【文档说明】2021-2022学年高中数学人教B版必修5教学教案：1.1.2 余弦定理 （1） Word版含解析【KS5U 高考】【高考】.doc，共(9)页，283.500 KB，由管理员店铺上传

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1教学基本信息课题余弦定理是否属于地方课程或校本课程否学科数学学段：第二学段年级高一教材书名：数学5（必修）出版社：人民教育出版社教学设计参与人员姓名单位联系方式设计者实施者指导者课件制作者其他参与者指导思想与理论依据1、指导

思想新课程的数学提倡学生动手实践，自主探索，合作交流，深刻地理解基本结论的本质，体验数学发现和创造的历程，力求对现实世界蕴涵的一些数学模式进行思考，作出判断；同时要求教师从知识的传授者向课堂的设计者、组织者、引导者、合作者转化，从课堂的执行者向实施者、探究开发者转化。本课根据新课程

要求，利用师生的互动合作，提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识和创新意识，深刻地体会数学思想方法及数学的应用，激发学生探究数学、应用数学知识的潜能。2、理论依据建构主义强调，学生并不是空着脑袋走进教室的。在日

常生活中，在以往的学习中，他们已经形成了丰富的经验，小到身边的衣食住行，大到宇宙、星体的运行，从自然现象到社会生活，他们几乎都有一些自己的看法。而且，有些问题即使他们还没有接触过，没有现成的经验，但当问题一旦呈现在面前时，他们往往也

可以基于相关的经验，依靠他们的认知能力，形成对问题的某种解释。而且，这种解释并不都是胡乱猜测，而是从他们的经验背景出发而推出的合乎逻辑的假设。所以，教学不能无视学生的这些经验，另起炉灶，从外部装进新知识，而是要把学生现有的知识经验作为新知识的生长点，引导学生从原有的知识经验中“

生长”出新的知识经验。教学背景分析1、内容分析“余弦定理”是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一，是初中“勾股定理”内容的知识延续，也是三角函数和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。本节课内容是必修5第一章第二

节《余弦定理》的第一课时，主要任务是引入并证明余弦定2理，以及定理的简单应用，在课型上属于“定理教学课”。2、学情分析（1）知识准备：本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理等有关内容，对

于三角形中的边角关系有了一定的认识。在此基础上利用向量法和坐标法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和兴趣。（2）认知能力：总体上，学生已具有较强的逻辑思维能力，但应用数学知识的意识不够，看待与分析问题不深入，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度。（3）生理和心理特征：高中生的注意力

能够较长时间集中，兴趣范围进一步扩大，并具有一定的稳定性，所以在教学中我抓住学生的这一特征，创造各种机会，让学生发表己见，发挥学生的主体作用，激发学生的数学学习兴趣。3、教学方法和手段皮亚杰的建构理论认为，知识必须由主体自我建构，因此，本节课我主要采用的是“导学案”和

“小组合作学习”相结合的教学模式。在这种模式中，学生首先利用导学案，在课前完成将要学习的新内容，并提出自己的观点或困惑；老师通过对导学案完成情况的检查和分析，确定上课时哪些问题是重点、难点，哪些问题需要学生展示点评，从而把更多的时间还给学生，让学生

实现不同程度的发展。具体过程如下：技术准备：多媒体，三角板教学目标(内容框架)（1）知识与技能目标：①在实际问题情境中，探索并证明余弦定理；②能应用余弦定理的两种形式解决两类基本的解三角形问题；（2）过程与方法目标：①通过观察、

推导、比较，经历余弦定理的形成过程；引导课前探索创设问题情境组织交流展示引导运用巩固引导反思总结合作探究直观感受类比归纳理解领悟深化认识教法学法3②通过例习题，体会余弦定理在解决实际问题中的作用。（3）情感、态度与价值观目标

：①在小组合作学习的过程中，培养自主探究、合作交流的意识，并感受数学学习的乐趣；②通过对余弦定理本质的理解，领会数学的对称美。教学过程(文字描述)第一部分：课前准备导学案（见附件）【设计意图】通过复习三角函数和平面向

量的基础知识，为余弦定理的证明做好知识和方法上的铺垫。第二部分：教学过程环节一【创设情境，引入新课】【引例】如图1，海上救援中心接到求救信号，一艘渔船触礁，最多坚持半个小时。已知渔船位于救援中心东偏北60º距离30海里处。由于时间紧迫从救援中心派救生船已来不及，现派位于救援中心

正东方向20海里处巡逻的巡逻艇去营救，已知巡逻艇的最快速度为60海里/小时，那么派它去，能否成功营救?(72.646，计算精确到个位)图1【设计意图】经历实际问题转化数学问题的过程，培养建模能力，激发学习兴趣，体会数学的应用价值。

帮助学生认识到：数学与我有关，与实际生活有关，数学是有用的，我要用数学，我能用数学。环节二【合作探究，获得新知】【提出问题】在引例问题中，已知三角形两边及夹角，能否求第三边？请同学们联系已经学过的知识和方法，思考可以用什么途径来解决引例问题呢？探究1、几何法如图2，当C为

锐角时，作BDAC⊥于D，BD把△ABC分成两个直角三角形：304在RtABD中，222ABADBD=+；在RtBDC中，sinsinBDBCCaC==，=coscosDCBCCaC=所以，222ABADBD=+化为222(bcosC)(sin)caaC=−+2222222cosCcossin

cbabaCaC=−++2222cosCcabab=+−可以看出C为锐角时，△ABC的三边a、b、c具有2222cosCcabab=+−的关系。如图3，当C为钝角时，作BDAC⊥，交AC的延长线于D。ACB是两个直角三角形之差。在

RtABD中，222ABADBD=+．在RtBCD中，=BCDC−=sin()BDBCC−，cos()CDBCC=−所以222ABADBD=+化为222222222222()[cos()][sin(

)]=2cos()cos()sin()2cos()cACCDBDbaCaCbabCaCaCbabCa=++=+−+−+−+−+−=+−+因为cos()cosCC−=−，所以也可以得到2222coscbaabC=+−。ACBD图2BADC图3

5探究2、向量法如图4，在ABC中，设aBCbCAcAB===,,，思路一：由向量减法的三角形法则可得()22,BCACABBCACAB=−=−2222BCACABABAC=+−2222cosBCACABABACA=+−2222cosabcbcA=+−即：思路二：由向量

加法的三角形法则可得∵BCABAC+=∴22)(BCABAC+=2222)180cos(22BCBBCABABBCBCABAB+−+=+•+=即：,cos2222aBaccb+−=探究3、坐标法建立平面直角坐标系(如图5),则由

题意可得点(0,0)A,(,0)Bc,(cos,sin)CbAbA,由两点间距离公式可得=2||BC2a=22(cos)(sin)cbAbA−+222cosccbAb=−+.即,2222cosabcbcA=+−.同理可得另外两种形式：（学生答）acbCBA图4xy

图4BA(O)C图56Baccabcos2222−+=Cabbaccos2222−+=上面我们用三种不同的方法得到了已知三角形两边及夹角求第三边的方法，这就是余弦定理，请同学们概括一下定理的内容：（多媒体投影余弦定理的内容）【余弦定理】三角形任何一边的平

方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即作用：已知两边和夹角，求第三边从以上的公式中解出CBAcos,cos,cos,则可以得到余弦定理的另外一种形式：作用：已知三边，求三个内角【设计

意图】丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念，新课标要求学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。所以我让学生通过

合作交流展示，用已有的知识探寻新知得出余弦定理的一般性结论。通过共同解决问题，求得新知，突出重点，并通过类比得到定理，使学生获得知识的同时，领会数学的对称美。环节三【应用举例，强化理解】【例1】引例解：如图6，由

余弦定理可知Abccbacos2222−+=Baccabcos2222−+=Cabbaccos2222−+=abcbaCcabacBbcacbA2cos2cos2cos222222222−+=−+=−+=CAB60图67222222cos=2

03022030cos60=700BCABACABACA=+−+−∴10726BC=又因为巡逻艇的最快速度为60海里/小时，半小时最大航行距离为30海里26BC所以，派它去，可以营救成功。【设计意图】通过实际应用，强化学生对数学知识的理解，并体会数学在实际生活中的应

用。【例2】在ABC中，已知3a=，4b=，37c=，求三角形的最大内角。解：∵cba∴角C最大∵22222234371cos22342abcCab+−+−===−且0180C∴120C=.【设计意图】本题是已知三边解三角形，可以直接利用余弦定理

的推论分别求得三个角。这样余弦定理的两个形式都得到了运用，进而巩固了学生对余弦定理的理解环节四【反馈训练，形成方法】1、在ABC中，1,1ab==，120C=，则c=2、在ABC中，若三边a、b、c满足bccba++=222，则A=。3、在ABC中

，已知5:4:3sin:sin:sin=CBA,这个三角形是（填锐角、直角、钝角三角形）。【设计意图】强化对所学知识的理解，了解学生对本知识的掌握情况。环节五【小结反思，构建体系】通过以上的研究过程，同学们主要学到了那些知识和方法？你对此有何体会？（先由学生回答总结，教师适时的补充完善）1、余

弦定理的两种形式；2、余弦定理可以解决的两类有关三角形的问题。【设计意图】学生建立完整的知识体系，加深理解，培养学生归纳概括能力。环节六【布置作业，巩固提高】81、必做题：（1）在ABC中，若7,8ab==，13

cos14C=，则最大内角的余弦值为_。（2）已知ABC中，coscosaBbA=，请判断三角形的形状（用两种不同的方法）。（3）教材练习B1，3。2、选做题：（4）在ABC中，求证：222+=2(bccosAaccosBaccosC)abc+++【设计意图】帮助学生巩固所学知识，

强化理解。分层作业满足不同层次学生学习数学的需求，为学有余力的学生留有进一步探索和发展的空间。学习效果评价设计评价量规1、这节课给你的总体感觉如何？（）A、效果很好B、还可以C、不好D、不知道2、你觉得老师对整个课堂的把握能力如何？（）A、很自如B、一般C、不好D、

不知道3、请你给这节课的课件做个评价（）A、很形象，很好，对学习内容很有帮助。B、还可以，有利于接受教学内容。C、无所谓，可有可无。D、不好，根本对学习没有帮助。E、不知道该怎么说，不好评价。4、类似本堂课的学习方法，有助于你养成

积极探索的学习习惯吗？A、很有帮助B、有些帮助C、基本上没有帮助D、不知道5、你对本课的学习内容理解和掌握程度有（）A、80—100%B、60—80%C、＜60%D、不知道该怎么说6、经自主学习后，你能否很好地运用所学知识点去完成相关的思考问题：A、能B、基本上能C、不能7、

排除形式上的新鲜感，对数学课，你认为这节课与平时的课堂教学相比，你更喜欢哪一种？A、平时的B、这节课的C、都不喜欢教学反思(300-500字数)91、“导学案”与“小组合作学习”相结合的教学模式，为学生提供了独立思考、合作交流、课堂展示的机会，学生成为了学习的主体，教师是学习的引导

者、组织者和合作者，确保了本节课教学目标的实现。2、合理的应用多媒体教学，起到画龙点睛、提高效率、增强学生对问题感官认识的效果，不能让教师成为多媒体的奴隶。滥用多媒体教学的后果是将学生上课时的“眼到、手到、口到”

变为机械的“眼到”，学生看了一节课的“电影”，没有充足的时间去思考、练习、巩固，课后会很快将所学的知识忘得一干二净。3、本节课的难点是利用向量法和解析法证明余弦定理。在课前准备的学案中，我通过复习三角函数定义和平面向量基础知识，突破这些难点，这个班虽然有部分学生通过复习可以想

到，但在另一个班的教学中却没有学生想到解析法。怎样很自然的让学生想到向量和建系的方法，还需要在今后的教学中进一步探讨。