【文档说明】广东省五校（朝汕实验、高州中学、石门、湛江一中等）2024-2025学年高三上学期开学联考数学试题（解析版）.docx，共(19)页，1.093 MB，由小赞的店铺上传

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2025届新高三开学联考数学试题本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题

选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分

，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若*23Mxx=−N，0,1,2N=，则MN（）A.B.0,2C.1,0,1−D.1,2【答案】D【解析】【分析

】利用列举法表示出集合M后，结合交集定义即可得解.【详解】依题意，1,2,3M=，0,1,2N=，所以1,2MN=.故选：D.2.“12b”是“点()0,Bb在圆()()22:122Cxy−+−=内”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不

必要条件【答案】A【解析】【分析】先求出“点()0,Bb在圆()()22:122Cxy−+−=内”的充要条件，对比即可得解.【详解】点()0,Bb在圆()()22:122Cxy−+−=内()()220

12213bb−+−，所以“12b”是“点()0,Bb在圆()()22:122Cxy−+−=内”的充分不必要条件.故选：A.3.函数()fx的部分图象如图所示，则()fx可以为（）A.()e

1sine1xxx−+B.()e1cose1xxx−+C.()3e1e1xxx−+D.()e1cose1xxx+−【答案】A【解析】【分析】由0x排除D，由奇偶性排除B，由()3e1e1xxx−+在)0,x+时的单调性即可排除C，最后验证A符合题意即可.【详解】对于D，函数()

e1cose1xxxy+=−中，0x，所以排除D；对于B，显然sinyx=，3yx=都为奇函数，cosx为偶函数，且e1e1xxy−=+也是奇函数，理由如下：e1e1xxy−=+的定义域为全体实数，且e1e1e1e1xxxx−−−−=−++，所以e1e1xxy−=+是奇

函数所以()e1sine1xxxy−=+，()3e1e1xxxy−=+为偶函数，()e1cose1xxxy−=+为奇函数，所以排除B；对于C，当)0,x+时，e121e1e1xxx−=−++（由复

合函数单调性可判断），3x同时单调递增，且同时非负，所以()3e1e1xxx−+在)0,x+时也单调递增，所以排除C；经检验A选项符合题意.故选：A.4.(√𝑥−1𝑥2)5(𝑥52+2)展开式中的常数项为（）A.10−B.0C.5D.10【答案】B【解析】【分析】直接由二项式定理进行求

解即可.【详解】521xx−展开式中的通项为()()()()55522551C1Crrrrrrrxxx−−−−=−，所以(√𝑥−1𝑥2)5(𝑥52+2)展开式中的常数项为()()1212551C21C0−+−=.故选

：B.5.若(),0,ab+，abbab+=，则b的最小值为（）A.2B.4C.16D.64【答案】C【解析】【分析】直接运用基本不等式即可求解.【详解】因为(),0,ab+，所以()3222abbabbab+=，因为abba

b+=，所以()322abab，所以16b，当且仅当4a=时，b的最小值为16.故选：C.6.函数()()3ππcos0,,22fxx=+−−的部分图象如图所示，若直线12y=−与图象两个交点的横坐标分别为0和π，则=（）A.8π3

−B.7π3−C.4π3−D.2π3−【答案】C【解析】【分析】有图象可得函数周期，即可得，由()0f的值结合图象及的范围可得，即可得解.【详解】由图象可得()fx的周期为π0π−=，所以2π2π==，因为()10c

os2f==−，且3ππ,22−−，所以2π3=−或4π3=−，因为0在单调递增区间内，所以2π3=−，所以4π3=−.故选：C.7.若()()()3121ln22xfxxxx=−+−−+−，

数列na的前n项和为nS，且1110S=，12nnSna+=，则()()19201iiifafa−=+=（）A.76B.38C.19D.0【答案】A【解析】【分析】由题意可知函数()fx关于()1,2对称，然后再通过12nnS

na+=，求解数列{𝑎𝑛}的通项，进而求解()()19201iiifafa−=+.【详解】因为()()()3121ln22xfxxxx=−+−−+−，所以()()()()()()3322121ln212

1ln242xxfxfxxxxxxx−+−=−+−−++−+−−+=−所以()fx的图象关于点()1,2对称，因为12nnSna+=，所以()()1212nnSnan−=−，所以()()112212nnnnSSnanan−+−=−−

，所以()()1212nnnananan+=−−，所以()121nnaannn+=+，又1110S=，12nnSna+=，所以1110a=，2210a=，所以110nan=，所以10nna=，所以201022iiaaa−+==，()()204iifafa−+=，所以()()19192011

476iiiifafa−==+==.故选:A.8.若A为函数()exfxx=+图象上的一点，()2,0B，则AB的最小值为（）A.6B.5C.322D.2【答案】B【解析】【分析】求出函数的导函

数，设()111,exAxx+()12x，函数在点A处的切线的斜率为1e1xk=+，要使|𝐴𝐵|取得最小值1ABkk=−，从而得到()()1111e1e20xxxx+++−=，令()()()e1

e2xxgxxx=+++−，利用导数说明函数的单调性，观察得到10x=，求出此时A点坐标，即可求出|𝐴𝐵|的最小值.【详解】因为()e10xfx=+，所以()exfxx=+在𝑅上单调递增，且𝑓′(𝑥)也单调递增，若()22,e2A

+，则2e2AB=+，显然不符合题意；设()111,exAxx+()12x，则函数在点A处的切线的斜率为1e1xk=+，所以|𝐴𝐵|取得最小值()()1111e01e112xxABxkkx+−=−+=−−()()1111e1e20xxxx+++−=，令()()

()e1e2xxgxxx=+++−，则()()()()()22eee112e2e2xxxxxgxxx=++++=+++，令ext=，则0t且lnxt=，令()22ln22mttttt=+++()0t，则()4ln3mttt=++，显然()4ln3mttt=++在(0,+∞)上单调递增，又

()44e4e10m−−=−，()33e4e0m−−=，所以存在()430e,et−−使得()00mt=，即()0004ln30mttt=++=，所以当()00,tt时()0mt，此时()mt单调递

减，当()0,tt+时()0mt，此时()mt单调递增，所以()mt在0t处取得极小值即最小值，又()()220000000002ln2224322mttttttttt=+++=−+++2200011722248ttt=−−+=−++，函数2117248

yx=−++在1,4−+上单调递减，又()430e,et−−，4310ee2−−，当12x=时211221022y=−−+=，所以()00mt，所以()0mt恒成立，即()0gx恒成立，所以()gx在R上单调

递增，又()00g=，所以10x=，此时()0,1A，所以|𝐴𝐵|取得最小值为()()2201205−+−=.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题关键是转化为在点A处的切线与AB垂直，求出1x，其中说明函数()()()e1e2xxgxxx=+

++−的单调性是一个难点.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设()1i1zz=−−，其中z为z的共轭复数，

则（）A.z实部为2B.z的虚部是2−的C.5z=D.在复平面内，3iz−对应的点在第二象限【答案】AC【解析】【分析】首先由共轭复数的概念复数相等求得,ab即可判断AB，结合模的计算公式以及复数的几何意义可依次判断CD.【详解】设()i,zabab=+R

，因为()1i1zz=−−，所以()()i1ii1abab−=−+−，所以()()i1iababab−=+−+−+，所以1abaabb+−=−+=−，所以2a=，1b=，所以𝑧=2+i，2iz=−，对于A，所以z的实部为2，所以A正确；对于B，z的虚部是1−，所以B错误；对于C，

225zab=+=，所以C正确；对于D，()()()()3i2i3i3i55i1i2i2i2i5z−−−−−====−++−，所以3iz−在复平面内对应的点在第四象限，所以D错误.故选：AC.10.已知双曲线22:1169xyC−=的左、右焦点分别为1F，2F，实轴的左、右端

点分别为1A，2A，虚轴的上、下端点分别为1B，2B，斜率为k的直线l经过1F且与C的左支交于两个不同的点，A为C上一点，且12π3FAF=，则（）A.128AA=B.四边形1122BFBF的周长小于24C.33,44k−D.12AFF△面积为93【答案】ABD【解析

】【分析】对于A，求出实轴长度即可判断；对于B，由勾股定理即可判断；对于C，画出图形即可判断；对于D，结合双曲线定义、余弦定理得1236AFAF=，进一步结合三角形面积公式即可求解.【详解】对于A，C的实半轴长4a=，虚半轴长3b=，半焦距225

cab=+=，渐近线方程为的34yx=?，所以1228AAa==，所以A正确；对于B，四边形1122BFBF的周长为222244354344624bc+=+==，所以B正确；对于C，作出C与其渐近线，直接由图形得，33,,44k−−+，所以

C错误；对于D，不妨设A位于C的左支，则218AFAF−=，所以221212264AFAFAFAF+−=①，因为12π3FAF=，所以222121212π2cos3AFAFAFAFFF+−=，所以221212100AFAF

AFAF+−=②，所以−①②得，1236AFAF=，所以三角形12AFF的面积为121π1πsin36sin932323AFAF==，所以D正确.故选：ABD.11.已知正三棱台111ABCABC−上、下底面的边长及高分别为3，33，2，则正三棱台

111ABCABC−的（）A.斜高为5B.体积为133C.侧棱与底面所成角为π4D.外接球的表面积为20π【答案】AC【解析】【分析】对于A，通过分析得出1112OD=，32OD=，12OO=，结合勾股定理验算即可；对于B，直接由棱台体积公式验算即可；

对于C，显然侧棱与底面所成的角为1AAO，结合解三角形知识验算即可；对于D，显然外接球的球心E在直线1OO上，设OEx=，列方程可求出x以及外接球半径，进一步即可验算.的【详解】对于A，如图，在正三棱台111ABCABC−中，设1O，O分别为上下底

面的中心，𝐷1，D分别为11CB，CB的中点，因为上底面的边长，下底面的边长分别为3，33，所以11323123AO==，3233323AO==，11111122ODAO==，1322ODAO==，又12OO=，所以()2211115DDOOODOD=+−=，所以A正确；对于B，

体积为()()22233313333333334442++=，所以B错误；对于C，侧棱与底面所成的角为1AAO，在直角梯形11AOOA中，由111AO=，3AO=，12OO=，计算得11112tan1

31OOAAOAOAO===−−，而1π0,2AAO，从而1π4AAO=，所以C正确；对于D，由已知得，外接球的球心E在直线1OO上，设0OEx=，由题得，()2222123xx+=+，解得1x=，所以外接球的表面积

为()2224π4π340πEAx=+=，所以D错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键在于求得外接圆半径，由此即可顺利得解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知质点1A，2A从点(1,0)P处分别以14rads

=，22rads=的速度同时在圆221xy+=上作逆时针运动，若经过st，1A，2A第一次相遇，则t=______．【答案】π【解析】【分析】由题意1A比2A多走一圈，可列关于t的方程，由此即可得解.【详解】由已知得，经过st，1A，2A第一次相遇，此时1A比2A多走一圈

，所以422π1tt−=，所以πt=.故答案为：π.13.已知()sin,1px=−，1cos,2qx=，若pq⊥，则pq−=______．【答案】32【解析】【分析】借助向量垂直可得其数量

积为0，利用向量数量积公式与模长公式计算后结合三角函数基本关系即可得解.【详解】由pq⊥，则有1sincos02pqxx=−=，即1sincos2xx=，又3sincos,2pqxx−=−−，则()22229999sincossincos2si

ncos114444pqxxxxxx−=−+=+−+=−+=，故32pq−=.故答案为：3214.已知直线l与抛物线𝐶:𝑦2=4𝑥交于P，Q两点，F为C的焦点，若PQ中点的纵坐标始终为1，则PFQF+的取值范围是______．【答案】5,2+【解

析】【分析】设()11,Pxy，()()222,0Qxyy，直线l的方程为xkym=+，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，根据中点纵坐标，得到方程，求出12k=，由焦半径公式得到23PFQFm+=+，由根据的判别式得到214mk−

=−，从而得到PFQF+的取值范围.【详解】不妨设()11,Pxy，()()222,0Qxyy，直线l的方程为xkym=+，与24yx=联立消去x得，𝑦2−4𝑘𝑦−4𝑚=0，此时必须()()2241616

0kmkm=−+=+，所以12124,4yykyym+==−，因为PQ中点的纵坐标为1，所以122yy+=，所以42k=，所以12k=，所以12xym=+，又F为抛物线的焦点，所以()()()1212112PFQFxxxx+=+++=++()()12121232yy

mm=+++=+，因为()2160km=+，所以214mk−=−，所以52PFQF+.故答案为：5,2+.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.设公比不为1的等比数列na的前n项和为nS，且313Sa=．（1）求

na的公比；（2）若12a=，求数列1nnaa+的前n项和nT．【答案】（1）2q=−（2）()8143nnT−=【解析】【分析】（1）根据题意列方程即可求解；（2）由题意得1184nnnaa−+=−，结合等

比数列求和公式即可求解.【小问1详解】设na的公比为q，313Sa=，()21113aqqa++=，10a，220qq+−=，1qQ，2q=−.【小问2详解】12a=，()()1222nnna−=−=−−，（或()112nnna−=−）()()()1121

122284nnnnnnaa−+++=−=−−−=−−，()()814814143nnnT−−−==−.16.在每年的1月份到7月份，某品牌空调销售商发现：“每月销售量（单位：台）”与“当年的月份”线性相关．根据统计得下表：月份x123456销量y1221

33415263（1）根据往年的统计得，当年的月份x与销量y满足回归方程ˆ10yxt=+．请预测当年7月份该品牌的空调可以销售多少台？（2）该销售商从当年的前6个月中随机选取3个月，记X为销量不低于前6个月的月平均销量的月份数，求X的分布列和数学期望．【答案】（1

）72台（2）分布列见解析，()32EX=【解析】【分析】（1）计算出x与𝑦̅后，借助回归直线过样本中心点即可得回归直线方程，再借助回归直线方程代入7x=计算即可得解；（2）得出X的所有可能取值后，计算每种取值对应概率即可得其分布列，借助分

布列计算即可得其期望.【小问1详解】1234563.56x+++++==，122133415263376y+++++==，又回归直线过样本中心点(),xy，所以37103.5t=+，得2t=，所以ˆ102yx=+，

当7x=时，ˆ72y=，所以预测当年7月份该品牌的空调可以销售72台.【小问2详解】因为37y=，所以销量不低于前6个月的月平均销量的月份数为4，5，6，所以0,1,2,3X=，()3336C10C20PX===，()123336

CC91C20PX===，()213336CC92C20PX===，()3336C13C20PX===，所以X的分布列为：X0123P120920920120()199130123202020202EX=+++=.17.如图，在三棱柱111ABCABC−中，O为底面11

1ABC重心，点,DG分别在棱111CCBC,上，且111::1:2BGGCCDDC==（1）求证：1//AC平面DOG；（2）若1AA⊥底面111ABC，且三棱柱111ABCABC−的各棱长均相等，求平面11AACC与平面DOG的夹角的

余弦值．的【答案】（1）证明见解析（2）77【解析】【分析】（1）根据线面平行的判断定理，转化为证明线线平行，利用平行线比例关系，构造辅助线，即可证明；（2）根据底面特点，建立空间直角坐标系，分别求平面

11AACC与平面DOG的法向量，根据向量公式求二面角的余弦值.【小问1详解】如图，连接1CO并延长，交11AB于E，延长线段GO，交11AC于H，连接DH．因为O为底面111ABC重心，所以1:1:2E

OOC=，又11:1:2BGGC=，所以111::EOOCBGGC=，所以11OGAB∥，所以11:1:2AHHC=．因为1:1:2CDDC=，所以111::AHHCCDDC=，所以1DHAC∥．因为1AC平面DOG，DH平面DOG，所以1//AC平面DOG．【小问2详解】取AB的中

点为F，连接EF．因为1AA⊥底面111ABC，且三棱柱111ABCABC−的各棱长均相等，的所以直线11,,EBECEF两两互相垂直．以E为坐标原点，11,,EBECEF所在直线分别为,,xyz轴建立如图所示的空

间直角坐标系，设三棱柱111ABCABC−的棱长为6，则()()()()10,3,0,0,33,4,3,0,0,2,3,0ODBG，所以()()0,23,42,0,0ODOG==，．设平面DOC的法向量为𝑛⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则00nOGnOD==，即202340xy

z=+=，可取()0,2,3n=−易知平面11AACC的一个法向量为()13,3,0OB=−．设平面11AACC与平面DOG的夹角为，则11237cos7723nOBnOB===，即平面11AACC与平面DOG的夹角的余弦值为77．18.已知函数()esinx

fxaxbx=−+，aR，1,1b−．（1）当0a=时，求()fx在)0,+上的值域；（2）当1b=时，()0,x+，()1fx，求a的取值范围．【答案】（1）)1,+（2）(,2−【解析】【分析

】（1）对()fx求导，分析得出()fx在)0,+上单调递增，由此即可得解；（2）连续求导，分a是否大于2进行讨论即可求解.【小问1详解】当0a=时，()esinxfxbx=+，所以()ecosxfxbx=+，因为)0,x+，所以e1x，1cos1

x−，因为[1,1]b−，所以1cos1bx−，所以()0fx，所以()fx在)0,+上单调递增，所以()()01fxf=≥，当x→+时，()fx→+，且注意到()fx的图象是一条连续的曲线，所以()fx在)0,+上的值域为)1,+.【小问2详解】当1b=时，

()0,x+，()1fx，即esin1xaxx−+在区间()0,+上成立.则()ecosxfxax=−+，令()ecosxmxax=−+，()esinxmxx=−，因为0x，所以e1

x，所以esinxx，()esin0xmxx=−，所以()mx在()0,x+时单调递增.可知()()02mxma=−.当𝑎≤2时，()0mx，即()0fx，所以()fx在()0,x+上单调递增.所以()()01fxf=成立.当2a时，()

020ma=−，当x→+时，()0mx，所以()00,x+使得()00mx=，当(00,xx时，()0mx，即()0fx，即()fx在(00,x上单调递减，所以()()001fxf=，即()0,x+，()1fx不成立，

舍去，综上，𝑎≤2.【点睛】关键点点睛：第二问的关键在于连续求导后得出()()02mxma=−，故需对a进行分类讨论，由此即可顺利得解.19.我们把各边与椭圆()2222:10xyEabab+=的对称轴垂直或平行的E的内接四边形叫做E的内接矩形．如图，已知四边形PQRS是E的一个

边长为1的内接正方形，PS，QR分别与x轴交于1F，2F，且1F，2F为E的两个焦点．（1）求E的标准方程；（2）设()1,2,,100iAi=是四边形PQRS内部的100个不同的点，线段PQ，RS与y轴分别交于1E，2E，记1001kkiidEA==，其中1,2k=，证明：1d

，2d中至少有一个小于()2515+．【答案】（1）221351588xy+=++（2）证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得12c=，再求出12PFPF+，即可求出a，从而求出2b；（2）连接1i

FA并延长与E交于点iB，连接2iFB，根据椭圆的定义得到12512iiAFAF++，从而得到()10010012115015iiiiFAFA==++，再由对称性得到100100121211iiiiddFAFA==+=+，即可得证.

【小问1详解】依题意112PF=，焦距1221cFFPQ===，所以12c=，连接2PF，则22215122PF=+=，所以121522aPFPF+=+=，所以154a+=，所以2222215115428ba

c++=−=−=，所以E的标准方程为2221151584xy+=++，即221351588xy+=++.【小问2详解】连接1iFA并延长与E交于点iB，连接2iFB（为了便于理解，解析图中只做了两条，其它类似），则121

2125122iiiiiiiiAFAFAFABBFBFBFa++++=+==，所以()10010012111510050152iiiiFAFA==++=+，所以根据对称性()10010012

12115015iiiiddFAFA==+=++，若1d，2d均不小于()2515+，则()125015dd++，与()125015dd++矛盾，所以1d，2d中至少有一个小于()2515+.