【文档说明】东北三省东北师大附中2021届高三高考数学第二次联考试卷（理科）（2021.04） 含解析.doc，共(20)页，1.143 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-a23a1f988fe5cf9e0431fa93c2ba55c6.html

以下为本文档部分文字说明：

-1-2021年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高三高考数学第二次联考试卷（理科）（4月份）一、选择题（每小题5分）.1．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，则集合A*B的所有元素之和为（）A．16B．18C．1

4D．82．设复数z＝（其中i为虚数单位），则z•＝（）A．1B．3C．5D．63．割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现．如图，揭示了刘微推导三角形积公式的方法，在三角形ABC内

任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率（）A．B．C．D．4．已知a＝，b＝log52，c＝，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．c＞b＞a5．已知下列四个命题，其中真命题的个数为（）①空间三条互相平行的直线a，b，c，都与直线d相交，则a，b，c三条直线

共面；②若直线m⊥平面α，直线n∥平面α，则m⊥n；③平面α∩平面β＝直线m，直线a∥平面α，直线a∥平面β，则a∥m；④垂直于同一个平面的两个平面互相平行．A．1B．2C．3D．46．双曲线C：＝1（a＞0，b＞0

）的左、右焦点分别为F1、F2，P是双曲线C上一点，-2-PF2⊥x轴，tan∠PF1F2＝，则双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y＝0B．2x±y＝0C．D．7．如图所示，流程图所给的程序运行结果为S

＝840，那么判断框中所填入的关于k的条件是（）A．k＜5？B．k＜4？C．k＜3？D．k＜2？8．已知f（x）是定义域为R的奇函数，f（1+x）＝f（1﹣x），当0≤x≤1时，f（x）＝ex﹣1，则2≤x≤3时，

f（x）的解析式为（）A．f（x）＝1﹣ex﹣2B．f（x）＝ex﹣2﹣1C．f（x）＝1﹣ex﹣1D．f（x）＝ex﹣1﹣19．若函数的图象向右平移个长度单位后关于点对称，则f（x）在上的最小值为（）A．

﹣1B．C．D．10．已知直线x+y＝a与圆x2+y2＝4交于A、B两点，O为坐标原点，，则实数a的值为（）A．±2B．C．D．11．已知A、B是球O的球面上两点，AB＝2，过AB作互相垂直的两个平面截球得到圆O1和圆O2，若∠AO1B＝90°，∠AO2B＝60°，则球的表面积为（）A

．5πB．10πC．15πD．20π12．已知函数f（x）＝ex﹣3，g（x）＝+ln，f（m）＝g（n）成立，则n﹣m的最小值为（）A．1+ln2B．ln2C．2ln2D．ln2﹣1-3-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上.13．

sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝．14．在一次跳绳比赛中，35名运动员在一分钟内跳绳个数的茎叶图，如图所示，若将运动员按跳绳个数由少到多编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，把7

人跳绳个数由少到多排成一列，第一个人跳绳个数是133，则第5个人跳绳个数是．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，b﹣c＝2，cosA＝﹣，则a的值为．16．在学习推理和证明的课堂上，老师给出两个曲线方程C1：＝1；C2

：x4+y4＝1，老师问同学们：你想到了什么？能得到哪些结论？下面是四位同学的回答：甲：曲线C1关于y＝x对称；乙：曲线C2关于原点对称；丙：曲线C1与坐标轴在第一象限围成的图形面积S1＜；丁：曲线C2与

坐标轴在第一象限围成的图形面积S2＜．四位同学回答正确的有（选填“甲、乙、丙、丁”）．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（一）必考题：共60分17．已知公比大于1的等比数列{an}的前6项和为126，且4a2，3a3，2a

4成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；（Ⅱ）若数列{bn}满足bn＝bn﹣1+log2an（n≥2且n∈N*），且b1＝1，证明：数列{}的前n项和Tn＜2．18．新冠疫情爆发以来，在党和政府的领导下，社区工作人员做了大量的工作，为总结工作中的经验

和不足，设计了一份调查问卷，满分100分，随机发给100名男性居民和100名女性居民，分数统计如表：100位男性居民评分频数分布表分组频数[50，60）3-4-[60，70）12[70，80）72[80，90）8[90，100]5

合计100100位女性居民评分频数分布表分组频数[50，60）5[60，70）15[70，80）64[80，90）7[90，100]9合计100（Ⅰ）求这100位男性居民评分的均值和方差S2；（Ⅱ）已知男性居民评分X服从正态分

布N（μ，σ2），μ用表示，σ2用S2表示，求P（67.8＜X＜89.4）；（Ⅲ）若规定评分小于70分为不满意，评分大于等于70分为满意，能否有99%的把握认为居民是否满意与性别有关？附：≈7.2P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0

.9545，P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.9973．参考公式K2＝，n＝a+b+c+d．p（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.2046.6357.87910.82819．已

知等腰直角△SAB，SA＝AB＝4，点c，d分别为边SB，SA的中点，沿CD将△SCD折起，得到四棱锥S﹣ABCD，平面SCD⊥平面ABCD．（Ⅰ）过点D的平面α∥平面SBC，平面α与棱锥S﹣ABCD的面相交，在图中画出交线

；设平面α与棱SA交于点M，写出的值（不必说出画法和求值理由）；-5-（Ⅱ）求证：平面SBA⊥平面SBC．20．已知点M（1，），N（﹣1，﹣），直线PM，PN的斜率乘积为﹣，P点的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲

线C的方程；（Ⅱ）设斜率为k的直线交x轴于T，交曲线C于A，B两点，是否存在k使得|AT|2+|BT|2为定值，若存在，求出的k值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）＝ex+e﹣x﹣（a∈R）（Ⅰ）当a＝2时，求函数f（x）

的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在（0，+∞）上有且仅有一个极小值点，求a的取值范围．（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所

选题目对应的题号涂黑。本题满分10分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C1的参数方程为（θ为极角），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，

曲线C2的极坐标方程为．（Ⅰ）分别求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l交曲线C1于O，A两点，交曲线C2于O，B两点，求|AB|的长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|x+2|﹣|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x）≤x；（Ⅱ）设f（x）的最大值为t，如果正实数

m，n满足m+2n＝t，求的最小值．-6-参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1，2}，B＝{1，2，3}

，则集合A*B的所有元素之和为（）A．16B．18C．14D．8解：由x∈A＝{1，2}，y∈B＝{1，2，3}，可得：z＝xy＝1，2，3，4，6，∴集合A*B＝{1，2，3，4，6}，可得：所有元素之和＝1+2+3+4+6＝16，故选：A．2．设复数z＝（其中i为虚数单位），则z•＝

（）A．1B．3C．5D．6解：复数z＝＝＝＝2+i，则z•＝（2+i）（2﹣i）＝5，故选：C．3．割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现．如图，揭示了刘微推导三角形积公式的方法，在三角形ABC内任取一

点，则该点落在标记“盈”的区域的概率（）A．B．C．D．解：根据题意可得长方形的长为三角形的底，长方形的宽为三角形的高的一半，故该点落在标记“盈”的区域的面积为三角形面积的四分之一，-7-故该点落在标记“盈”的区域的概率为，故选：A．4．已知

a＝，b＝log52，c＝，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．c＞b＞a解：∵，∴1＜a＜2，∵0＝log51＜log52＜log55＝1，∴0＜b＜1，∵c＝＝log25＞log24＝2，∴c＞2，∴c＞a＞b，故选：C．5．已

知下列四个命题，其中真命题的个数为（）①空间三条互相平行的直线a，b，c，都与直线d相交，则a，b，c三条直线共面；②若直线m⊥平面α，直线n∥平面α，则m⊥n；③平面α∩平面β＝直线m，直线a∥平面α，直线a∥平面

β，则a∥m；④垂直于同一个平面的两个平面互相平行．A．1B．2C．3D．4解：对于①，空间三条互相平行的直线a，b，c，都与直线d相交，则a，b共面，由d与a，b都相交，得到d在a，b确定的平面内，∵c

，d相交，且c与a．b都平行，∴c在a，b确定的平面内，∴a，b，c三条直线共面，故①正确；对于②，若直线m⊥平面α，直线n∥平面α，则由线面垂直的性质和线面平行的性质得m⊥n，故②正确；对于③，平面α∩平面β＝直线m，直线a∥平面α，直线a∥平面β，则由线面平行的性质得a∥m，故③正确；对于④

，垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故④错误．故选：C．6．双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是双曲线C上一点，-8-PF2⊥x轴，tan∠PF1F2＝，则双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y＝0B．2x±y＝0C．D．解：双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的

左、右焦点分别为F1、F2，P是双曲线C上一点，PF2⊥x轴，tan∠PF1F2＝，可得＝＝，即2b2＝3ac，4b4＝9a2（a2+b2），可得4b4＝9a4+9a2b2，4﹣9﹣9＝0，解得＝，（负值舍去），双曲线的渐近线方程为：±y＝0．故选：C．7．

如图所示，流程图所给的程序运行结果为S＝840，那么判断框中所填入的关于k的条件是（）A．k＜5？B．k＜4？C．k＜3？D．k＜2？解：模拟程序的运行，可得S＝1，k＝7；不满足退出循环的条件，执行循环体后：S＝7，k＝6；不满足退出循环的条件，执行循环体后：S＝42，k＝

5；不满足退出循环的条件，执行循环体后：S＝210，k＝4；不满足退出循环的条件，执行循环体后：S＝840，k＝3；由题意可得，此时应当满足退出循环的条件，退出循环，输出S的值为840，故判断框中应填入的关于k的条件

是k＜4？．-9-故选：B．8．已知f（x）是定义域为R的奇函数，f（1+x）＝f（1﹣x），当0≤x≤1时，f（x）＝ex﹣1，则2≤x≤3时，f（x）的解析式为（）A．f（x）＝1﹣ex﹣2B．f（x）＝ex﹣2﹣1C．f（x）＝

1﹣ex﹣1D．f（x）＝ex﹣1﹣1解：因为f（x）是定义域为R的奇函数，f（1+x）＝f（1﹣x），所以f（2﹣x）＝f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝ex﹣1，设﹣1≤x≤0，则0≤﹣x≤1，所以f（﹣x）＝e﹣x﹣1＝﹣f（x），所以f（x）＝﹣e﹣x+

1，则2≤x≤3时，﹣1≤2﹣x≤0，所以f（2﹣x）＝﹣e2﹣x+1＝f（x）故选：A．9．若函数的图象向右平移个长度单位后关于点对称，则f（x）在上的最小值为（）A．﹣1B．C．D．解：函数f（x）＝sin（ωx+）的图象向右平移个长度单位，得y＝f（x﹣）＝sin[ω（x﹣）+]＝s

in（ωx﹣ω+），又该函数图象关于点对称，所以﹣ω+＝+kπ，k∈Z，解得ω＝﹣﹣k，k∈Z，又0＜ω＜3，所以k＝﹣1，得ω＝1，所以f（x）＝sin（x+），当x∈[﹣，π]时，x+∈[﹣，]，所以sin（x+）∈[﹣，1]，-10-所以f（x）在上的最小值为﹣．故选：C．10．已知直线x+

y＝a与圆x2+y2＝4交于A、B两点，O为坐标原点，，则实数a的值为（）A．±2B．C．D．解：∵直线x+y＝a与圆x2+y2＝4交于A、B两点，O为坐标原点，，∴||＝||＝2，∴+2＝3（﹣2）⇒＝

2⇒cos∠AOB＝⇒∠AOB＝60°⇒△AOB为等边三角形，故O到直线AB的距离为：|OA|＝＝⇒a＝±，故选：D．11．已知A、B是球O的球面上两点，AB＝2，过AB作互相垂直的两个平面截球得到圆O1和圆O2，若∠AO1B＝90°，∠AO2B＝6

0°，则球的表面积为（）A．5πB．10πC．15πD．20π解：A、B是球O的球面上两点，AB＝2，过AB作互相垂直的两个平面截球得到圆O1和圆O2，若∠AO1B＝90°，∠AO2B＝60°，△ABO2

是正三角形，如图，AB的中点为G，O1G⊥AB，O2G⊥AB，OO1⊥圆O1和OO2⊥圆O2，可得O1G＝1，OO2＝，OG＝＝2，外接球的半径为：R＝＝，则球的表面积为4πR2＝20π．故选：D．-11-1

2．已知函数f（x）＝ex﹣3，g（x）＝+ln，f（m）＝g（n）成立，则n﹣m的最小值为（）A．1+ln2B．ln2C．2ln2D．ln2﹣1解：不妨设f（m）＝g（n）＝t，∴em﹣3＝+ln＝t，（t＞0），∴m﹣3＝ln

t，即m＝3+lnt，n＝2•，故n﹣m＝2•﹣3﹣lnt（t＞0），令h（t）＝2•﹣3﹣lnt（（t＞0），h′（t）＝2•﹣，易知h′（t）在（0，+∞）上是增函数，且h′（）＝0，当t＞时，h′（t）＞0，当0＜t＜时，h′

（t）＜0，即当t＝时，h（t）取得极小值同时也是最小值，此时h（）＝2﹣（3+ln）＝ln2﹣1，即n﹣m的最小值为ln2﹣1，故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答

题纸相应位置上.13．sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝．解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝sin20°cos10°+cos20°sin10°＝sin（20°+10°）＝，故答案为：．14．在一次跳

绳比赛中，35名运动员在一分钟内跳绳个数的茎叶图，如图所示，若将运动员按跳绳个数由少到多编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，把7人跳绳个数由少到多排成一列，第一个人跳绳个数是133，则第5个人跳绳个数是145．-12-解：系统抽样间隔为35÷7＝5，且

第一个人跳绳个数是133，编号是3，所以第5个人的编号是4×5+3＝23，跳绳个数是145．故答案为：145．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，b﹣c＝2，c

osA＝﹣，则a的值为．解：由于cosA＝﹣，则，利用sin2A+cos2A＝1，解得，由于△ABC的面积为，所以，解得bc＝8．由于b﹣c＝2，所以（b﹣c）2＝4，整理得b2+c2＝20，所以a2

＝b2+c2﹣2bccosA＝，解得a＝2．故答案为：16．在学习推理和证明的课堂上，老师给出两个曲线方程C1：＝1；C2：x4+y4＝1，老师问同学们：你想到了什么？能得到哪些结论？下面是四位同学的回答：甲：曲线C1关于y＝x对称；乙：曲线C2关于原点对称；丙：曲线C1与坐标轴在第

一象限围成的图形面积S1＜；丁：曲线C2与坐标轴在第一象限围成的图形面积S2＜．四位同学回答正确的有甲、乙、丙（选填“甲、乙、丙、丁”）．解：甲说法：对曲线＝1，交换x，y得，方程不变，所以C1关于y＝x对称，故甲说法正确

，乙说法：若（x，y）在曲线C2上，即x4+y4＝1，所以（﹣x）4+（﹣y）4＝1，即点（﹣x，﹣y）在曲线C2上，所以曲线C2关于原点对称，故乙说法正确，丙说法：选择x+y＝1作参考，其与坐标轴在第一象限围成的面积为，-13

-对＝1，第一象限均有0≤x≤1，0≤y≤1，此时，，等号不能同时取得，所以1＝＞x+y，所以＝1时，x+y＜1，且x+y＝1时，，所以曲线C1与坐标轴在第一象限围成的图形面积S1＜，故丙说法正确，丁说法：选择x2+y2＝1作为参考，其与坐

标轴在第一象限围成的面积为，若x2+y2≥1，则（x2+y2）2≥1，即x4+y4+2x2y2≥1，所以x4+y4≤1，即曲线C2与坐标轴在第一象限围成的图形面积S2＞，故丁说法错误，故答案为：甲、乙、丙．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、

证明过程或演算步骤。（一）必考题：共60分17．已知公比大于1的等比数列{an}的前6项和为126，且4a2，3a3，2a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；（Ⅱ）若数列{bn}满足bn＝bn﹣1+log2an（n≥2且n∈N*），且b1

＝1，证明：数列{}的前n项和Tn＜2．解：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q，q＞1，由4a2，3a3，2a4成等差数列，可得6a3＝4a2+2a4，即为6a1q2＝4a1q+2a1q3，即有q2﹣3q+2＝0，解得q＝2（1舍去），

由前6项和为126，可得＝126，则a1＝＝2，所以an＝2•2n﹣1＝2n；（Ⅱ）证明：bn＝bn﹣1+log2an，即bn﹣bn﹣1＝log2an＝log22n＝n，则bn＝b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（bn﹣bn﹣1）＝1+2+3+…+n＝n（n+1），-14-＝＝2（﹣），所

以Tn＝2（1﹣+﹣+…+﹣）＝2（1﹣）＜2．18．新冠疫情爆发以来，在党和政府的领导下，社区工作人员做了大量的工作，为总结工作中的经验和不足，设计了一份调查问卷，满分100分，随机发给100名男性居民和100名女性居民，分数统计如表：100位

男性居民评分频数分布表分组频数[50，60）3[60，70）12[70，80）72[80，90）8[90，100]5合计100100位女性居民评分频数分布表分组频数[50，60）5[60，70）15[70，80）64[80，90）7[90，100]9合计100（Ⅰ）求这100位男性居

民评分的均值和方差S2；（Ⅱ）已知男性居民评分X服从正态分布N（μ，σ2），μ用表示，σ2用S2表示，求P（67.8＜X＜89.4）；（Ⅲ）若规定评分小于70分为不满意，评分大于等于70分为满意，能否有99%的把握认

为居民是否满意与性别有关？附：≈7.2P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.9545，P（μ﹣σ-15-＜X＜μ+σ）＝0.9973．参考公式K2＝，n＝a+b+c+d

．p（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.2046.6357.87910.828解：（1）由频率分布表可知＝＝＝75，S2＝＝52．（2）由已知和（1）可知X～N（75，5

2），因为σ＝＝＝≈7.2，所以P（67.8＜X＜89.4）＝P（μ﹣σ＜X＜μ+2σ）＝P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）+P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝×0.6827+×0.9545＝0.8186．（3）由已知条件可得2×2列联表如下：满意不满意

总计男性8515100女性8020100总计16535200所以K2的观测值k＝＝≈0.866，因为k≈0.866＜6.635，所以没有99%的把握认为居民是否满意与性别有关．19．已知等腰直角△SAB，SA＝AB＝4，点c，d分别为边SB，

SA的中点，沿CD将△SCD折起，得到四棱锥S﹣ABCD，平面SCD⊥平面ABCD．（Ⅰ）过点D的平面α∥平面SBC，平面α与棱锥S﹣ABCD的面相交，在图中画出交线；设平面α与棱SA交于点M，写出的值（不必说出画法和求值理由）；（Ⅱ

）求证：平面SBA⊥平面SBC．-16-解：（Ⅰ）平面α与棱锥S﹣ABCD的交线如图所示，＝1．（Ⅱ）证明：未折起时，在等腰直角△SAB中，CD是△SAB的中位线，所以CD∥AB，且CD＝AB＝2，所以∠CDA＝∠DAB＝90°，即CD⊥SA，折起后仍满足CD⊥SD，CD⊥AD，折

起后，因为平面SCD∩平面ABCD＝CD，且CD⊥SD，所以SD⊥平面ABCD，又AD⊂平面ABCD，所以SD⊥AD，综上所述，直线AD，SD，CD两两垂直，故可建立以点D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DS为z轴的空间直角坐标系，如图，-17-由题意可得D（0，

0，0），A（2，0，0），S（0，0，2），C（0，2，0），B（2，4，0），则＝（2，4，﹣2），＝（0，4，0），＝（2，2，0），设平面SAB的法向量为＝（x1，y1，z1），平面SBC的法向量为（x2，

y2，z2），则，可得，令x1＝1，可得＝（1，0，1），，可得，令x1＝1，可得＝（1，﹣1，﹣1）．因为•＝1+0﹣1＝0，所以，所以平面SBA⊥平面SBC．20．已知点M（1，），N（﹣1，﹣），直线PM，PN的斜率乘积为﹣，

P点的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设斜率为k的直线交x轴于T，交曲线C于A，B两点，是否存在k使得|AT|2+|BT|2为定值，若存在，求出的k值；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）设点P（x，y），由已知可得k，即，化简可得，即所求曲线方程为；（Ⅱ）设T（t，0

），则斜率为k的直线为y＝k（x﹣t），A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，消去y整理可得：（3+4k2）x2﹣8k2tx+4k2t2﹣12＝0，则x，所以|AT|2+|BT|2＝（1+k2

）[（x1﹣t）＝，-18-若要使|AT|2+|BT|2为定值，则需与t无关，即18﹣24k2＝0，解得k＝，此时|AT|2+|BT|2＝7满足题意，故k＝．21．已知函数f（x）＝ex+e﹣x﹣（a∈R）（Ⅰ）当a＝2时，求函数f（x

）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在（0，+∞）上有且仅有一个极小值点，求a的取值范围．解：（Ⅰ）由题意知，a＝2时，f（x）＝ex+e﹣x﹣x2，f（﹣x）＝e﹣x+ex﹣（﹣x）2＝f（x），所以f（x）

为偶函数，当x＞0时，f′（x）＝ex﹣e﹣x﹣2x，f″（x）＝ex+e﹣x+2≥2﹣2≥0，当且仅当ex＝e﹣x，即x＝0时，取等号，所以f′（x）在（0，+∞）上单调递增，所以f′（x）＞f′（0）＝0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递减．（Ⅱ）

由（Ⅰ）知，f（x）为偶函数，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＝ex﹣e﹣x﹣ax，f″（x）＝ex+e﹣x﹣a，因为f（x）在（0，+∞）上有且仅有一个极小值点，所以f′（x）＝0在（0，+∞）上有且只有1个解，所

以ex+e﹣x﹣ax＝0在（0，+∞）上有且只有一个解，所以ex+e﹣x＝ax，所以y1＝ex﹣e﹣x与y2＝ax有且只有1个交点，y′＝ex+e﹣x≥2＝2，当且仅当x＝0时，等号成立，y2′＝a，所以a＞2，所以a的取值范围为（2，+∞）．-19-（二）选考题

：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。本题满分10分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C1的参

数方程为（θ为极角），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（Ⅰ）分别求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l交曲线C1于O，A两点，交曲线C2于O，B两点，求|AB|的长．解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），转

换为直角坐标方程为：，所以直线的倾斜角为．所以：，曲线C1的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为：（x﹣2）2+y2＝4．转换为极坐标方程为：ρ＝4cosθ，曲线C2的极坐标方程为，转换为直角坐标的方程为：，整理得：，线l交曲线C1于O，A两点，则：，解得：A（

﹣2，），直线和曲线C2于O，B两点则：，-20-解得：B（﹣4，），所以：|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝4﹣2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|x+2|﹣|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x）≤x；（Ⅱ）设f（x）的最大值为t，如果正实数m，n满足m+2n＝t，求的最小值．解：

（Ⅰ）①当x≤﹣2时，f（x）＝﹣（x+2）+（x﹣1）＝﹣3≤x，∴﹣3≤x≤﹣2，②当﹣2＜x＜1时，f（x）＝（x+2）+（x﹣1）＝2x+1≤x，∴﹣2＜x≤﹣1，③当x≥1时，f（x）＝（x+2）﹣（x﹣1）＝3≤x，∴x≥3，∴不等式f（x）≤x的解集为[﹣3，﹣1]∪[3，

+∞）（Ⅱ）由（Ⅰ）得，当x≤﹣2时，f（x）＝﹣3当﹣2＜x＜1时，f（x）＝2x+1∈（﹣3，3），当x≥1时，f（x）＝3，∴f（x）的最大值为3，即t＝3，∴m+2n＝3，∴+＝（+）（m+2n）×＝（++4）×≥（2+4）×＝

，当且仅当＝，即m＝2n时取等号，∴+的最小值为．