则

()fx在(0,23)上单调递增，在(23,)+上单调递减，当23h=时，max1603V=，故选：C7.若存在实数K，对任意xI，()()fxKgx成立，则称()fx是()gx在区间I上的“K倍函数”．已知函数()2ln1fxx=+和()lngxx

=，若()fx是()gx在(1,e的“K倍函数”，则K的取值范围是（）A.(,3−B.(,4−C.)4,+D.)3,+【答案】A【解析】【分析】根据“K倍函数”定义可知，2ln1lnxKx+在(1,ex上恒成立，构造函数2ln)ln(1xxhx+=并求出其在(1,ex

上的最小值即可得出K的取值范围是(,3−.【详解】根据题意可得，存在实数K，对于任意(1,ex，2ln1lnxKx+恒成立，即2ln1lnxKx+在(1,ex上恒成立，设2ln112lnln()xxxhx+=+=，则()()2211lnl(n)xx

xxhx−==−；当(1,ex，()210l()nhxxx=−<恒成立，所以()hx在(1,ex单调递减，即min()(e)3hxh==，即3K即可.所以K的取值范围是(,3−.故选：A8.已知

()fx是定义域为R的函数()fx的导函数.若对任意实数x都有()()2fxfx−，且()13f=，则不等式()12exfx−−的解集为（）A.(),1−B.()1,+C.(),e−D.()e,+【答案】B【解析】【分析】依题意原等价于

不等式1()21exfx−−，构造函数1()2()exfxgx−−=，利用导数说明函数的单调性，即可得到()()1gxg，从而得解；【详解】解：不等式1()2exfx−−，等价于不等式1()21exfx−−，构造函数1()2()exfxgx−−=，则1()

(()2)()exfxfxgx−−−=，若对任意实数x都有()()2fxfx−，则()0gx，()gx在R上单调递增，又()0(1)211efg−==，故1()21exfx−−即()()1gxg，故不等式的解集是(

1,)+，故选：B．二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.如图是()yfx=的导函数()fx的图象，则下列判断正确的是

（）A.()fx在区间[2,1]−−上是增函数B.=1x−是()fx的极小值点C.()fx在区间[1,2]−上是增函数，在区间[2,4]上是减函数D.1x=是()fx的极大值点【答案】BC【解析】【分析】根据导函数与函数的单调性、函数的极值的关系判断．【详解】在(2,1)−−上()

0fx，()fx递减，A错；(1)0f−=，且当2<<1x−−时，()0fx，12x−时，()0fx，所以=1x−是()fx的极小值点，B正确；在(1,2)−上，()0fx，()fx递增，在(2,4)上()0fx，()fx递减，C正确；()fx在区

间[1,2]−上是增函数，1x=不是()fx的极大值点，D错．故选：BC．【点睛】本题考查导数与函数的单调性、函数的极值的关系，掌握用导数判断单调性的方法是解题关键．10.对于三次函数()()320axbxdafxcx=+++，现给出定义：设(

)fx是函数()fx的导数，()fx是()fx的导数，若方程()0fx=有实数解0x，则称点()()00,xfx为函数()()320axbxdafxcx=+++的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且

“拐点”就是对称中心．已知函数()31fxxx=−+，则（）A.()fx有两个极值点B.()fx有三个零点C.点()0,1是曲线()yfx=的对称中心D.直线2yx=是曲线()yfx=的切线【答案】AC【解析】【分析】求导，根据拐点的定义即可求解C，根据单调性即可确定极值点，即可判断A，根

据极小值大于0可判断C，根据切线方程的求解可判断D.【详解】由()31fxxx=−+得()()2316fxxfxx=−=，，令()60fxx==，则0x=，()01f=，所以()0,1是()fx的拐点，进而是()fx的对称中心，故

C正确，令()0fx¢>，则33x或33x−，故()fx在3333−+，-，，单调递增，在3333−，单调递减，故33x=是()fx极小值点，33x=−是极

大值点，故A正确，由于33x=是()fx的极小值点，且3333231103339f=−+=−，故()fx只有一个零点，故B错误，设()00xy是()fx的切点，令()2fx=，解得故1x=和=1x−，当切点为()1,1时，则切线方程为(

)12121yxyx−=−=−，当切点为()1,1−时，切线方程为()12123yxyx−=+=−，故2yx=不是切线，故D错误，故选：AC11.关于函数()lnxfxx=，下列结论正确的是（）A.函数()fx的定义域为(0,)+B.函数()fx

在(e,)+上单调递增C.函数()fx的最小值为e，没有最大值D.函数()fx的极小值点为e【答案】BD【解析】【分析】对于A，注意到ln0x可知1x，由此可判断；对于B，对()fx求导，利用导数与函数的单调性的关系可判断其正确；对于C，举反例排除即可；对于D，利

用导数与函数极值的关系可判断其正确.【详解】对于A，因为()lnxfxx=，所以0ln0xx，解得01xx，故()fx的定义域为(0,1)(1,)+，故A错误；对于B，()2ln1()lnxfxx−=，令()0fx，得ex，故()fx

在(e,)+上单调递增，故B正确；对于C，令1ex=，则111ee1eelnef==−，故()fx的最小值不为e，故C错误；对于D，令()0fx，得01x或1ex，所以()fx在(0,1)和(1

,e)上单调递减，令()0fx=，得ex=，故结合ex=两侧的单调性可知ex=是()fx的极小值点，故D正确.故选：BD.12.“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧．如：exy=在点()0,1处的切线为1yx=+，如图所示，易知除切点()0,1外

，exy=图象上其余所有的点均在1yx=+的上方，故有e1xx+．该结论可构造函数()e1xfxx=−−并求其最小值来证明．显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同．请根据以上材料，判断下列命题中正确的命题是（）A.0x，1eln1xx−+B.aR，xR，()ee1

xaxa−+C.xR，11e02xx−−−D.0x，eln1xxxx++【答案】ABD【解析】【分析】利用e1xx+可得()ln1xx+，由()1e11ln1xxx−−++知A正确；由

e1xaxa−−+知B正确；利用反例可说明C错误；令()eln1xfxxxx=−−−，利用导数可求得()0fx，知D正确.【详解】对于A，当1x−时，由e1xx+得：()lneln1xx+，即()ln1xx+；()()1e11ln111ln1xxxxx−=−+−

++=+，A正确；对于B，由e1xx+得：e1xaxa−−+，即e1exaxa−+，()ee1xaxa−+，B正确；对于C，由e1xx+得：1exx−；当1x=时，1e1xx−==，此时1322x+=，则11e2xx−+

，即11e02xx−−−不成立，C错误；对于D，令()eln1xfxxxx=−−−，则()()()111e11exxfxxxxx=+−−=+−，令()()gxfx=，则()()212e0xgxxx=++，

()gx在()0,+上单调递增，又()13e2022f=−，()()12e10f=−，01,12x，使得()00fx=，当()00,xx时，()0fx¢<；当()0,xx+时

，()0fx¢>；()fx\在()00,x上单调递减，在()0,x+上单调递增，()()00000eln1xfxfxxxx=−−−；由()00fx=得：001exx=，00lnxx=−，()000110fxxx=−+−=，()0fx，即0x，eln1xxxx++，

D正确.故选：ABD.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.日常生活中的饮用水通常是经过净化的．随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用（单位

：元）为()()528480100100cxxx=−．则净化到纯净度为99%时所需费用的瞬时变化率是净化到纯净度为95%时所需费用的瞬时变化率的______倍．【答案】25【解析】【分析】首先求导()()25284100cxx=−，

再计算()()9599cc.【详解】因为()()()()220528415284100100cxxx−−==−−，所以()()()()22528499100992552841995005cc−==−.故答案为：

2514.若函数2()()fxxxc=−在2x=处有极值且是极大值，则常数c的值为______【答案】6【解析】【分析】由()fx导函数在2处的函数值为0求出c，再检验在2x=处是否取得极大值即可得解.【详解】函数32222()2,()343()()3cfxxcxcxfxxcxcxxc

=−+=−+=−−，依题意得(2)0f=，即2c=或6c=，2c=时，2()3()(2)3fxxx=−−，当223x时，()0fx，当2x时，()0fx，则()fx2x=处取极小值，不符合条件，6c=时，()3(2)(6)fxxx=−−，当2

x时，()0fx，当26x时，()0fx，则()fx在2x=处取极大值，符合条件，所以常数c的值为6.故答案为：615.已知函数()xxfxeae−=+在0,1上不单调，则实数a的取值范围为______.【答案】()21,e【解析】【分析】函数()xxfxea

e−=+在0,1上不单调,转化为'()xxfxeae−=−在(0,1)有零点，即2xae=有解，研究2xye=取值范围即可.【详解】函数()xxfxeae−=+在0,1上不单调,即'()xxfxeae−=−在(0,1)有零点，即0

'()xxfxeae−−==2xae=当(0,1)x，()221,exe，故()21,ea故答案为：()21,e【点睛】本题考查了导数在含参函数的单调性问题中的应用，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属

于中档题.16.牛顿迭代法又称牛顿−拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设r是函数()yfx=的一个零点，任意选取0x作为r的初始近似值，作曲线()yfx=在点0(x,0())fx

处的切线1l，设1l与x轴交点的横坐标为1x，并称1x为r的1次近似值；作曲线()yfx=在点1(x,1())fx处的切线2l，设2l与x轴交点的横坐标为2x，并称2x为r的2次近似值．一般的，作曲线()yfx=在点(nx,())(

N)nfxn处的切线1nl+，记1nl+与x轴在交点的横坐标为1nx+，并称1nx+为r的1n+次近似值．设3()1fxxx=+−的零点为r，取00x=，则r的2次近似值为_____．【答案】340.75【解析】【分析】首先对()fx求导，进而写出切线方程，再求0y=处对应

的x值，结合题设中r的1n+次近似值的定义求r的2次近似值.【详解】由题设2()31fxx=+，设切点为(nx,31)nnxx+−，则切线斜率231nkx=+，切线方程为23(31)()1nnnnyxxxxx=+−++−，

令0y=，可得331221213131nnnnnnnxxxxxxx++−+=−+=++，若00x=，则11x=，234x=，即r的2次近似值为34．故答案为：34．四、解答题：本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数()lnfxx=，()t

angxx=.（1）求曲线()ygx=在ππ,44g处切线的方程；（2）若直线l过坐标原点且与曲线()yfx=相切，求直线l的方程.【答案】（1）2102xyp-+-=（2）e0xy−=【解析】【分析】（1）利用导数几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式写切线方程即可；（2）

根据()lnfxx=设切点坐标()00,lnxx，然后利用导数的几何意义得到斜率01kx=，再利用点斜式写切线方程，将()0,0代入切线方程得到0ex=即可得到切线方程.的【小问1详解】()sintancos

xgxxx==，所以()2222cossin1coscosxxgxxx+==，所以24g=，14g=，所以切线方程为：124yx−=−，整理得2102xyp-+-=.【小问2详解】()lnfxx=，所以()1

fxx=，设切点坐标为()00,lnxx，所以切线斜率为01kx=，则切线方程为：()0001lnyxxxx−=−，又因为切线过原点，所以将()0,0代入切线方程得()0001lnxxx−=−，解

得0ex=，所以切线方程为：()11eeyx−=−，整理得e0xy−=.18.已知函数()()21ln2fxxxmxxm=−−R．（1）若0m=，求函数()fx的单调区间；（2）若函数()fx在()0,+上是减函数，求实数m的取值范围．【答案】（1）单调递减区间

是()0,1，单调递增区间是()1,+，（2）1em【解析】【分析】(1)先对函数()fx求导，利用导数判断函数的单调区间；(2)已知函数()fx在()0,+上是减函数，可知知()0fx恒成立，利用参数分离法,求lnxx的最大值即可求解.【小问1详解】当0m=时，()ln,(0

,)fxxxxx=−+，()ln,()0,1.fxxfxx===()001fxx，()01fxx所以()fx的单调递减区间是()0,1，单调递增区间是()1,+【小问2详解】由函数()fx在()0,+上是减函数，知()

0fx恒成立，()()21lnln2fxxxmxxfxxmx=−−=−．由()0fx恒成立可知ln0xmx−恒成立，则maxlnxmx≥，设()lnxxx=，则()21lnxxx−=，由()()00,exx，()<0

exx知，函数()x在()0,e上递增，在()e,+上递减，∴()()max1eex==，∴1em．19.设a为实数，函数32()fxxxxa=−−+.（1）求()fx的极值；（2）当a在什么范围内取值时，曲线()yfx=与x轴仅有一个交点？【答案】（1）极大值是15

()327fa−=+，极小值是(1)1fa=−.（2）5(,)(1,)27a−−+【解析】【详解】(1)f′(x)＝3x2－2x－1.令f′(x)＝0，则x＝－或x＝1当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－)－(－，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(

x)↗极大值↘极小值↗所以f(x)的极大值是f(－)＝＋a，.极小值是f(1)＝a－1.(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)＞0，x取足够小的负数时，有f(x)＜0，曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．由(1)知f(

x)极大值＝f(－)＝＋a，f(x)极小值＝f(1)＝a－1.∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，∴f(x)极大值＜0或f(x)极小值＞0，即＋a＜0或a－1＞0，∴a＜－或a＞1，∴当a∈(－∞，－)∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x

轴仅有一个交点．点睛：(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．20.已知函数()32113fxxax=-

+在2x=−处有极值.（1）求实数a的值及函数()fx的单调区间；（2）求函数()fx在区间1,1−上的最大值和最小值.【答案】（1）1a=−，函数()fx的增区间为(),2−−、()0,+，

减区间为()2,0−（2）最小值1，最大值73【解析】【分析】（1）由已知可得出()20f−=，求出a的值，然后利用导数与函数单调性的关系可求得函数()fx的增区间和减区间；（2）分析函数()fx在区间1,1−上的

单调性，可求得函数()fx的最大值和最小值.【小问1详解】解：因为()32113fxxax=-+，该函数的定义域为R，且()22fxxax=−，由已知可得()2440fa−=+=，解得1a=−，则()32113fxxx=++，(

)22fxxx=+，由()0fx=可得2x=−或0x=，列表如下：x(),2−−2−()2,0−0()0,+()fx+0−0+()fx增极大值减极小值增所以，函数()fx的增区间为(),2−−、()0,+，减区间为()2,0−.【小问2详解】解：当1,1x−时，函数()fx

在1,0−上单调递减，在0,1上单调递增，因为()513f−=，()713f=，则()()max713fxf==，()()min01fxf==.21.已知函数22()lnfxaxaxx=++，实数0a.（1）讨论函数()fx在区间(0,10

)上的单调性；（2）若存在(0,)x+，使得关于x的不等式2()2fxax+成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）()0,2(2,)+【解析】【分析】（1）采用分类讨论的方法，10,10a与

1,10a+，根据导数判断原函数的单调性，可得结果.（2）化简式子，并构造函数2()ln2gxaxx=+−，计算min()gx，然后再次构造函数()ln1hxxx=+−，利用导数判断()hx的单调情况，可得结果.

【详解】（1）由题知()fx的定义域为(0,)+，2222(2)(1)()aaxaxfxaxxx+−=−++=.∵0a，20ax+，∴由()0fx=可得1xa=.（i）当10,10a时，11

0a…，当(0,10)x时，()0,()fxfx单递减；（ii）当1,10a+时，110a，当10,xa时，()0fx，()fx单调递减；当1,10xa时，()0fx，()fx单调递增.综上所述

，10,10a时，()fx在区间(0,10)上单调递减；当1,10a+时，()fx在区间10,a上单调递减，在区间1,10a上单调递增.（2）由题意：不等式2()2fxax+在(0,)x+成立即2ln20axx+−在(0,)

x+时有解.设2()ln2gxaxx=+−，(0,)x+，只需min()0gx.则22()axgxx−=，因为0a，所以在20,a上，()0gx，在2,a+上，()0gx.所以()gx在20,a上单调递减，在2,a+上单调递

增.因此min22()ln2gxgaaaa==+−.不等式2()2fxax+在(0,)x+成立，则2ln20aaa+−恒成立.又0a，所以22ln10aa+−恒成立.令()ln1(0)hxxxx=+−，则'11()1xhxxx−=−=.在(0,1)上，

'()0hx，()hx单调递增；在(1,)+上，'()0hx，()hx单调递减.所以()(1)0hxh=„.因此解22ln10aa+−可得20a且21a，即0a且2a.所以实数a的取值范

围是()0,2(2,)+.【点睛】本题考查导数的综合应用，难点在于构造函数研究性质，化繁为简，考验分析能力以及逻辑思维能力，掌握等价转化思想以及分类讨论的方法，属难题.22.已知函数()()2e2exxf

xaax=+−−（1）讨论()fx的单调性；（2）若()fx有两个零点，求a的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）(0,1).【解析】【详解】试题分析：（1）讨论()fx单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对a按0a，0a进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1

）问，若0a，()fx至多有一个零点.若0a，当lnxa=−时，()fx取得最小值，求出最小值1(ln)1lnfaaa−=−+，根据1a=，(1,)+a，(0,1)a进行讨论，可知当(0,1)a时有2个零点.易知()fx在(,ln)a−−有一

个零点；设正整数0n满足03ln(1)na−，则00000000()e(e2)e20nnnnfnaannn=+−−−−.由于3ln(1)lnaa−−，因此()fx在(ln,)a−+有一个零点.从而可得a的取值范围为(0,1).试题解析：（1

）()fx的定义域为(),−+，()()()()2221121xxxxfxaeaeaee=+−−−=+，（ⅰ）若0a，则()0fx，所以()fx在(),−+单调递减.（ⅱ）若0a，则由()0fx

=得lnxa=−.当(),lnxa−−时，()0fx；当()ln,xa−+时，()0fx，所以()fx在(),lna−−单调递减，在()ln,a−+单调递增.（2）（ⅰ）若0a，由（1）知，()f

x至多有一个零点.（ⅱ）若0a，由（1）知，当lnxa=−时，()fx取得最小值，最小值为()1ln1lnfaaa−=−+.①当1a=时，由于()ln0fa−=，故()fx只有一个零点；②当()1,a+时，由于11ln0aa−+，即()ln0fa−，故()fx没有零点；③当()0,1a

时，11ln0aa−+，即()ln0fa−.又()()4222e2e22e20faa−−−−=+−+−+，故()fx在(),lna−−有一个零点.设正整数0n满足03ln1na−，则()()00000000ee2e20nnnnfnaannn=+−−

−−.由于3ln1lnaa−−，因此()fx在()ln,a−+有一个零点.综上，a的取值范围为()0,1.点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数()fx有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是

分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断ya=与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若()fx有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还

需验证最小值两边存在大于0的点.