【文档说明】江苏省连云港市高级中学2024-2025学年高二上学期第一次阶段检测（9月）数学试题 Word版含解析.docx，共(14)页，1.204 MB，由小赞的店铺上传

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2024-2025学年第一学期高二年级第一次阶段检测数学试卷一、单选题(每题5分，共40分）1.已知直线1l的斜率为0，且直线12ll⊥，则直线2l的倾斜角为A.0B.45C.90D.180【答案】C【解析】【分析】由斜率定义可判

断直线1l与x轴平行，再由直线12ll⊥得解．【详解】因为直线1l的斜率为0，所以直线1l与x轴平行，又直线12ll⊥，故直线2l的倾斜角为90．【点睛】本题考查了直线斜率与倾斜角的定义．2.已知直线3230xy+−=和6410xy++=之间的距离是（）A.4B.51313

C.51326D.71326【答案】D【解析】【分析】由平行线间距离公式即可求解.【详解】直线6410xy++=可以转化为13202xy++=，由两条平行直线间的距离公式可得()2217371322261332d−−===+.故选：D3.圆()2249xy

−+=和圆()2234xy+−=的位置关系是（）A.外离B.相交C.外切D.内含【答案】C【解析】【分析】计算两圆圆心之间的距离和半径比较，即得答案.【详解】圆()2249xy−+=的圆心为()4,0，半径为3，圆()2234xy+−=的圆心为(0,3)，半径为2

，的两圆的圆心距为2243523+==+，所以两圆外切.故选：C4.已知圆()22420xymxmymm++−+=R与x轴相切，则m=（）A.1B.0或14C.0或1D.14【答案】D【解析】【分析】根据一般式得圆的标准式方程，即可根据相切得25rmmm=−=求解.【详解】将()224

20xymxmymm++−+=R化为标准式为：()()22225xmymmm++−=−，故圆心为()2,mm−半径为25rmm=−，且15m或0m，由于()22420xymxmymm++−+=R与x轴相切，故25rmmm=−=，解得14m=，或0m=（舍去），故选：D5.已知点()0,

1P−关于直线10xy−+=对称的点Q的坐标是（）A.(2,1)B.(2,1)−C.(1,2)D.(2,1)−−【答案】B【解析】【分析】设(),Qab，根据,PQ中点在对称直线上及PQ与对称直线垂直列方程求解.【详解】

设(),Qab，则110011022baab+=−−+−−+=，解得2a=−，1b=.故选：B6.已知椭圆的方程为22194xy+=，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，2F是椭圆的右焦点，则2ABF△的

周长的最小值为（）A.8B.623+C.10D.823+【答案】C【解析】【分析】根据题意结合椭圆定义可得2ABF△的周长为2aAB+，结合椭圆的性质分析求解.【详解】椭圆的方程为22194xy+=，则3a=，2b=，225cab=−=，连接1AF，1BF

，则由椭圆的中心对称性可知12OAOBOFOF==，，可知12AFBF为平行四边形，则21BFAF=，可得2ABF△的周长为22122AFBFABAFAFABaAB++=++=+，当AB位于短轴的端点时，|𝐴𝐵|取最小值，最小值为24b=，所以周

长为26410aAB++=．故选：C.7.已知点()2,3A−，()3,2B−−，若过点()1,1的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（）A.)3,4,4−−+B.(3,4,4+−−C.3,44−D.34,

4−【答案】B【解析】【分析】首先求出直线PA、PB的斜率，然后结合图象即可写出答案．【详解】解：记()1,1为点P，直线PA的斜率31421PAk−−==−−，直线PB的斜率213314PBk−−==−−，因为直线l过点()1,1P，且与线段AB相交，结合图

象，可得直线l的斜率k的取值范围是(3,4,4−−+．故选：B．8.已知直线(2)ykx=+与曲线21yx=−有公共点，则实数k的取值范围是（）A.33,33−B.30,3C.3,

03−D.[3,3]−【答案】B【解析】【分析】根据题意，得到直线(2)ykx=+过定点(2,0)P−，以及曲线221(0)xyy+=，画出直线与曲线的图象，结合直线与圆相切和图象，即可求解.【详解】由直线(2)ykx=+过定点(2,

0)P−，又由曲线21yx=−，可得221(0)xyy+=，作出曲线21yx=−与直线(2)ykx=+的图象，如图所示，因为直线(2)ykx=+，可得20kxyk−+=，又由2221(1)kk=+−，解得33k=，若直线(2)ykx=

+与曲线21yx=−有公共点，则303k，即实数k的取值范围为30,3.故选：B.二、多选题(每小题6分，本题18分)9.以下四个命题叙述正确的是（）A.直线210xy−+=在x轴上的截距是1B.直线0xky+=和2380xy++=的交

点为P，且P在直线10xy−−=上，则k的值是12−C.设点(,)Mxy是直线20xy+−=上的动点，O为原点，则OM的最小值是√2D.直线()12:310:2110LaxyLxay++=+++=，，若1

2//LL，则3a=−或2【答案】BC【解析】【分析】求出直线的横截距判断A；解方程组求出k判断B；求出点到直线的距离判断C；验证判断D.【详解】对于A，直线210xy−+=在x轴上的截距是12−，A错

误；对于B，由238010xyxy++=−−=解得12xy=−=−，即(1,2)P−−，则120k−−=，解得12k=−，B正确；对于C，依题意，min222211OM−==+，C正确；对于D，当2a=时，直线12:23

10,:2310LxyLxy++=++=重合，D错误.故选：BC10.已知M是圆22:414450Cxyxy+−−+=上任一点，()2,3Q−，则下列说法正确的是（）A.圆心C的坐标为()2,7B.点Q在圆C内C.MQ的最大值为62D.过()3,5P的最短弦长是23【答案】ACD【解析】【分析】

由圆标准方程可判断A，由点和圆的位置关系可判断B，由圆外一点到圆的距离的最值可判断C，由圆的几何性质可判断D.的【详解】将圆C的方程化为标准方程()()22278xy−+−=，圆心()2,7,22Cr=，如图所示：

对于A：圆心C的坐标为()2,7，故A正确；对于B：因为()()2222378−−+−，所以点Q在圆C外，故B错误；对于C：因为()()22223742CQ=−−+−=，22r=所以42224222MQ−+，即2262MQ，故C正确；对于D：因为()()2232

5758CP=−+−=，所以点()3,5P在圆内，当弦垂直于CP时弦长最短，又5CP=，最短弦长为()()22222523−=，故D正确.故选：ACD.11.已知椭圆22:416Cxy+=的左、右焦点分别为1F，2F，P是C上的任意一点，则（）A.C的

离心率为12B.128PFPF+=C.1PF的最大值为423+D.使12FPF为直角的点P有4个【答案】BCD【解析】【分析】根据椭圆标准方程求出,,abc，由离心率定义判断A，由椭圆定义判断B，由椭圆的几何性质判断C，根据以线段12FF为直径的圆与椭圆交点个数判断D.【详解】由原方程可得椭

圆标准方程为221164xy+=，的4,223abc===，32cea==，故A错误；由椭圆定义可知1228PFPFa+==，故B正确；由椭圆的性质知1max||423PFac=+=+，故C正确；易知以线段12FF为直径的圆（因为bc

a）与C有4个交点，故满足12FPF为直角的点P有4个，故D正确.故选：BCD三、填空题(每小题5分，本题15分)12.已知三点A(1,1)−，B(,3)a，C(4,5)在同一直线上，则实数a的值是________.【答案】3【解析】【分析】利用三点共线与斜率的

关系，斜率的计算公式.【详解】三点A(1,1)−，B(,3)a，C(4,5)在同一直线上，ABACkk=，4613a=−，解得3a=.故答案为：3.13.已知椭圆C的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若

ABF△为等腰三角形，则C的离心率为______．【答案】132−+【解析】【分析】利用椭圆的性质计算即可.【详解】不妨设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为()2,2,20,0,0abcabc，则222abc=+，且根据椭圆的性质易知()()(),0,,0,0,FcA

aBb−，所以22,,ABabAFacBFa=+=+=，显然若ABF△为等腰三角形，则只能有ABAF=，即()22222220abacaacc+=+−−=，则21312202ccceaaa−+−−

===.故答案为：132−+14.如果实数,xy满足等式224240xyxy−−++=，那么22xy+的最大值是________；2xy−的最大值是________．【答案】①.1465+##6514+②.3

55−##535−+【解析】【分析】画出图形，通过数形结合，以及直线与圆的位置关系、所求代数式的几何意义逐一求解即可.【详解】由224240xyxy−−++=，得2222(2)(1)9,xyxy++−=+的几何意义为圆22(2)(1)9xy++−=

上的动点到原点距离的平方．因为圆心()2,1−到原点的距离为5，所以圆上的动点到原点距离的最大值为53+，则22xy+的最大值是2(53)1465+=+．令2xyt−=，则t−是直线2xyt−=在y轴上的截距，当直线与圆相切时，直线2xyt−=在y轴上

的截距，一个是最大值，一个是最小值，此时，圆心()2,1−到直线2xyt−=的距离4135td−−−==，解得535t=−，所以2xy−的最大值为355−．故答案为：1465+；355−.四、解答题15.已知点(2,1)P−和直线:250lxy+−=.（1）若直线1l经过点P，且1ll⊥

，求直线1l的方程；（2）若直线2l经过点P，且在两坐标轴上的截距相等，求直线2l的方程.【答案】（1）250xy−−=（2）20xy+=和10xy+−=【解析】【分析】（1）根据直线垂直的斜率关系，即可由点斜式求解，（2）根据分类讨论，结合截距式即可代入点求解.

【小问1详解】由直线l的方程可知它的斜率为12−，因为1ll⊥，所以直线1l的斜率为2.又直线1l经过点(2,1)P−，所以直线1l的方程为：12(2)yx+=−，即250xy−−=；【小问2详解】若直线2l经过原点，设直线方程为

ykx=，代入(2,1)P−可得20xy+=，若直线2l不经过原点，设直线方程为1xyaa+=，代入(2,1)P−可得1a=，故直线2l方程为10xy+−=.综上，直线2l的方程为20xy+=和10xy+−=.

16.（1）椭圆C与椭圆C1:2212xy+=有相同的焦点，且经过点M31,2，求椭圆C的标准方程；（2）已知椭圆22126xy+=的焦点分别是1F，2F，点M在椭圆上，且120FMFM=，求点M到x轴的距离.【答案】（1）22143xy+=；（2）3【解析】

【分析】（1）确定椭圆焦点坐标，根据椭圆定义求得,ab，即得答案；（2）设(,)Mxy，可得1(,2)FMxy=+，2(,2)FMxy=−；由120FMFM=得2240xy+−=，结合椭圆方程求出||3y=，即得答案.【详解】（1）椭圆C1：2212

xy+=的焦点坐标为(1,0)，所以椭圆C的焦点坐标也为(1,0)，即得焦距为22c=，∵椭圆C过点M3(1,)2，∴2222332(11)()(11)()422a=+++−+=，∴2,3ab==，∴椭圆的标准方程为22

143xy+=.（2）由椭圆方程得，1(0,2)−F，2(0,2)F，设(,)Mxy，则1(,2)FMxy=+，2(,2)FMxy=−；由120FMFM=得：2240xy+−=（1）；又点M在椭圆上，可得22126xy+=（2）；（1）（

2）联立消去2x得，23y=，即||3y=；故点M到x轴的距离是3．17.（1）已知点A，B的坐标分别为()2,0−，(2,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是34−，求点M的轨迹方程；（2）如图，已知圆

22:1Oxy+=和定点()4,0A，P为圆O外一点，直线PQ与圆O相切于点Q，若2PQPA=，求点P的轨迹方程．【答案】（1）()221243xyx+=；（2）221633xyx+−+=0.【解析】【分析】设动点坐标为(),xy，用坐标表示动点满足的条件，列出方程，化简即可

.【详解】（1）设𝑀(𝑥,𝑦)，则2AMykx=+，2BMykx=−，()32224AMBMyykkxxx==−+−，化简整理得，()2234122xyx+=，所以点M的轨迹方程为：()221243xyx+

=.（2）设𝑃(𝑥,𝑦)，依题意2PQPA=，则222PQPA=，即2222OPOQPA−=，即()2222124xyxy+−=−+，整理得2216330xyx+−+=.18.（1）求圆心在直线1:2lyx=−上，与直线2:1lxy+=相切于点(2,1)A−的圆C

的方程.（2）若过点(1,0)P−作圆22:(1)(2)2Dxy−++=的切线，求切线的斜率.【答案】（1）22(1)(2)2xy−++=；（2）23−.【解析】【分析】（1）由圆的切线性质求出直线CA的方程，进而求出圆心C的坐标及圆半径即可得解.（2）按切线斜

率存在与否分类讨论，借助点到直线距离公式列式计算即得.【详解】（1）依题意，2CAl⊥，则直线CA的斜率为1，方程为12yx+=−，即3yx=−，由23yxyx=−=−，解得12xy==−，则圆C圆心(1,2)C−，22(21)(12)2||CA−=−++=，所以所求

圆的方程为：22(1)(2)2xy−++=.的（2）圆22:(1)(2)2Dxy−++=的圆心(1,2)D−，半径2r=，当切线l的斜率不存在时，:1lx=−，点D到切线l的距离为2，不等于半径，不满足题意；当切线l的斜率存在时，设:(1)lykx=+，即0kxyk−+=，则2221kkk++=+

，解得23k=−，所以切线的斜率为23−.19.如图，已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=过点()3,1P，焦距为42，斜率为13−的直线l与椭圆C相交于异于点P的,MN两点，且直线,PMPN均不与x轴垂直.（1）求椭圆C的方程；（2）若10MN=，求MN

的方程；（3）记直线PM的斜率为1k，直线PN的斜率为2k，证明:12kk为定值.【答案】（1）221124xy+=（2）123yx=−−（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据条件列方程组求解即可；（2）设直线l的方程为13yxm=−+，与椭圆联立，由弦长公式求得MN的方程；（3）将韦

达定理代入12kk中计算结果为定值.【小问1详解】由题意得22222911242abcabc+===+解得23222abc===，故椭圆C的方程为221124xy+=.【小问2详解】设直线l的方程为13yxm=−+，()()1122,,,MxyNxy由

22131124yxmxy=−++=得22469360xmxm−+−=，由()22Δ(6)14440mm=−−，得434333m−，则212123936,24mmxxxx−+==.()221212110141631092MNxxxxm=++−=−=，解得2m=或2m=−

当2m=时，直线1:23lyx=−+经过点()3,1P，不符合题意，舍去；当2m=−时，直线l的方程为123yx=−−.小问3详解】直线PM，PN均不与x轴垂直，所以123,3xx，则0m且2m，所以()()1212121212111111333333xmxmyykkxxxx

−+−−+−−−==−−−−【()()()212121212111(1)9339xxmxxmxxxx−−++−=−++()222221936131(1)3619432936391833942mmmmmmmmmm−−−+−−===−−−

+为定值.