【文档说明】安徽省滁州市定远县育才学校2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题 含解析.docx，共(18)页，1.456 MB，由小赞的店铺上传

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2021-2022学年度第二学期4月期中考试卷高一数学试题第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40分）1.已知复数z满足5z=，且1z−为纯虚数，则z=（）A.12i+B.2i−C.2iD.12i【答案】D【解析】【分析】设复数(,)zabi

abR=+，根据复数的模和纯虚数的概念，由225,10aba+=−=求解.【详解】设复数(,)zabiabR=+，因为5z=，且1z−为纯虚数，所以225,10aba+=−=，解得1,2ab==，所以12zi=，故选：D【点睛】本题主要考查复数

的概念和模的运算，属于基础题.2.已知ABa=，ACb=，3BDDC=，用a，b表示AD，则AD=（）A.3144ab+B.34ab+C.1144ab+D.1344ab+【答案】D【解析】【分析】结合平面图形的几何性质以及平面向量的线性运算即可求出结果.【详解】因为3BDDC=，所以()

33134444ADABBDABBCABABACABAC=+=+=+−+=+，又因为ABa=，ACb=，所以1434ADab=+，故选：D.3.如图所示，隔河可以看到对岸两目标A，B，但不能到达，现在岸边取相距4km的C，D两点，测得∠

ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，则两目标A，B间的距离为km.A.853B.4153C.2153D.25【答案】B【解析】【分析】由已知可求30CAD=，120ACD=，由正弦定理可求AD的值，在BC

D中，60CBD=，由正弦定理可求BD的值，进而由余弦定理可求AB的值．【详解】由已知，ACD中，30CAD=，120ACD=，由正弦定理，sinsinCDADCADACD=，所以·sin4?sin12043sinsin30CDACDADCAD===，在BCD

中，60CBD=，由正弦定理，sinsinCDBDCBDBCD=，所以·sin4sin4546sinsin603CDBCDBDCBD===，在ABD中，由余弦定理，222802?·3ABADBDADBDADB=+−=，解得：4153AB=．所以A与B的距离41

53AB=.故选B【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．4.如图，正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A232+B.8C

.6D.223+【答案】B【解析】【分析】根据斜二测画法得出原图形四边形OABC的性质，然后可计算周长．【详解】由题意2OB=，所以原平面图形四边形OABC中，1OABC==，22OB=，OBOA⊥，所以221(22)3OCAB==+=，所以四边形的周长为：2(

13)8+=．故选：B．5.如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是A.该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体.B.该几何体有12条棱、6个顶点C.该几何体有8个面，并且各面均为三角形D.该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形【答

案】D【解析】【分析】根据几何体的直观图，得出该几何体的结构特征，由此判断选项A、B、C正确，选项D错误．【详解】根据几何体的直观图，得该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体，且有棱MA、MB、MC、MD、AB、BC、CD、DA、NA、NB、NC和ND，共1

2条；顶点是M、A、B、C、D和N共6个；且有面MAB、面MBC、面MCD、面MDA、面NAB、面NBC、面NCD和面NDA共个，且每个面都三角形．所以选项A、B、C正确，选项D错误．故选D．【点睛】本题考查了利用空间几何体的直观

图判断几何体结构特征的应用问题，是基础题目．6.已知(1,3),(2,1)ab=−=−,且()(2)kabab+⊥−,则k=A.43B.43−C.34D.34−【答案】C【解析】【分析】求出,2kabab+−的坐标，利用垂直的坐标表示列方程求解

.【详解】由题意知，(2,31),2(5,5)kabkkab+=−−−=−，且()(2)0abakb+−=，故5(2)5(31)0kk−−+−=，解得34k=.故选：C.【点睛】本题考查向量的坐标表示，垂直的坐标表示，是基础题.7.已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是5

，则该正四棱锥的表面积为（）A.3B.12C.8D.43是【答案】B【解析】【分析】根据正四棱锥的底面边长和侧棱长，求出侧面面积与底面面积，然后求出表面积即可.【详解】如图所示，在正四棱锥SABCD−中，取BC中点E，连接SE，则SBE△为直角三角形，所以22512SESBBE=−=−=，所

以表面积1422422122SBCABCDSSS=+=+=正方形△.故选：B.【点睛】本题考查了正棱锥的表面积，属于基础题.8.现有一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态），将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态

），这时水面所在的平面11EEFF与各棱的交点分别为其所在棱的中点，则图甲中水面的高度为（）A.3B.2C.232D.94【答案】D【解析】【分析】首先利用图乙求出水的体积，再利用等体积法求出图甲中水面的高度.【详解】设正三棱柱的底面积为S，∵E，

F，1F，1E分别为其所在棱的中点，∴14AFESS=△，即14AFESS=△，∴34BCFESS=四边形，∴111139344=BCFEBCFEVVSS−==水，因为ABCSS=，99=44ABCVhSSh==水水水△，所以图甲中水

面的高度为94.故选：D.【点睛】本题主要考查了利用等体积法求高，属于基础题.二、多选题（本大题共4小题，共20分）9.复数z满足233232izii++=−，则下列说法正确的是（）A.z的实部为3−B.z的虚部为

2C.32zi=−D.||13z=【答案】AD【解析】【分析】由已知可求出32zi=−−，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案.【详解】解：由233232izii++=−知，232332izii+=−−，即()()()223323

2232313iiizii−−−=−=+39263213ii−−==−−，所以z的实部为3−，A正确；z的虚部为-2，B错误；32zi=−+，C错误；()()22||3213z=−+−=，D正确；故选:AD.【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的

概念，考查了共轭复数的求解，考查了复数模的求解，属于基础题.10.正三棱锥SABC−的外接球半径为2，底面边长为3AB=，则此三棱锥的体积为（）A.934B.334C.2734D.332【答案】AB【解析】【分析】首先设三棱锥SABC−的外接球的球心为O，三角

形ABC的中心为D，得到3CD=，再分类讨论求解三棱锥体积即可。【详解】设三棱锥SABC−的外接球的球心为O，三角形ABC的中心为D，由题知：32sin60CD=，解得3CD=.当外接球球心O在线段SD上时，如图所示：()22231OD=−=，123SD

=+=，所以113933333224SABCV−==.当外接球球心O在线段SD的延长线上时，如图所示：()22231OD=−=，211SD=−=，所以113333133224SABCV−==.故选：AB11.（多选）已知向量a，

b不共线，若1ABab=+，ACa=+2b，且A，B，C三点共线，则关于实数1，2的值可以是（）A.2，12B.−3，13−C.2，12−D.−3，13【答案】AB【解析】【分析】利用平面向量共线基本定理即可求解.【详解】因为A，B，C三点共

线，则存在实数，使得ABAC=，即()12abab+=+，即12abab+=+，所以()()1210ab+−−=，又因为向量a，b不共线，所以12010−=−=，解得121=，所以实数1，2的值互为倒数即可求解.故选：AB12.某班级到一工厂参加社

会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2cm，且CD＝2AB，下列说法正确的有（）A.该圆台轴截面ABCD面积为332cmB.该圆台的体积为73π33cmC.该圆台的母线AD与下底面所成的角为30°D.沿着该圆台表面，从点

C到AD中点的最短距离为5cm【答案】ABD【解析】【分析】求出圆台的高123OO=，根据梯形面积公式可求圆台轴截面ABCD的面积，从而可判断A；根据圆台的体积公式可判断B；圆台的母线AD与下底面所成的角为1ADO，从而可判断C；由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4cm，底面半径为2cm

，设AD的中点为P，连接CP，求出CP，即为沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离，从而可判断D.【详解】由2ABADBC===，且CD＝2AB，可得4CD=，高21242432OO−=−=,则圆台轴截面ABCD的面积为()1243332+=

2cm,故A正确；圆台的体积为()173π1243π33V=++=3cm，故B正确；圆台的母线AD与下底面所成的角为1ADO，其正弦值为32,所以160ADO=，故C错误；由圆台补成圆锥，可得

大圆锥的母线长为4cm，底面半径为2cm，侧面展开图的圆心角2π2π4==.设AD的中点为P，连接CP，可得90,4,213COPOCOP===+=,则22435CP=+=.所以沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm，故D正确.故选:ABD.第II卷（

非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知i是虚数单位，若()2ii,1iabab+=++R，则()lgab+的值为______.【答案】0【解析】【分析】运用复数四则运算及复数相等的定义即可得解.【详解】因为()()2i212iii31

2i+−+−==+ii3122ab=−=+，所以31,,122abab==−+=，()lg0ab+=.故答案为:014.已知2ab==，()()22abab+−=−，则a与b的夹角为.【答案】60【解析】【详解】根据已知条件(2)()2aba

b+−=−，去括号得：222422cos242aabb+−=+−=−，1cos,602==15.如图，半径为2的半球内有一个内接正六棱锥P－ABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是________．【答案】6【解析】【详解】显然正六棱锥P－ABCD

EF的底面的外接圆是球的一个大圆，由已知，可得大圆的半径为2.易得其内接正六边形的边长为2.又正六棱锥P－ABCDEF的高为2，则斜高为＝，所以该正六棱锥的侧面积为6××2×＝6.16.如图，△ABC为等腰

三角形，120BAC=，4ABAC==，以A为圆心，1为半径的圆分别交AB，AC与点E，F，点P是劣弧EF上的一点，则PBPC的取值范围是______．【答案】[11,9]−−【解析】【详解】以A为原点，以BC垂线平行线为y轴，建立直角坐标系

，由120BAC=，4ABAC==，可得()()23,2,23,2BC−−−，，1,AP=可设()7111cos,1662Psinsin−−，，，，()23cos,2PBsin=−−−−，，()23cos,2PCsin=−−−

，，()22cos122PBPCsin=−++7+411,9sin=−−−,故答案为11,9−−.【方法点睛】本题主要考查平面向量的数量积以及向量的坐标表示、利用三角函数的有界性求范围，属于难题.求范围问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:①配

方法（适合二次函数）；②换元法（代数换元与三角换元）；③不等式法（注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”）；④三角函数法（注意恒等变形）；⑤图像法（根据图象的最高和最低点求解）；⑥函数单调性法求解（根据其单调性求凼数的取值范围即可），本题主要应用方法④解答的.四、解答题（本大题共6小题

，共70分）17.如图所示，在ABO中，14OCOA=uuuruur，12ODOB=uuuruuur，AD与BC相交于点M.设OAa=，OBb=.（1）试用向量a、b表示OM；（2）在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过

点M，设OEOA=，OFOB=，求证：137+=.的【答案】（1）1377OMab=+；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设OMmanb=+，由A、D、M三点共线以及B、C、M三点共线可得出关于m与n的方程组，解出这两个未知数，即可得出OM关于a、b

的表达式；（2）设EMMF=，利用向量的减法运算可得出11OMab=+++，结合1377OMab=+可建立等式，通过化简计算可得出137+=，即可得出结论.【详解】（1）不妨设OMmanb=+.由于A、D、M三点共线，则存在(

)1−使得AMMD=，即()OMOAODOM−=−，于是1OAODOM+=+.又12ODOB=uuuruuur，所以()121121OAOBOMab+==++++，则()1121mn=+=+，即21mn+=.①由于B、C、M

三点共线，则存在()1−使得CMMB=，即()OMOCOBOM−=−，于是1OCOBOM+=+.又14OCOA=uuuruur，所以()1141411OAOBOMab+==++++

，所以()1411mn=+=+，即41mn+=.②由①②可得17m=，37n=，所以1377OMab=+；（2）由于E、M、F三点共线，所以存在实数()1−使得EMMF=，即()OMOEOFOM−=−，于是1OEOFOM+=+.又OEOA=，OFOB=，所以1

11OAOBOMab+==++++，所以137711abab+=+++，则117317=+=+，可得171371=+=+，两式相加得137+=.【点

睛】本题考查了平面向量的数乘，向量的线性运算及向量表示三点共线，属中档题．18.设复数zabi=+（,abR，0a，i是虚数单位），且复数z满足10z=，复数()12iz+在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上.⑴求复数z；(2)若1mizi−++为纯虚数

(其中mR）,求实数m的值.【答案】（1）3zi=−；（2）5m=−.【解析】【详解】试题分析：（1）设(,,0)zabiabRa=+，由10z=得：2210ab+=，又复数()()()()()12

1222iziabiababi+=++=−++在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，则22abab−=+即3ab=−.联立求解即可（2）由3zi=+,可得()()()()()()11513331111222miimiimimimmziiiiiiii−−−−−−+−+=++=++=++=++

++−,1mizi−++为纯虚数，∴502{102mm+=−，然后解方程即可试题解析：⑴设(,,0)zabiabRa=+，由10z=得：2210ab+=.①又复数()()()()()121222iziabiababi+=++=−++在复平面上对应

的点在第一、三象限的角平分线上，则22abab−=+即3ab=−.②.，由①②联立方程组2210{3abab+==−,解得3a=,1b=−或3a=−，1b=，0a，∴3a=−，1b=.∴3zi=−.⑵由3z

i=+,可得()()()()()()11513331111222miimiimimimmziiiiiiii−−−−−−+−+=++=++=++=++++−,1mizi−++为纯虚数，∴502{102mm+=−，解得5m=−.19.一个圆台的母线长为

12cm，两底面面积分别为24cm和225cm．（1）求圆台的高；（2）求截得此圆台的圆锥的母线长．【答案】(1)315cm.(2)20cm.【解析】【分析】（1）作出圆台的轴截面图示，利用勾股定理计算相关长度；（2）将轴截面的梯

形补形成三角形，利用相似的知识去计算出母线长.【详解】（1）如图，过圆台的轴作截面，则截面为等腰梯形ABCD，1O，O分别为AD，BC的中点，作AMBC⊥于点M，连接1OO.由已知可得上底半径12cmOA=，下底半径5cmOB=，且腰长12cmAB=，∴()22123315cmAM=−

=，即圆台高为315cm.（2）如图，延长BA，1OO交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为cml，则由1SAOSBO△∽△，得1AOSASBBO=，即1225ll−=，∴即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.的【点睛】本题考

查圆台的相关量的简单计算，难度一般.处理圆台有关问题时一定要将圆台和圆锥联系在一起，有时利用圆锥能很方便解决圆台问题.20.如图，A，B是海面上位于东西方向相距()533+海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信

号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？【答案】救援船到达D点需要1小时．【解析】【详解】5(33)90603

0,45,105sinsin•sin5(33)?sin455(33)?sin45sinsin105sin45?cos60sin60?cos45ABDBADABADBDBABDABDABADBABDABDBADB=+

=−====++===+解：由题意知海里，在中，由正弦定理得海里又海里中，由余弦定理得,海里，则需要的时间答：救援船到达D点需要1小时21.已知平面向量(2,2),(,1)abx==−.(1)若//ab,求x的值;(2)若(2

)aab⊥−,求a与b的夹角的余弦值.【答案】(1)=1x−.(2)55【解析】【分析】(1)利用向量平行的坐标表示，列方程求解；(2)根据平面向量垂直的坐标表示列方程求出x，再计算a与b所成夹角的余弦值.【详解】(1)平面向量(

2,2),(,1)abx==−，若//ab,则2(1)20x−−=，解得=1x−；(2)若(2)aab⊥−,则2(2)20aabaab−=−=，即()22222(22)0x+−−=,解得3x=，∴(3,1)b=−

，∴a与b的夹角的余弦值为2222232(1)55||||223(1)abab+−==++−.【点睛】本题考查了平面向量的共线定理与数量积应用问题，是基础题.22.如图所示，正三棱锥P-ABC底面边长为a

，高PO为h，求它的侧棱PA的长和斜高PD的长．【答案】侧棱PA的长为22933ha+,斜高PD的长为223636ha+【解析】【分析】易知O为ABC的中心，从而得OA，OD，分别在RtPOA和RtPOD中求解即可.的【详解】如图，连接AD，则点O在AD上．∵正三棱锥P-ABC的底面边

长为a，O为ABC的中心，∴OA=33a，OD=36a．在RtPOA中，根据勾股定理，得PA=22222239333haPOOAha++=+=．在RtPOD中，根据勾股定理，得PD=222222336366haPO

ODha++=+=，所以此正三棱锥的侧棱PA的长为22933ha+，斜高PD的长为223636ha+．【点睛】本题主要考查了正三棱锥的几何特征，属于基础题.