【文档说明】山西大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题 含解析.docx，共(18)页，931.394 KB，由管理员店铺上传

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山大附中2022~2023学年第一学期期中考试高三年级数学试题考试时间：120分总分：150分一．选择题（本题共12小题，每题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1设集合1,3,5,7A=，()()250Bxxx=−−，则AB=（）A.{1,3}

B.{3,5}C.{5,7}D.{1,7}【答案】B【解析】【分析】先解不等式，求得集合B，再由交集的运算法则，得解.【详解】解：()()25025Bxxxxx=−−=，所以3,5AB=.故选：B.2.已知i为虚数单位，复数z

满足(1i)1iz+=−，则z=（）A.iB.i−C.1i+D.1i−【答案】A【解析】【分析】根据复数的四则运算可得iz=−，结合共轭复数的定义即可求解．【详解】∵(1i)1iz+=−∴()()21i(1i)2ii1i1i1i2z−−−====−++−，∴iz=故选：A3.

已知ABC的顶点()5,5A，AC边上的高所在直线方程为3270xy+−=，则AC所在直线的方程为（）A.250xy−+=B.2330xy−+=C.2150xy+−=D.2350xy−+=.【答案】D【解析】【分析】由AC边与其上的高垂直的关系求得A

C边的斜率，再结合A点坐标，即可由点斜式写出AC所在直线的方程.【详解】设AC边上的高所在直线的斜率为1k，则132k=−设AC边所在直线的斜率为2k，因为AC边上的高与AC边垂直，所以121kk=−，所以223=k又()5,5A所以AC所在直线的方程为2(5)5

3yx=−+，整理为一般式得2350xy−+=.故选：D.4.已知点2π(cos,1)3P是角终边上一点，则cos=（）A.55B.55−C.255D.32−【答案】B【解析】【分析】根据余弦函数的定义，结合

特殊角的余弦值进行求解即可.【详解】依题意点P坐标为1(,1)2−，22115521,cos.22552OP−=−+===−故选：B.5.已知圆的方程22290xyax+++=圆心坐标为()5,0，则圆的半径为（）A.2B.4C.10

D.3【答案】B【解析】的【分析】先根据圆心坐标求出a的值，再求圆的半径.【详解】化简得222()9xaya++=−由题得5a=−，所以圆的半径为22916ra=−=，所以4r=故选：B6.在等比数列n

a中，124aa+=，若1a、22a+、3a成等差数列，则na的公比为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】设等比数列na的公比为q，则0q，根据题意可得出2a、3a的等量关系，即可求得

数列na的公比.【详解】设等比数列na的公比为q，则0q，由题意可得()21322aaa+=+，即212132aaaaa++=+，则323aa=，故323aqa==故选：B.7.设Ra，则“12a=”是“直

线230xay++=与直线210axy+−=平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先求出两直线平行时的a值，然后再根据充分必要条件的概念判断．【详解】解：当直线230xay++=与直线210axy+−=平行时，

满足2140a−=，解得12a=，所以，当12a=时，直线230xay++=即为30xy++=，210axy+−=即为10xy+−=，显然满足平行关系；当12a=−时，直线230xay++=即为30xy−+=，210ax

y+−=即为10xy−+=，显然也满足平行关系；所以，“12a=”是“直线230xay++=与直线210axy+−=平行”的充分不必要条件.故选：A.8.函数()()33sinfxxxx=−的部分图象大致为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】通过函数

的奇偶性、区间上的函数值的符号确定正确选项.【详解】因为函数()fx的定义域为R，且()()()()()()333sin3sinfxxxxxxxfx−=−−−−=−=，所以函数()fx为偶函数，排除B.由()()23sinfxxxx=−，可知当()0,3x时，

()0fx；当()3,x时，()0fx.所以D选项符合.故选：D【点睛】本小题主要考查函数图象的识别，函数图象的识别的方法主要根据函数的单调性、特殊点来求解.9.ABC内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a、b、c成等差数列，1b=，且6B=，则ac=（）A.31−B.23−C.

335−D.633−【答案】D【解析】【分析】根据条件可得22bac=+=，再结合余弦定理2222cosbacacB=+−，即可求出ac【详解】解：因为a、b、c成等差数列，所以22bac=+=，由余弦定理2222cosbacacB=+−可得21

()22cos4(23)6acacacac=+−−=−+，解得633ac=−，故选：D10.已知四面体ABCD−的所有棱长都等于2，E是棱AB的中点，F是棱CD靠近C的四等分点，则EFAC等于（）A.12−B.12C.52−D.52【答案】D【解析】【分

析】由空间向量的线性运算可得1124EFABBCCD=++，结合数量积的运算性质和定义求EFAC.【详解】因为E是棱AB的中点，F是棱CD靠近C的四等分点，所以1124EFABBCCD=++，1124EFACABACBCACCDAC=++，因为cos,22cos602ABACABACA

BAC===，cos,22cos602BCACBCACBCAC===，cos,22cos1202CDACCDACCDAC===−，所以()115222242EFAC=++−=．故选：D.11.在锐角ABC中2AB=，B，C的对边长分别是b，c，则bbc+的取

值范围是（）A.11,43B.11,32C.12,23D.23,34【答案】B【解析】【分析】确定B的范围,利用正弦定理化简表达式,求出范围即可.【详解

】在锐角ABC中,()232,0,30,45cos,2222ABACBB=，0，，213cos,24B,而()()sinsinsin3sin3CABBB=−−=−=，()()

22sin3sin+2sincos2+cossin2sin2cos1+2sincosBBBBBBBBBBB===−，所以()223sin34cossinsin41sinsinsin3sin4sinBBBBBBBBB

=−=−−=−，所以由正弦定理可知:32sinsinsin111,sinsinsinsin(3)sin3sin4sin4cos32bBBBbcBCBBBBBB====+++−+−,故选：B.【点睛】本题考查正弦定理在解三角形中的应用,注意锐角三角形中角的范围的确定,是本题解答的关键

,考查计算能力,逻辑推理能力,属于中档题.12.已知()fx是定义在R上的偶函数，且(2)1f=，当x＞0时，()()1xfxfx+，则不等式()10fxx−的解集为（）A.(,2)(2,)−−+B.(),2()0,2−−C.()(2,02,)−+D.()()2,00,2−【答案

】B【解析】【分析】由题意构造函数()()1gxxfx=−，判断出()gx为奇函数，在(),0−上单调递增，且()20g−=，在()0,+上单调递增，且()20g=.把原不等式转化为()0gx，即可求解.【详解】令()()1gxxfx=−

，则()()()1gxxfxfx=+−.当x＞0时，()()1xfxfx+，所以()0gx，所以()()1gxxfx=−在()0,+上单调递增.因为()()()()()()()11110gxgxxfxxfxxfx

xfx+−=−+−−−=−−−=，所以()gx为奇函数.所以()()21fxgxxx−=.令()10fxx−，即()0gx.因为()gx为奇函数，在()0,+上单调递增，且()20g

=，所以()gx在(),0−上单调递增，且()20g−=，所以当<2x−时，()()20gxg−=；当02x时，()()20gxg=.所以不等式()10fxx−的解集为(),2()0,2−−.故选：B二．填空题（本题共4

小题，每题5分.）13.过点(2,3)−斜率为12−的直线l在y轴上的截距为______．【答案】-2【解析】【分析】利用点斜式求直线方程，令x=0，即可得出直线在y轴上的截距．【详解】由题意可得直线方程为：13

(2)2yx+=−−，令x=0，解得y=-2所以直线l在y轴上的截距为-2，故答案为：-214.若1cos53x+=，则3sin10x−=________.【答案】13−【解析】

【分析】利用诱导公式即可得到结果.【详解】31sinsincos105253xxx−=+−=−+=−，故答案为：13−15.若()3162727nnCCnN+++=，则32nxx−的展开式中的常数项是

___________.【答案】80−【解析】【分析】利用()3162727nnCCnN+++=，先求出n，进而利用二项展开式的通项公式，直接计算求解即可【详解】由()3162727nnCCnN+++=可得，31627nn+++=或316

nn+=+，*nN解得5n=或52n=（舍去），对于532xx−，其展开式通项为：155536255(2)(2)kkkkkkkCxxCx−−−−=−，所以，令3k=时，可得常数项为335(2)80

C−=−故答案为：80−16.若对任意的()12,,xxm+，且当12xx时，都有121212lnln3xxxxxx−−，则m的最小值是________.【答案】3【解析】【分析】将已知不等式转化为121233lnlnxxxx++，令3()l

nfxxx=+，利用导数求出()fx的增区间，由此可确定m的最小值.【详解】由于当12xx时，都有121212lnln3xxxxxx−−，所以121212213()33lnlnxxxxxxxx−−=−，即121233lnlnxxxx++，令

3()lnfxxx=+，所以当任意的()12,,xxm+，且当12xx时，都有12()()fxfx，所以()fx在(),m+上递增，因为由22133()0xfxxxx−=−=，得3x，所以()fx在(3,)+上递增，所以3m，所以m的最小值是3，故答案为：3三．解答题

（本题共6小题）17.已知nS是公差不等于0的等差数列na的前n项和，757,Sa=是4a与7a的等比中项.（1）求数列na的通项公式；（2）求数列nSn的前20项和.【答案】（1）3nan=−（2）55【解析

】【分析】（1）由77S=结合等差数列的性质和求和公式可求得41a=，再由5a是4a与7a的等比中项，可求出公差d，从而可求出通项公式，（2）由（1）可求出nS，从而可求出nSn，令nnSbn=，则可得数列

nb是首项为2−，公差为12的等差数列，从而可求得结果【小问1详解】na是等差数列，17263542aaaaaaa+=+=+=，由77S=，得1747()72722aaa+==，则4477,1aa==.设数列na的公差为d，则由2547aaa=，得()2(1)1

13dd+=+，解得0d=（舍去）或1d=.()443naandn=+−=−，即3nan=−.【小问2详解】由（1）知()()()15513,,212222nnnnnaannSnanSnn+−−=−====−+−.令nnSbn=，则()1

212nbn=−+−，∴111122(1)222nnbbnn+−=−++−−=∴nb是首项为2−，公差为12的等差数列，()12202019120255.22bbb+++=−+=即数列nSn的前20项和为55.18.

已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ABC的面积为()1sinsinsin2abBcCaA+−.（1）求角A的大小；（2）若2a=，D为BC的中点，32AD=，求ABC的面积.【答案】（1）3；（2）538.【解析】【分析】（1）由已知及三角形的面积公

式可得，()11sinsinsinsin22bcAabBcCaA=+−，结合正余弦定理进行化简可求A（2）由ADBADC+=，可得coscos0ADCADB+=，然后结合余弦定理可求bc，然后代入三角形的面积公式可求.【详解】（1）依题意得，()11sinsinsi

nsin22bcAabBcCaA=+−，由正弦定理得，()222abcabca=+−，即222bcbca=+−，由余弦定理得，2221cos222bcabcAbcbc+−===，又因为()0,A，所以3A=.（2）∵ADBADC+=，∴coscos0ADCADB+

=，∴22991144033bc+−+−+=，∴22132bc+=，又2222cosbcbcAa+−=，224bcbc+−=，∴52bc=，∴115353sin22228SbcA===.【点睛】本题主要考查了正弦定理及余弦定理及三角形的面积公式等知识的综合应用.19.已知函数π3()

6sin()62cosfxxx=−+．（1）求()fx的最小正周期和单调增区间；（2）若函数()yfxa=−在π5π[,]1212x存在零点，求实数a的取值范围．【答案】（1）π，()πππ,πZ63kkk

−++（2）0,3【解析】【分析】（1）化简函数()π3sin26fxx=−，结合三角函数的图象与性质，即可求解；（2）根据题意转化为方程πsin263ax−=在

π5π,1212x上有解，以π26x−为整体，结合正弦函数图象运算求解.【小问1详解】对于函数π3313()6cossin6cossincos62222fxxxxxx=−+=−+()23331cos2331π3sincos3co

ssin233sin2cos23sin22222226xfxxxxxxxx+=−+=−+=−=−，所以函数()fx的最小正周期为2ππ2T==，令πππ2π22π,Z262kxkk-+???，则ππππ,Z63kxkk-+＃+?，∴函数()

fx的单调递增区间为()πππ,πZ63kkk−++.【小问2详解】令()0yfxa=−=，即π3sin206xa−−=，则πsin263ax−=，∵()yfxa=−在π5π,1212x存在零点，则方程πsin263ax−=在π

5π,1212x上有解，若π5π,1212x时，则π2π20,63x−，可得πsin2[0,1]6x−，∴013a，得03a故实数a的取值范围是0,3．20.如图，在四棱锥PABCD

−中，底面ABCD为平行四边形，2AD=，2AB=，4ABC=，平面PAC⊥平面ABCD.（1）证明：ABPC⊥；（2）若2PAPD==，点E为棱AD的中点，求直线PE与平面PAB所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）36【解析】【分析】（1）易证ABAC⊥，再根据平面P

AC⊥平面ABCD，利用面面垂直的性质定理证明；（2）连接CE，易证PC⊥平面ABCD.得到CA，CD，CP两两互相垂直，则C为坐标原点，直线CD，CA，CP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求得平面P

AB的一个法向量为(),,mxyz=，再由cos,=mPEmPEmPE求解.【小问1详解】证明：在ABC中，由余弦定理，得2222cos2ACABBCABBCABC=+−=，所以2AC=，则222ABACBC+=，即ABAC⊥.又因为平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC平

面ABCDAC=，所以AB⊥平面PAC.又因PC平面PAC，所以ABPC⊥.【小问2详解】为连接CE，由（1）可知ACCD=，故CEAD⊥.又PAPD=，所以PEAD⊥.又PECEE=，所以AD⊥平

面PEC.又PC平面PEC，所以PCAD⊥.又PCAB⊥，ABADA=，所以PC⊥平面ABCD.所以CA，CD，CP两两互相垂直.如图，以C为坐标原点，直线CD，CA，CP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则()0,0,2P，()0,2,0A，()2,2,0B−，22,,0

22E，所以()0,2,2PA=−，()2,0,0AB=−，22,,222PE=−.设平面PAB的一个法向量为(),,mxyz=，则0,0,mPAmAB==即220,20,yzx−=−=令1y=，得()0,1,1m=.所以232cos

,623−===−mPEmPEmPE.所以直线PE与平面PAB所成角的正弦值为36.21.已知等差数列{}na前n项和为nS（n+N），数列{}nb是等比数列，1=3a，1=1b，2210bS+=，5232aba−=.（1）求数列{}na和{}nb的通项公式；

（2）若2,=2nnnnnScabn为奇数，为偶数，设数列{}nc的前n项和为nT，求2nT.【答案】（1）21nan=+，12nnb−=，（2）122121442199nnnnTn+−=+++【解析】【分析】（1）设等差数列{}na的公差为d，等比数列{}nb的公比为q，然后由已

知条件列方程组可求出d和q，从而可求出数列{}na和{}nb的通项公式；（2）由（1）可知当n为奇数时，2211(2)2nncSnnnn===−++，当n为偶数时，2(21)2nnnncabn==+，然后分奇偶项求解即可.【小问1详解】设等差数列{}na的公差为d，等比数列{}nb

的公比为q，因为1=3a，1=1b，2210bS+=，5232aba−=，所以+3+3+=103+42=3+2qddqd−，解得2qd==，所以1(1)32(1)21naandnn=+−=+−=+，1112nnnb

bq−−==【小问2详解】由（1）得21(1)3(1)22nnnnadnnnnnS−=+=+−=+，当n为奇数时，2211(2)2nncSnnnn===−++，当n偶数时，2(21)2nnnncabn==+，所以2123212nnnTccccc−=+++++1

321242()()nncccccc−=+++++++令1321242,nnnnAcccBccc−=+++=+++，则13211111113352121nnAcccnn−=++

+=−+−++−−+为1212121nnn=−=++，2462222425292132(43)2(41)2nnnnBcccnn−=+++=++++−++，所以246822225292132(43

)2(41)2nnnBnn+=++++−++，所以2246222324(2222)(41)2nnnBn+−=+++++−+14(14)44(41)414nnn+−=+−+−14121433nn+−=−−，所以14121499nnnB+−=+，所以12212

1442199nnnnnnTABn+−=+=+++.22.已知函数()eln(R)xfxaxa=−.（1）若1ea=，求()fx的最小值；（2）若10,()1ln1xfxxx−+恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）1（2）1e,+【解析】

【分析】（1）利用基本初等函数的导数公式及导数法则，结合导数法求函数的最值即可求解；（2）将10,()1ln1xfxxx−+恒成立转化为0,x">lne1xxax+恒成立，构造函数()1exgxx−

=−，利用导数法求函数的最值得出1exx−，进而得出1eexxax−，要使lne1xxax+恒成立，只需要()2minln0xxx−−即可，结合导数法求函数最值即可求解.【小问1详解】若1ea=，则()elnexfxx=−，()e1exfxx=−，0x．∵

()fx¢在()0,+上单调递增，且()10f=，∴当()0,1x时，()0fx¢<，当()1,x+时，()0fx¢>，∴()fx在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增，∴()()min11fxf==．【小问2详解】0x

，()11ln1fxxx−+恒成立，即lne1xxax+恒成立，令1x=，e1a，∴1ea．下面证明：当1ea且0x时，lne1xxax+恒成立．（*）设()1exgxx−=−，则()1e1xgx−=

−，当()0,1x时，()0gx¢<，当()1,x+时，()0gx¢>，∴()()10gxg=，即1exx−．∵1ea，∴1eexxax−．要证明lne1xxax+，只需证明ln1xxx+，即证明

2ln0xxx−−，令()2lnhxxxx=−−，则()()()221112121xxxxhxxxxx+−−−=−−==，0x，当()0,1x时，()0hx，当()1,x+时，()0hx，∴()()1

0hxh=．从而命题（*）成立．综上可知，a的取值范围是1e,+．【点睛】解决此题的关键是第一问利用函数的零点存在性定理及导数法求函数的最值即可，第二问将不等式恒成立转化为求函数的最值问题，再利用导数法即可求解.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue

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