【文档说明】安徽省江淮名校2023-2024学年高二上学期12月阶段性联考数学试题 含解析.docx，共(24)页，1.977 MB，由管理员店铺上传

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江准名校·2023~2024学年高二年级上学期阶段性联考高二数学试卷考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答

案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．

．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列直线中，倾斜角为π3的是（）A

.310xy+−=B.310xy−+=C.320xy+−=D.320xy−+=【答案】B【解析】【分析】由倾斜角得出该直线的斜率，即可得出答案.【详解】对于A,直线310xy+−=的斜率为3−，倾斜角为2π3;对于B,直线310xy−+=的斜率为3,倾斜角为π3；对于C,直线320xy+−

=的斜率为33−，倾斜角为5π6；对于D,直线320xy−+=的斜率为33，倾斜角为π6.故选：B.2.已知椭圆22:11610yxC+=的两个焦点分别为12,FF，点M为椭圆C上一点，则12MFMF+=（）A.8B.43C.4D.23【答案】A【解析】【分析】根据椭

圆的定义得解.【详解】由椭圆22:11610yxC+=知216a=，所以4a=,又由椭圆的定义，得1228MFMFa+==．故选：A．3.已知抛物线2:8Cxy=的焦点为F，点P在抛物线C上，点(0,7)Q，且|||

|PFPQ=，则||PF=（）A.192B.152C.132D.92【答案】C【解析】【分析】根据||||PFPQ=，得到P在线段FQ的中垂线92y=上，从而得到92Py=，然后利用抛物线的定义求解.【详解】解：由抛物线2:8Cxy=，得(0,2)F，因为||||PFPQ=，所以P在线段FQ的

中垂线92y=上，所以92Py=，由抛物线的定义，得13||22PPFy=+=．故选：C．4.已知直线:4320lxy−−=与圆22:46120Cxyxy+−+−=相交于A,B两点，则ABC的周长为（）A.26B.18C.14D.13【答案】B【解析

】【分析】先得到圆心和半径，进而求得弦长||AB即可.【详解】由2246120xyxy+−+−=，得22(2)(3)25xy−++=，所以圆心为(2,3)C−,半径=5r，圆心C到直线l距离22|423(3)2|34(3)d−−−==+−，所以22||28ABrd=−=，的所以ABC

的周长为2||18rAB+=．故选：B．5.已知点(2,0),AB−是抛物线2:18Cyx=上的动点，则直线AB的斜率的取值范围是（）A.11,22−B.33,22−C.[1,1

]−D.33,22−【答案】D【解析】【分析】设直线AB的方程为(2)ykx=+，与抛物线方程联立，根据题意，由直线AB与抛物线C有交点求解.【详解】设直线AB的斜率为k,则直线AB的方程为(2)ykx=+，由题意，得

直线AB与抛物线C有交点，联立方程()2218ykxyx=+=，得()222241840kxkxk+−+=，当0k=时，0x=，即(0,0)B；当0k时，()224Δ418160kk=−−，解得3322k−且0k．综上所述，33,22k−．故选：D．6

.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的长轴长为42,下顶点为(0,2)P−，垂直于y轴的直线与椭圆C相交于A,B两点，则PAPB的最小值为（）A.163−B.4−C.83−D.0【答案

】A【解析】【分析】求出椭圆的方程，利用向量的数量积运算化简，配方求最小值即可得解.【详解】由椭圆C的长轴长为42，可得242a=，即22a=,由下顶点为(0,2)P−，得2b=，所以椭圆C的方程为22184xy+=．由题意可设(,),(,)(22)AmnBmnn−−，则22

184mn+=，又(0,2)P−，所以(,2),(,2)PAmnPBmn=−+=+，所以()22222216(2)8244333PAPBmnnnnn=−++=−−+++=+−，又22n−，所以当23n=−

时，PAPB有最小值163−，故选：A．7.根据中国地震局发布的最新消息，2023年1月1日至2023年11月10日，全球共发生六级以上地震110次，最大地震是2023年02月06日09时02分37秒在土耳其发生的7.8级地震．地震定位对地震救援具有重要意义，根据双台子台阵方法，在一次地震发生后

，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.已知地震台站A，B在公路l上（l为直线），且A，B相距28km，地震局以AB的中点为原点O，直线l为x轴，1km为单位长度建立如

图所示的平面直角坐标系.在一次地震发生后，根据A，B两站收到的信息，并通过计算发现震中P在双曲线2221(0)132xyaa−=的右支上，且23APB=，则P到公路l的距离为（）A.113km7B.22km7C.222km7D.223km7

【答案】D【解析】【分析】由题意可求出a的值，即得||||PAPB−的值，利用余弦定理即可求出||||PAPB的值，从而求得APB△的面积，进而结合等面积法求得答案.【详解】设双曲线2221(0)132xyaa−=

的焦距为2c，由题意，得||282ABc==，所以22132196ac+==，解得8a=，所以||||216PAPBa−==，由23APB=及余弦定理，得2222π||||2||||cos||3PAPBPAPBAB+−=，即2

2(||||)3||||||PAPBPAPBAB−+=，所以||||176PAPB=，APB△的面积12π||||sin44323SPAPB==，设P到公路l的距离为h，则1||4432SABh==，所以2237h=，即P到公路l的距离为223km7，

故选：D.8.在平面直角坐标系xOy中，已知(0,2),,||2,||(0)AABACABACbb−⊥==，若圆22(2)26xy++=上存在点M在以BC为直径的圆上，则实数b的最小值为（）A.32B.25C.22D.26【答案】C【解析】【分析】确定以BC为直径的圆

的圆心和半径，根据两圆有交点得到1212||rrADrr−+，代入数据计算得到答案.【详解】,||2,||ABACABACb⊥==，则以BC为直径的圆的圆心为BC的中点D，半径为222111||||||422rADABACb=

=+=+．圆22(2)26xy++=的圆心为(0,2)A−,半径226r=．因为M在以BC为直径的圆上，所以圆22(2)26xy++=与以BC为直径的圆有交点，即1212||rrADrr−+，22211142644

26222bbb+−+++，解得22b，所以实数b的最小值为22．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.在空间直角坐标系Oxyz中，点(0,2,3),(4,2,3),(3,1,2),(1,1,2)ABCD−−−−−，则（）A.直线//AB平面OxzB.直线AB⊥平面OyzC.直线//CD平面OxzD.直线CD⊥平面Oyz【答案】ACD【解析】【分析】由题意

根据数量积的垂直表示、共线向量定理，判断坐标平面的法向量和直线的方向向量之间是否垂直，平行逐一判断即可.【详解】(4,0,6)AB=−，平面Oxz的一个法向量是(0,1,0)m=，平面Oyz的一个法向量是(1,0,0)n=，因为0ABm=,所

以ABm⊥,又AB平面Oxz,所以直线//AB平面Oxz，故A正确；因为不存在使得ABn=,所以AB与n不平行，即直线AB⊥平面Oyz不成立，故B错误；(4,0,0)CD=−，因为0CDm=,

所以CDm⊥,又CD平面Oxz,所以直线//CD平面Oxz，故C正确；因为4CDn=−，所以CD与n平行，即直线CD⊥平面Oyz，故D正确．故选：ACD．10.已知，点()3,4A在直线l上，圆22:(1)(2)4Cxy−++=，则下列说法正确的是（）A.若圆C关于直线

l对称，则直线l的方程为350xy−−=B.若点P是圆C上任意一点，则||AP的最大值为210C.若直线l与圆C相切于点B，则||6AB=D.若直线l与圆C相切，则直线l的方程为430xy−=【答案】AC【解析】【分析】根据题意，利用直

线与圆的位置关系，以及圆的弦长、切线方程的求法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由圆22:(1)(2)4Cxy−++=，得圆心(1,2)C−，半径2r=，若圆C关于直线l对称，则直线l经过圆心C，所以直线l的斜率为42331k+==−，此时直线方程为23

(1)yx+=−,即350xy−−=，所以A正确；对于B中，由22||(31)(42)210AC=−++=，AP的最大值为||2102ACr+=+，所以B错误；对于C中，若直线l与圆C相切于点B，则22,||||||40462ABCABAC

BC==−=−=，所以C正确；对于D中，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为3x=,圆心C到直线l的距离为2r=，所以直线l与圆C相切，满足要求；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为4(3)ykx−=−，即430kxyk−+−=,若直线l与圆C相切，则圆心C到直线l的距离2|243|21k

kdrk++−===+，解得43k=，所以直线l的方程为430xy−=，综上所述，若直线l与圆C相切，则直线l的方程为3x=或430xy−=，所以D错误．故选：AC．11.已知曲线22:1Emxny+=（,mn为常数），点A

是曲线E上一点，直线2yx=−上的动点B，C满足||25BC=，则下列说法正确的是（）A.若方程221mxny+=表示椭圆，则0mnB.若方程221mxny+=表示双曲线，则0mnC.当11,43mn=

=−时，ABC的面积的最小值为4D.当11,43mn==−时，使得ABC是等腰直角三角形的点A有8个【答案】ABD【解析】【分析】根据方程表示椭圆，可确定,mn的取值情况，判断A；根据方程表示双曲线，可确定,mn的取值情况，判断B；设直线:2lyxt=−+，联立

双曲线方程，结合点到直线的距离可求出双曲线上的点到直线2yx=−的最短距离，即可判断C；分类讨论直角三角形顶点，从而确定符合题意的三角形个数，判断D.【详解】对于选项A，若方程221mxny+=表示椭圆，则0,0mn且mn，所以0mn，故

A正确；对于选项B，若方程221mxny+=表示双曲线，则00mn或00mn，所以0mn，故B正确；对于选项C,当11,43mn==−时，曲线E为双曲线22143xy−=，设直线:2lyxt=−+，联立方程221

432xyyxt−==−+，得2213164120xtxt−++=，当直线l与双曲线E只有一个交点时，()22Δ(16)4134120tt=−−+=，解得13t=，所以点A到直线BC的距离的最小值22|13|65521d=

=+，故ABC的面积的最小值为165251325=，故C错误；对于选项D,若π2ABC=或π2ACB=，则点A到直线BC的距离为25，设直线:2lyxt=−+经过此时的点A，则||255td==，解得10t=，

当10t=时，由C选项可知此时2(160)41341241760=−−=，即存在2个点A满足要求，同理10t=−时，也存在2个点A满足要求；若π2BAC=,则点A到直线BC的距离为1||52BC=设直线:2lyxt=−+经过此时的

点A，则||55td==，解得5t=，当5t=时，由C选项可知此时2(80)4131125760=−−=，即存在2个点A满足要求.同理5t=−时，也存在2个点A满足要求，综上所述，使得ABC是等腰直角三角形的点A有8个，故D正

确．故选：ABD．12.如图，在长方体1111ABCDABCD−中，124ABADAA===，点E为1AA的中点，点F为侧面11AABB（含边界）上的动点，则下列说法正确的是（）A.存在点F，使得1FCFD⊥B.满足1FCFD=的点F的轨迹长度为5C.1FCFD+的最小值为422

5+D.若1AD∥平面EFC，则线段AF长度的最小值为45【答案】BD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，设F点坐标，利用空间向量法判断直线的位置关系可判断A；根据1FCFD=，推出F点的坐标满足的关系23mn−=，可求得F的轨迹长度，判断C；利用点的对称点，结合

空间两点的距离公式可判断C；求出平面EFC的法向量，根据空间位置关系的向量证法求出3440mn+−=，结合空间两点间距离公式以及二次函数性质，可判断D.【详解】以A为原点，分别以1,,ABADAA所在的直线为x轴，y轴

，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则1(0,0,0),(4,4,0),(0,4,2),(0,0,1),(,0,)([0,4],[0,2])ACDEFmnmn，对于选项A，若1FCFD⊥，则10FCFD=，

又1(4,4,),(,4,2)FCmnFDmn=−−=−−，所以(4,4,)(,4,2)0mnmn−−−−=，即22(2)(1)110mn−+−+=，此方程无解，所以不存在点F，使得1FCFD⊥，故A错误；对于选项B，由1F

CFD=，得222222(4)4()()4(2)mnmn−++−=−++−，化简可得23mn−=，即F点轨迹为矩形11ABBA内的线段，又[0,2]n，所以当0n=时，得13,0,02F，当2n=时，

得25,0,22F，即满足1FCFD=的点F的轨迹长度为2122553()222FF−+==，故B正确；对于选项C，设点C关于平面11AABB的对称点为G，则G的坐标为(4,4,0)−，则1222112

24821FCFDFGFDGD=++++==，1,,FGD共线时取等号，故C错误；对于选项D，1(0,4,2),(,0,1),(4,4,1)ADEFmnEC==−=−，设平面EFC的一个法向量为(,,)sxyz=，则00sEFsEC==

，即()10440mxnzxyz+−=+−=，令1xn=−，则11,4ynmzm=−−=−，所以平面EFC的一个法向量为11,1,4snnmm=−−−−，因为1AD∥平面EFC，所以10ADs=，即3440mn+−=，又点(0,0,0)A，所以22222325121

614162525AFmnmmm=+=+−=−+，当12[0,4]25m=时，AF取得最小值45，故D正确．故选：BD．【点睛】关键点睛：本题关键是建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量法判断线线和线面位置关系，对于D选项还需结合二次函数性质从

而得到其最值.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的一条渐近线的倾斜角为3π4，则双曲线C的离心率为的___________．【答案】2【解析】【分析】根据渐近线的斜率可得ba=，结合离心率公式运

算求解.【详解】由题意可知：双曲线C的渐近线方程为byxa=，又因为其中一条渐近线的倾斜角为3π4，则3tan14ba−==−，即ba=，所以222caba=+=，即2cea==.故答案为：2.14.在四棱锥PABCD−中，底面

ABCD是平行四边形，E是棱PD上一点，且23DEDP=，BExBAyBCzBP=++，则xyz++=___________．【答案】43【解析】【分析】由已知选取,,BABCBP为基底，根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解

.【详解】连接BD，则22()33BEBDDEBDDPBDBPBD=+=+=+−1212112()3333333BDBPBABCBPBABCBP=+=++=++，又BExBAyBCzBP=++，所以1124,,,3333xyzxyz==

=++=．故答案是：43.15.已知半径为2的圆C经过点(3,2)A−，则圆心C到直线:7130lxy−+=的距离的最大值为___________．【答案】22【解析】【分析】确定圆心C的轨迹方程，利用点到直线的距离公式，求出(3,2)A−到直线l的距

离，加上轨迹的半径，即得答案.【详解】设圆心C的坐标为(,)ab，因为半径为2的圆C经过点(3,2)A−,所以22(3)(2)2ab++−=，所以点C的轨迹是以(3,2)A−为圆心，2为半径的圆，故圆心C到直线7130xy−+=的距离的最大值为点A到直线l的距离加上半径

2，即22|7(3)213|2227(1)−−++=+−，故答案：2216.已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=的右焦点为F,过点F且斜率为255的直线l与椭圆E交于A,B两点，与y轴交于点C,若2ACCB=

，则椭圆E的离心率为___________．【答案】55##155【解析】【分析】设()()1122,,,AxyBxy，由2ACCB=得122xx=−，由题可得直线方程25()5yxc=−，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合条件

可得,ac的方程，然后求解离心率即可.【详解】设F的坐标为(,0)c，则222acb−=，直线l的方程为25()5yxc=−，则C的坐标为250,5c−，设()()1122,,,AxyBxy，由2ACCB=，得1

12225250,2,55xcyxyc−−−=+，所以122xx=−①，联立方程22221,25(),5xyabyxc+==−得()22222222458450abxcaxacab+−+−=，为所以21222845caxxab

+=+②，222212224545acabxxab−=+③，由①②得22122222168,4545cacaxxabab==−++，代入③得()24222222222128454545caacababab−−=++，又222bac=−，所以422452650caca−+=,即()()22

22550caca−−=,解得5ca=或55ac=,所以离心率5e=（舍）或55e=．故答案为：55.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知两点(2,5),(4,3)PQ−−，直线:240lxy−−=．（

1）若直线1l经过点P，且1ll⊥，求直线1l的方程；（2）若圆C的圆心在直线l上，且P，Q两点在圆C上，求圆C的方程．【答案】（1）280xy++=（2）22(3)(2)50xy−+−=【解析】【分

析】（1）易知直线:240lxy−−=的斜率为2，再根据1ll⊥结合直线1l经过点(2,5)P−求解；（2）方法一：求得PQ的中垂线方程，再由圆心C在直线l上，由3144240yxxy=−−−=，，求得圆心即可；方法二：根据圆C的圆心在直线l上，可设圆心C的坐标为(

,24)aa−，半径为r，再由P，Q两点在圆C上，代入圆的方程求解.【小问1详解】解：直线:240lxy−−=的斜率为2，设直线1l的斜率为k，由1ll⊥，得21k=−，解得12k=−，又直线1l经过点(2,5)P−，所以直线1l的方程为1(5)(2)2yx−

−=−−，即280xy++=．【小问2详解】方法一：354423PQk+==−−−，所以PQ的中垂线的斜率为34，又PQ的中点为(1,1)−−，所以PQ的中垂线的方程为31(1)4yx+=+，即3144yx=−．因为,P

Q两点在圆C上，所以圆心C在PQ的中垂线上，又圆心C在直线l上，由3144240yxxy=−−−=，，得3,2,xy==即圆心C的坐标为()3,2，又圆C的半径22||(32)(25)52rCP==−++=，

所以圆C的方程为22(3)(2)50xy−+−=．方法二：因为圆C的圆心在直线l上，所以可设圆心C的坐标为(,24)aa−，半径为r，所以圆C的方程为222()(24)xayar−+−+=，又P，Q两点在圆C上，所以()

()()()22222225244324aaraar−+−−+=−−+−+=，解得352.ar==，所以圆C的方程为22(3)(2)50xy−+−=．18.已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=的

离心率为32，点31,2A在椭圆E上．（1）求椭圆E方程；（2）已知椭圆E的右顶点为B，过B作直线l与椭圆E交于另一点C，且27||||7BCAB=，求直线l的方程．【答案】（1）2214

xy+=的（2）52250xy−−=【解析】【分析】（1）利用给的条件列方程求得,ab的值，进而得到椭圆的标准方程；（2）联立圆与椭圆的方程，先求得点C的坐标，进而得到表达式，再化简即可求得．小问1详解】由题可知32

ca=，其中222cab=−，所以12ba=,又点31,2A在椭圆E上，所以221314ab+=，即22131aa+=，解得224,1ab==，所以椭圆E的方程为2214xy+=．【小问2详解】由椭圆E的方程2214xy+=，得(2,0)B，所以2237(12)022AB

=−+−=，设()00,Cxy，其中00[2,2),[1,1]xy−−，因为27||||17BCAB==，所以()220021xy−+=，又点()00,Cxy在椭圆22:14xEy+=上，所以220014xy+=，联立方程组()200

22002114xyxy−+=+=，得200316160xx−+=，解得043x=或04x=（舍），当043x=时，053y=，即45,33C或45,33C−．所以当C的坐标为45,33时，

直线l的方程为52250xy+−=；【当C的坐标为45,33−时，直线l的方程为52250xy−−=．综上，直线l的方程为52250xy+−=或52250xy−−=.19.如图，在棱长为3的正方体1111ABCDABCD−中，E为棱1AA上

一点，且11AE=．（1）求点B到平面1CDE的距离；（2）求平面1CDE与平面1BDE夹角的余弦值．【答案】（1）31919（2）8266133【解析】【分析】（1）建系，利用空间向量求点到面的距离；（2）利用空间向量求面面夹角.【小问1详解】以D为原点，1,,DADCDD所在的直线分别为x轴

，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则1(3,3,0),(0,3,0),(0,0,3),(3,0,2)BCDE，可得11(0,3,3),(3,0,1)CDED=−=−，设平面1CDE的一个法向量为(,,)mxyz=，则1133030mCDyzmEDxz=−+==−+=，令1x

=，则3,3yz==，所以平面1CDE的一个法向量为(1,3,3)m=，又因为(0,3,2)BE=−，所以点B到平面1CDE的距离||331919||19BEmdm===．【小问2详解】由（1）可得：1(0,3,2),(3,0,1)BEED=−=−，设平面1BDE

的一个法向量为(,,)nabc=，则132030nBEbcnEDac=−+==−+=，令1a=，则2,3bc==，所以平面1BDE的一个法向量为),(13,2n=，由（1）知平面1CDE的一个法向量为(1,3,3)m=，设平面1CDE与平面1BD

E的夹角为π02，则168266coscos,1331914mnmnmn====，所以平面1CDE与平面1BDE夹角的余弦值为8266133．20.在平面直角坐标系xOy中，动点P与定点(0,5)F−的距离和它到定直线=2y−的距离的

比是常数102，设动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）以原点O为端点作两条互相垂直的射线与曲线C分别交于点M,N．求证：2211||||OMON+是定值．【答案】（1）2211015yx−=（2

）证明见解析【解析】【分析】（1）设动点P的坐标为(),Pxy，根据题意由22(5)10|2|2xyy++=+求解；（2）易知当,OMON中有一条斜率不存在，另一条斜率为0时，不符合题意．设:,0OMykxk=，则1:ONyxk=−，与双曲线方程联立，求

得2||OM，2||ON求解．【小问1详解】设动点P的坐标为(),Pxy,因为动点P与定点(0,5)F−的距离和它到定直线=2y−的距离的比是常数102，所以22(5)10|2|2xyy++=+，化简，

得2211015yx−=，即曲线C的方程为2211015yx−=．【小问2详解】当,OMON中有一条斜率不存在，另一条斜率为0时，,OMON中有一条直线与曲线C不相交，所以不符合题意．设:,0OMykxk=，则1:ONyxk=−，联立方程22,1,101

5ykxyx=−=解得222223030,3232kxykk==−−，则222223030||32kOMxyk+=+=−．用1k−替换上式中的k即得22222130303030||32132kkONkk−++

==−−−．因此2222222211323211||||30303030303030kkkOMONkkk−−++=+==+++，即2211||||OMON+是定值130．21.如图，在四棱锥EABCD−中，平面

EAB⊥平面ABCD，四边形ABCD是等腰梯形，ABDC,6,10,4,,,ABBCCDEAEBEAEBF===⊥=是棱BE上一点，且13BFBE=．（1）证明：CF∥平面DAE;（2）线段CF上是否存在一点M，使得EM与

平面ADE所成角的正弦值为33819？若存在，求出CMCF的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，1CMCF=【解析】【分析】（1）作辅助线，在棱AE上取一点G，使得13AGAE=，证明∥CFDG，根据线面平行的判定定理，即可证明结论；（2）

假设符合题意的点存在，建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，利用空间角的向量求法结合题设，列式计算，求得参数，即可得结论.【小问1详解】证明：在棱AE上取一点G，使得13AGAE=，连接,DGFG，因为11,33BFBEAGAE==，所以FGAB∥且243FGAB==,又,4ABDCDC=

∥，所以,FGDCFGDC=∥，所以四边形CDGF是平行四边形，所以∥CFDG,又CF平面,DAEDG平面DAE，所以CF∥平面DAE．【小问2详解】假设线段CF上否存在一点M，使得EM与平面ADE所成角的正弦

值为33819，分别取,ABCD的中点1,OO，连接1,OEOO，因为四边形ABCD是等腰梯形，所以1OOAB⊥，又平面EAB⊥平面ABCD，平面EAB平面ABCDAB=，1OO平面ABCD，所以1OO⊥平面EAB，又OE平面EAB，所以1O

OOE⊥.因为,EAEBO=是AB的中点，所以OEAB⊥，所以1,,OEABOO两两垂直，以O为原点，1,,OEOBOO所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为6,10,4,,ABBCCDEAEBEAEB

===⊥=，则(0,3,0),(0,3,0),(0,2,3),(0,2,3),(3,0,0),(1,2,0)ABCDEF−−，设(1,0,3)CMCF==−，其中[0,1]，则(3,2,33)EMECCM=+=−+−，(0,1,3),(3

,3,0)ADAE==，设平面ADE的一个法向量为(,,)mxyz=，则00mADmAE==，即30330yzxy+=+=，令1z=，则3,3xy==−，所以平面ADE的一个法向量为(3,3,1)m=−，

设EM与平面ADE所成角为，π[0,]2，则22|||12|sin|cos,|||||19(3)4(33)mEMmEMmEM−===−+++−2121919102422=−+，所以212193381919

102422=−+，即251270−+=，解得1=或75=（舍），即线段CF上存在一点M，当1CMCF=时，EM与平面ADE所成角的正弦值为33819.22.已知抛物线2:2(0)Eypxp=的准线是1l，直线2:24lyx=+与抛物线E没有公共点，动点M在抛物线

E上，过点M分别作直线12,ll的垂线，垂足分别为12,MM，且12MMMM+的最小值为25．（1）求抛物线E的方程；（2）过(3,1)N作两条不同的直线,ABCD，分别与抛物线E相交于点,AB与点,CD，且线段,ABCD的中点分别为,PQ．若直线,ABCD的斜率之和为

2，试问直线PQ是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】（1）212yx=（2）5,32【解析】【分析】（1）由于12221MMMMMFMMFMFF+=+，所

以点M在线段1FF上，进而求得12MMMM+的最小值，求抛物线方程即可；（2）设出直线AB和CD的方程，将两直线方程与抛物线联立，利用韦达定理从而求出直线PQ的含参方程，可得定点.【小问1详解】由题意知抛物线E的焦点为,02pF

，由抛物线的性质知1MMMF=，过F作直线2l的垂线，垂足为1F，则F到直线2l的距离145pFF+=，又直线2l与抛物线E没有公共点，所以12221MMMMMFMMFMFF+=+，当且仅当点M在线段1FF上时，等号成立，所以12MMMM+的

最小值为1FF，即|4|255p+=，解得14p=−（舍）或6p=．所以抛物线E的方程为212yx=．【小问2详解】若直线AB或直线CD与x轴平行，则AB或CD与抛物线E只有一个公共点，不符合题意，所以直线,ABCD的

斜率都不为0，设直线AB的方程为13(1)xmy−=−，直线CD的方程为23(1)xmy−=−，易知直线,ABCD的斜率分别为1211,mm，所以12112mm+=且12mm．设()()1122,,,AxyBx

y，联立方程21123(1)yxxmy=−=−，得2111212360ymym−+−=，所以12112yym+=，所以()211163,6Pmmm−+，同理可得()222263,6Qmmm−+．当直线PQ的斜率不存在时，2211226363

mmmm−+=−+，即()()1212610mmmm+−−=，又12mm，所以1216mm+=，又12112mm+=，所以21112210mm−+=，方程无解，所以直线PQ的斜率一定存在；当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ过定点()00,Hxy，则HPHQkk

=，即102022110220666363mymymmxmmx−−=−+−−+−，整理可得()()()2112000123661860mmmmxyymm−++−−+=，又12mm，所以()()12000123661860mmxyymm++−−+=，因为12112mm+

=，所以12122mmmm+=，代入上式，得()()0120036126180ymmxy−++−=，当036120y−=时，006180xy+−=，解得005,32xy==，即直线PQ经过定点5,32H．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步

骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,xyxy；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12xx+、12xx（或12yy+、12yy）

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