【文档说明】四川省叙永第一中学校2024届高三上学期数学（理）“一诊”模拟测试（二）试题 含解析.docx，共(26)页，1.498 MB，由小赞的店铺上传

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叙永一中高2021级“一诊”模拟测试（二）数学（理）试题注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题

卡上对应题的答案标号涂黑.3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共12小题，每小题

5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合|2,xAyyx==R，|ln(1)Bxyx==+，则AB=（）A.(1,)−+B.C.RD.(0,)+【答案】D【解析】【分析】根据指数函数值域和对数函数定义域求出集合A，B

，然后由交集运算可得.【详解】由指数函数性质可知，()0,A=+，由10x+得1x−，所以()1,B=−+，所以()()()0,1,0,AB=+−+=+.故选：D2.下列函数中，是偶函数且在(0,)+上单调递减的是（）A.2()||fxxx=−B.21()fx

x=C.||()exfx=D.()|ln|fxx=【答案】B【解析】【分析】利用基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可.【详解】对于A，由题意可知()fx的定义域为R,()22()()fxxxxxfx−=−−−=−=，

所以()fx是偶函数且在(0,)+上不是单调递减，不符合题意；故A错误；对于B，由题意可知()fx的定义域为R,()2211()()ffxxxx−==−=，所以()fx是偶函数且在(0,)+上单调

递减，符合题意；故B正确；对于C，由题意可知()fx的定义域为R,()ee()xxfxfx−−===，所以()fx是偶函数且在(0,)+上单调递增；不符合题意；故C错误；对于D，()|ln|fxx=

的定义域为(0,)+，不是偶函数，不符合题意；故D错误；故选：B.3.命题“223,20xxa−−”是真命题的一个必要不充分条件是（）A.1aB.92aC.5aD.4a【答案】A【解析】【分析】根据恒成立问题分析

可得命题“223,20xxa−−”是真命题等价于“92a”，结合充分、必要条件分析判断.【详解】若命题“223,20xxa−−”是真命题，则()2max20xa−，可知当3x=时，22xa

−取到最大值920a−，解得92a，所以命题“223,20xxa−−”是真命题等价于“92a”.因为9|2aa|1aa，故“1a”是“92a”的必要不充分条件，故A正确；因为9|2aa=9|2aa，故“92a”是“

92a”的充要条件，故B错误；因为|5aa9|2aa，故“5a”是“92a”的充分不必要条件，故C错误；因为9|2aa与4|aa不存在包含关系，故“4a”是“92a”的即不充分也不必要条件，故D错误；故选

：A.4.1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为历史上的珍闻.若522x=，lg20.3010=，则

x的值约为（）A.1.322B.1.410C.1.507D.1.669【答案】A【解析】【分析】由522x=可得25lg5lg212lg2log2lg2lg2x−−===,进而将条件代入求解即可.【详解】522x=,25lg5lg212lg21

20.3010log1.3222lg2lg20.3010x−−−====,故选:A【点睛】本题考查指数、对数的转化,考查对数的换底公式的应用,属于基础题.5.如图所示，一船向正北方向航行，当航行到B点时，看见正西方向有两个相距10海里的灯塔C和D

恰好与船在一条直线上，继续航行1小时到达A点后，看见灯塔C在船的南偏西60方向上，灯塔D在船的南偏西75方向上，则这艘船的速度是（）A.5海里/时B.53海里/时C.10海里/时D.103海里/时【答案】A【解析】

【分析】依题意有10CDCA==，在RtABC△中，求得5AB=，从而求得速度．【详解】依题意有60BAC=，75=BAD，15CADCDA==，从而10CDCA==，在RtABC△中，求得5AB=，这艘船的速度

是551=（海里/时）．故选：A6.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin22sin0bAaB+=，22bc=，则ca=（）A.1313B.55C.13D.33【答案】A【解析】【分析】先利用正弦定理将sin22sin0bAaB+=中的边化为角，变形整理可得cosA，进而

可得sinA，同样的将22bc=中的边化角，结合A的正弦余弦值，可得sinC，最后通过sinsincCaA=可求出结果.【详解】解：sin22sin0bAaB+=，由正弦定理得：2sinsincos2sinsin0BAAAB+=，sin

0,sin0AB，2cos20A+=，2cos2A=−，则2sin2A=，又22bc=，sin22sinBC=，sin()22sinACC+=，则sincoscossin22sinACACC+=，22cossin22sin22CCC−=，cos5sinCC=，又22sincos1C

C+=，得1sin26C=，sin113sin132622cCaA===，故选：A【点睛】本题考查正弦定理的应用，通过边化角求出角，考查了学生的计算能力，是中档题.7已知()0,π，且满足cos22π5sin4=−，则tan

=（）A34−B.43−C.34D.43【答案】A【解析】【分析】先由cos22π5sin4=−二倍角余弦公式和两角差的正弦公式化简得到1sincos5+=，再利用基本关系式求解.【详解

】解：因为()0,π，且cos22π5sin4=−，所以()22cossin252sincos2−=−，化简得1sincos5+=−，两边平方化简得242sincos025=−

，所以π49,π,12sincos225−=，即()249sincos25−=，则7sincos5−=，两式联立求得34sin,cos55==−，所以3tan4=−，故选：

A8.已知函数()()2,01|ln1,1xxfxxx=−，若方程()2fxkx=−有两个不相等的实数根，则实数k的取值可以是（）A.12B.1C.2D.3..【答案】D【解析】【分析】分析函数图像即可求解.【详解】由题意知函数()fx的图象与直线2yk

x=−有两个交点，作出图象如图所示，当2x时，()()ln1fxx=−，()1'1fxx=−故()fx在点()2,0处的切线斜率为1121=−，直线2ykx=−恒过定点()0,2−，(0,1k时()fx的图象与直线2ykx=−有1个交点，不合题意，排除AB；2k=时直线过点()1,0，

结合图象知也只有1个交点，不合题意，排除C；抛物线部分和直线相切时，联立得220xkx−+=，由280k=−=得22k=直线过点()1,1时3k＝，结合图象知满足题意；故选：D.9.某校科技社利用3D打印技术

制作实心模型．如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台．其中半球的体积为3144πcm，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半．打印所用原料密度为31.5g/cm，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（）（1.54.7）A.3045.6gB.1565.1gC.972.9gD.

296.1g【答案】C【解析】【分析】由题意可知所需要材料的体积即为半球体积与圆台体积之和，先求出圆台的体积，再利用组合体的体积乘以打印所用原料密度可得结果.【详解】设半球的半径为R，因为332π144πcm3VR==半球，所以6R=，由题意圆台的上底面半径及高均是3，下底

面半径为6，所以()()22223113π6π3π6π363πcm33VSSSSh=++=++=下下上上圆台，所以该实心模型的体积为3144π63π207πcmVVV=+=+=半球圆台，所以制作该模型所需原料的质量为207π1.52074.7972.9g

=故选：C10.已知可导函数()fx的导函数为()fx，若对任意的xR，都有()()1fxfx+，且()2024fx−为奇函数，则不等式()2023e1xfx−的解集为（）A.(,0)−B.(,e)−C.(e,)+D

.(0,)+【答案】D【解析】【分析】根据()()1fxfx+构造函数()1()exfxgx−=，利用导数判断其单调性，将不等式()2023e1xfx−化为()(0)gxg，利用()gx的单调性求解可得结果.【详解】

设()1()exfxgx−=，由题设条件，得()2()e()1e()()1()0eexxxxfxfxfxfxgx−−+−==，故函数()gx在R上单调递减.由()2024fx−为奇函数，得(0)

20240f−=，得(0)2024f=，所以(0)(0)12023gf=−=，不等式()2023e1xfx−等价于()12023exfx−，即()(0)gxg，又函数()gx在R上单调递减，所以0x

，故不等式()2023e1xfx−的解集是(0,)+．故选：D．11.已知函数13()sincos(0)22fxxx=−，xR，若()fx在区间(π,2π)内没有零点，则的取值范围是（）A.10,6B.120,,133

C.20,3D.1120,,633【答案】D【解析】【分析】先利用辅助角公式得到π()sin3fxx=−，得到πππ(π,2π)333x−−−，进而得到不等

式组，求出的取值范围.【详解】13π()sincossin223fxxxx=−=−，0，(π,2π)x时，πππ(π,2π)333x−−−，要想()fx在区间(π,2

π)x内无零点，则要满足πππ3,Zπ2πππ3kkk−−+，解得132,Z230kkk++，要想不等式组有解，则要12323,Z2023kkkk+++，解得Z42,33kk−

，故1k=−或0，当1k=−时，23160−，解得10,6，当0k=时，13230，解得12,33，则的取值范围是1120,,633.故选：D12.已知正方体1111

ABCDABCD−的边长为2，M为1CC的中点，P为侧面11BCCB上的动点，且满足//AM平面1ABP，则下列结论正确的个数是（）①1AMBM⊥②1//CD平面1ABP③动点P的轨迹长为2133④AM与11AB所成角的余弦值为53

A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，结合向量法判断各结论是否正确，进而确定正确结论的个数.【详解】以B为原点，以1,,BCBBBA的正方向分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图.对于①

，1(0,2,0),(0,0,2),(2,1,0)BAM,所以(2,1,2)AM=−，1(2,1,0)BM=−.因为14130AMBM=−=，所以AM与1BM不垂直，即AM与1BM不垂直，故①错误.对于②，11(0,0,0),(0,2,2)

,(2,0,0),(2,2,2)BACD.设(,,0)Pab，则1(0,2,2),(,,0),BABPab==1(0,2,2)CD=设平面1ABP的法向量(,,)nxyz=，则12200BAnyzBPnaxby=+==+=，令

xb=，则,yaza=−=，所以平面1ABP的一个法向量(,,)nbaa=−.因为1220CDnaa=−+=，所以1CDn⊥.又1CD平面1ABP，所以1CD//平面1ABP，故②正确；对于③，因为//AM平面1AB

P，所以AMn⊥，所以·22230AMnbaaba=−−=−=，即点P坐标满足230ba−=.又P为侧面11BCCB上，则P在线段1BP上，且14(,2,0)3P，22214213()2033BP=++=，故③正确；对于④，11(0,0,2)AB=−，11111142cos,323|||

|AMABAMABAMAB===，所以AM与11AB所成角余弦值为23，故④错误.故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.13.求曲线21:Cyxx=+与直线1x=，2x=和x轴围成的区域的面积为___

_____．【答案】7ln23+【解析】【分析】根据定积分的运算规则计算即可.【详解】212321117lnln233xdxxxx+=+=+.故答案为：7ln23+.14.函数()π7sin6fxx=−+单调递增的区间是__

________.【答案】2π5π2π,2π,Z33kkk++的的【解析】【分析】把已知函数解析式变形，再由正弦型函数的单调性求解即可．【详解】解：函数ππ()7sin7sin66fxxx=

−+=−−，则函数()fx在R上的单增区间满足：ππ3π2π2π262kxk+−+剟，Zk，解得2π5π2π2π33kxk++剟，Zk．函数()π7sin6fxx=−+单调递增的区间是2π5π2π,2π,Z33kkk++．故答案为：2π5π2π,

2π,Z33kkk++．15.在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，M，N分别为棱11AD，1DD的中点，过MN作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为________．【答案】3π8##3π8【解析】【分析】易得正方体

外接球的球心在其中心点处，要使所求截面面积最小，则截面圆的圆心为线段MN的中点．【详解】如图，正方体外接球的球心在其中心点O处，球的半径222111322R++==要使所求截面面积最小，则截面圆的圆心为线段MN的中点Q,连接,OMON，则22OMONMN

===所以22624MNOQOM=−=此时截面圆的半径2264rROQ=−=，截面面积的最小值23ππ8Sr==.故答案为：3π8.16.已知函数ln()xfxx=，()exxgx=，若存在1>0x，2xR，使得()()120fxgx=成立，则12xx的最小值为

__________．【答案】1e−【解析】【分析】利用导数分析函数()fx的单调性，结合已知条件可得出21exx=，可得2122exxxx=，构造函数()e(0)xhxxx=，利用导数求出函数()hx在(),0−上的最小值可得解.【详解】

函数()fx的定义域为(0,)+，21ln()xfxx−=，当(0,e)x时，()0fx，()fx单调递增，当(e,)x+时，()0fx，()fx单调递减，又(1)0f=，所以(0,

1)x时，()0fx；(1,e)x时，()0fx；(e,)x+时，()0fx，同时注意到()lne()eeexxxxxgxf===，所以若存在1(0,)x+，2xR，使得()()120fxgx=成立，则101x且()()()2

12exfxgxf==，所以()212e0xxx=，所以2122exxxx=，所以构造函数()e(0)xhxxx=，而()e(1)xhxx=+，当(1,0)x−时，()0hx，()hx单调递增；当(,1)x−−时，()0hx，()hx单

调递减，所以()()min11ehxh=−=−，即()12min1exx=−．故答案为：1e−.【点睛】关键点点睛：本题的关键点利用导数分析函数得()lne()eeexxxxxgxf===，再构造函数()hx，考查了学生分析问题

、解决问题的能力..三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知函数()()sin0,0,2πfxAxA=+的部分图象如图所示.（1）求(

)fx的解析式；（2）先将()fx的图象向左平移π12个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数()gx的图象.当ππ,66x−时，求()gx的值域.【答案】（1）()π4sin66fxx

=−（2）4,8−【解析】【分析】（1）根据最值求出4A=，再根据周期求出6=，最后根据对称中心求出π6=−，可得解析式；（2）先根据平移伸缩求出()gx，再根据ππ,66x−

求出值域即可.【小问1详解】根据图像可得4A=，7πππ236366T=−=，则12ππ26=，因为0，所以6.=将π,036代入()fx的解析式，得π4sin6036+=，则

π6π,36kk+=Z，得ππ,.6kk=−+Z因为π2，所以π6=−，所以()π4sin66fxx=−.【小问2详解】由（1）知()π4sin66fxx=−，将()fx的图像

向左平移π12个单位长度得πππ4sin64sin6263yxx=+−=+的图象，再将所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍，得()π8sin33gxx=+

的图像，因为ππ,66x−，所以ππ5π3,366x+−，则1πsin31,23x−+所以π48sin(3)83x−+,故()gx在ππ,66−上的值域为4

,8.−18.已知函数232()4fxxaxa=−+，0a.（1）当1a=时，求()fx在()()1,1f处的切线方程；（2）若0x时，()0fx恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）1060xy−−=（2）(0,108]【解析】【分析】（1）当1a=时，

求得2()122fxxx=−，结合导数的几何意义，即可求解；（2）求得2()122fxxax=−，得出函数()fx的单调区间和最小值为6af，结合题意，3210108aa−+，即可求解.【小问1详解】解：当1a=时，

32()41fxxx=−+，可得2()122fxxx=−，则(1)4f=且(1)10f=，所以()fx在(1,4)处的切线方程为410(1)yx−=−，即1060xy−−=.【小问2详解】解：因为3

22()4,0fxxaaxa−+=，可得2()122fxxax=−，令()0fx=，可得10x=或206ax=，当0,6ax时，()0fx；当,6ax+时，()0fx，所以()fx在0,6a上单调递减

，在,6a+上单调递增，所以321()6108afxfaa=−+，因为当0x时，()0fx恒成立，所以32106108afaa=−+，解得108a，又因为0a，所以0108a，所以实数a的取值范

围为(0,108].19.从①()2222cos12cosbcabcBC+−=−；②22cbab=+；③()cossincossincossincosCBCBBCBB−−=，这三个条件中任选一个，补充在下

面的横线上并解答问题．在锐角ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且________．（1）证明：2CB=；（2）求2cos4sinsinBBC+的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案

】（1）证明见解析（2）()4,32【解析】【分析】（1）选择①：由余弦定理化简可得()coscos12cosABC=−，再由两角和的余弦公式即可得()coscosCBB−=，根据角的范围可得出证明；选择②：由余弦定理和正弦定理以

及两角和的正弦公式即可得()sinsinCBB−=，结合角的范围可得出证明；选择③：由两角差的正弦公式以及同角三角函数之间的基本关系可得()tantanCBB−=，结合角的范围可得CBB−=，即得出证明；（2）根据（1）中的结论，可知2cos14s

in4sinsinsinBBBCB+=+，利用锐角三角形可得π6π4B，再由对勾函数性质可求得2cos4sinsinBBC+的取值范围．【小问1详解】选择①：由()2222cos12cosbcabcBC

+−=−及余弦定理可得()2cos2cos12cosbcAbcBC=−；即()coscos12cosABC=−，又πABC++=，所以()coscoscoscossinsincos2coscosABCBCBCBBC=−+=−+=−，即coscossinsincosCBCBB+=，

可得()coscosCBB−=．又易知π,0,2BC，可得ππ,22CB−−，所以CBB−=或CBB−=−，即2CB=或0C=（舍），故2CB=．选择②：由22cbab=+及2222coscababC=+−，得()2c

os1abC=+，则由正弦定理得()sinsin2cos1ABC=+，又πABC++=，()sinsinsincoscossin2sincossinABCBCBCBCB=+=+=+，即sincoscossinsinCBCBB−=，所以()s

insinCBB−=．又π,0,2BC，可得ππ,22CB−−，所以CBB−=，故2CB=．选择③：由()cossincossincossincosCBCBBCBB−−=可得()()sincossin

cosCBCBBB−−=，即()()sinsincoscosCBBCBB−=−，所以()tantanCBB−=．又π,0,2BC，可得ππ,22CB−−，所以CBB−=，故2CB=．【小问2详解】令2cos4sinsinByBC=+，由

（1）可知2CB=，可得14sinsinyBB=+．由锐角ABC可得π02π02π02ABC，即()π0π2π02π022BCBB−+，解得π6π4B，所以12sin,22B．令12si

n,22tB=，根据对勾函数的性质知()14fttt=+在12,22上单调递增，可得()4,32y，即2cos4sinsinBBC+的取值范围是()4,32．20.如图，正三棱柱111ABCABC-的体积

为63，23AB=，P是面111ABC内不同于顶点的一点，且PABPAC=．（1）求证：⊥APBC；（2）经过BC且与AP垂直的平面交AP于点E，当三棱锥E-ABC的体积最大时，求二面角1PBCB−−平

面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）255．【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理即可证明；（2）由分析知，三棱锥E-ABC的体积最大，等价于点E到面ABC的距离最大，由分析知，∠PFD为二面角1PB

CB−−的平面角，以F为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面FP和FD，代入即可得出答案.【小问1详解】设线段BC的中点为F，则AFBC⊥，∵ABAC=，PABPAC=，AP公共边，∴PABPAC△

△≌，∴PBPC=，∴PFBC⊥，又AFPFF=，,AFPF面APF，∴BC⊥面APF，AP面APF∴BCAP⊥；【小问2详解】设线段11BC的中点为D，由题意，点P在线段1AD上，由11163ABCABCV−=

，23AB=得12AA=，∴三棱锥E-ABC的体积最大，等价于点E到面ABC的距离最大，∵AP⊥面BCE，EF面BCE，∴APEF⊥，∴点E在以AF为直径的圆上，如图，易知3AF=，从而45EAFEFA==，由（1）知PF⊥BC，DF⊥BC，PF

平面PBC，DF平面1BCB，平面PBC平面1BCBBC=，∴∠PFD为二面角1PBCB−−的平面角，为如图，以F为原点建立空间直角坐标系，则()0,0,0F，330,,22E，()3,0,0B−，()0,1,2P，()0,0,2D，于是()0,1,2FP=，()0,0,2FD=

，从而425cos,525FPFD==，∴二面角1PBCB−−平面角的余弦值为255．21.已知函数2()lnafxxx=-．（1）是否存在实数a使得()fx在(0,)+上有唯一最小值12，如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由；（2

）已知函数()fx有两个不同的零点，记()fx的两个零点是1x，212()xxx．求证：21(e1)1xxa-<++；【答案】（1）存在，12a=−（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导讨论单调性即可；（2）先分离常

数a，转化成2lnaxx=图像交点的个数问题，令2()lngxxx=再求函数()gx的图象在点(1,0)，211(,)ee-处的切线方程，再构造函数求出两个根取值范围.【小问1详解】2()lnafxxx

=-，0x，则233122()axafxxxx+=+=，0x，当0a时，()0fx恒成立，函数()fx单调增，没有最值；当0a时，令232()0xafxx+==，解得2xa=−，负值舍去，当(0,2)xa−时，()0fx，函数单调递减，当(2,)xa−+时，()

0fx，函数单调递增，所以当2xa=−时，函数取到最小值，2111(2)ln(2)ln(2)222(2)afaaaa-=--=-+=-，解得12a=−，所以存在满足条件的12a=−；【小问2详解】证明：由2()ln0afxxx=-=，得2lnaxx=，令2()lngxxx=，则(

)2lngxxxx¢=+，令()0gx=，解得1e=x，当1ex时，()0gx；当1ex时，()0gx；所以函数()gx在1(0,e)上单调递减，在1(e,)+单调递增，故()gx在(0,)+上有唯一最小值2

min11()()e11een2elgxg骣琪==ç=-÷桫，最小值点为11(,)2ee-，若方程2lnaxx=有两个不同的零点1x，212()xxx，且11(0,)exÎ，因为2(1)1ln1=0

g=，所以21(,1)exÎ，函数()gx的图象在点(1,0)，211(,)ee-处的切线方程分别为1yx=−和1eyx=−，如图：且在1(0,e)内1()egxx−，在1(,1)e上()1gxx−，先证：21lnexx

x−即1ln0((0,1])exxx+，即1()lnerxxx=−，((0,1])x，()ln1rxx¢=+，令()0rx=，解得1ex=，当10ex时，()0rx；当1ex时，()0rx所以()rx在1(0,)e上单调递减，在

1(,1)e上单调递增，所以11()()eerxr=−；再证：2ln1xxx−，即2ln10xxx−+，令2()ln1((0,1])hxxxxx=-+?，则()2ln10hxxxx+−=恒成立，所以()hx在(0，1]上单调递减，所以()hxh（1）0=，令31eexa

xa−==−，411xaxa−==+，即可得13xx，24xx，即()21431(e)e+11xxxxaaa-<-=+--=+；【点睛】第一问是在给定区间有最值求参数问题，属于含参数的单调性讨论问题，然后求出符合条件的参数值；第二问是零点比大小问题，先确定零点的范围，再构造函数用单调性分析

零点的大小.22.在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为222121xttyt=+=+(t为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为()sincos−=(为直线l的倾斜角)

．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程;（2）设()0,1P，直线l与曲线C相交于,AB两点，求ABPAPB的最大值．【答案】（1）sincoscos0xy−+=；()()22110xyx−+=；（2）2【解析】【分析】

（1）利用cos,sinxy==与正弦的和差公式可求得直线l的直角坐标方程；利用消参法可求得曲线C的普通方程；（2）法一：先由条件得到直线l的参数方程，再联立直线l与曲线C的方程，利用参数的几何意义得到4sin2ABPAPB=−

，从而得解；法二：利用圆的切割线定理得到2||1PAPBPO==，从而得到ABABPAPB=，由此得解.【小问1详解】由()sincos−=，得()sincoscossincos−=，由cos,si

nxy==，得直线l的直角坐标方程为sincoscos0xy−+=，由222121xttyt=+=+(t为参数)，两式相除得()0ytxx=，所以221xyx=+

，整理得曲线C的普通方程为()()22110xyx−+=.【小问2详解】法一：因为直线l经过点()0,1P，所以直线l的参数方程为cos1sinxmym==+(m为参数)，代入()2211xy−+=中，得()22sincos10mm+−+=，由()2sinc4os4

0=−−，得sin20，又)0,π，故π,π2，所以()12122cossin,1mmmm+=−=，所以()2121212121244sin2mmmmABmmPAPBmmmm+−−===−，因为π,π2，所以(

)2π,2π，故1sin20−，则04sin24−，所以4sin22ABPAPB=−，当且仅当3π4=时，等号成立，故ABPAPB的最大值为2.法二：直线l经过点()0,1,1PPO=，曲线C()()22110xyx−+

=为除()0,0点外，以()1,0C为圆心半径为1r=的圆，易得圆心C到直线:0POx=的距离为1，所以直线PO与圆C相切，且O为切点，所以由圆的切割线定理得2||1PAPBPO==，所以2ABABPAPB=，当且仅当AB为圆C的直径时，等号成立，故AB

PAPB的最大值为2．23.不等式12abcxx+++−+对于xR恒成立．（1）求证：22213abc++；（2）求证：2222222abbcca+++++【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】

（1）利用绝对值三角不等式可得出1abc++，再利用基本不等式可证得结论成立；（2）利用基本不等式可得出()2222abab++，()2222bcbc++，()2222caca++，再结合不等式的基本性质可证得结论成立.【小问1详解】证明：因为

12abcxx+++−+对于xR恒成立，又因为()()12121xxxx+−++−+=，所以1abc++，由基本不等式可得222abab+，222bcbc+，222caac+，所以，()()2222222222

3abcabcabbccaabc++=+++++++，所以()()222231abcabc++++，所以22213abc++.【小问2详解】证明：因为222abab+，所以()()2222abab++，所以()2222abab++，同理可得：()2222bcbc++，()2222

caca++，所以()2222222abbccaabc+++++++，获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com