【文档说明】湖北省武汉市部分重点中学2023-2024学年高二上学期9月阶段性检测数学试题 含解析.docx，共(21)页，1.529 MB，由小赞的店铺上传

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2023学年秋季武汉市部分市级示范高中高二9月联考数学试卷考试时间：2023年9月21日上午8:00—10:00试卷满分：150分一、单选题1.复数52i−（其中i为虚数单位）的共轭复数为（）A.2i−B.2i+

C.2i−−D.2i−+【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简即可．【详解】55(2)5(2)22(2)(2)5iiiiii−−−−===−−−−−−，所以复数52i−的共轭复数为2i−+.故选：A.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是

基础题．2.某中学高三年级共有学生800人，为了解他们的视力状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，若样本中共有女生11人，则该校高三年级共有男生（）人A.220B.225C.580D.585【答案】C【解析】【分析】利用分层抽样比例一致得

到相关方程，从而得解.【详解】依题意，设高三男生人数为n人，则高三女生人数为()800n−人，由分层抽样可得8001180040n−=，解得580n=.故选：C.3.下列函数在区间()0,4上单调递增的是（）A.20242023yx=−B.223yx

=+C.2(2)yx=−−D.286yxx=−−【答案】B【解析】【分析】利用一次函数与二次函数的单调性对各选项逐一分析判断即可得解.【详解】对于A，20242023yx=−在R上单调递减，故A错误；对于B，易知223yx=+开口向上，对称轴为0x=，

所以223yx=+在区间()0,4上单调递增，故B正确；对于C，2(2)yx=−−开口向下，对称轴为2x=，所以2(2)yx=−−在(),2−上单调递增，在()2,+上单调递减，故C错误；对于D，286yxx=−−开口向上，对称轴为4x=

，所以286yxx=−−在(),4−上单调递减，故D错误.故选：B.4.若1e，2e是夹角为60的两个单位向量，且122aee=+与1232bee=−+的夹角为（）A.60B.120C.30D.150【答案】B【解析】【分析】先求得12ee的值，根据数量积的运算法则求得ab以

及,ab的模，再根据向量的夹角公式，即可求得答案.【详解】因为1e，2e是夹角为60的两个单位向量，所以12111cos602ee==，故2212121122(2)(32)62abeeeeeeee=+−+=−++176222=−

++=−，212122212|74|1(244412)eeeeeea++=+=+=+=，121222212|71(32949|)121242eeeeebe=−+=+=−−+=，故712cos,2||||77ababab−===−，由于0,180ab

，故,120ab=.故选：B.5.已知函数32()2,()log,()xfxxgxxxhxxx=+=+=+的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（）A.abcB.bcaC.cabD.bac【答案】B【解析】【分析】首先可求出0c=，再由()

0fx=得2xx=−，由()0gx=得2logxx=−，将其转化为2xy=、2logyx=与yx=−的交点，数形结合即可判断.【详解】解：由3()0hxxx=+=得0x=，0c=，由()0fx=得2xx=−，由()0gx=得2logxx=−

.在同一平面直角坐标系中画出2xy=、2logyx=、yx=−的图象，由图象知a<0，0b，acb.故选：B【点睛】本题考查函数的零点，函数方程思想，对数函数、指数函数的图象的应用，属于中档题.6.在ABC中，(

)(sinsin)(sinsin)acACbAB+−=−，则C=（）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.【详解】因为()(sinsin)(sinsin)acACbAB+−=

−，所以由正弦定理得()()()acacbab+−=−，即222acabb−=−，则222abcab+−=，故2221cos222abcabCabab+−===，又0πC，所以π3C=.故选：B.7.坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰

富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若25m,10mABBCAD===，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD的夹角的正切

值均为145，则该五面体的所有棱长之和为（）A.102mB.112mC.117mD.125m【答案】C【解析】【分析】先根据线面角的定义求得5tantan14EMOEGO==，从而依次求EO，EG，EB，EF，再把所有棱长相加即可得解.【详解】如图，过E做EO⊥平面ABCD，垂

足为O，过E分别做EGBC⊥，EMAB⊥，垂足分别为G，M，连接,OGOM，由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为EMO和EGO，所以5tantan14EMOEGO==.因为EO⊥平面ABCD，BC平面

ABCD，所以EOBC⊥，因EGBC⊥，,EOEG平面EOG，EOEGE=，所以BC⊥平面EOG，因为OG平面EOG，所以BCOG⊥，.同理：OMBM⊥，又BMBG⊥，故四边形OMBG是矩形，为所以由10BC=得5OM=，所以14EO=，所以5OG=，所以在直角三角形EOG中

，()222253149EGEOOG=+=+=在直角三角形EBG中，5BGOM==，()22223958EBEGBG=+=+=，又因为55255515EFAB=−−=−−=，所有棱长之和为2252101548117m+++=.故选：C8.函数()yf

x=的图象由函数πcos26yx=+的图象向左平移π6个单位长度得到，则()yfx=的图象与直线1122yx=−的交点个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】先利用三角函数平移的性质求得()sin2fxx=−，再作出()fx与1122y

x=−的部分大致图像，考虑特殊点处()fx与1122yx=−的大小关系，从而精确图像，由此得解.【详解】因为πcos26yx=+向左平移π6个单位所得函数为πππcos2cos2sin2662yxxx=++=+=−

，所以()sin2fxx=−，而1122yx=−显然过10,2−与()1,0两点，作出()fx与1122yx=−的部分大致图像如下，考虑3π3π7π2,2,2222xxx=−==，即3π3π7

π,,444xxx=−==处()fx与1122yx=−的大小关系，当3π4x=−时，3π3πsin142f−=−−=−，13π1π4284312y+=−−=−−；当3π4x=时，3π3πsin142f=−=，13π13π41

2428y−=−=；当7π4x=时，7π7πsin142f=−=，17π17π412428y−=−=；所以由图可知，()fx与1122yx=−的交点个数为3.故选：C.二、多选题9.下列命题正确的是（）A.“a

b”是“22ab”的充分条件B.“ab”是“22ab”的必要条件C.“ab”是“22acbc”的充分条件D.“ab”是“22acbc”的必要条件【答案】D【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：对于A：由ab推不出22

ab，如0a=，1b=-满足ab，但是22ab，故A错误；对于B：由22ab推不出ab，如1a=−，0b=满足22ab，但是ab，即ab不是22ab的必要条件，故B错误；对于C：由ab推不出22acbc，当0c=时220acbc==，故C错误；对于D：若22acbc

，则20c，即20c，所以ab，即ab是22acbc的必要条件，故D正确；故选：D10.已知0a，0b且4ab+=，则下列不等式成立的是（）A.4abB.111ab+C.22ab+D.228ab+

【答案】ACD【解析】【分析】根据基本不等式，逐一判断不等关系，即可求解.【详解】因为0a，0b且4ab+=，对于A，224422abab+==，当且仅当2ab==时，等号成立，故A正确；对于

B，()11111112221444babaababababab+=++=+++=，当且仅当baab=时，即2ab==时，等号成立，故B错误；对于C，()224248ababababab+=++=+++=，当且

仅当2ab==时，等号成立，所以22ab+，故C正确；对于D，()()()()()2222222222216abababababab+=+++++=+=，当且仅当2ab==时，等号成立，所以228ab+，故D正确.故选：ACD11.有一组

样本数据1x，2x，…，6x，其中1x是最小值，6x是最大值，则（）A.2x，3x，4x，5x的平均数等于1x，2x，…，6x的平均数B.2x，3x，4x，5x的中位数等于1x，2x，…，6x的中位数C.2x，3x，

4x，5x的标准差不小于1x，2x，…，6x的标准差D.2x，3x，4x，5x的极差大于1x，2x，…，6x的极差【答案】B【解析】【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.【详解】对于选项A：设2345,,,xx

xx的平均数为m，126,,,xxx的平均数为n，则()()165234123456234526412xxxxxxxxxxxxxxxxnm+−+++++++++++−=−=，因为没有确定()1652342,xxxxxx++++的大小关系，所以无法判断

,mn的大小，例如：1,2,3,4,5,6，可得3.5mn==；例如1,1,1,1,1,7，可得1,2,mnmn==；例如1,2,2,2,2,2，可得112,,6mnmn==；故A错误；对于选项B：不妨设123456xxxxxx

，可知2345,,,xxxx的中位数等于126,,,xxx的中位数均为342xx+，故B正确；对于选项C：因为1x是最小值，6x是最大值，则2345,,,xxxx的波动性不大于126,,,xxx的波动性，即234

5,,,xxxx的标准差不大于126,,,xxx的标准差，例如：2,4,6,8,10,12，则平均数()12468101276n=+++++=，标准差()()()()()()222222111052747678710712763s=−

+−+−+−+−+−=，4,6,8,10，则平均数()14681074m=+++=，标准差()()()()22222147678710754s=−+−+−+−=，显然10553，即12ss；故C错误；对于选项D：不妨设123456xxxxxx

，则6152xxxx−−，当且仅当1256,xxxx==时，等号成立，故D错误；故选：B.12.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，120APB=，2PA=，点C在底面圆周上，且二面角PACO−−为45°，则（）．A.该圆锥的体积为πB.该圆锥

的侧面积为43πC.22AC=D.PAC△的面积为3【答案】AC【解析】【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性.【详解】依题意，120APB=，2PA=，所以1,3OPOAOB===，A选项，圆锥的体积为()21π31π3=，

A选项正确；B选项，圆锥的侧面积为π3223π=，B选项错误；C选项，设D是AC的中点，连接,ODPD，则,ACODACPD⊥⊥，所以PDO是二面角PACO−−的平面角，则45PDO=，所以1OPOD==，故312ADCD==−=，则22AC=，C选项正确；D选项，22112PD=

+=，所以122222PACS==，D选项错误.故选：AC.三、填空题13.若()23π(2)2sin2yxaxx=−++++为偶函数，则=a__________．【答案】2.【解析】【分析】化简函数为()2(2)4cosfxxaxx=+−+−，结合()()fxfx−

=，得出方程，即可求解.【详解】由函数()()22(2)2cos(2)4cosfxxaxxxaxx=−++−=+−+−，因为函数()fx为偶函数，即()()fxfx−=，又由()22()(2)4cos(

)(2)4cosfxxaxxxaxx−=−+−+−−=+−+−，所以22(2)4cos(2)4cosxaxxxaxx+−+−=+−+−，所以22aa−=−，解得2a=.故答案为：2.14.在正四棱台1111ABCDABCD−中，4

AB=，112AB=，122AA=，则该棱台的体积为__________．【答案】2863##2863【解析】【分析】由正四棱台1111ABCDABCD−的对角面为11ACCA是等腰梯形，求得棱台的高6h=，结合棱台的体积公式，即可求解.【详解】正四棱台1111ABCDABCD−的对

角面为11ACCA是等腰梯形，其高为该正四棱台的高，在等腰梯形11ACCA中，1142,22ACAC==，因为122AA=，则该梯形高22111()62ACAChAA−=−=，所以该棱台的体积为()2212864422633V=++=.故答案为：2863.15.在ABC中，60A=，1BC=

，点D为AB的中点，点E为CD的中点，若设,ABaACb==，则AE可用,ab表示为_________；若13BFBC=，则AEAF的最大值为_________．【答案】①.1142ab+②.1324【解析】【分析】空1：根据向量的线性运算，结合E为CD的中点进行求解；空2：用,ab表

示出AF，结合上一空答案，于是AEAF可由,ab表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.【详解】空1：因为E为CD中点，则0EDEC+=，可得AEEDADAEECAC+=+=，两式相加，可得到2AEADAC=+，的的即122AEab=+，则1142AEab=+；空

2：因为13BFBC=，则20FBFC+=，可得AFFCACAFFBAB+=+=，得到()22AFFCAFFBACAB+++=+，即32AFab=+，即2133AFab=+.于是()2211211252423312abaFbaAEAabb++=++=

.记,ABxACy==，则()()222222111525225cos602221212122AxxyaabbxyyxyEAF++=++=++=，在ABC中，根据余弦定理：222222cos601BCxyx

yxyxy=+−=+−=，于是1519222122122AExyxxyAFy++=+=，由221+−=xyxy和基本不等式，2212xyxyxyxyxy+−=−=，故1xy，当且仅当1xy==取得等号，则1xy==时，AEAF有最大值1324.故答案为：1142ab

+；1324.16.已知函数()()sinfxx=+，如图A，B是直线12y=与曲线()yfx=的两个交点，若π6AB=，则()πf=______．【答案】32−【解析】【分析】设1211,,,22AxBx，依题可得，21π6xx−=，结合1

sin2x=的解可得，()212π3xx−=，从而得到的值，再根据2π03f=以及()00f，即可得2()sin4π3fxx=−，进而求得()πf．【详解】设1211,,,22AxBx，由π

6AB=可得21π6xx−=，由1sin2x=可知，π2π6xk=+或5π2π6xk=+，Zk，由图可知，()215π2ππ663xx+−+=−=，即()212π3xx−=，4=．因为28ππsin033f

=+=，所以8ππ3k+=，即8ππ3k=−+，Zk．所以82()sin4ππsin4ππ33fxxkxk=−+=−+，所以()2sin4π3fxx=−

或()2sin4π3fxx=−−，又因为()00f，所以2()sin4π3fxx=−，()23πsin4ππ32f=−=−．故答案为：32−．【点睛】本题主要考查根据图象求出以及函数()fx的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数

的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键．四、解答题17.设命题:p方程2240xmx++=有实数根；命题:q方程22(2)3100xmxm+−−+=有实数根．已知p和q均为真命题，求实数m的取值范

围．【答案】[2,3)【解析】【分析】分别求解p和q为真命题时的m的取值，取交集可得答案.【详解】当命题:p方程2240xmx++=有实数根为真命题时，24160m=−，解得2m或2m−；当命题:q方程22(2)3100xmxm+−−+=有实数根为真命题时，()()2424103

0mm−−−，解得3m或2m−，即q为真命题时，23m−，所以p和q均为真命题时)2,3m.18.如图，在三棱锥−PABC中，ABBC⊥，2AB=，22BC=，6PBPC==，,,BPAPBC的中点

分别为,,DEO，5ADDO=，点F在AC上，BFAO⊥．（1）证明：//EF平面ADO；（2）证明：平面ADO⊥平面BEF；【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设(01)AFAC=

，得到(1)BFBABC=−+，再由O为BC中点，得到12AOBCBA=−，结合0BFAO=，列出方程求得12=，得到F为AC的中点，进而证得//EFPC，得到//EFDO，结合线面平行的判定定理，即可求解.（2）根据题意，求得222AODOAD+=，得到AOOD⊥，进

而得到AOEF⊥，结合AOBF⊥，利的用线面垂直的判定定理，证得AO⊥平面BEF，即可证得平面ADO⊥平面BEF.【小问1详解】证明：设(01)AFAC=，则()BFBABCBA−=−，所以(1)BFBABC=−+，因为O为BC的中点，则12BO

BC=，所以12AOBOBABCBA=−=−，又因为ABBC⊥，则0ABBC=，因为2,22,ABBCBFAO==⊥，则2211[(1)]()(1)22BFAOBABCBCBABCBA=−+−=−−44(1)840=−−=−=，解得12=，所以F为AC

的中点，又因为E为PA的中点，所以//EFPC，因为,DO分别为,PBPC的中点，所以//DOPC，所以//EFDO，又因为EF平面ADO，DO平面ADO，所以//EF平面ADO.【小问2详解】证明：因为,DO分别为,PBPC的中点，所以1622DOPC==，所以6305522ADDO===

，因为190,2,22ABCABBOBC====，所以22426AOABBO=+=+=，所以222AODOAD+=，所以AOOD⊥，因为//EFDO，则AOEF⊥，又因为AOBF⊥，=BFEFF，且,BFEF平面BEF，所以AO⊥平

面BEF，因为AO平面ADO，所以平面ADO⊥平面BEF.19.某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标

准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()pc；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()qc．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．（1）当漏

诊率()0.5pc=％时，求临界值c和误诊率()qc；（2）设函数()()()fcpcqc=+，当95,105c时，求()fc的解析式，并求()fc在区间95,105的最小值．【答案】（1）97.5c=，()3.5%qc=；（2）0.0

080.82,95100()0.010.98,100105ccfccc−+=−，最小值为0.02．【解析】【分析】（1）根据题意由第一个图可先求出c，再根据第二个图求出97.5c的矩形面积即可解出；（2）根据题意确定分段点100，即可得出()fc

的解析式，再根据分段函数的最值求法即可解出．【小问1详解】依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为50.0020.5%，所以95100c，所以()950.0020.5%c−=，解得：97.5c=，(

)()0.0110097.550.0020.0353.5%qc=−+==．【小问2详解】当[95,100]c时，()()()(95)0.002(100)0.0150.002fcpcqccc=+=−+−+0.0080.820.02c=−+；当(100,1

05]c时，()()()50.002(100)0.012(105)0.002fcpcqccc=+=+−+−0.010.980.02c=−,故0.0080.82,95100()0.010.98,1001

05ccfccc−+=−，所以()fc在区间95,105的最小值为0.02．20.记ABC内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知ABC的面积为3，D为BC中点，且1AD=．（1）若π3ADC=，求tanB；（2）若228bc+=，求,bc．【答案】（1）35

；（2）2bc==.【解析】【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出a，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出a，作出BC边上的高，利用直角三角形求解作答.（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出ADC即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立

关系求出a，再利用三角形面积公式求出ADC即可求解作答.【小问1详解】方法1：在ABC中，因为D为BC中点，π3ADC=，1AD=，则1113313sin12222822ADCABCSADDCADCaaS=

====，解得4a=，在ABD△中，2π3ADB=，由余弦定理得2222coscBDADBDADADB=+−，即2141221()72c=+−−=，解得7c=，则74157cos14272

B+−==，的225721sin1cos1()1414BB=−=−=，所以sin3tancos5BBB==.方法2：在ABC中，因为D为BC中点，π3ADC=，1AD=，则1113313sin12222822ADCABCSADDCADCaaS=====，解得4a=，在ACD中，

由余弦定理得2222cosbCDADCDADADB=+−，即214122132b=+−=，解得3b=，有2224ACADCD+==，则π2CAD=，π6C=，过A作AEBC⊥于E，于是33cos,sin22CEACCAEACC====，5

2BE=，所以3tan5AEBBE==.【小问2详解】方法1：在ABD△与ACD中，由余弦定理得222211121cos(π)4211121cos42caaADCbaaADC=+−−=+−，整理得222122abc+=+，而228bc+=，则23a

=，又1331sin22ADCSADC==，解得sin1ADC=，而0πADC，于是π2ADC=，所以222bcADCD==+=.方法2：在ABC中，因为D为BC中点，则2ADABAC=+，又C

BABAC=−，于是2222224()()2()16ADCBABACABACbc+=++−=+=，即2416a+=，解得23a=，又1331sin22ADCSADC==，解得sin1ADC=，而0πADC，于是π2ADC=，所以222bcADCD==+=.2

1.已知函数()()()4log41Rxfxkxk=−+的图像关于y轴对称．（1）求k的值；（2）若函数()()112441xfxkxgxm−+=−−，20,log3x，求()gx的最大值()gm．【答案】（1）12k=（2）()912,114,1mm

gmmm−=−【解析】【分析】（1）根据偶函数的性质，结合对数运算即可得解；（2）利用换元法，结合指数函数与二次函数的性质，分类讨论求最值即可.【小问1详解】因为()()()4log41Rxfxkxk=

−+，则其定义域为R，又()fx的图像关于y轴对称，所以()()fxfx−=恒成立，即()()44log41log41xxkxkx−−−+=−+恒成立，所以()()()44444441412log41log41logloglo

g44114xxxxxxxxxkx−−++=+−+===+=+，由于x的任意性，所以21k=，故12k=．【小问2详解】由（1）知：12k=，()()41log412xfxx=−+，()()112441xfxkxgxm−+=−−，所以()()411log2

412()44141214242xxxxxxgxmmm++−==−−=+−−，令2xt=，因为20,log3x，所以[1,3]t，则问题转化为求2()4,[1,3]httmtt=−的最大值，

又因为函数()ht的图象开口向上，对称轴2tm=，所以分两种讨论，当22m，即1m£时，()(3)912gmhm==−，当22m，即1m时，()(1)14gmhm==−，综上所求()912,114,

1mmgmmm−=−．22.如图，AB是O的直径，C是圆周上异于A，B的点，P是平面ABC外一点，且3PAPBPC===.（1）求证：平面PAB⊥平面ABC；（2）若2AB=，点D是O上一点，且与C在直径AB同侧，60DABABC==.（ⅰ

）设平面PAB平面PCDl=，求证：//lCD；（ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的正切值.【答案】（1）证明见解析（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）64.【解析】【分析】（1）先利用线面垂直判定

定理去证明PO⊥平面ABC，再利用面面垂直判定定理去证明平面PAB⊥平面ABC；（2）（ⅰ）先利用线面平行判定定理证明//CD平面PAB，再利用线面平行性质定理去证明//lCD；（ⅱ）先作出平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的平面角，再去求其正切值即可.【小问1详解】如图，连接OC，∵PA

PB=，OAOB=∴POAB⊥.又∵C是以AB为直径的圆周上一点，∴OAOBOC==.∵PBPC=，∴POBPOC≌，∴POOC⊥.∵OBOCO=，,OBOC平面ABC，∴PO⊥平面ABC.又∵PO平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABC.【小问2详解】（ⅰ）由题

意，四边形ABCD是圆O的内接四边形，∴180DABBCD+=.∵60DABABC==，∴180ABCBCD+=.又点D在圆O上且与C在直线AB的同侧，∴//CDAB.又∵CD平面PAB，AB平面PAB，∴//CD平面PAB.设平面PAB平面PCDl=，∵

CD平面PCD，∴//lCD.（ⅱ）连接PD，则PCPD=，取CD的中点E，连接PE，OE，则PECD⊥，OECD⊥，由（ⅰ）知，平面PAB平面PCDl=，//lCD.∴PEl⊥，POl⊥.又∵PO平面PAB，PE平面PCD，∴OPE是平面P

AB与平面PCD所成的锐二面角的平面角.∵3PAPBPC===，2AB=，∴2PO=.∵60ABC=，∴OBC△是边长为1的正三角形，∴32OE=，又∵PO⊥平面ABC，∴6tan4OEOPEOP==，∴平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的正切值为64.获得更多资源请扫码加入享学资源网

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