【文档说明】贵州省六盘水市纽绅中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题 含解析.docx，共(18)页，1.003 MB，由小赞的店铺上传

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六盘水市纽绅中学2023~2024学年度高二（上）10月月考数学试卷考生注意：1．满分150分，考试时间120分钟．2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内

作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．3．本卷命题范围：人教A版必修第二册、必修第二册，选择性必修第二册第一章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合0,11Ax

RxBxRx==−，则()AB=Rð（）A.(,0)−B.[1,0]−C.[0,1]D.(1,)+【答案】D【解析】【分析】利用并集运算计算出AB，再求其补集即可.【详解】解：因为0,11AxRxBxRx==−，则1ABxRx=，故

()1RABxRx=ð.故选：D.2.以27i−+的虚部为实部，以27i5i+的实部为虚部的复数是（）A.75i−B.27i−+C.5i+D.27i+【答案】A【解析】【分析】根据复数的基本概念即得.【详解】设所求复数为i(,R)zabab=+，由题意知复数27i−

+的虚部为7，所以7a=，复数27i5i57i+=−+的实部为5−，所以=5b−，故75iz=−．故选：A.3.已知向量()1,1,0a=r，则与a同向共线的单位向量e=（）A.22,,022−−B.()0,1,0C.22,,022D.()1,1,0−−【

答案】C【解析】【分析】先求得a的模，再根据与a同向共线的单位向量求解.【详解】因为向量(1,1,0)a=，所以2221102a=++=，所以与a同向共线的单位向量为：22(,,0)22aea==，故选：C.4.在一次抛硬币

的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了800次试验，发现正面朝上出现了440次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（）A.0.55，0.55B.0.55，0.5C.0.5，0.5D.0.5，0.55【答案】B【解析】【分析】根据频率的计算公式可求得频率，结合概率的含义可确定概率，即得答案.【详

解】某同学用一枚质地均匀的硬币做了800次试验，发现正面朝上出现了440次，那么出现正面朝上的频率为4400.55800=,由于每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是12,故出现正面朝上的概率为10.52=,故选︰B．5.已知

空间向量a，b，c不共面，且()212abczaxbyc+−=−++，则x，y，z的值分别是（）A.2，1，2B.2，1，2−C.1，12−，3D.l，12，3【答案】C【解析】【分析】根据空间向量基本定理，不共面向量的线性表达式中对应向量的系数相等，即可求x，y，z的值.【详解】由题设知：1

2121zxy−===−，解得1123xyz==−=.故选：C6.已知(1,1,0),(0,3,0),(2,2,3)ABC，则向量AC在AB上的投影向量的坐标是（）A.12,,055−B.12,,155−

C.12,,055−−D.12,,055【答案】A【解析】【分析】根据点的坐标求AC和AB坐标,再求,ACABAB,最后应用投影向量公式求解即可.【详解】已知(1,1,0),(0,3,0),(2,2,3)ABC,可得()1,1,3

,AC=()1,2,0AB=−,1201,145ACABAB=−++==+=,又因为向量AC在AB上的投影向量为()11121,2,0,,055555ACABABABABAB−==−=.故选:A.7.出租车司机老王从饭店到火车站途

中经过六个交通岗，已知各交通岗信号灯相互独立.假设老王在各交通岗遇到红灯的概率都是13，则他遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为（）A.124B.427C.79D.127【答案】B【解析】【分析】根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案.【详解

】因为司机老王在第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯之间是相互独立的，且遇到红灯的概率都是13，所以未遇到红灯的概率都是12133−=，所以遇到红灯前已经通过了两个交通岗概率为221433327=.故选：B8.如

图，平行六面体1111ABCDABCD−所有棱长都为1，底面ABCD为正方形，1160AABAAD==．则对角线1AC的长度为（）A6B.5C.2D.3【答案】B【解析】【分析】利用基底法求解即可.【详解】由题知11A

CABADAA=++，所以()2211ACABADAA=++222111222ABADAAABADADAAAAAB=+++++2221112cos902cos602cos60ABADAAABADADAAAAAB=+++++1110115=+++++=，所

以15AC=，即15AC=.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9.下列关于概率的命题

，正确的是（）A.对于任意事件A，都有()0PAB.必然事件的概率为1C.如果事件A与事件B对立，那么一定有()()1PAPB+=D.若A，B是一个随机试验中的两个事件，则()()()()PABPAPBPAB=+−【答案

】BCD的.【解析】【分析】A选项，根据()0PA得到A错误；B选项，根据必然事件的定义得到B正确；C选项，根据对立事件的性质得到C正确；D选项，由概率性质得到D正确.【详解】对于A，对于任意事件A，都有()0PA，故A错误；对于B，必然事件的概

率为1，显然正确，故B正确；对于C，如果事件A与事件B对立，那么一定有()()1PAPB+=，故C正确；对于D，若A，B是一个随机试验中的两个事件，则()()()()PABPAPBPAB=+−，故D正确．故选：BCD．10.给出下列命题，其中正确的有（）A.空间

任意三个向量都可以作为一个基底B.已知向量ab∥，则a、b与任何向量都不能构成空间的一个基底C.已知,,abc是空间向量的一个基底，则{,,}cabab+−也是空间向量的一个基底D.A、B、M、N是空间四点，若BA、BM、BN不能构成空间的一个基底，则A、B

、M、N共面【答案】BCD【解析】【分析】根据空间向量基底的概念，结合向量的共面定理，空间点共面的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于A项，空间任意的三个不共面的向量才可以作为一个基底，故A错误；对于B项，若ab∥，则a、b与任何向量都共面，故

不能构成空间的一个基底，故B正确；对于C项，若,,cabab+−共面，则()()()()cababab=+−++−=+，则,,abc共面，这与{,,}abc为空间的一个基底相矛盾，故,,cabab+−可以构成空间向

量的一个基底，故C正确；对于D项，若BABMBN、、不能构成空间的一个基底，则BABMBN、、共面，又BABMBN、、过相同的点B，则A、B、M、N四点共面，故D正确．故选：BCD.11.定义运算：12142334aaaaaaaa=−，将函数()3sin1cosxfxx=的图像向左平移2π3

个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则ω的可能取值是（）A.14B.54C.74−D.34−【答案】BC【解析】【分析】由定义运算结合辅助角公式，得函数()fx解析式，再求平移后的函数解析式，由此函数为偶函数，求出ω的值，对照选项进行判断.【详解】将函数()π3sin3cossin2cos61

cosxfxxxxx==−=+的图像向左平移2π3个单位，可得2ππ2cos36yx=++的图像，再根据所得图像对应的函数为偶函数，可得()2πππ36kk+=，求得()3124

kk=−，令1k=，可得54=；令1k=−，求得74=−.故选：BC.12.如图，在三棱柱111ABCABC-中，侧棱1AA⊥底面111ABC，90BAC=，11ABACAA===，D是棱1CC的中点

，P是AD的延长线与11AC的延长线的交点.若点Q在直线1BP上，则下列结论错误的是()A.当Q为线段1BP的中点时，DQ⊥平面1ABDB.当Q为线段1BP的三等分点时，DQ⊥平面1ABDC.在线段1BP的延长线上，存在一点Q，使得

DQ⊥平面1ABDD.不存在点Q，使DQ与平面1ABD垂直【答案】ABC【解析】【分析】通过建立空间直角坐标系，求出平面1ABD的一个法向量(2,1,2)n=−，设11BQBP=，表示出向量DQ，再利用//nDQ，建立关系式1112122124−−−+===−，

从而判断出无解，即不存在这样的点Q，进而判断出选项ABC不正确，选项D正确.【详解】如图，以1A坐标原点，11AB，11AC，1AA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，易知，1(0,0,0)A，1(1,0,0)B，1(

0,1,0)C，(1,0,1)B，10,1,2D，(0,2,0)P，所以1(1,0,1)AB=，110,1,2AD=，1(1,2,0)BP=−，111,1,2DB=−−设平面1ABD的一个法向量为(,,)nxyz=，则110102nABxznADyz

=+==+=，取2z=−，则2x=，1y=，所以平面1ABD的一个法向量为(2,1,2)n=−.假设DQ⊥平面1ABD，且11(1,2,0)(,2,0)BQBP==−=−，则11DQDBBQ=+=11,12,2

−−+−.因为DQ也是平面1ABD的法向量，所以(2,1,2)n=−与11,12,2DQ=−−+−共线，所以1112122124−−−+===−成立，但此方程关于无解，因此不存在点Q，使

DQ与平面1ABD垂直，所以选项ABC不正确，选项D正确.故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．为.13.设向量(1,2),(,1)abm==，且()//bab+，则m=__________．【答案】12##0.5【解析】【分析】根据平

面向量共线的坐标公式计算即可.【详解】(1,3),//(),31abmbabmm+=++=+，解得12m=．故答案为：12.14.在ABC中，212030ABBA===，，，则ABC外接圆的半径为__________．【答案】2【解析】【分析】正弦定理的直接求解.

【详解】因为2,30,120ABAB===，可得30C=，由正弦定理得ABC外接圆的半径122sinABRC==．故答案为：2.15.已知平面的法向量为()1,2,1n=，点()1,0,1A−，()0,1,1B−，且AÏ，B，则

点A到平面的距离为______．【答案】66【解析】【分析】直接由点面距离的向量公式即可求解.【详解】解：依题意(1,1,2)AB=−−，且平面的法向量为()1,2,1n=，所以由点到面距离的向量公式可得

，点A到平面的距离为22211(1)22166121ABnn−+−+==++.故答案为：66.16.若函数()e2xfxx=+−零点为1x，函数()ln2gxxx=+−零点为2x，则12xx+=___________.【答案】2【解析】【分析】根据零点的定义及

反函数的图像特征，判断出A、B两点关于y=x对称，即可求出12xx+.【详解】令()20=+−=xfxex，得：e2xx=−；令0()ln2gxxx+−==，得：ln2xx=−；所以12,xx分别为exy=和lnyx=与2yx=−的图像交点的横坐标，如图

所示：所以11e2xx=−，22ln2xx=−.因为exy=和lnyx=互为反函数，所以exy=和lnyx=的图像关于y=x对称，所以A、B两点关于y=x对称.又A、B两点均在2yx=−的图像上，所以12

2xx=−，所以12xx+=2.故答案为：2四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17.已知空间三点(0,2,3),(2,1,6),(1,1,5)ABC−−．（1）若3a=，且a分别与AB，AC垂直，

求a的坐标；（2）求2ABAC+的值．【答案】（1）(1,1,1)a=或(1,1,1)−−−（2）72【解析】【分析】（1）设(,,)axyz=，由题意得到方程组，求出a；（2）计算出()23,5,8ABAC+=−−，利用模长公式求出答案.【小问1详解】设(,

,)axyz=，()()2,1,3,1,3,2ABAC=−−=−,由题意得2223230320xyzxyzxyz++=−−+=−+=，解得111xyz===或1,1,1.xyz=−=−=−故(1,1,1)a=或(1

,1,1)a=−−−．【小问2详解】()()()24,2,61,3,23,5,8ABAC+=−−+−=−−，故29256472ABAC+=++=．18.已知函数()xxmfxee=−是定义在R上的奇函

数（其中e是自然对数的底数）．（1）求实数m的值；（2）若()()2120fafa−+，求实数a的取值范围．【答案】（1）1m=（2）11,2a−【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质得

到()00f=即可求出实数m的值.（2）首先根据()fx为奇函数得到()()()22122fafafa−−=−，再根据函数()fx的单调性解不等式即可.【详解】（1）()xxmfxee=−是定义在R的奇函数，()010fm=−=，即1m=.（

2）∵函数()fx为奇函数，所以()()()22122fafafa−−=−..又因为xye=，1xye=−都为R上增函数，所以()1xxfxee=−在R上单调递增，212aa−−，即2210aa+−，11,2a−.【点睛】本题第一

问考查根据函数的奇偶性求参数，第二问考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于简单题.19.第19届亚运会在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障．某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候

选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95]，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．（1）求a，b的值；（2）估计这100名候选者面试成绩的众数

和60%分位数（百分位数精确到0.1）；（3）在第四、第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率．【答案】（1）0.005a=，0.025b=（2）众

数为70，60%分位数为71.7（3）25【解析】【分析】（1）由频率分布直方图列方程组即能求出,ab的值；（2）观察频率分布直方图即可得众数，根据加权平均数的求解公式可得平均值，先确定第60%分位数在65-75之间，然后列式求解即可；（3）根据分层抽样，在)75,85和85,95中

分别选取4人和1人，列举出这5人中选出2人的总的基本事件数，和选出的两人来自不同组的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可.【小问1详解】由题意可知：100.650.7a+=，()20.065101ab++

=，解得0.005a=，0.025b=；【小问2详解】由频率分布直方图得众数为6575702+=，前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，第60%分位数等于0.60.362565107

1.70.750.39−+=−；【小问3详解】根据分层抽样，)75,85和85,95的频率比为0.0240.005=，故在)75,85和85,95中分别选取4人和1人，分别设为1234,,,aaaa和1b，则在这5

人中随机抽取两个的样本空间包含的样本点有12131411232421343141,,,,,,,,,aaaaaaabaaaaabaaabab共10个，即()10n=，记事件A=“两人来自不同组”，则事件A包含的样本点有1121314

1,,,abababab共4个，即()4nA=，所以()()()25nAPAn==.20.如图，在菱形ABCD中，π,23BADAB==，点P是菱形ABCD所在平面外一点，2PA=，PA⊥平面ABCD．平面PCD与平

面PAB交于直线l．（1）求证：//l平面ABCD；（2）求点D到平面PAB的距离．【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）用线平行于面性质定理即可；（2）用等体积法即可.【小问1详解】的证明：因为四边形ABCD是菱形，所以//ABCD，AB平面PAB，CD

平面PAB，所以//CD平面PAB，又平面PCD平面=PABl，所以//lCD．又CD平面ABCD，l平面ABCD，所以//l平面ABCD．【小问2详解】解：设点D到平面PAB的距离为d，因为1133PABDDPABABDABPVVSPASd−−===△△

，因为四边形ABCD为菱形，且π,23BADAB==，所以1π22sin323ABDS==△，又12222ABPS==，所以3d=．21.在锐角ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知4coscosaCcB−=.（1）求b的值；

（2）若22223sinabcabC++=，求ABC的面积.【答案】（1）=4b（2）43【解析】【分析】（1）利用余弦定理化简已知条件，由此求得b的值.（2）利用余弦定理以及三角恒等变换的知识判断出三角形ABC的形状，由此求得ABC的面积.【小问1详解】依题意，4coscosaCcB−

=，由余弦定理得222222422abcacbacabac+−+−−=，整理得()()222222=4abcbabc+−+−，由于三角形ABC是锐角三角形，所以2220abc+−，则4b=.【小问2详解】由22223sinabcabC++=，得222222cos3sinababa

babCC++=−+，()22π3sin=c2sin6os=2abCabCbbaCa+++，当且仅当ab=时等号成立，则πsin16C+，所以πsin=16C+，由于C为锐角，所以πππ=,=623CC+，此时ab=，

所以三角形ABC是等边三角形，所以113=sin=44=43222ABCSabC.22.如图，在四棱锥PABCD−中，已知PB⊥底面ABCD，2BCABADBCABADCDPD⊥==⊥，∥，，，异面直线P

A和CD所成角等于60．（1）求直线CD和平面PAD所成角的正弦值；（2）在棱PA上是否存在一点E，使得平面PAB与平面BDE夹角的正切值为5？若存在，指出点E在棱PA上的位置；若不存在，说明理由．【答案】（1）12（2）存在这样的E点，E为棱PA上靠近A的三等分点【解析】【分析】（1）以B为原

点，BA，BC，BP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．利用空间向量法求解；（2）先假设棱PA上存在一点E，求出平面PAB与平面BDE的法向量，进而求得二面角的正切值为5，求出E点坐标.【小问1详解】

如图，以B为原点，BA，BC，BP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．已知PB⊥底面ABCD，CD底面ABCD，所以CDPB⊥又CDPD⊥，PBPDP=，,PBPD平面PBD，所以CD⊥平面PBD，BD平面PBD，所以CDBD⊥，π2,224BCABAD

BCABADDBCBD⊥====，∥，，，BCD△是等腰直角三角形，4BC=．设(0)BPbb=，则(0,0,0),(2,0,0),(0,4,0),(2,2,0),(0,0,)BACDPb．则(2,0,),(2,2,0)PAbCD=−=−

，异面直线PA和CD所成角等于60，12||||PACDPACD=，即2412422b=+，解得2b=，(0,2,0),(2,0,2)ADPA==−．设平面PAD的一个法向量为()1111,,nxyz=则

由110,0,nADnPA==得11120220yxz=−=,所以可取1(1,0,1)n=．11121cos,2||28CDnCDnCDn===．∴直线CD和平面PAD所成角的正弦值为12．【小问2详解】假设存

在，设(01)PEPA=，且(,,)Exyz，则(,,2)(2,0,2)xyz−=−，(2,0,22)E−，设平面DEB的一个法向量为()2222,,nxyz=，则由220,0,nBEnBD==得()22221xzxy=−=−,取2(1,1

,)n=−−，又有平面PAB的法向量3(0,1,0)n=，由平面PAB与平面BDE夹角的正切值为5，可知余弦值为66，由2323236cos,6nnnnnn==，得22|1|662(1)−=−+，解得23=或2=（不合题意）．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号

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