【文档说明】广东省汕头市金山中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题含解析【精准解析】.doc，共(25)页，1.888 MB，由小赞的店铺上传

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汕头市金山中学2017级高三第一学期期中考试文科数学一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.已知全集UR，集合|23Axx，|14Bxxx或，

那么集合()UACB（）A.|24xxB.|34xxx或C.|13xxD.|21xx【答案】C【解析】本试题主要是考查了集合的交集和补集的求解运算，是一道基础试题．已知全集,{|23},,{41}URAxxBxxx

或根据补集的定义结合数轴法可知，{|14}{|13}UUCBxxACBxx故选C.解决该试题的关键是对于数轴法的准确表示和运用．2.命题“2,240xRxx”的否定为A.2,240xRxx

B.2000,240xRxxC.2,240xRxxD.2000,240xRxx【答案】B【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题，符合换量词否结论,按照这一规律写出即可.【详解

】由全称命题否定的定义可知，“2,240xxxR”的否定为“2,240xxxR”，故选B．【点睛】一般命题的否定通常是保留条件否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论的同时

，改变量词的属性，即全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．注意：命题的否定只否定结论，而否命题是条件与结论都否定．3.“函数f（x）＝－x2＋2mx在区间[1，3]上不单调”的一个必要不充分条件是（）A

.23mB.1522mC.13mD.522m【答案】C【解析】【分析】首先求区间1,3上不单调的充要条件，然后根据集合的包含关系，判断命题的必要不充分条件.【详解】函数的对称轴是xm，由已知可知13m

，由选项判断，命题成立的必要不充分条件是13m.故选：C【点睛】本题考查命题成立的必要不充分条件，属于基础题型，当命题以集合形式时，:pxA，:qxB，若AB，则p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件.4.已知2(0)()2(0)x

xfxxx，则[()]1ffx的解集是（）A.(,2]B.[42,)C.(,1][42,)D.(,2][4,)【答案】D【解析】【分析】分0x和0x先求fx，根据fx的值域，再解不等式1

ffx.【详解】当0x时，02xfx124xxffxf，解得：4x，当0x时，20fxx，2212xffxfx，解得：2x（舍）或2x，综上可知：4x或2x.故选：D【点睛】本

题考查分段函数不等式的解法，意在考查计算能力，属于基础题型，本题的关键是需根据x的范围，求fx的范围.5.将函数3sin(2)3yx的图象向右平移2个单位长度，所得图象对应的函数（）A.在区间7[,]1212上单调递减B.在区间7

[,]1212上单调递增C.在区间[,]63上单调递减D.在区间[,]63上单调递增【答案】B【解析】试题分析：将函数3sin(2)3yx的图象向右平移2个单位长度，得23sin(2())3sin(2)233yxx

，∵71212x，∴22232x，∴函数3sin(2)3yx在7[,]1212上为增函数．考点：函数图象的平移、三角函数的单调性．6.函数3()2xyxx的图像大致是

（）A.B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：由，得，则为奇函数，故其图象关于原点对称，排除C；当时，，，故，故排除A、D，故选B.考点：函数的图象.7.若cos2sin5,则tan()=（）A.2B.12C.

12D.2【答案】A【解析】【分析】首先用辅助角公式化简cos2sin5cos5，且tan2，然后求两个角的关系，求tan.【详解】cos2sin5cos5，且25sin5，5cos5，tan2c

os1，2,kkZ2k，tantan2，tantan2.故选：A【点睛】本题考查诱导公式，辅助角公式和三角函数的性质，意在考查转化与变形和计算能力，属于基础题型.8.若

实数,xy满足不等式330{23010xyxyxmy，且xy的最大值为9，则实数m（）A.2B.1C.1D.2【答案】C【解析】考点：简单线性规划的应用．分析：先根据约束条件

画出可行域，设z=x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线x+y=9过可行域内的点A时，从而得到m值即可．解：作出满足题设条件的可行域如图所示，设x+y=9，显然只有在x+y=9与直线2x-y-3=0的交点处满足要求．联立方程组9

230xyxy解得45xy即点A（4，5）在直线x-my+1=0上，∴4-5m+1=0，得m=1．故答案为1．9.如图，正方体1111ABCDABCD的棱线长为1，线段11BD上两个动点E，F

，且22EF，则下列结论中错误的是（）A.ACBEB.三棱锥EABF的体积为定值C.//EF平面ABCDD.异面直线,AEBF所成的角为定值【答案】D【解析】【分析】根据点，线，面的位置关系，逐一分析选项，得到正确答案.【详解】A.因为A

CBD，1ACDD，且1BDDDD，所以AC平面11BDDB，又因为BE平面11BDDB，所以ACBE，正确；B.1111233212EABFABEFBEFVVSABEFBBAB，所以三棱锥EABF

的体积为定值，正确；C.因为//EFBD,且EF平面ABCD，而BD平面ABCD，所以//EF平面ABCD，正确；D.如上图，当点E在11BD的中点时，点F与1B重合，O是BD的中点，1//OEBB，AOEO，此时AE与BF所成的角是AEO，16cos

362OEAEOAE.如上图，当点E和1D重合时，点F是11BD的中点，O是BD的中点，如图1ADO是AE与BF所成的角，12AD，22AO，116122OD，1612342cos26222ADO,这两

种情况下异面直线,AEBF所成的角的余弦值不相等，所以所成角不是定值，故不正确.故选：D【点睛】本题考查点，线，面的位置关系的判断，意在考查空间想象能力，和计算能力，属于中档题型.10.如图，树顶A离地面4.8m，树上另一点B离地面2.4m，在离地面

1.6m的C处看此树，离此树多少m时看,AB的视角最大（）A.2.2B.2C.1.8D.1.6【答案】D【解析】【详解】过C作CD⊥AB于D，设CDx，则5tanADACDCDx，2tanBDBCDCDx，23.20.82.43tantan3

.20.81.621xxACBACDBCDxxxx，当且仅当21.6xx，即1.6x时等号成立.11.已知曲线3:x,Cfxaxa若过点A(1.1)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为（）A.38B.1C.98D.158【答案】D【解析】【

分析】设切点3000,xxaxa，利用导数的几何意义求切线方程，并且求切点，由题意可知切线在切点处的导数和为0，求a.【详解】23fxxa，设切点为3000,xxaxa，2003fxxa过切点

的切线方程为：3200003yxaxaxaxx，切线过点1,1A，320000131xaxaxax，整理为：32002310xx，化简为：

2001210xx，01x或012x，13fa，1324fa，由两条切线的倾斜角互补，得3304aa，解得158a.故选：D【点睛】本题考查导数的几何意义，求切线方程，并

且求参数，意在考查转化与化归和计算能力.12.已知函数sin0,2fxx，4πx和4x分别是函数fx取得零点和最小值点横坐标，且fx在,1224单调，则的最大值是()A.3B.5C.7D.9【答案】B【解

析】【分析】由题意可得4424kTT，即21()24kTkZ，根据2T，可推出21kkN，再根据fx在,1224单调，可推出24122T，从而可得的取值范围，再通过检验的这个值满足条件．【详

解】∵sin(0,)2fxx，4x和4x分别是函数fx取得零点和最小值点横坐标∴4424kTT，即21()24kTkZ.又∵2T，0∴2

1kkN又∵fx在,1224单调∴24122T又∵2T∴8当3k，7时，sin7fxx，由4x是函数fx最小值点

横坐标知4，此时，fx在,1228x递减，,2824x递增，不满足fx在,1224单调，故舍去；当2k，5时，sin5fxx由4

x是函数fx最小值点横坐标知4，此时fx在,1224单调递增，故5.故选B．【点睛】对于函数()sin()(0,0)fxAxA，如果它在区间(,)ab

上单调，那么基本的处理方法是先求出()fx单调区间的一般形式，利用(,)ab是单调区间的子集得到满足的不等式组，利用0和不等式组有解确定整数k的取值即可.二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)13.已知直线20axby与曲线2yx=在点P(1,1)处的切线互相

垂直，则ab的值为________【答案】12;【解析】【分析】先求2yx=在1x处的导数，根据已知条件可知11afb，解得ab的值.【详解】直线20axby的斜率akb，2yx=，2

yx，当1x，2y，由题意可知，21ab，12ab.故答案为：12.【点睛】本题考查导数的几何意义和两直线的位置关系，意在考查计算能力，属于基础题型.14.函数()sincos,[0

,]fxxxx的值域为___________【答案】[1,2];【解析】【分析】首先化简函数2sin4fxx，根据函数的定义域求值域.【详解】2sin4fxx，

0,x5,444x，sin4x的值域是2,12，fx的值域是1,2.故答案为：1,2【点睛】本题考查三角函数的化简和简单函数的性质，主要考查计算

能力，属于基础题型.15.设函数()sin()(0,0,)2fxAxA的部分图象如图所示，若6()(0)52f，则()6f_______【答案】4335;【解析】【分析】首先根据函数图象特征求函数的解析

式2sin6fxx，然后再利用两角和的正弦公式求6f.【详解】由图象可知，2A，2233T2T,22，1，当23x时，函数取得最大值，22,32kkZ，26k，26

，2sin6fxx，62sin65f，3sin65，02Q，663，24cos1sin665那么2sin6f，2sin2

sincos2cossin666666，3341638225252104335.故答案为：4335【点睛】本题考查根据图象求三角函数的解析式，以及两角和的正弦公式的应用，意在考

查转化与化归和计算能力，属于中档题型.16.已知01x，若3112xax恒成立，则实数a的取值范围是_______.【答案】[13,]22.【解析】【分析】首先不等式等价于31112xax，参变分离转化为2max22axx

，且2min112axx，转化为求函数的最值.【详解】由题意可知31112xax，当0,1x时，32222xaxxx，且2112axx即2max22axx，且2min112axx设22gx

xx，函数在0,1上是单调递增函数，gx的最大值是11g，1212aa，设2112hxxx，0,1x322110xhxxxx，hx单调递减，

hx的最小值是312h，32a，当0x时恒成立，综上：a的取值范围是13,22.故答案为：13,22【点睛】本题考查不等式恒成立求参数的取值范围，意在考查转化与变形，和计算能力，

一般不等式在给定区间恒成立，可以参变分离转化为求函数的最值，而导数，基本不等式，判断函数单调性求最值，函数图象，都是求最值的常有方法.三、解答题17.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，3cos5B.（1）求coscossin

sinACAC的值；（2）若△ABC的面积为2，求△ABC的周长．【答案】(1)54(2)21+5【解析】【分析】（1）首先根据题意可知2bac，根据正弦定理转化为2sinsinsinBAC，再变形coscossinsinsinsinsinACBACAC，代入求值；（2）首先根据面积求b

，再根据余弦定理求ac.【详解】解：(1)△ABC中，∵cosB=35＞0，∴sinB=241cos=5B由a，b，c成等比数列，得b2=ac，根据正弦定理得：sin2B=sinAsinC，∴coscos+sinsinACAC=c

ossinsincossin()=sinsinsinsinACACACACACsin()sinsinsinsinsinBBACAC=2sinsinBB=15=sin4B；(2)△ABC的面积为S△AB

C=12acsinB=12b2•45=2，∴b=5；由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2×5×35，∴a2+c2=b2+6=5+5=11，∴（a+c）2=a2+2ac+c2=11+2×5=21，∴a+c=21；∴△ABC的周长为a+b+c=21+5【点睛】本题考查根据正余

弦定理解三角形，意在考查转化与化归，和计算能力，属于基础题型.18.某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润60元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利40元.（1）若商品一天购进该商品10件，求当天的利润y（单

位：元）关于当天需求量n（单位：件，nN）的函数解析式；（2）商店记录了50天该商品的日需求量n（单位：件，nN），整理得下表：若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润在区间[500,650]内的概率.【答案】(1)4

0200(10,)70100(10,)nnnNynnnN(2)3350【解析】【分析】（1）根据题意分10n和10n≥两段，求分段函数；（2）根据表格计算不同的日需求量对应的利润，并且计算利润在500,650时，对应的频数，并计算频率，就是所求概率.【详解】解

：（1）当日需求量10n≥时，利润为6010(10)4040200ynn；当日需求量10n时，利润为60(10)1070100ynnn.所以利润y关于需求量n的函数解析式为40200(10,)70100(10,

)nnnNynnnN.（2）50天内有4天获得的利润为390元，有8天获得的利润为460元，有10天获得的利润为530元，有14天获得的利润为600元，有9天获得的利润为640元，有5天获得的利润为680元.若

利润在区间[500,650]内，日需求量为9、10、11，其对应的频数分别为10、14、9.则利润在区间[500,650]内的概率为10149335050【点睛】本题考查分段函数和统计结合的综合问题，意在考查分析

问题和解决问题的能力，属于中档题型.19.如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAD为正三角形，AB∥CD，AB=2CD，∠BAD=90°，PA⊥CD，E为棱PB的中点（1）求证：平面PAB⊥平面CDE；（2）若AD=CD=2，求点P到平面ADE的距离．【答案】(1)证明见解析

；(2)45719【解析】【分析】（1）要证明面面垂直，需证明线面垂直，取AP的中点F，连结EF，DF，根据题中所给的条件证明PACE，即证明PA平面CDE；（2）利用等体积PADEEPADVV，根据所给的条件，易求PA

DS，点E到平面PAD的距离就是CD，并且根据点，线，面的关系和边长求ADE的面积.【详解】证明：（1）取AP的中点F，连结EF，DF，∵E是PB中点，∴EF∥AB，EF=12AB，又CD∥AB，CD=12AB，∴CD∥EF，CD=EF∴四边形CDEF为平行四边形，∴D

F∥CE，又△PAD为正三角形，∴PA⊥DF，从而PA⊥CE，又PA⊥CD，CD∩CE=C，∴PA⊥平面CDE，又PA⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面CDE．⑵∵AB∥CD，AB⊥AD，∴CD⊥AD，又PA⊥CD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，又（1）知，CD∥EF，∴EF⊥平面PAD，

∴EF为三棱锥的E﹣PAD的高，且EF=CD=2，易得△PAD的面积S△PAD=34×22=3，在Rt△PAB中，PB=2，AE=12PB=5，在矩形CDEF中，CD=2，CE=DF=3，∴DE=7在△ADE中，AE=5，DE=7，AD=2，2224cos235AEEDADA

EDAEED219sin1cos35AEDAED∴△ADE的面积119sin22ADESAEEDAED，设点P到平面ADE的距离为d，由VP﹣ADE=VE﹣PAD得13×3×2=13×192d，解得d=45719∴点P到平

面ADE的距离为45719【点睛】本题考查面面垂直的判断定理和点到平面的距离，意在考查推理证明和转化与化归，计算能力，属于中档题型，本题的难点是第一问分析线线，和线面关系，并且第二问求解边长时，需要用到点，线，面

的位置关系.20.如图，椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为32，设A，B分别为椭圆C的右顶点，下顶点，OAB的面积为1.（1）求椭圆C的方程；（2）已知不经过点A的直线l：(0,)ykxmkm

R交椭圆于P，Q两点，且PAQA,求证：直线l过定点.【答案】(1)2214xy(2)证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意建立,,abc的方程组求解；（2）直线方程和椭圆方程联立，得到根与系数的关系，122841kmxxk，21224441mxxk，由已知可知

0APAQ，转化为坐标关系，代入根与系数的关系得到12km或56km，再验证是否成立，证明直线过定点.【详解】解：（1）由已知，32ca，22221cbaa，可得224ab，又因1AOBS，即112ab，所以222()4bb，即21b，24a，所

以椭圆C的方程为2214xy.（2）联立2214ykxmxy，得222418440kxkmxm，2216140km，设11(,)Pxy，22(,)Qxy，则122841kmxxk，212

24441mxxk，①因为PAQA,0APAQ，即1122(2,)(2,)0xyxy即121212240xxxxyy，又11ykxm，22ykxm，22121212yykxxmkmxx，即2212121(2)40kxxk

mxxm，②把①代入②得：2222224444816kmkmkmkm22224164kmkm22121650kkmm得12km或56km，所以直线l的方程为1(2)2ymx或5665ymx，所以直线

l过定点6(,0)5或(2,0)（舍去），综上所述直线l过定点6(,0)5.【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，涉及椭圆中直线过定点问题，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公

式都是解题的基本工具.21.已知函数()[2(1)]2,xxfxeeaax（e为自然对数的底数，且1a）.（1）讨论()fx的单调性；（2）若()fx有两个零点，求a的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)1(,0).2【解析】【分析】（1）首先求函数的

导数，并化简21xxfxeea，然后再分情况讨论函数的单调性；（2）根据（1）的判断单调性的结果，也需分情况讨论函数的单调性和极值点的正负，并且结合零点存在性定理说明零点个数，讨论求参数的取值范围.【详解】解：(1)/()[2(1)]2xxxxfx

eeaeea222(1)2xxeaea2(1)()xxeea①当0a时，0xea，则当0x时，/()0fx，故()fx在(,0)单调递减；当0x时，/()0fx，故()fx在(0,)单调递增.②当0a时，由/()0fx得12ln,0.xax若

1a，则/()0fx，故()fx在R上单调递增.若01a，则：当lnxa或0x时，/()0fx，故()fx在(,ln)a，(0,)单调递增.当ln0ax时，/()0fx，故()fx在(ln,0)a单调递减.

(2)①当1a时，()fx在R上单调递增，不可能有两个零点.②当01a时，()fx在(,ln)a，(0,)单调递增，(ln,0)a单调递减故当lnxa时，()fx取得极大值，极大值为(ln)(2)2ln0faaaaa此时，()fx不可能有两个零点.

③当0a时，()(2)xxfxee，由()0fx得ln2x此时，()fx仅有一个零点.④当0a时，()fx在(,0)单调递减；在(0,)单调递增.min()(0)12fxfa()fx有两个零点，(0)0f解得1

2a102a而则(1)[2(1)]20feeaa取2(1)2aba，则222()[(1)](1)2[(1)]0bbfbeaaabea故()fx在(,0)、

(0,)各有一个零点综上，a的取值范围是1(,0).2【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，以及分析零点个数的问题，判断零点个数不仅需要讨论极值点的位置，还需根据单调性验证零点存在性定理，解决零点问题常用方法还有：分离参数、构造函数、数形结合，

讨论法.请考生从第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.已知平面直角坐标系xOy，直线l过点(0,3)P，且倾斜角为，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C

的极坐标方程为24cos()103．（1）求直线l的参数方程和圆C的标准方程；（2）设直线l与圆C交于M、N两点，若||||2PMPN，求直线l的倾斜角的值．【答案】(1)直线l的参数方程为cos?3sinxtyt(t为参数)；圆C的标准方程为：2

2(1)(3)5xy(2)4或34【解析】【分析】（1）根据直线的参数方程的形式直接求解，根据极坐标和直角坐标的转化公式解圆C的标准方程；（2）直线的参数方程代入圆的标准方程，利用t的几何意义表示1212PMPNtttt，代入根与系数的关系求解.【

详解】解：（1）因为直线l过点(0,3)P，且倾斜角为所以直线l的参数方程为cos?3sinxtyt(t为参数)因为圆C的极坐标方程为24cos()103所以22cos23sin10

所以圆C的普通方程为：2222310xyxy，圆C的标准方程为：22(1)(3)5xy（2）直线l的参数方程为cos?3sinxtyt，代入圆C的标准方程得

22(cos1)(sin)5tt整理得22cos40tt设M、N两点对应的参数分别为1t、2t，则122costt所以||||PMPN12|||2cos|2tt，2cos2因为0，

所以4或34【点睛】本题考查直角坐标，参数方程和极坐标方程之间的转化以及利用直线的参数方程解决弦长问题，意在考查转化与化归和计算能力，属于基础题型.23.已知0,0,0a>b>c>，函数()fx=|ax|+|x+b|+

c.（1）当2abc时，求不等式()8fx<的解集；（2）若函数()fx的最小值为1，证明：22213abc.【答案】（1）{|33}xx（2）见证明【解析】【分析】（1）根据题意，当a＝b＝c＝2时，f（x）＝|x﹣2|+|x+2|+2，据此

可得f（x）＜8⇔2228xx＜或2268x＜＜＜或2228xx＜，解可得不等式的解集；（2）根据题意，由绝对值不等式的性质可得f（x）的最小值为1，得a+b+c＝1，进而可得（a+b+c）2＝a2+b

2+c2+2ab+2ac+2bc＝1，结合基本不等式的性质分析可得结论．【详解】（1）当2abc时，222fxxx，所以28228xfxx或2268x或2228xx.所以不等式的解集为{|33}xx.

（2）因为0a，0b，0c，所以fxaxxbcaxxbcabcabc，当且仅当0axxb等号成立；因为fx的最小值为1，所以1abc，所以22222221a

bcabcabacbc，因为222abab，222bcbc，222acac，当且仅当a=b=c等号成立所以22222212223abcabacbcabc，所以22213abc.【点睛】

本题考查绝对值不等式的性质以及不等式的证明，涉及基本不等式的性质，属于基础题．