【文档说明】北京市陈经纶中学2023-2024学年高一下学期阶段性诊断（3月）数学试卷 Word版含解析.docx，共(10)页，660.125 KB，由小赞的店铺上传

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北京市陈经纶中学2023-2024学年高一下学期阶段性诊断（3月）数学试卷2024.3(考试时间60分钟满分100分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知复数(2i)(1i)z=+−，i为虚数单位，则复数z的虚部为（）A.iB.i−

C.1D.-1【答案】D【解析】【分析】根据复数的乘法运算，可得复数的虚部.【详解】因为222iiiz=−+−22ii1=−++3i=−，所以复数z的虚部为：1−.故选：D2.已知向量(2,8)a=，(4,2)b=−.若2cab=−，则向量c=（）A.(0,14)B.(8,14

)C.(12,12)D.(4,20)−【答案】B【解析】【分析】利用平面向量的坐标运算直接求解可得结果.【详解】因为2cab=−()()22,84,2=−−()8,14=，故选：B3.在ABC中，若105,45,2ABb==

=，则c=（）A.1B.3C.2D.6【答案】A【解析】【分析】由题意可得C，再由正弦定理即可得到结果.【详解】因为105,45AB==，所以30C=，由正弦定理可得12sin21sin22bCcB===.故选:A4.如图，在平行四边

形ABCD中，已知8AB=，5AD=，3CPPD=，2APBP=，则ABAD的值是（）A.8B.12C.22D.24【答案】C【解析】【分析】以,ABAD为基底，表示出向量AP，BP，再根据向量数

量积运算可得结果.【详解】易知：14APABAD=+，34BPABAD=−+，且264AB=，225AD=.由2APBP=13244ABADABAD+−+=22312162ABABADAD−−+=11225

22ABAD−−+=22ABAD=.故选：C5.在ABC中，若20ABBCAB+=，则ABC的形状一定是（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】先利用数量积运算化简得到2cosacBc=，再利用余弦定理化简得解.【详解】因为

20ABBCAB+=，所以2cos()0acBc−+=，所以2cosacBc=，所以22222acbaccac+−=，所以222bca+=，所以三角形是直角三角形.故选：B的6.已知向量a，b是两个单位向量，则“a与b的夹角为锐

角”是“||2ab−”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据向量的夹角得出差向量的模长判断充分条件,举反例判断是不是必要条件即得【详解】由向量a，b是

两个单位向量，且a与b的夹角为锐角，可设,θab=.则()2abab−=−=222aabb−+=12cosθ1−+=()21cosθ−，因为πθ0,2，所以0cosθ<1，所以()21cosθ

2−，故“a与b的夹角为锐角”是“||2ab−”的充分条件；若ab=，则0ab−=，但此时,0ab=，不锐角，所以“a与b的夹角为锐角”是“||2ab−”的不必要条件.总之，“a与b的夹角为锐角”是“||2ab−”的充分不必要条件.故选：A7.已知a，b是两个夹角为3

的单位向量，则kba−的最小值为（）A.14B.12C.34D.32【答案】D【解析】【分析】根据复数的数量积运算求向量的模.【详解】因为()2kbakba−=−()222kbkbaa=−+21212kk=−+21kk=−+21324k=−+32（

当且仅当12k=时取“=”）.故选：D8.在ABC中，42ABAC==，当R时，ABBC+的最小值为4.若AMMB=，是22sincosAPABAC=+，其中ππ,63，则MP的最大值为（）A.2B.4C.25D.42【答案】C【解析】【分析

】由ABBC+的最小值为4可得ABC的形状为等腰直角三角形，建立平面直角坐标系将向量坐标化，利用平面向量共线定理以及的取值范围表示出MP的表达式，再由二次函数单调性即可求得max25MP=.【详解】如下图所示：在直线BC上取一点D，使得BDBC=，所以ABBCABBDAD+=

+=，当ADBC⊥时，ABBC+取得最小值为4，即4AD=；又42ABAC==，所以可得ABC是以A为顶点的等腰直角三角形，建立以A为坐标原点平面直角坐标系，如下图所示：又AMMB=可得M为AB的中点，由22sincosAPABAC=+以及22sin

cos1+=可得P在BC上，可得()()()()0,0,0,42,42,0,0,22ABCM，所以()()0,42,42,0ABAC==，可得()2242cos,42sinP，则()2242cos,42sin22

MP=−，的令2cost=，由ππ,63可得213cos,44t=，所以()42,2242MPtt=−，()()22242224264328MPtttt=+−=−+，由二次函数264328ytt=−+13,44t上单调递增可得，2ma

x33643282544MP=−+=.故选：C【点睛】关键点睛：本题关键在于利用ABBC+的最小值为4判断出ABC的形状，将向量坐标化并表示出模长表达式利用函数单调性可求得结果.二、填空题共6小题，每小题5分，

共30分.9.已知复数z满足(1i)13iz+=+，则||z=______________.【答案】5【解析】【分析】利用复数的模的性质进行计算.【详解】由13i1iz+=+()()()()13i1i1i1iz+−=+−42i2i2

+==+2215z=+=.故答案为：510.已知向量a，b，c在坐标纸中的位置如图所示，若每个小方格的边长为1，则()abc+=____________；ab=____________.【答案】①.0②.3【解析】【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，

再用坐标运算求值.【详解】如图：建立如图坐标系.在则()2,1a=，()2,1b=−，()0,1c=.则()abc+=()()()()2,12,10,1+−=()()4,00,10=.()()2,12,14

13ab=−=−=故答案为：0；311.已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都为100km，灯塔A在观测站C的北偏东20方向上，灯塔B在观测站C的南偏东40方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为_________km．【答案】1003【解析】【分析】易得角C，再利用余

弦定理即可得解.【详解】如图，由题意得120,100CACBC===，则2222cos10000100001000030000ABACBCACBCC=+−=++=，所以1003AB=，即灯塔A与灯塔B的距离为1003km.故答案为：1003.12.在ABC中，4a=，5b=，

6c=，则sin2sinAC=__________．【答案】1【解析】【详解】试题分析：222sin22sincos2cos44cos1sinsin332AAAaAbcaACCcbc+−=====考点：正余弦定理解三角形13.

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝4，b＝43，30A=,则该三角形的面积等于__________．【答案】43或83【解析】【分析】利用余弦定理求出c，再根据三角形面积公式可求出结果.【详解】由余弦

定理得2222cosabcbcA=+−，即231648832cc=+−，即212320cc−+=，解得4c=或8c=，当4c=时，111sin43443222ABCSbcA===!，当8c=时，111sin43883222ABCSbcA==

=!.所以该三角形的面积等于43或83.故答案为：43或8314.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公

式完全等价，其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积."若把以上这段文字写成公式，即222222142cabSca+−=−.现有ABC满足sin

:sin:sin2:3:7ABC=，且ABC的面积332ABCS=△.给出下列四个结论:①ABC周长为57+；②ABC三个内角A，C，B满足关系2ABC+=；③ABC外接圆半径为2213；④ABC中线CD的长为192，其中，所有正确结论的序号是___________.【答案】①②④【解析

】【分析】结合正弦定理，求出三边长之比，在根据已知三角形的面积，可求出三边长，再用正弦定理、余弦定理，向量的模的运算判断各选项.【详解】因为sin:sin:sin2:3:7ABC=，根据正弦定理可得：::2:3:7abc

=，可设：2ak=，3bk=，7ck=()0k.代入222222142cabSca+−=−得()()()()()22222272333127242kkkkk+−=−1k=.所以ABC周长：23757abc++=++=+，

故①正确；有余弦定理：222cos2abcCab+−=4971122+−==60C=，所以2ABC+=，故②正确；由2RsincC=（R为三角形外接圆半径）得：72R=sin6021R=3，故③错误；因为()12CDCACB=+且29CA=，24CB=，32cos603CACB=

=，所以()212CDCACB=+22122CACACBCB=++19642=++192=，故④正确.故答案为：①②④【点睛】方法点睛：用向量的方法求三角形中线长是一个常用的简单方法.三、解答题共

2小题，共30分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.如图，在平面四边形ABCD中，ABBC⊥，33AB=，3CD=，33sin14DBC=，3C=.（1）求sinBDC的值；的（2）求BD，AD的值.【答案】（1）437；（2）7BD=，7

AD=【解析】【分析】（1）由同角三角函数基本关系得13cos14DBC=，利用两角和的正弦及内角和定理展开求解即可（2）利用正弦定理得7BD=，再利用余弦定理求解【详解】（1）∵33sin14DBC=，22sincos1,02DBCDBCDBC+=，∴13cos14

DBC=在△BDC中，,3=CDBCCBDC++=，∴sinsin()BDCDBCC=+sincoscossinDBCCDBCC=+331133431421427=+=（2）在△BDC中，由正弦定理得sinsi

nCDBDDBCC=，即3333142BD=解得7BD=，∵2ABDDBC+=，33sin14DBC=，∴cosABD3314=，在△ABD中，33AB=，根据余弦定理，2222cosADABBDABBDABD=+−2233(33)723374914=+−=解得7AD

=【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.已知锐角ABC，同时满足下列四个条件中的三个：①3A=②13a=③15c=④1sin3C=（1）请指出这三个条件，并说明理由；（2）求ABC的面积.【答案】（1）ABC同时满足①，

②，③，理由见解析.（2）303【解析】【分析】（1）判断三角形的满足条件，推出结果即可.（2）利用余弦定理求出b，利用面积公式求解ABC的面积.【详解】（1）ABC同时满足①，②，③.理由如下：若ABC同时满足①，④，则在锐角A

BC中，11sin32C=，所以06C又因为3A=，所以32AC+所以2B，这与ABC是锐角三角形矛盾，所以ABC不能同时满足①，④，所以ABC同时满足②，③.因为ca所以CA若满足④.则6AC，则2B，这与ABC是锐

角三角形矛盾.故ABC不满足④.故ABC满足①，②，③.（2）因为2222cosabcbcA=+−，所以222113152152bb=+−.解得8b=或7b=.当7b=时，22271315cos02713

C+−=所以C为钝角，与题意不符合，所以8b=.所以ABC的面积1sin3032SbcA==.【点睛】本题主要考查解三角形中余弦定理的应用及面积公式的应用，属于中档题目.