【文档说明】重庆市南开中学2025届高三上学期8月第一次质量检测数学试题 Word版含解析.docx，共(20)页，1.104 MB，由小赞的店铺上传

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重庆市南开中学2025届高三上学期8月第一次质量检测数学试题本试卷分为第I卷(选择题)和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第I卷和第II卷都答在答题卷上.第I卷（选择题共58

分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,1,0,1,2U=--，2,2M=−，11,NNxxx=−，则()UMN=ð（）

A.1,0,1−B.1,1−C.0,1D.0,1【答案】C【解析】【分析】由已知求解UMð，化简集合N后再由交集运算得答案．【详解】∵集合2,1,0,1,2U=−−，2,2M=−，∴1,0,1UM−＝ð，又11,NNxxx=

−＝{0,1}，∴(UMð)∩N＝{0,1}．故选：C．2.设(),0,1ab，则“ab=”是“loglogabba=”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】C【解析】【分析】利用换底公

式及对数的运算性质得到ab=，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为(),0,1ab，若loglogabba=，则log1loglogloglogaabaaababb===，则log1

ab=，所以ab=或1ab=(舍去).因此“ab=”是“loglogabba=”的充要条件.故选：C．3.()fx是定义在R上奇函数，当0x时，2()fxxx=−+；则不等式(1)()0xfx−的解集（）的A.(,1)−−B.(1,0)−C.(0,1)D.(

1,)+【答案】B【解析】【分析】由()fx是定义在R上的奇函数得()fx，分0x、0x可得()0fx、()0fx得的解，再由(1)()0xfx−得10()0xfx−或10()0xfx−，解不等式组可得答案.【详解】()fx是定义在R上的奇函数，

2()fxxx=−+，当0x时，()22()()=−−=−−−=+fxfxxxxx，且(0)0f=，0x时，由2()0=−+fxxx得()0,1x，由2()0=−+fxxx得()1,x+，0x时，

由2()0=+fxxx得(),1x−−，由2()0=+fxxx得()1,0x−，由(1)()0xfx−得10()0xfx−或10()0xfx−，当10()0xfx−时，无解，当1

0()0xfx−时，()1,0x−，故选：B．4.函数()2sinln2xfxxx+=−的大致图象是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性单调性与函数值符号确定函数的图象.【详解】由202xx+−，得()2,2x−，所以()fx的定义域为()2,2−

.又()()()()222sinlnsinlnsinln222xxxfxxxxfxxxx−++−=−=−−==+−−，所以函数()fx为偶函数，图象关于y轴对称，故B错误；因为24lnln122xxx+=−−−，所以当()0,

2x时，2ln0,sin02xxx+−，所以()0fx，且在定义()0,2x内为增函数，故A，D错误.对C：符合函数的定义域，奇偶性，单调性，故C正确.故选:C5.在同一直角坐标系内，存在一条直线l，使得函数()yfx=与函数𝑦

=𝑔(𝑥)的图象关于直线l对称，就称函数()ygx=是函数()yfx=的“轴对称函数”．已知函数()xfxe=（e是自然对数的底数），则下列函数不是函数()yfx=的“轴对称函数”的是（）A.2e

xy=−B.2exy−=C.exy−=−D.lnyx=【答案】C【解析】【分析】根据轴对称分析AB；根据中心对称分析判断C；根据反函数的性质判断D.【详解】对于选项A：因为()e2e12xx+−=，可知exy=与2exy=−关于1y=对称，不合题意；对于选

项B：因为()212xx+−=，可知exy=与2exy−=关于1x=对称，不合题意；对于选项C：因为exy=与exy−=−关于原点对称，不是轴对称函数，符合题意；对于选项D：exy=与lnyx=关于yx=

对称，不合题意；故选：C．6.设0a，函数()||||fxxaxa=−++，若()()gxfxb=−恰有三个不同的零点，且b是其中的一个零点，则实数b的值为（）A.85B.165C.45D.1【答案】B【解析】【分析】由函数奇偶性的判定得

出()()gxfxb=−为偶函数，则(0)0g=得出20ba=，再根据()0gb=列出方程，求解即可．【详解】因为()||||||||()fxxaxaxaxafx=−++=−++=，且()fx定义域为R，所以()fx偶函数，则()()gxfxb=−也为偶函数，又()()gxfxb=−恰有三个

不同的零点，所以有(0)(0)20gfbab=−=−=，即20ba=，所以()|||||2||2|20gbbababaaaaa=−++−=−++−=，同除以a得，22|1|12aa−++=，设20ta=，当1t=时，|11|

112−++不成立；当21ta=时，112tt−++=，解得514t=，则85a=，1625ba==；当201ta=时，112tt−++=，解得0t=不合题意舍去，所以165b=，故选：B．7.已知()fx，()gx是定义域为R的函

数，且()fx是奇函数，()gx是偶函数，满足()()22fxgxaxx+=++，若对任意的1212xx，都有()()12123gxgxxx−−−成立，则实数a的取值范围是（）A.)0,+B.3,04−C.3,4−+D.

3,4−+【答案】D为【解析】【分析】根据奇偶函数构造方程组求出()gx的解析式，再根据题意得到()232hxaxx=++在()1,2x单调递增，分类讨论即可求解.【详解】由题意可得()()22fxgxaxx−+−=−+，因为()fx是奇函数，()gx是偶函

数，所以()()22fxgxaxx−+=−+，联立()()()()2222fxgxaxxfxgxaxx+=++−+=−+，解得()22gxax=+，又因为对于任意的1212xx，都有()()12123gxgxxx−−−成立，所以()()121

233gxgxxx−−+，所以()()112233gxxgxx++成立，构造()()2332hxgxxaxx=+=++，所以由上述过程可得()232hxaxx=++在()1,2x单调递增，（1）若0a，则对称轴0322

xa=−，解得3<<04a−；（2）若0a=，则()32hxx=+在()1,2x单调递增，满足题意；（3）若0a，则对称轴0312xa=−恒成立；综上，3,4a−+.故选：D.8.设111

66,2lnsincos,ln5101055abc==+=，则,,abc的大小关系是（）A.abcB.bacC.bcaD.cab【答案】B【解析】【分析】构造函数()sinfxxx=−、()ln(1)gxxx=−+和6()ln(1)5hxxx=−+，

其中(0,1)x，利用导数得到它们的单调性即可比较出三者大小关系.【详解】由已知可得2111112lnsincoslnsincosln(1sin)101010105b=+=+=+，设()sinfxxx=

−，(0,1)x，则()1cos0fxx=−，所以()sinfxxx=−在(0,1)上单调递增，所以1(0)05ff=，即11sin55，所以11ln1sinln155b=++，设()ln(1)gxxx=−+，(0

,1)x，则1()1011xgxxx=−=++，所以()ln(1)gxxx=−+在(0,1)上单调递增，所以1(0)05gg=，即111ln1ln1sin555++，综

上ab，设6()ln(1)5hxxx=−+，(0,1)x，则651()1551xhxxx−=−=++，当10,5x时，()0hx，当1,15x时，()0hx，所以6()ln(1)5hxxx=−+在10,5上单调递减，在1,15

上单调递增，所以1(0)05hh=，即16166ln1ln55555+=，所以ac，所以bac故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键首先对b进行合理变形得1ln(1si

n)5b=+，再通过构造函数()sinfxxx=−、()ln(1)gxxx=−+和6()ln(1)5hxxx=−+，利用它们的单调性即可比较三者大小关系.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的

得0分.9.下列式子中最小值为4的是（）A.224sinsinxx+B.222xx−+C.()228log2log8xx+D.2211sincosxx+【答案】BCD【解析】【分析】对于ABD，利用基本不等式运算

求解；对于C，运用对数运算及二次函数的最值可判断．【详解】对于选项A：2242sin2sin4sinsinxxxx+=，当且仅当2sinsinxx=，即当且仅当sin2x=时等号成立，但sin2x=

不成立，所以224sinsinxx+的最小值不为4，故A错误；对于选项B：因为20,20xx−，则22222224−−+=xxxx，当且仅当222xx−=，即1x=时，等号成立，所以222xx−+的最小值为4，故B正确；对于选项C：()()()222238lo

g2log81loglog8xxxx+=+−+()22222log2log5log14xxx=−+=−+，当2x=时，取得最小值4，故C成立；对于选项D：由题意22sin0,cos0xx，则()22222222221111cossinsincos2sinco

ssincossicosnxxxxxxxxxx+=++=++，2222cossin224cossinxxxx+=，当且仅当2222cossinsincosxxxx=，即tan1x=时，等号成立，故D正确．故选：BCD．10.已知函数()e1xfx=−，10x，20

x，函数()yfx=的图象在点()()11,Axfx处的切线与在点()()22,Bxfx处的切线互相垂直，且分别与y轴交于M、N两点，则（）A.12xx+为定值B.21xx为定值C.直线AB的斜率取值范围是()0,+D.AMBN的取值范围是()0,1【答案】AC

D【解析】【分析】结合导数的几何意义可得120xx+=，即可判断AB；结合基本不等式可判断C；结合直线方程及两点间距离公式可得,AMBN，化简可判断D.【详解】当0x时，()1exfx=−，导数为()exfx=−，可得在点()11,1exAx−处的斜率为11exk=−，切线

AM的方程为()()1111eexxyxx−−=−−，令0x=，可得1111eexxyx=−+，即)111(0,1eexxMx−+，当0x时，()e1xfx=−，导数为()exfx=，可得在点()22,e1xBx−处的斜率为22exk=，令0x=，可得222

e1exxyx=−−，即)222(0,e1exxNx−−，由()fx的图象在A，B处的切线相互垂直，可得1212ee1xxkk=−=−，即为12120,0,0xxxx+=，故A正确，B错误；直线AB的斜率()2121212121212121+2220e11eee2

ee2exxxABxxxxxxxxxkxxxx+−−−====−−−−−−−，因为12xx，所以上面不等式中的等号不成立，故C正确；)())1122222222111222(e1e,(e1exxxxAMxxxB

Nxxx=+=+−=+=+，()112112212221e1e(0,1)1e1eexxxxxxAMBNx−+−+===++，故D正确.故答案为：ACD.11.我们知道，函数()yfx=的图象关于坐标原点成中

心对称图形的充要条件是函数()yfx=为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数()yfx=的图象关于点(,)Pab成中心对称图形的充要条件是函数()yfxab=+−为奇函数．已知函数4()22xfx=+，则下列结论正确的有（）A.函数()fx的值域为(0,2]B.函数()fx的图象关于点(1,1

)成中心对称图形C.函数()fx的导函数()fx的图象关于直线1x=对称D.若函数()gx满足(1)1ygx=+−为奇函数，且其图象与函数()fx的图象有2024个交点，记为(,(1,2,,))2024iiiAxyi=，则20241(8)404iiixy=+=【答案】BCD【解析】【

分析】借助指数函数的值域求解判断A；利用给定定义计算判断B；利用复合函数求导法则结合对称性判断C；利用中心对称的性质计算判断D.【详解】对于A，显然()fx的定义域为R，20x，则40222x+，即函数()fx的值

域为(0,2)，A错误；对于B，令14212()112(12)22111xxxxhxxf+−==−=+−−=+++，1221()()1221xxxxhxhx−−−−−===−++，即函数(1)1yfx=+−是奇函数，因此函数()fx的图

象关于点(1,1)成中心对称图形，B正确；对于C，由选项B知，(1)1[(1)1]fxfx−+−=−+−，即(1)(1)2fxfx−++=，两边求导得(1)(1)0fxfx−−++=，即(1)(1)fxfx−=+，因此函数()fx的导函数()fx的图象关于直线1x=对称，C正

确；对于D，由函数()gx满足(1)1ygx=+−为奇函数，得函数()gx的图象关于点(1,1)成中心对称，由选项B知，函数()gx的图象与函数()fx的图象有2024个交点关于点(1,1)对称，因此202420242024111(10122101224048)iiiiiiixyxy===+=+=

+=，D正确.故选：BCD【点睛】结论点睛：函数()yfx=的定义域为D，xD，①存在常数a，b使得()(2)2()()2fxfaxbfaxfaxb+−=++−=，则函数()yfx=图象关于点(,)ab对称.②存在常数a使得()(2)()()fxfaxfaxfax

=−+=−，则函数()yfx=图象关于直线xa=对称.第II卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()elnxfxax=−在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为__________．

【答案】1e−##1e【解析】【分析】根据()0fx在(1,2)上恒成立，再根据分参求最值即可求出．【详解】因为()()eln0xfxaxx=−，所以1()exfxax=−，所以函数()elnxfxax=−

在区间(1,2)上单调递增，即()0fx在(1,2)上恒成立，显然0a，所以问题转化为1exxa在(1,2)上恒成立，设()(e,1,2)xxgxx=，所以()()0e1eexxxgxxx==++，所以()gx在(1,2)上单调递增，所

以()()1egxg=，故11eeaa，所以a的最小值为：1e.故答案为：1e.13.已知函数()22()3log1fxxx=+−，正数,ab满足()(31)0fafb+−=，则3baab+的最小值为______．【答案】12【解

析】【分析】由函数奇偶性的判定得出()fx为奇函数，有()()0fxfx+−=，进而得出31ab+=，再根据基本不等式求解即可．【详解】因为()22()3log1fxxx=+−定义域为R，又()()()2222221()3log13log3log11fxxxxxfxxx−=++==

−++=−+−，所以()fx为奇函数，有()()0fxfx+−=，又()(31)0fafb+−=，所以310ab+−=，即31ab+=，又因为,ab为正数，所以33131(3)baabababab+=+=++99332612babaabab=++++=，当且仅当9

baab=，即11,26ab==时，等号成立，故答案为：12．14.已知函数()ln(1),()ln(0)1mxfxxgxxmxm=+−=++，且()()120fxgx==，则()2111emxx−+的最大值为___________.【答案】1【解析】【分析】根据函数的零点定义，可

以得到关于m的两个等式，结合对数与指数的恒等变形公式，构造新函数，结合导数的性质，利用新函数的单调性得到12,xx之间的关系，最后对()2111emxx−+进行转化为关于m的式子，最后构造新函数，利用导数的性质求出最值即可.【详解】由()()120fxgx==，可得()22121121ln(1)

0,ln01ln(1)e1xxmxxmxxxxm+−=+==++=+，因0m，所以111x+，20x，显然2e1x，为由()2221121ln(1)eelnexxxxxx++==，构造函数()()()()ln11ln0gxxxxgxxgx==+在

()1,+上单调递增，由()()()222211211ln(1)eelne1exxxxxxxgxg++==+=，而()gx在()1,+上单调递增，所以有211exx+=，因此()22121111eeeex

mmmxxxm−−−+==，设()()()1110eemmmmhmmhm−−−==，当1m时，()()0,hmhm单调递减，当01m时，()()0,hmhm单调递增，所以当1m=时，函数()hm有最大值，即()()max11hmh==，故答案为：1

【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用函数零点的定义得到等式()21121ln(1)exmxxx=++=，然后利用同构思想，结合导数的性质进行求解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已

知函数()lnfxxax=−，()2gxax=，0a.（1）求函数()fx的单调区间；（2）若0a且()()fxgx恒成立，求a的最小值.【答案】（1）答案见解析（2）32e.【解析】【分析】（1）求导后，利用导数与函数单调性的关系，对0a与a<0分类讨论即可得；（2

）结合函数的单调性求出函数的最值，即可得解.【小问1详解】()11axfxaxx−=−=（0a），当a<0时，由于0x，所以𝑓′(𝑥)>0恒成立，从而()fx在(0,+∞)上递增；当0a时，10xa，𝑓′(𝑥)>0；

1xa，𝑓′(𝑥)<0，从而()fx在10,a上递增，在1,a+递减；综上，当a<0时，()fx的单调递增区间为()0,+，没有单调递减区间；当0a时，()fx的单调递增区间为10,a

，单调递减区间为1,a+.【小问2详解】令()()()2lnhxfxgxxaxax=−=−−，要使()()fxgx恒成立，只要使()0hx恒成立，也只要使()max0hx.()()()221212axaxhxaxa

xax−+−=−+=，由于0a，0x，所以10ax+恒成立，当20xa时，ℎ′(𝑥)>0，当2xa+时，ℎ′(𝑥)<0，所以()max22ln30hxhaa==−，解得：32ea，所以a的

最小值为32e.16.（2018届江苏省泰州中学高三10月月考）已知二次函数()223,fxmxx=−−关于实数x的不等式()0fx的解集为1,n−.(1)当𝑎>0时,解关于x的不等式()2:

112;axnmxax++++(2)是否存在实数()0,1,a使得关于x的函数()()131,2xxyfaax+=−的最小值为5?−若存在,求实数a的值;若不存在,说明理由.【答案】(1)见解析；(2)512a−=.【解析】【详解】(1)由不

等式2230mxx−−的解集为1,n−知关于x的方程2230mxx−−=的两根为1−和,n且0,m由根与系数的关系,得211,,331nmmnnm−+===−=−所以所求不等式化为()()220,xax−−①当0<𝑎<1时,所求不等式化

为()220,xxa−−且22,a解得2xa或2;x②当1a=时,所求不等式化为()220,x−解得xR且2;x③当1a时,所求不等式化为()220,xxa−−且22,a解得2xa或2;x综上所述，当01a时,所求

不等式的解集为2{xxa或2};x当1a时,所求不等式的解集为{2xx或2}xa.(2)假设存在满足条件的实数a，由(1)得()21,23mfxxx==−−,()()123323xxxxyfaaaaa+=−=−+−,令()2xatata=,则()()22323ytatata=−+−

,对称轴为322at+=,因为()0,1,a所以23251,122aaa+,所以函数()2323ytat=−+−2,aa上单调递减,所以当ta=时,y取得最小值，为22235yaa=−−−=−,解得512a−=.17.掷两颗骰子，观察掷得的点数．（1）设A：掷得的两个点数之

和为偶数，B：掷得的两个点数之积为偶数，判断A、B是否相互独立．并说明理由；（2）已知甲箱中有3个白球，2个黑球；乙箱中有2个白球，3个黑球．若掷骰子所得到的两个点数奇偶在性不同，则从甲箱中任取两个球；若所得到的两个点数奇偶性相同，则从乙箱中任取两个

球、求取出白球个数的分布和期望．【答案】（1）不相互独立（2）分布列见解析，期望为1.【解析】【分析】（1）利用古典概率结合组合计数问题求出(),(),()PAPBPAB，再利用相互独立事件的定义判断即得.（2）求出取得白球个数X的可能值，并求

出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望.小问1详解】依题意，2222233133(),()16264PAPB+===−=，2231()64PAB==，显然()()()PABPAPB，所以A、B不是相互独立的.【小问2

详解】两个点数奇偶性不同的概率为23333162+=，两个点数奇偶性相同的概率也是12，记取出白球的个数为X，则X可能的取值为：0，1，2，22322255CC111(0)2C2C5PX==+=，111123232255CCCC113(1

)2C2C5PX==+=，22322255CC111(2)2C2C5PX==+=，所以X的分布为：X012P153515期望()1310121555EX=++=.18.已知O为坐标原点，动点M在椭圆

22:12xCy+=上，动点N满足3ONOM=，记点N的轨迹为E（1）求轨迹E的方程；【（2）在轨迹E上是否存在点T，使得过点T作椭圆C的两条切线互相垂直？若存在，求点T的坐标：若不存在，请说明理由：（3）过点M的直线()0ykxm

m=+交轨迹E于A，B两点，射线OM交轨迹E于点P，射线MO交椭圆C于点Q，求四边形APBQ面积的最大值.【答案】（1）22163xy+=（2）存在，(0,3)T或(0,3)−（3）2(31)+【解析】【分析】（1）利用相关点法即可求

解；（2）当切线斜率都存在时，设过00(,)Txy点的切线为()00yykxx−=−，联立方程组，消元后根据()2200Δ8120kykx=+−−=，整理为()22200002210xkxyky−−+

−=，结合韦达定理和垂直条件可得22003xy+=，再根据2200163xy+=，即可求解；（3）将ykxm=+代入轨迹E的方程，结合韦达定理，求得OAB△的面积22022231212mmSkk=−++，再将ykxm=

+代入椭圆C的方程可得(1+2𝑘2)𝑥2+4𝑘𝑚𝑥+2𝑚2−2=0，由228(12)0km=+−，可得2212mk+，令2212mtk=+，由①②可知01t，从而求得0S取得最大值2，由题知3,

OPOMABP=的面积10(31)SS=−，又易知ABQ面积202SS=，从而四边形APBQ的面积12(31)SSS=+=+0S，从而可求解.【小问1详解】设(,),(,),MmnNxy则(,),(,)ONxyOMmn==，由3ONOM=得(),3(,)xymn=，又(,)Mmn在

椭圆C上，所以221.2mn+=代入化简得22163xy+=，所以点N的轨迹E的方程为221.63xy+=【小问2详解】当两条切线的斜率存在时，设过00(,)Txy点的切线为()00yykxx−=−，联立()00`22

12yykxxxy−=−+=，消去y得()()()2220000124220kxkykxxykx++−+−−=则由判别式()2200Δ8120kykx=+−−=，得()22200002210xkxyky−−+−=，设两条切线的斜率分别为12,kk，依题意得10

2022112ykkx−==−−即22003xy+=，又点T在轨迹E上，2200163xy+=，解得000,3xy==，(0,3)T或(0,3)−当两条切线的斜率有一条不存在时，结合图像得不合题意，综上，存在满足条件的点T，且点T的坐标为(0,3

)T或(0,3)−.【小问3详解】将ykxm=+代入轨迹E的方程，可得()222124260kxkmxm+++−=，由222222164(12)(26)8(63)0kmkmkm=−+−=+−，可得2236mk+①，且122412km

xxk+=−+，21222612mxxk−=+，所以22122226312kmxxk+−−=+，因为直线ykxm=+与y轴交点的坐标为(0,)m，所以OAB△的面积2201222631212kmmSmxxk+−=−=+222222222

(63)23121212kmmmmkkk+−==−+++，将ykxm=+代入椭圆C的方程可得(1+2𝑘2)𝑥2+4𝑘𝑚𝑥+2𝑚2−2=0，由228(12)0km=+−，可得2212mk+

②，令2212mtk=+，由①②可知01t，因此()202323Stttt=−=−+，故02S，当且仅当1t=，即2212mk=+时，0S取得最大值2，由题知3,OPOMABP=的面积10(31)SS=−，又易知ABQ面积202SS=，从而四边形APBQ

的面积12(31)SSS=+=+0S，所以四边形APBQ的面积的最大值为2(31)+.【点睛】关键点点睛：第三问的关键是先求得OAB△的面积0S，再根据3,OPOM=从而可得ABP的面积10(31)SS=−，又易知ABQ面积202

SS=，从而四边形APBQ的面积12(31)SSS=+=+0S.19.对于正实数a，()bab，我们熟知基本不等式：(,)(,)GabAab，其中(,)Gabab=为a，b的几何平均数，(,)2abAab+=为a，b的算术平均数

．现定义a，b的对数平均数：(,)lnlnabLabab−=−．（1）设1x，求证：12lnxxx−；（2）证明(,)(,)GabLab；（3）若不等式(,)(,)(,)GabAabmLab+对任意正实数,()abab恒成立，求正实数m的

取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）(0,2]m【解析】【分析】（1）构造函数11()ln(),02fxxxxx=−−，利用其单调性可证得()(1)0fxf=推理即得；（2）将待证式等价转化成2lnaabbba−，设a

tb=，则1t，利用（1）的结论证明12lnttt−即可；（3）将题设不等式等价转化成11(1)2lnaamababbb−++，设atb=，则1t，将问题化成1ln01tmtt−−+在1t时恒成立.，设1ln,1()1ttttgtm−=−+，分类讨论其导函数的零

点情况，探讨函数()gt的值域情况即得.【小问1详解】设11()ln(),02fxxxxx=−−，则2222211121(1)()2222xxxfxxxxx−−−=−−==−，故当1x时，()0fx

恒成立，即()fx在(1,)+上单调递减，又(1)0f=，故1x时，()(1)0fxf=即1x时，11ln()2xxx−，即12lnxxx−得证.【小问2详解】要证(,)(,)GabLab，需证lnlnababab−−，因ab，故只需证，lnaabb

ab−，即证，2lnaabbba−.设atb=，则1t，由（1）可得12lnttt−，即得2lnaabbba−，故(,)(,)GabLab得证.【小问3详解】由不等式(,)(,)(,)GabAabmLab+对任意正实数,()abab恒

成立可得，lnln2ababmabab−++−，即11(1)2lnaamababbb−++恒成立.设atb=，则1t，则有2211(1)2ln2mtttt−++，化简得，11lnmttt−+，即1ln01tmtt

−−+在1t时恒成立.设1ln,1()1ttttgtm−=−+，则222212(1)1,1)(1))((tmttttgmtt−+−−−=++=①当24(1)40m=−−时，即2m时，方程22(1)10tmt−+−−=有两个异根12,tt，由12122

(1)0,10ttmtt+=−=，可取11,t则201t，因1t，故当11tt时，()0gt，()gt在1(1,)t上单调递增，故()(1)0gtg=，与题意不符，故舍去；②当02m时，因1t

，则2222(1)121(1)0tmtttt−+−−−+−=−−，即()0gt，()gt在(1,)+上单调递减，故恒有()(1)0gtg=成立，符合题意.综上可知，(0,2]m【点睛】思路点睛：本题主要考查运用导数证明不等式，解决不等式恒

成立求参问题，属于难题.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)

利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．