【文档说明】江苏省南通市海安市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题 含解析.docx，共(24)页，1.578 MB，由管理员店铺上传

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2021~2022学年末学业质量监测试卷高一数学2022.06注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共6页，满分150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卷交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号、座位号用0.5毫米黑色字迹签字

笔填写在答题卷上．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与你本人的是否相符．4．作答选择题必须用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答

非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米的签字笔写在答题卷上的指定位置，在其它位置作答一律无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.设集合A＝{x|－5≤x≤2}，B＝{x||

x＋3|＜3}，则A∪B＝（）A.[－5，0）B.（－6，2]C.（－6，0）D.[－5，2）【答案】B【解析】【分析】解出集合B，由集合的并集运算求解即可.【详解】解：由|3|3x+可得333x−+，解得60x−，所以B{|60}xx=−，所以A∪B＝{|52}{

|60}{|62}xxxxxx−−=−，故选：B.2.若（－1＋i）z＝3＋i，则|z|＝（）A.22B.8C.5D.5【答案】C【解析】【分析】根据复数的乘、除法运算求出2iz=−+，结合复数的几何

意义计算即可.【详解】由题意知，()()(3i)1i3i12i1i1i(1i)z+−−+===−−−+−+−−，所以()()22125z=−+−=.故选：C3.已知12log3a=，lnb=，12ec−=，则a，b，c的大小关系为（）A.bcaB.bacC.cbaD.cab

【答案】A【解析】【分析】根据对数函数的单调性及指数函数的单调性可得结论．【详解】1122log3log10a==，lnlne1b==，1020ee1c−==，所以acb．故选：A．4.已知正三棱锥的底面

边长为4，高为2，则该三棱锥的表面积是（）A43B.63C.83D.123【答案】D【解析】【分析】画出图形，求出底面积和侧面积，即可求出三棱锥的表面积.【详解】如图，正三棱锥OABC−中，2OM=，取BC的中点，连接ANON，，则M在AN上，且13MNAN=，又42ABBN==

，，所以224223AN=−=，所以12333MNAN==，则22433ONOMMN=+=，所以183143232OBCABCSBCONSBCAN====，，故三棱锥的表面积为833431233+=.故选：D.5.已知向量ab，满足233ababa+=−=，则ab

a+=，（）A.5π6B.2π3C.π3D.π6【答案】D【解析】【分析】对||||abab+=−两边平方求得0ab=，进而利用()223cos,3abaaaba+=+且()2220abaaabaa+=+=+=列出方程，求出3

cos,2aba+=，结合0,πaba+，，求出答案.【详解】||||abab+=−，两边平方得：()()22abab+=−，即222222aabbaabb++=−+rrrrrrrr，所以0ab=，由()223cos,cos,3abaabaabaaaba+

=++=+，而()2220abaaabaa+=+=+=，所以2223cos,3aabaa+=，所以3cos,2aba+=，因为0,πaba+，，所以π6aba+=，故选：D6.已知f(x)是定义域在R上的奇函数，且满足(2)(2)fxfx−+=+，则下列结论不

正确的是（）A.f（4）＝0B.y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称C.f（x＋8）＝f(x)D.若f（－3）＝－1，则f（2021）＝－1【答案】B【解析】【分析】根据奇函数性质，令2x=−，即可判断A的正误；根据函数的对称性，可判断B的正误；根据奇函数及对称性，整理可

判错C的正误；根据函数周期性，可判断D的正误，即可得答案.【详解】对于A：因为f(x)是定义域在R上的奇函数，所以(0)0f=，又(2)(2)fxfx−+=+，令2x=−代入可得(4)(0)0ff==

，故A正确；对于B：因为(2)(2)fxfx−+=+，所以()fx图象关于2x=对称，无法确定是否关于直线x＝1对称，故B错误；对于C：因为()fx为奇函数，所以(2)(2)(2)fxfxfx+=−+=−−，所以(4)()fxfx+=−，则(8)(4)()fxfxfx+

=−+=，故C正确；对于D：由C选项可得，()fx的周期为8，所以(2021)(25383)(3)1fff=−=−=−，故D正确；故选：B7.一个表面被涂上红色的棱长为ncm（n≥3，n∈N*）的立方体，将其

适当分割成棱长为1cm的小立方体，从中任取一块，则恰好有两个面是红色的概率是（）A.38nB.312(2)−nnC.236(2)−nnD.33(2)−nn【答案】B【解析】【分析】首先确定共分割的块数，以及满足条件的块数，再求概率.【详解】由条件可知，共

有3n块，两个面的交界处的中间部分是两个面是红色，每一个交界处有2n−块，共有12个交界，则两个面是红色的有()122n−块，所以概率()3122nPn−=.故选：B8.在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若8,sin2sincos0acBCA=+=，则ABC面积的最大

值为()A1B.3C.2D.4【答案】C【解析】【分析】根据sin2sincos0BCA+=利用三角恒等变换和正余弦定理得到2222bac=−，再根据余弦定理和基本不等式可得cosB的范围，由此得B的范围，从而得到sinB的最大值，从

而根据1sin2ABCSacB=可求△ABC面积的最大值．【详解】sin2sincos0BCA+=，()sin2sincos0ACCA++=，即sincoscossin2sincos0ACACCA++=，即sincos3cossi

n0ACAC+=，则2222223022bacbcaacabbc+−+−+=，整理得2222bac=−，∴22222222232332cos22442acacacbacacBacacacac−+−+−+====…，当且仅当𝑎2=3𝑐2⇔𝑐=√8√3,𝑎=√8√3时取等号，π1

0sin62BB，，„，则111sin82222ABCSacB==„．故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对

得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．9.按先后顺序抛三枚质地均匀的硬币，则（）.A.第一枚正面朝上的概率是18B.“第一枚正面朝上”与“三枚硬币朝上的面相同”是相互独立的C.“至少一枚正面朝上”与“三枚硬币正

面都朝上”是互斥的D.“至少一枚正面朝上”与“三枚硬币反面都朝上”是对立的【答案】BD【解析】【分析】对A，根据单独一枚硬币正面朝上的概率判断即可；对B，根据相互独立事件公式判断即可；对C，根据两事件是否能同时发生判断即可；对D，根据对立事件的定义判定即可；【详解】对A，第一枚正面朝上的概率

是12，故A错误；对B，第一枚正面朝上的概率()12PA=，三枚硬币朝上的面相同的概率()111122224PB==，又()11112228PAB==，因为()()()PABPAPB=，故“第一枚正面朝上”与“三枚硬币朝上的面相同”是相互独立的，故B正确；对C，“至少一枚正面朝

上”与“三枚硬币正面都朝上”可能同时发生，不是互斥的，故C错误；对D，“至少一枚正面朝上”与“三枚硬币反面都朝上”是对立的，故D正确；故选：BD10.下列说法正确的是（）A.用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m

被抽到的概率是0.1B.数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23C.一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数D.甲、乙、丙三种个体按3：1：2的比例分层抽样调查，若抽取的甲种个体数为

9，则样本容量为18【答案】ABD【解析】【分析】对于A：统计抽样中每个个体被抽到的概率为样本容量与总体容量的比值；对于B：将8个数据按从小到大顺序排列，找到第70百分位数的位置，再利用第p百分位数的定义可得；对于C：易知本组数据的众数和中位数均3，则C

错误；对于D：根据甲种个体在样本中的比例和被抽到的个数不难得到样本容量.【详解】对于A：统计抽样中每个个体被抽到的概率为样本容量与总体容量的比值，易知A正确；对于B：将8个数据按从小到大顺序排列12,14,15,17,19,23,27,30，第70百分位数的位置为870=

5.6，则第70百分位数为第6个数23，则B正确；对于C：本组数据的众数和中位数均为3，所以C错误；对于D：根据统计知识可知甲种个体在样本中所占比例31=3+1+22，所以样本容量为19=182，则D正确.故选：ABD.11.已知向量sinc

os0()()axx=，＞，22πsin,cos242=+xxb，函数()fxab=，则（）A.若f(x)的最小正周期为π，则f(x)的图象关于点3π,08对称B.若f(x)的图象关于直线π2x=称，则ω可能为12C.若f(x

)在2π,56−上单调递增，则30,2D.若f(x)的图象向左平移π3个单位长度后得到一个偶函数的图象，则ω的最小值为32【答案】BC【解析】【分析】首先化简函数()fx，再根据三角函数的周期，对称，

单调性，以及图象平移，即可判断选项.【详解】()22sinsincoscos242xxfxabxx==++1cos1cos2sincos22xxxx−++=+1si

n1cossincos22xxxx++=+为()11sincos22xx=++21sin242x=++,A.若函数的最小正周期为，则2=，即()21sin2242fxx=++

，当38x=时，3284+=，此时()12fx=，所以函数关于31,82对称，故A错误；B.若函数的图象关于直线2x=对称，则242k+=+，kZ，得122k=+，kZ，所以的可能为12，故B正确；C.当2π,56x

−时，2,45464x+−++，则25426420−+−+，解得：302，故C正确；D.函数()fx的图象向左平移3个单位长度后得到()21sin2342gxx=+++，

函数()gx是偶函数，则当0x=时，,342kkZ+=+，得334k=+，kZ，且0，所以的最小值是34，故D错误.故选：BC12.如图1所示，在边长为4正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中

点，将AEBAFD，和EFC△分别沿AE，AF及EF所在的直线折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥P－AEF如图2所示），设M为底面AEF内的动点，则（）A.PA⊥EF的B.二面角P－EF－A的余弦值为23C.直线PA与EM所成的角中最小角的余弦值为223D.三棱锥P－AEF

的外接球的表面积为24π【答案】ACD【解析】【分析】根据线面垂直可判断线线垂直，故可判断A,根据二面角的几何求法即可求解，根据线面角是直线与平面内的直线所成角的的最小角即可求解C，三棱锥的外接球与长方体的外接球相同，根据长方体的外接球半径即可求解.【详解】根据题意，AP

PF⊥，APPE⊥，PEPFP=，PE，PF平面PEF，故AP⊥平面PEF，EF平面PEF，故APEF⊥，故A正确；取N为EF中点，又25AFAE==，所以ANEF⊥又2PFPE==，故三角形PEF为等腰三角形，连接PN，则PNEF⊥，根据二面角的定义，显然ANP即为所求二面角，

在三角形PNA中，122PNEF==，2232ANAFFN=−=，又4AP=，故2221cos23ANNPAPANPANNP+−==，故二面角AEFP−−的余弦值为13，则B错误；设点P到平面AEF的距离为h，PA与平面AEF所成的角为，由AP⊥平面PEF，PA

EFAPEFAEFPEFVVShSPA−−==,故1224421322322h==，因此1sin3hPA==,因为EM平面AEF,故是PA与平面AEF内的所有直线所成的最小的角，故222cos1sin3=−=，故C正确因为PA，PE，PF两两垂直，

故三棱锥PAEF−的外接球半径和长宽高分别为2,2,4的长方体的外接球半径相等，故其外接球半径24242262R++==，故外接球表面积24π24πSR==，故D正确故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．1

3.若数据3x1－2，3x2－2，…，3x10－2的方差为18，则数据x1，x2，…，x10的方差为__________．【答案】2【解析】【分析】根据方差的性质公式，即可求解.【详解】设数据x1，x2，…，x10的方差为2s，则数据3x1－2，3x2－

2，…，3x10－2的方差为29s，根据条件可知2918s=，得22s=.故答案为：214.如图，已知菱形ABCD的边长为1，60DAB＝，,2DEECDFFB==，则AEAF=__________．【答案】1312【解析】【分析】根据已知建立直角坐标系，求出相关点的坐

标，再利用向量的数量积的坐标运算公式即可求解.【详解】以A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，由题意可知，()()3130,0,1,0,1,,,222ABED.设(),Fxy,则()13,,1,2

2DFxyxByF=−−=−−，因为2DFFB=，所以()211,22,3xxyy−−=−−，即1222322xxyy−=−−=−，解得5636xy==，53,

66F，所以3531,,,266AEAF==，所以53313162612AEAF=+=.故答案为：1312.15.如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形ABC的斜边AB，直角边BC、AC，点

D在以AC为直径的半圆上．已知以直角边AC、BC为直径的两个半圆的面积之比为3，4cos5DAB=，则cosDAC=______．【答案】43310+【解析】【分析】由以直角边AC、BC为直径的两个半圆的面积之比为3，可得3

ACBC=，进而可得6BAC=，从而利用两角差的余弦公式即可求解.【详解】解：因为以直角边AC、BC为直径的两个半圆的面积之比为3，所以3ACBC=，所以在直角三角形ABC中6BAC=，因为4cos5DAB=，所以3sin5DAB=，所以43

31coscoscoscossinsin666524305231DACDABDABDAB=−=+=+=+，故答案为：43310+.16.有如下解法求棱长为2的正四面体BDA1C1的体积：构造一个棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，我们称之为该正四面体的”生

成正方体”（如图一），正四面体BDA1C1的体积111111−=−正四面体正方体ABCDBDACABCDVV11111111−−−−−−−AABDCBCDBABCDACDVVVV．一个对棱长都相等的四面体，通常称之为等腰四面体，已知一个等腰四面体的对棱长分别5

，10，13（如图二），则该四面体的体积为__________．【答案】2【解析】【分析】根据条件，结合“生成长方体”的特征，即可求解.【详解】设等腰四面体的“生成长方体”的长，宽，高，分别是,,abc，由条件可知，22222251013abacbc+=+=

+=，解得：1,2,3abc===，所以该四面体的体积111234123232V=−=.故答案为：2四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD

，M，N分别为棱AB，PC的中点，求证：（1）MN//平面PAD．（2）MN⊥CD．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）要证明线面平行，可转化为证明线线平行，取PD的中点E，证明四边形AMNE是平行

四边形；（2）根据平行关系转化为证明CDAE⊥，即证明CD⊥平面PAD.【小问1详解】取PD的中点E，连接,AEEN．因为E，N分别是,PDPC的中点，所以ENCD∥且12ENCD=，又因为CDAB∥，M是AB中点，所以AMCD且

12AMCD=，所以AMEN∥且AMEN=，所以四边形AMNE是平行四边形，所以MNAE∥．因为MN平面PAD，AE平面PAD，所以//MN平面PAD【小问2详解】因为PA⊥平面ABCD，所以PACD⊥，又CDAD⊥，且PAADA=，所以CD⊥平面PAD，AE平面PAD

，所以CDAE⊥，又因为MNAE∥，所以CDMN⊥．18.在①2sintanaBbA=，②sinsin3aBbA=+，③sinsin2BCbaB+=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答．问题：在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，

c，且______．（1）求角A；（2）若角A的平分线AD长为1，且4bc=，求ABC外接圆的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）3（2）12【解析】【分析】（1）若选①：根据题意边角转化得：2sinsincossinsinABAAB

=，再求解即可；若选②：根据题意边角转化得：13sinsincossin22ABAB=，再求解即可；若选③：根据题意得：sinsin2AbaB−=，即sincossinsin2ABAB=，即2sisincn

ossin2cos22AAABB=，再求解即可；（2）根据题意得：ABDACDABCSSS+=△△△，即113444bcbc+=，再利用余弦定理求出a，再利用正弦定理求出外接圆半径即可求解.【小问1详解】若选①：在ABC中，因2sintanaBbA=，所以sin2sincosAaBbA=

，即2sincossinaBAbA=，由正弦定理可得，2sinsincossinsinABAAB=，又因为A，(0,)B，所以sin0A，sin0B，所以1cos2A=，则3A=，若选②：在ABC中，因sinsin3aBb

A=+，所以13sinsincos22aBbAA=+，由正弦定理可得，13sinsinsinsincossin22ABABAB=+，所以13sinsincossin22ABAB=，又因为(0,)B，所以sin0

B，所以tan3A=，则3A=，若选③：在ABC中，因为sinsin2BCbaB+=，所以sinsin2AbaB−=，所以cossin2AbaB=，由正弦定理可得，sincossinsin2ABAB=，又因为(0,)B，所以sin0B，所以cossi

n2AA=，又sin2sincos22AAA=，即cos2sincos222AAA=，又(0,)A，所以(0,)22A，所以cos02A，所以1sin22A=，又因为(0,)A，所以26A=，则3A=，【小问2详解】因为角A的平分线为AD，又ABDACDABCSSS+=△△△，所

以111sin30sin30sin60222bADcADbc+=，即113444bcbc+=，即()343bcbc+==，又22222cos()336abcbcAbcbc=+−=+−=，所以6a=，所以6243sin32aRA===，即2

3R=，故ABC外接圆的面积212SR==，19.北京时间2022年6月5日，搭载神舟十四号载人飞船的长征二号F遥十四运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，约577秒后，神舟十四号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，

顺利将陈冬、刘洋、蔡旭哲3名航天员送入太空，顺利进入天和核心舱．为激发广大学生努力学习科学文化知识的热情，某校团委举行了一场名为”学习航天精神，致航空英雄”的航天航空科普知识竞赛，满分100分，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40，90]之间，其得分的频率

分布直方图如图所示．（1）根据频率分布直方图，求这100名同学得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）用分层抽样的方法从得分在[60，70），[70，80），[80，90]这三组中选6名学生，再从

这6名学生中随机选取2名作为代表参加团委座谈会，求这2名学生的得分不在同一组的概率．【答案】（1）64.5（2）1115【解析】【分析】（1）首先根据频率和为1，求a，再根据平均数公式，即可求解；（2）

首先确定各组抽取的人数，再通过列举的方法求古典概型的概率.【小问1详解】根据题意知()0.0350.0300.0200.010101a++++=，解得0.005a=，所以这100名同学得分的平均数是450.00510550.03510650.03010750.0201085

0.0101064.5++++=答：平均数是64.5．【小问2详解】由条件知从)60,70抽取3名，从)70,80中抽取2名，从80,90抽取1名，分别记为12312,,,,,aaabbc，因此样本空间可记为()()()()()()()

()()()()()()()()1213111212321222313231212Ω,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,aaaaababacaaababacababacbbbcbc=用A表示“这2名同学的得分不在同一组”，则111212122231323

12(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)Aababacababacababacbcbc=A包含样本点的个数为11，所以()1115PA=答：这2名同学的成绩分别在)60,70,80,90各一名的

概率是111520.某产品在出厂前需要经过质检，质检分为2个过程．第1个过程，将产品交给3位质检员分别进行检验，若3位质检员检验结果均为合格，则产品不需要进行第2个过程，可以出厂；若3位质检员检验结果均为不合格，则产品视为不合格产品，不可以出厂；

若只有1位或2位质检员检验结果为合格，则需要进行第2个过程．第2个过程，将产品交给第4位和第5位质检员检验，若这2位质检员检验结果均为合格，则可以出厂，否则视为不合格产品，不可以出厂．设每位质检员检验结果为合格的概

率均为23，且每位质检员的检验结果相互独立．（1）求产品需要进行第2个过程的概率；（2）求产品不可以出厂的概率．【答案】（1）23（2）1127【解析】【分析】（1）分在第1个过程中，1或2位质检员检验结果为合格两种情况讨论，根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得；（2）首先求

出在第1个过程中，3位质检员检验结果均为不合格的概率，再求出产品需要进行第2个过程，在第2个过程中，产品不可以出厂的概率，最后根据互斥事件的概率公式计算可得；【小问1详解】解：记事件A为“产品需要进行第2个过程”．在第1个过程中，1位质检员检验结果为合格的概率12111211

1223333333339P=++=，在第1个过程中，2位质检员检验结果为合格的概率222121212243333333339P=++=，故()1223PAPP=+=．【小问2详解】解：记事件B为“产品不可以出厂”．在第1个过程中，3位质检员检

验结果均为不合格的概率3111133327P==，产品需要进行第2个过程，在第2个过程中，产品不可以出厂的概率()42225133123907PPA=−==，故()341127PBPP=+=．21.如图，A

B是圆O的直径，C是圆上异于A，B一点，直线PC⊥平面ABC，AB＝PC＝4，AC＝2．（1）求点C到平面PAB的距离；（2）求二面角B－PA－C的正切值．【答案】（1）45719（2）152【解析】【分析】（1）利用垂直关系，以及等体积转化求点到平面的

距离；（2）因为BC⊥平面PAC，再根据垂直关系，构造二面角的平面角，即可求得二面角的正切值.【小问1详解】因为PC⊥平面ABC，AC，BC平面PAC，所以,PCACPCBC⊥⊥．因为点C在以AB为直径圆上，所以ACBC⊥．因为4,2ABAC==，所以23BC=，所以27,25B

PAP==．因为PC⊥平面ABC，所以三棱锥PABC−的体积111183232432323VABACCP===．在ABP△中，因为4,27,25ABBPAP===，由余弦定理2222cosAB

APBPAPBPAPB=+−得()()222272544cos2272535APB+−==因为0πAPB，所以219sin1cos35APBAPB=−=，所以ABP△的面积1119sin27252192235APBSAPBPAPB===△．记

点C到平面PAB的距离为h，则18333APBVSh==△，解得45719h=．【小问2详解】由（1）知，,PCBCACBC⊥⊥，又因为PC，AC平面PAC，PCACC=，所以BC⊥平面PAC，因为PA平面PAC，所

以BCPA⊥．的在平面PAC中，过C作CDPA⊥，垂足为D，连接BD，因为,,CDBCCCDBC=平面PAC，所以AP⊥平面BCD，所以BDC∠即为二面角BPAC−−的平面角．因为4,2ABPCAC===，所以222223,25BCABACPAACPC=

−==+=，2445525ACPCCDPA===．在RtBCD中，2315tan2455BCBDCCD===，所以二面角BPAC−−的正切值为152．22.已知函数()22sincos23cos3222xxxfx=+−.（1）求函数()fx的最小正周期；（2）若不

等式()3fxm−对任意,63x−恒成立，求整数m的最大值；（3）若函数()2gxfx=−，将函数()gx的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右

平移12个单位，得到函数()yhx=的图象，若关于x的方程()()1sincos02hxkxx−+=在5,1212x−上有解，求实数k的取值范围.【答案】（1）2（2）4（3）22,22−【解析】【分析】（1）由二倍角

公式及辅助角公式求得π()2sin3fxx=+，从而可求周期；（2）先求函数()fx的最值，再根据恒成立建立不等式组即可求解；（3）将问题转化为二次方程有解问题解决.【小问1详解】由题意得，()22sincos

23cos3222xxxfx=+−2sin32cos12xx=+−sin3cosxx=+π2sin3x=+.可得函数()fx的最小正周期为2.【小问2详解】因为ππ,63x−，所以ππ2π633x+，所以1πsin123x+

，所以当π6x=−时，()fx的最小值为1；当π6x=时，()fx的最大值为2，所以()12fx.由题意得，()33fxm−−，所以()33mfxm−+对一切ππ,63x−恒成立，所以3132mm−+

，解得14m−，所以整数m的最大值为4.【小问3详解】由题意知，()ππππ2sin2sin2236gxfxxx=−=−+=+，将函数()gx的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得π2sin26yx

=+，再向右平移π12个单位得()ππ2sin22sin2126hxxx=−+=，因为关于x的方程()()1sincos02hxkxx−+=在区间π5π,1212−上有解，整理得：()sin2sincos0xkxx−+=，即

()2sincossincos0xxkxx−+=（*）在区间π5π,1212−上有解，πsincos2sin4txxx=+=+，因为π5π,1212x−，所以π2π,436x+令π22sin,242tx=+

，（*）式可转化为：210tkt−−=在2,22t内有解，所以1ktt=−，2,22t，又因为yt=和1yt=−在2,22t为增函数，所以1ytt=

−在2,22为增函数，所以当22t=时，1ktt=−取得最小值22−；当2t=时，1ktt=−取得最大值22，所以22,22k−，综上所述：k的取值范围为22,22−.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.x

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