【文档说明】浙江省宁波市镇海中学2021届高三上学期期中考试数学试卷 PDF版含答案.pdf，共(9)页，707.108 KB，由小赞的店铺上传

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1/9镇海中学2020学年第一学期期中考试高三年级数学试卷第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2log1Axx=<，集合{}|11B

xx=−≤≤，则AB=（）A．[1,1]−B．[1,2)−C．(]0,1D．(),2∞-2．设0.80.70.713,,log0.83abc−===，则,,abc的大小关系为（）A．abc<<B．bac<<C．bca<<D．cab<<3．已知平面a

，β，直线lα⊂，直线m不在平面α上，下列说法正确的是（）A．若//,//mαββ，则//lmB．若//,mαββ⊥，则lm⊥C．若//,//lmαβ，则//mβD．若,//lmmβ⊥，则αβ⊥4．已知x，y满足约束条件210101xyxy

y−−≤++≥≤，则32Zxy=−−的取值范围是（）A．[]0,7B．()1,7C．[]0,4D．[]1,45．已知等比数列{}na的前n项和为nS，若1231112aaa++=，22a=，则3S=（）A．8B．7C．6D．46．函数2()()1xxxeefxx−−=−的图

像大致是（）A．．．．2/97．已知函数()()xxfxxee−=−，对于实数ab，，“0ab+>”是“()()0fafb+>”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．已知函数()2si

n(2)6fxxπ=+，将()fx的图象上所有点向右平移(0)θθ>个单位长度，得到的图象关于直线6xπ=对称，则θ的最小值为（）A．6πB．3πC．2πD．π9．已知线段AB是圆22:4Cxy+=的一条动弦，且23AB

=，若点P为直线40xy+−=上的任意一点，则PAPB+的最小值为（）A．221−B．221+C．422−D．422+10．已知数列{}na满足00a=，11()iiaai+=+∈N，则201kka=∑的值不可能是（）A．2B．4C．10D．14第Ⅱ卷（非选

择题共110分）二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．复数(12)1iii++的虚部为，模为．12．已知某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：3cm）是；此几何体各个面中，面积的最大值（单位：2cm

）为．13．若(1)x+7280128(12)xaaxaxax−=++++，则127aaa+++的值是；在上述展开式右边的九项中，随机任取不同的三项，假设这三项均不相邻，则有种不同的取法．14．已知数列{}na，{}nb满足：11a=，1nnaan++=，21nnba−=，则数列n

b=；记nS为数列{}na的前n项和，3124SS−=．3/915．函数()()sinωϕ=+fxx的部分图象如图所示，则()fx的单调递增区间为．16．已知0,0xy>>，则222224xyxyxyxy+++的最大值为．17．四面体ABCD中，,,2ABBC

CDBCBC⊥⊥=,且异面直线AB和CD所成的角为60°，若四面体ABCD的外接球半径为5，则四面体ABCD的体积的最大值为．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．在△ABC中，内角A，B，C的对边

分别为a，b，c，若sin2A＋sin2C－sin2B＝23sinAsinC，c＝2．（1）求sinB的值；（2）设D在BC边上，且BD＝AD＝2DC，求△ABC的面积．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，侧面SCD为钝角三角形且垂直于底面ABCD，底面为直角梯形且90ABC∠=°，12ABADB

C==，CDSD=，点M是SA的中点．（1）求证：BD⊥平面SCD；（2）若直线SD与底面ABCD所成的角为60°，求SD与平面MBD所成角的正弦值．4/920．已知数列{}na满足112a=，1(1)(1)21nn

naaa+++=+，n∗∈N．（1）求数列{}na的通项公式；（2）证明：对nN∗∀∈，123234aaaaaa++12112nnnaaa+++<．21．已知椭圆()2222:10xyCabab+=>>的

离心率为32，且经过点13,2P−．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点M是椭圆C上位于第一象限内的动点，A，B分别为椭圆C的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与y轴交于点D，O为椭圆的中心，求三角形OCD的面积的取值范围．22．已知函数()ecos2xfxx=+−，()

fx′为()fx的导数．（1）当0x≥时，求()'fx的最小值；（2）当π2x≥−时，2ecos20xxxxaxx+−−≥恒成立，求a的取值范围．5/9答案：CDBAADCCCB11．3102212．168313．1253514．n

9715．37[2,2]44kk++16．22317．2318．解：（1）2222sinsinsinsinsin3ACBAC+−=22222cos3accacacB∴+−==，1cos3B∴=，又220,sin3BBπ<<∴=（2）3219．解：（1）证明：取BC的中点E，连接DE，设==ABA

Da，2BCa=，依题意，四边形ABED为正方形，且有,BEDECEa===2BDCDa==,222BDCDBC∴+=，则BDCD⊥．又平面SCD⊥底面ABCD，平面SCD⊥底面ABCDCD=，BD∴⊥平面SCD；（2）解：过点S作CD的垂线，交CD延长线于点H，连接AH，平面SC

D⊥底面ABCD，平面SCD底面,ABCDCD=SHCD⊥，SH⊂平面SCD，SH∴⊥底面ABCD，故DH为斜线SD在底面ABCD内的射影，SDH∠为斜线SD与底面ABCD所成的角，即60SDH∠=°．由（1）得，2SDa=，∴在RtSHD中，2SDa=，62SHa=，在ADH中

，45,ADH∠=°,ADa=22DHa=，由余弦定理得22AHa=，222AHDHAD∴+=，从而90AHD∠=°，过点D作//DFSH，DF⊥∴底面ABCD，∴DB、DC、DF两两垂直，如图，以点D为坐标原点，DB为x轴正方向，DC为y轴正方向，DF为z轴正方

向建立空间直角坐标系，6/9则()2,0,0,Ba()0,2,0,Ca260,,,22Saa−22,,022Aaa−，226,,424Maaa−，设平面MBD的法向量(,,)nxyz=，由20226022

2nDBaxnDMaxayaz⋅==⋅=−=，取1z=，得30,,12n=；21sin|cos,|14nSDθ=<>=，∴所成的角的正弦值为2114．20．解：（1）11nnnaaa

+=+，∵1102a=>，∴12101aaa=>+，依此类推，0na>∴11111nnnnaaaa++==+，∴1111nnaa，∴数列1na是首项为2，公差为1的等差数列，∴11nna=+，即11nan=+，（2）证明：11nan=+，故对1,2,3k=7/912

1111[](1)(2)(3)2(1)(2)(2)(3)kkkaaakkkkkkk++==−+++++++，∴12323412nnnaaaaaaaaa+++++＝1111111[()()()]223343445(1)(2)(2)(3)nnnn−+−++−××××++++＝1111[]223

(2)(3)12nn−<×++，21．解：（1）由题意，椭圆2222:1xyCab+=的离心率为32，且经过点13,2P−，可得22222323114caababc=+==+

，解得24a=，21b=，23c=，故椭圆C的标准方程为2214xy+=．（2）设()00,Mxy，00x>，00y>，()2,0A−，()0,1B−，直线MA的方程为：()0022yyxx=++，令0x=，

得0020,2yDx+直线MB的方程为：0011yyxx+=−，令0y=，得00,01xCy+，所以三角形OCD的画积()()0000000000121222xyxySOCODyxxyxy=⋅⋅==+++++，又点M在椭圆上，故有2

20044xy+=，令002txy=+，则()()222200000024444xyxytxy+−+−==，于是224244142224ttStttt−−−===+−++++，8/9令02cosxθ=，0sinyθ=，0,2πθ∈，则2cos2sin22sin4tπ

θθθ=+=+，因为3,444πππθ+∈，2sin,142πθ+∈，故(2,22t∈，而函数412St−=++在区间(2,22单调递增，于是(0,322S∈−．22．解：（1）()esinxfxx′=−，令(

)esinxgxx=−，0x≥，则()ecosxgxx′=−．当[)0,πx∈时，()gx′为增函数，()()00gxg′′≥=；当[)π,x∈+∞时，()πe10gx′≥−>．故0x≥时，()0gx′≥，()gx为增函数，故()()

min01gxg==，即()fx′的最小值为1．（2）令()ecos2xhxxax=+−−，()esinxhxxa′=−−，则本题即证当π2x≥−时，()0xhx⋅≥恒成立．当1a≤时，若0x≥，则由（1）可知，()10hxa′≥−≥，所以()hx为

增函数，故()()00hxh≥=恒成立，即()0xhx⋅≥恒成立；若π,02x∈−，则()ecosxhxx′′=−，()esinxhxx′′′=+在π,02−上为增函数，又()01h′′′=，π2πe102h−′′′−=−<，故存在唯一0π,02x

∈−，使得()00hx′′′=．当0π,2xx∈−时，()0hx′′′<，()hx′′为减函数；()0,0xx∈时，()0hx′′′≥，()hx′′为增函数．又π2πe02h−′′−=>

，()00h′′=，故存在唯一1π,02x∈−使得()10hx′′=．故1π,2xx∈−时，()10hx′′>，()hx′为增函数；()1,0xx∈时，()10hx′′<，()hx′为减函数．9/9又π2πe102ha′−=+−>，()010ha′=−≥，所以

π,02x∈−时，()0hx′>，()hx为增函数，故()()00hxh≤=，即()0xhx⋅≥恒成立；当1a>时，由（1）可知()esinxhxxa′=−−在[)0,+∞上为增函数，且()010ha′=−<，()1

110ahaea+′+≥−−>，故存在唯一()20,x∈+∞，使得()20hx′=．则当()20,xx∈时，()0hx′<，()hx为减函数，所以()()00hxh<=，此时()0xhx⋅<，与()0xhx⋅≥恒成立矛

盾．综上所述，1a≤．