【文档说明】《精准解析》河北省衡水中学2023届高三上学期期末数学试题（解析版）.docx，共(32)页，1.733 MB，由小赞的店铺上传

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2022—2023高三上学期期末考试数学学科命题人：王战普满分150分，考试时间120分钟考生注意：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区城内．2.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用

2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8个小题，每题5分，共40分

．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合3(1)(4)lnlog(1)xxMxyx−−==−∣，2R4Nyy=∣ð，则（）A.2MNB.{[2,2](4,)}

MNaa=−+∣C.{(,2)(2,)}Naa=−+∣D.()R{[2,1]}MNaa=−∣ð【答案】B【解析】【分析】先求出集合,MN，然后再逐个分析判断即可.【详解】由33(1)(4)0log(1)log(1)0xxxx−−

−−，得3(1)(4)log(1)011xxxx−−−−，解得>4x或12x，所以4Mxx=或12x，因为2R4Nyy=∣ð，所以2422Nyyyy==−，对于A，因为(1,2)MN=，所以2MN

，所以A错误，对于B，因为4Mxx=或12x，22Nyy=−，所以[2,2](4,)MN=−+，所以B正确，对于C，因为22Nyy=−，所以C错误，对于D，因为4Mxx=或

12x，所以R(,1][2,4]M=−ð，因为22Nyy=−，所以()R[2,1]2MN=−ðU，所以D错误，故选：B2.若i1|1|i−=−−zz，则||zz−=（）A.1B.2C.2D.12【答案】A【解析】【分析】设izab=

+，利用复数相等求出ab，，即可求解.【详解】设izab=+，（,R,iab为虚数单位）.因为i1|1|i−=−−zz,所以()()221i=11iabab+−−−+，所以()22111abab=−=−−+，解得：112ab==.所以111i,1i22zz=+=−，所以||

i1zz−==故选：A3.在△ABC中，O为重心，D为BC边上近C点四等分点，DOmABnAC=+uuuruuuruuur，则m＋n＝（）A.13B.13−C.53D.53−【答案】B【解析】【分析】连接AO延长交BC于E点，则E点为BC的中点，连接ADOD、，利用向量平面

基本定理表示DO可得答案.【详解】连接AO延长交BC于E点，则E点为BC的中点，连接ADOD、，所以()23213432=++=−++=+DBBAAECBABABADODACAOuuuruuuruu

uruuuruuruuuruuruuuruuuruuur()()3115431212=−−++=−ABACABABACABACuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur，所以15,1212==−mn，1

5112123+=−=−mn.故选：B.4.一个灯罩可看作侧面有布料的圆台，在原形态下测得的布料最短宽度为13，将其压扁变为圆环，测得布料最短宽度为5，则灯罩占空间最小为（）A.175πB.325π3C.100πD

.不存在【答案】D【解析】【分析】设圆台的上、下底面圆的半径分别为,rR，母线长为l，高为h，由题意可知5Rr−=，13l=，则12h=，利用圆台的体积公式求出体积表达式，利用二次函数的性质即可得到答案．【详解】设圆台的上、下底面圆的半径分别为,rR，母线长为l，高为h由题意可知

5Rr−=，13l=，则()2212hRlr−==−则圆台的体积为()()()()2222211ππ124π315255353VhRrRrrrrrrr=++=+++=+++2512π25π2r=++当0r时，V单调递增，故V不存在最小值．故选：D．5.若

六位老师前去某三位学生家中辅导，每一位学生至少有一位老师辅导，每一位老师都要前去辅导且仅能辅导一位同学，由于就近考虑，甲老师不去辅导同学1，则有（）种安排方法A.335B.100C.360D.340【答案】C【解析】【分析】把6位老师按照4，1，1或3，2，1或2

，2，2人数分为三组；每种分组再分同学1安排的几位老师辅导解答.【详解】把6位老师按照4，1，1或3，2，1或2，2，2人数分为三组；①把6为老师平均分为3组的不同的安排方法数有22264233CCC15A=在把这三组老师

安排给三位不同学生辅导不同安排方案数为：33A6=，根据分步计数原理可得共有不同安排方案为：2223642333CCCA15690A==如果把甲老师安排去辅导同学1的方法数为：2212425222CC1CA30A=所以把6位老师平均安排给三位学生辅导且甲老师不安排去辅导同

学1的方法数为903060−=②把6位老师按照4，1，1分为3组给三位学生辅导的方法数为：若1同学只安排了一位辅导老师则11425542CCCA50=若1同学安排了四位辅导老师则4252CA10=所以把6位老师按照4，1，1分为3组给三

位学生辅导，甲老师不安排去辅导同学1的方法数为60③把6位老师按照3，2，1分为3组给三位学生辅导的方法数为；若1同学只安排了一位辅导老师则12325532CCCA100=若1同学只安排了两位辅导老师则21325432CCCA80=若1同学只安排了三位辅导老师则3122532

2CCCA60=所以把6位老师按照3，2，1分为3组给三位学生辅导，甲老师不安排去辅导同学1的方法数为6080100240++=综上把6位老师安排给三位学生辅导，甲老师不安排去辅导同学1的方法数为2406060360++=故选：C6.已知函数()πs

in,(0)6fxx=+将其向右平移π3个单位长度后得到()gx，若()gx在π,π3上有三个极大值点，则()fx一定满足的单调递增区间为（）的A.4π2π,5757−B.4π2

π,3939−C.3π5π,1313D.5π7π,1919【答案】A【解析】【分析】根据平移变换得函数()ππsin,(0)36gxx=−+，由()gx在π,π3

上有三个极大值点，结合正弦函数图象可得131922，再求π6x+的范围，结合正弦函数的单调性，由此可判断答案.【详解】解：有题意可得()πππsin,(0)336gxfxx=−=−+，由π,π3x

得πππ2ππ,36636x−++，由于()gx在π,π3上有三个极大值点，所以9π2ππ13π2362+，解得131922，当4π2π,5757x−

，π42[,]6576576x+−++而42[,][,)57657622−++−，故A正确，当4π2π,3939x−，π42[,]6396396x

+−++而426351[,][,)3963967878−++−，故B不正确，当3π5π,1313x，π35[,]6136136x+++，而355298[,][,)136136378

++，故C不正确，当5π7π,1919x，π57[,]6196196x+++，而5721411[,][,)1961961143++，故D不正确，故选：A.7.已知0.99e0.01100100e

,lne,lnln(0.99)9999abaccc−===−，则（）A.1.01bacB.1.01bacC.1.01abcD.1.01abc【答案】D【解析】【分析】变形a，b，构造函数e()lnxfxxxx=−+比较a，b的大小，构造函数()lng

xxx=−比较,eb的大小，利用极值点偏移的方法判断1.01,c的大小作答.【详解】依题意，0.99e0.99a=，e0.01ln0.99e10.99ln0.99b=−−=−+−，令e()lnxfxxxx=−+，22e(1)1(e)(1)()1xxxxxfxxxx−−−=−+

=，当01x时，e10xx，即()0fx，函数()fx在(0,1)上单调递减，(0.99)(1)e1ff=−，即0.99e0.99ln0.99e10.99−+−，因此ab，令()lngxxx=−，1()1

gxx=−，当01x时，()0gx，当1x时，()0gx，函数()gx在(0,1)上单调递减，(0.99)(1)1gg=，而e1(0.99)e>1.01bg=−+，函数()gx在(1

,)+上单调递增，显然11(e)e1,()1eegg=−=+，则方程1(),(1,1]egxkk=+有两个不等实根12,xx，1201xx，有12()()gxgxk==，lnln0.99ln0.99ln(0.99)()accccggc=−−=−=，而0.99c，则有

1c，令()()(2)hxgxgx=−−，01x，2112(1)()()(2)1102(2)xhxgxgxxxxx−=+−=−+−=−−−，即函数()hx在(0,1)上单调递减，当(0,1)x时，()(1)0hxh=，即()(2)gxgx−，因

此11()(2)gxgx−，即有211()()(2)gxgxgx=−，而211,21xx−，()gx在(1,)+上单调递增，于是得212xx−，即122xx+，取10.99x=，2xc=，于是得20.991.01c−=，又()(0.99))1()(eeggcgg=，()gx在(

1,)+上单调递增，从而1.01ec，所以1.01abc，D正确.故选：D【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.8.若已知

函数()exafx+=，()lngxxka=+，()0,a+，若函数()()()Fxfxgx=−存在零点（参考数据ln20.70），则k的取值范围充分不必要条件为（）A.()0.71.3e,eB.)0.71,

eC.)2.23.1e,eD.()1.32.2e,e【答案】C【解析】【分析】因为求的是充分不必要条件，而非充要条件，所以采用特殊值法，只要满足()()11fg，则有()()()Fxfxgx=−存在零点，求出1eaka+时k的取值范围，即为一个充分条件，再由选项依

次判断即可.【详解】当0a=时，()exafx+=的图象恒在()lngxxka=+上方，若满足()()11fg，即1eln1aka++，1eaka+，则()fx与()gx的图象必有交点，即()()()Fxfxg

x=−存在零点.令()1exhxx+=()0x，()()12e1xxhxx+−=，有当01x时，()0hx，()hx单调递减；当1x时，()0hx，()hx单调递增.()()21ehxh=.即当2ek时，一定存在()10,a=+，满足()()

11fg，即()()()Fxfxgx=−存在零点，因此)2e,k+是满足题意k的取值范围的一个充分条件.由选项可得，只有)2.23.1e,e是)2e,+的子集，所以)2.23.1e,e是k的取值范围的一个充分不必要条

件.故选：C.二、多选题：本题共4个小题，每题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9.在正方体1111ABCDABCD−中，

2,,,ABEFG=分别为棱1,,BBABBC中点，H为1CC近C三等分点，P在面11AADD上运动，则（）A.1BC∥平面1DFGB.若(,R)GPGFGH=+uuuruuuruuur，则C点到平面PBH的距离与P点位置有关C.1BDEG⊥D.若(,R)GPGFG

H=+uuuruuuruuur，则P点轨迹长度为2133【答案】BCD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量逐一解答即可.【详解】解：根据题意建立如图所示的坐标系：因为正方体的边长为2

，所以1(0,0,0)A，(0,0,1)A，1(2,0,0)B，1(2,2,0)C，1(0,2,0)D，(2,0,2)B，(2,2,2)C，(0,2,2)D，(2,0,1)E，(1,0,2)F，(2,1,2)G，4(2,2,)3H，对于A，

因为1(0,2,2)BC=−uuuur，1(1,2,2)FD=−−uuuur，(1,1,0)FG=uuur，设平面1DFG的法向量为(,,)nxyz=，则有2200xyzxy−+−=+=，则有23yzyx==−，取(2,2,3)n=−r，因为120nBC=−ruuuur，所

以1nBC⊥ruuuur不成立，所以1BC∥平面1DFG不成立，故错误；对于B，设00(0,,)Pyz，则00(2,1,2)GyzP=−−−uuur，(1,1,0)GF=−−uuur，2(0,1,)3GH=−uuur，又因

为(,R)GPGFGH=+uuuruuuruuur，所以0021223yz−=−−=−+−=−，所以有002433zy=−+，所以P点轨迹为如图所示的线段1MD，在平面11BCCB内作出与1MD平行的直线1NC，易知1MD与1NC的

距离等于平面11ADDA与平面11BCCB的距离为2，因为1NC与BH不平行，所以1MD与BH不平行，所以点P到BH的距离不是定值，所以PBHS不是定值，又因为PBCHCBPHVV−−=,即1121223233PBHSh=V，(h

为C点到平面PBH的距离)，所以43PHBhS=V不是定值，所以C点到平面PBH的距离与P点位置有关，故正确；对于C，因为1(2,2,2)BD=−−uuur，(0,1,1)EG=uuur，1220BDEG=−=uuuuruur，所以1BDEG⊥uuu

ruuur，即有1BDEG⊥，故正确；对于D，由B可知P点轨迹为002433zy=−+，令00y=，则043z=；令02z=，则02y=，所以P点轨迹的长度为2242132()33+=，故正确.故选：BCD10.若数列na有2142

nnnaaa++=−，nS为2na+前n项积，nb有112nnnnbbbb++−=，则（）A.()loglog2bana+为等差数列（,0ab）B.可能()()21112nnnSa−=−+C.1nb为等差数列D.n

b第n项可能与n无关【答案】BD【解析】【分析】结合递推式2142nnnaaa++=−，取12a=−，求na的通项公式判断选项A错误，求nS判断B，由递推式112nnnnbbbb++−=，取10b=，判断C，求数列nb的通项公式判断D.【详解】因为2142nnna

aa++=−，所以()1222nnaa+=++，所以当2,Nnn时，20na+，若12a=−，则2,Nnan=−，()log2ana+不存在，A错误；因为12a=−时，2,Nnan=−，所以20na+=，所以0nS=，又()()211012nna−+=−，所以可能()()211

12nnnSa−=−+，B正确；因为112nnnnbbbb++−=，取10b=，则0,Nnbn=，此时1nb不存在，C错误；D正确；故选：BD.11.已知抛物线C：22xpy=，过点P（0，p）直线{,}lCAB=，AB中点为1Q，过A，B两点作抛物线的切线121221,,,

llllQly=轴＝N，抛物线准线与2QP交于M，下列说法正确的是（）A.21QQx⊥轴B.O为PN中点C.22AQBQ⊥D.M为2PQ近2Q四等分点【答案】AD【解析】【分析】设直线l的斜率为k，不妨设0p，直线l的方程为ykxp=+，

()()1122,,,AxyBxy，与抛物线方程联立求出12xx+，12xx，12yy+，得()21,+Qpkpkp，令222122=−+pkpkpx，求出1y，求出xyp=，可得直线1l的方程、直线2l的方程，由22122=AQBQxxkkp可判断C；联立直线1l

、直线2l的方程可得()2,−Qpkp可判断A；令0x=由()1110−=−xyyxp得()0,Pp可判断B；由()0,Pp、M点的纵坐标为2p−、()2,−Qpkp可判断D.【详解】由题意直线l的斜率存在，设

为k，不妨设0p，()()1122,,,AxyBxy，则直线l的方程为ykxp=+，与抛物线方程联立22ykxpxpy=+=，可得22220xpkxp−−=，222480=+pkp，所以122xxpk+=，2122xxp=−，21222+=+yypkp，所

以()21,+Qpkpkp，不妨令212222222,222=−+++=xpkxppkkpkpp，所以22221222222,222=+++−=++ypkpkypkpkkppkpp，由22xyp=得xyp=，所以直线1

l的方程为()111xyyxxp−=−，直线2l的方程为()222xyyxxp−=−，所以2221222221−===−−AQBQxxpkkpp，故C错误；由()()111222xyyxxpxyyxxp−=−−=−解得11xpkykxy==−，可得

()()22222222222xpkykpkpkppkpkpkpp==−+−+−+=−，所以()2,−Qpkp，所以21QQx⊥轴，故A正确；令0x=所以由()1110−=−xyyxp得2222122−=−=−++yypkkpkpp，所以()2

22220,2−+−+Npkkpkpp，而()0,Pp，且22222222222200pkpkpkpppkkpkpk−−+++=−++==，故B错误；因为()0,Pp，M点的纵坐标为2p−，()2,−Qpkp，所以322−−=

ppp，()22−−−=ppp，故M为2PQ近2Q四等分点，故D正确.故选：AD12.已知奇函数()fx，xR，且()()πfxfx=−，当π0,2x时，()()cossin0fxxfxx+，当π2x→时，()2c

osfxx→，下列说法正确的是（）.A.()fx是周期为2π的函数B.()cosfxx是最小正周期为2π的函数C.()cosfxx关于π,02中心对称D.直线ykx=与()cosfxx若有3个交点，则4444,,3553k−−【答案】AC【解析】

【分析】根据奇函数()fx，xR，且()()πfxfx=−，可确定函数()fx的周期，即可判断A；设()()cosfxgxx=确定函数()gx的奇偶性与对称性即可判断函数B，C；根据()()cossin0fxxfxx+可判断函数()gx在π0,2x上的单调性，结合对

称性与周期性即可得函数()gx的大致图象，根据直线ykx=与()cosfxx若有3个交点，列不等式即可求k的取值范围，即可判断D.【详解】解：因为()()πfxfx=−，所以()fx的图象关于π2x=对称，又因为()fx为

奇函数，所以()()fxfx=−−，则()()()πfxfxfx+=−=−，则()()()2ππfxfxfx+=−+=，故()fx是周期为2π的函数，故A正确；设()()cosfxgxx=，其定义域为ππ2π,2π,Z22kkk−++，则()()()()(

)()()ππ0coscosπcoscosfxfxfxfxgxgxxxxx−+−=+=+=−−，所以()gx关于π,02中心对称，即()cosfxx关于π,02中心对称，故C正确；又()()()()()coscosfxfxgxgxxx−−−===−−，所以()gx为上的

奇函数，结合()()π0gxgx+−=可得()()π0gxgx−−+−=，即()()πgxgx−=−故()cosfxx是周期为π的函数，故B错误；当π0,2x，所以()()()2cossin0cosfxx

fxxgxx+=，故()gx在π0,2x上单调递增，由于()gx关于π,02中心对称，所以()gx在π,π2x上单调递增，且当π2x→时，()2cosfxx→，又函数()gx的周期为

π，则可得()gx大致图象如下：若直线ykx=与()()cosfxgxx=若有3个交点，则03π225π22kkk或03π22π22kkk−−，解得44

5π3πk或44π3πk−−，故4444,,π3π5π3πk−−，故D错误.故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.6212xx−+中常数项是_________．（写出数字）【答案】559【解析】【分析】将21xx−看

作一项，利用展开式的通项，找两项中的常数项即可求解.【详解】261(2)xx−+的展开式的通项公式是26122316661C()22C(1)CrrrrrssrsrrTxxx−−−+−=−=−，令12230rs−

−=，则2312rs+=，故32rs==或60rs==或04rs==，所以261(2)xx−+的展开式中常数项为：3322660044636662C(1)C2C2C(1)C4806415559−++−=++=，故答案为：559.14.

若⊙C：()()221xayb−+−=，⊙D：()()22684xy−+−=，M，N分别为⊙C，⊙D上一动点，MN最小值为4，则34ab+取值范围为_________．【答案】15,85【解析】【分析

】先根据MN的最小值求出7CD=，即()()226849ab−+−=，再使用柯西不等式求出取值范围.【详解】由于MN最小值为4，圆C的半径为1，圆D的半径为2，故两圆圆心距离4127CD=++=，即()()226849ab−+

−=，由柯西不等式得：()()()()()2222268343648abab−+−+−+−，当且仅当6834ab−−=，即5168,55ab==时，等号成立，即()234502549ab+−，解得：153485ab+.故答案为：

15,8515.已知双曲线22221xyab−=，1F，2F分别为双曲线左右焦点，2F作斜率为ab−的直线交byxa=于点A，连接1AF交双曲线于点B，若21ABAFBF==，则双曲线的离心率_________．【答案】6【解析】【分析】首先求出2AF的

方程，联立两直线方程，即可取出A点坐标，由21ABAFBF==，即可得到B为A、1F的中点，得到B点坐标，再代入双曲线方程，即可求出226ca=，从而求出双曲线的离心率.【详解】解：依题意()2,0Fc，所以

2AF：()ayxcb=−−，由()ayxcbbyxa=−−=，解得2axcabyc==，即2,aabAcc，所以2222aabAFcbcc=−+=，又21ABAF

BF==，所以B为A、1F的中点，所以2,22acabcBc−，所以22222122acbccaba−−=，即44224baca−=，即()()222222+4babaca−=

，所以2224baa−=，即225ba=，即2225caa−=，所以226ca=，则离心率6cea==.故答案：616.已知函数()lncosfxxkxx=+−，1212(0,,,)xxxx+，使得()()12123fxfxxx−−，k的取值

范围为_________．【答案】)4,+【解析】【分析】不妨设12xx，把1212()()fxfxxx−−＞3化为()()11223fxxfxx−-3，构造函数()()3gxfxx=−，利用()gx的导数()0gx，求出k的取值范围．【详解】不妨设1212,(0,),x

xxx+,∵()()12123fxfxxx−−，即()()1212)3(fxfxxx--，()()11223fxxfxx−-3,构造函数()()3gxfxx=−，∴()gx在(0)+，是单调递增函数，∴()()13sin30gxfxkxx=−=++−,∴()1sin3,

0,kxxx−+++为当0x时，10x，sin1,1x−，所以1sin1xx+−，所以1sin34xx−++，所以k的取值范围为)4,+故答案为：)4,+四、解答题：本题共六个小题，共70分

，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知O为△ABC外心，S为△ABC面积，r为⊙O半径，且满足()222232342coscos23CBAOrABaS+−−−=uuruuur（1）求∠A大小；（2）若D

为BC上近C三等分点（即13CDBC=），且2AD=，求S最大值．【答案】（1）π3（2）334【解析】【分析】（1）由向量的运算整理可得221122cbCBAO=−uuruuur，结合正弦定理、余弦定理和面积公式运算求解；（2）根据题意结合向量可得1233

ADABAC=+，再结合数量积可得221242999cbcb=++，利用基本不等式可得3bc，再结合面积公式即可得结果.【小问1详解】取,ABAC的中点,MN，连接,OMON，则,OMABONAC⊥⊥，可得：()coscosNCACABAOACAOABAO

OAAMABOABAAOCOOA=−=−=−uuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur222211112222ABACcb=−=−uuu

ruuur由()222232342coscos23CBAOrABaS+−−−=uuruuur，可得()222222323141cos1cos11sin22322rABacbbcA+−−+−−=，则()()22222332sin2s1insin23122rArBacbb

cA−−=++，即2222233sin212231ababAcbc+−=−+，整理得22232sin3bAcabc+=−，由余弦定理2223cossin23bcaAAbc+−==，可得tan3A=，∵()0,πA，故π3A=.【小问

2详解】由题意可得：()22123333ADABBDABBCABACABABAC=+=+=+−=+，则22221214433999ADABACABABACAC=+=++uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur，可得：2

21242999cbcb=++，则2218244bccbbc−=+，当且仅当224cb=，即2cb=时等号成立，即3bc，则11333sin32224SbcA==.故S最大值为334.18.张老师在2022年市统测后统计了1班和3班的数学成绩如下图所示

22()()()()()nadbcKabbdcdac−=++++，nabcd=+++，()20PKk0.0500.0250.0100.0050.0010k3.8415.0246.6357.87910.828（1）根据卡方独立进行检验，说明是否

有99.9%的把握数学成绩与班级有关；（2）现在根据分层抽样原理，从1班和3班中抽取10人，再让数学评价优秀的同学辅导一位数学评价一般的同学，每个人必有一人辅异，求在抽到甲辅导乙的情况下丙辅导丁的概率．（3

）以频率估计概率，若从全年级中随机抽取3人，求至少抽到一人数学成绩为优秀的概率．（4）以频率估计概率，若从三班中随机抽取8人，求抽到x人数学成绩为优秀的分布列（列出通式即可）及期望()Ex，并说明x取何值时概率最大．【答案】（1）有，理由见解析（2）14（3）78（4）分布列见解析，

()2Ex=，2x=时，概率最大，理由见解析【解析】【分析】（1）计算卡方，与10.828比较后得到结论；（2）先根据分层抽样求出1班和3班抽到的学生分布情况，再根据条件概率求出概率；（3）计算出1班和3班的总人数，以

及数学评价优秀的学生总人数，求出相应的频率作为全校数学评价优秀的概率，求出随机抽取3人，抽到0人数学评价优秀的概率，再利用对立事件求概率公式计算出答案；（4）由题意得到18,4xB，从而求出分布列，数学期望，并利用不等式组，求出2x

=时，概率最大.【小问1详解】22100(10204030)5010.828406050503K−==，故有99.9%的把握数学成绩与班级有关；【小问2详解】1班有40+20=60人，3班有10+30=40人，故抽取10人，从1班抽

取人数为601066040=+，从3班抽取人数为401046040=+，由于1班数学评价优秀和一般人数比为4:2，故抽取的6人中有4人数学评价优秀，2人评价一般，而3班数学评价优秀和一般的人数之比为1:3，故抽取的4人

中有1人数学评价优秀，3人评价一般，设抽到甲辅导乙为事件A，抽到丙辅导丁为事件B，则()4455A1A5PA==，()3355A1A20PAB==，()()()1112054PABPBAPA===；【小问3详解】1班和3班总人数为100人

，其中两班学生数学评价优秀的总人数为104050+=，故频率为5011002=，以频率估计概率，全年级的数学评价优秀的概率为12，从全年级中随机抽取3人，抽到0人数学评价优秀的概率为30311C128−=，所以从全年级中随机抽取3人，至少抽到一人数学成绩为

优秀的概率为17188−=.【小问4详解】由题意得：3班的数学评价优秀概率为101404=，故18,4xB，的所以分布列为8811C144xxx−−，1,2,,8x=；数学期望()1824Ex==，2x=时，概率最大，理由如下：

令8171881111C1C14444xxxxxx−+−+−−，解得：54x，令8191881111C1C14444xxxxxx−−−−−−，解得：9

4x，故5944x，因为Nx，所以2x=.19.在△ABC中，π3BAC=，A、B、C、D四点共球，R（已知）为球半径，O为球心，O为ABC外接圆圆心，r（未知）为⊙O半径．（1）求()maxABCDV

−和此时O到面ABC距离h；（2）在()maxABCDV−的条件下，面OAB（可以无限延伸）上是否存在一点K，使得KC⊥平面OAB？若存在，求出K点距OO距离1d和K到面ABC距离2d，若不存在请给出理由．【答案】（1）()maxAB

CDV−为38327R，此时13hR=，（2）存在K，满足KC⊥平面OAB，理由见解析；123dR=，223dR=.【解析】【分析】(1)设线段OO的延长线与球的交点为1D，则1ABCDDABCVV−−，设OAO=，表示1DABC

−的体积，通过换元，利用导数求其最大值.(2)取AB的中点E，连接OE，CE，过C作KCOE⊥，根据线面垂直判定定理证明KC⊥平面OAB，再通过解三角形求1d，2d.【小问1详解】当点D为线段OO的延长线与球的交点时，点D到平面ABC的距离最大，所以1A

BCDDABCDABCVVV−−−=，由球的截面性质可得⊥OO平面ABC，设OAO=，π02，则sin,cosOOOAAOOA==，又,OARAOr==，所以sin,cosOORrR

==，所以sinDORR=+，在ABC中，π3BAC=，由正弦定理可得π2sin3cos3BCrR==，由余弦定理可得222π2cos3ABACABACBC+−=，所以22ABACABACBC−，故223cosABACR

，所以ABC的面积221π33sincos234SABACR=，当且仅当ABAC=时等号成立，所以()()12232111333cossincossin13344DABCVSDORRRR−=+=+，设()2cossin1y=+，

令sint=，则()()211ytt=−+，01t所以()()2321311ytttt=−−+=−−+，当103t时，0y，函数()()211ytt=−+在10,3上单调递增，当113t时，0y，函数()()211ytt=−

+在1,13上单调递减，所以当13t=时，函数()()211ytt=−+，01t取最大值，最大值为3227，所以138327DABCVR−，所以()maxABCDV−为38327R，此时1sin3hOORR===，【小问2详解】由(1)点D与点1D重合，222

6333ABACBCRR====，又π3BAC=，取AB的中点E，连接OE，CE，则,OEABCEAB⊥⊥，OECEE=，,OECE平面OCE，所以AB⊥平面OCE，过C作KCOE⊥，垂足为K，因为KC平面OCE，所以ABKC⊥，ABOEE=

，,ABOE平面OAB，所以KC⊥平面OAB，由(1)263ABBCACR===，OAOBOCR===，1133OOOAR==，所以22323ABOEOAR=−=，2222ABCECAR=−=，所以2223OEOEOOR=−=，因为π2OOECKEO

EOCEK===，，所以CEKOEO，所以EKCEEOOE=，所以233EKR=，所以2EKOE=，所以O为EK的中点，又EOOO⊥，所以E到直线OO的距离为23EOR=，过K作KMOO⊥，垂足为M，故点K到OO的

距离为KM，所以K到直线OO的距离为123dKMEOR===，因为OO⊥平面ABC，O为垂足，所以点O到平面ABC的距离为13OOR=，过K作KNCE⊥，垂足为N，则//KNOO，所以KN⊥平面ABC，故点K到平面ABC的距离为KN，又223KNOOR==所以

点K到平面ABC的距离为223dR=.20.在高中的数学课上，张老师教会了我们用如下方法求解数列的前n项和：形如()1212nnan=+的数列，我们可以错位相减的方法对其进行求和；形如()()122121nnnnb

+=++的数列，我们可以使用裂项相消的方法对其进行求和．李华同学在思考错位相减和裂项相消后的本质后对其进行如下思考：错位相减：设11(1)nnaaqq−=，()()1212111,nnnnnSaaaaqqqSaqqq−=+++=+++=

++()()()()11111(1)111nnnnnnqSaqqqaqqqaq−−−=++−−−=++−++=−111nnqSaq−=−综上：当中间项可以相消时，可将求解nS的问题用错位相减化简裂项相消：设1

111111(1)11nnnkkknnnnnnn++=−==−−=−=+++1nnnbkk或1nkn−为公比为1的等比数列；①当1nkn=时，111nbnn=−+②当1nkn−

为公比为1的等比数列时，()11111,1nnkkbnnn=++=−+；故可为简便计算省去②的讨论，111nnnSkkn+=−=+综上：可将求解nS的问题用裂项相消转化为求解nk的问题你看了他的思考后虽觉得这

是“废话文学”，但是你立刻脑子里灵光一闪，回到座位上开始写下了这三个问题：（1）用错位相减的方法“温故”张老师课堂上举的例子，求解数列{na}前n项和nS；（2）用裂项相消的方法“知新”张老师课堂上举的例子，求解数列{na}前n项和nS；（3）融会贯通，求证：()21232nncn

n=++前n项和nT满18nnST+．请基于李华同学的思考做出解答，并写出裂项具体过程．【答案】（1）()15252=−+nnSn；（2）()15252=−+nnSn；（3）裂项过程见解析，证明见解析.【解

析】【分析】(1)写出nS的表达式，两边同乘12，与原式相减，利用等比数列求和公式化简即可；(2)对()1212nn+进行裂项，结合裂项相消法求和；(3)对()21232nncnn=++进行裂项，利用裂项相消法求和，由此证明结论.【小问1详解】因为()1212nn

an=+，所以()()123111111357212122222nnnSnn−=++++−++，所以()()123411111135721212222

22nnnSnn+=++++−++，所以()1123111111322221222222nnnSn+=+++++−，所以()111111221

2222nnnSn−+=+−+−，所以()15252=−+nnSn；【小问2详解】因为()1212nnan=+，设()()111122nnnaAnBAnB−−=−++

，则()122nnaAnAB=−+，所以2A=，5B=，故()()111232522nnnann−=++−所以()()11210711111157232

52292222nnnSnn−=+++++−−−，所以()15252=−+nnSn；【小问3详解】因为()21232nncnn

=++，设()()()122111122nnncDnEnFDnEnF−=++++++−，则()2122nncDnEDnFDE=+−+−−，则1,4,8DEF===，所以()()122114861322nnncnn

nn−=++++−，即()()12211243422nnncnn−=++++−，所以()()()()()()20111222222111111342444445434222222nnnTnn−=+++

+++++−+−−++所以()21613132nnTnn=++−，所以()()()22811152513613188182212nnnn

nnnnnnST=−++−++=−+++21.在平面直角坐标系中，12,FF分别为(1,0)−，(1,0)，⊙()222:116xyF−+=，E为⊙2F上一点，C为线段2EF上

一点，⊙C过1F和E．（1）求C点轨迹方程，并判断轨迹形状；（2）过12,FF两直线12,ll交C分别于A、B和M、N，P，Q分别为AB和MN中点，求P、Q轨迹方程，并判断轨迹形状；（3）在（2）条件下，若PQ//x轴，12llD=，求D点轨迹方程，并判断轨迹形状．【答案】（1）C

点轨迹方程为22143xy+=，轨迹形状是以12,FF为焦点，4为长轴长的椭圆.（2）点P的轨迹方程为：221()2113416xy++=，其轨迹形状是以1(,0)2−为对称中心，焦点在x轴上，长轴长为1的椭圆；点Q的轨迹方程

为：221()2113416xy−+=，其轨迹形状是以1(,0)2为对称中心，焦点在x轴上，长轴长为1的椭圆.（3）点D的轨迹方程为：22134yx+=，其轨迹形状是焦点在x轴上，以11(,0),(,0)22−为焦点，以2为长轴长的椭圆.【解析】【分析】(1)根据椭圆的定义即可求解；(2)设出直线

12,ll的方程，与曲线方程联立，利用韦达定理和中点坐标公式即可求解；(3)根据（2）的结论，先得出340mt+=，再求出D点的坐标，结合,mt的关系式即可求解.【小问1详解】由题意可知：24FE=，1CFCE=，因为12221242CFCFCECFEFFF+=+=

==，所以C点的轨迹是以12,FF为焦点，24a=为长轴长的椭圆，则2223bac=−=，的所以C点轨迹方程为22143xy+=，轨迹形状是以12,FF为焦点，4为长轴长的椭圆.【小问2详解】当直线1l与x轴重合时，点(0,0)P

；当直线1l与x轴不重合时，设直线1l的方程为：1xty=−，1122(,),(,)AxyBxy，联立方程组221431xyxty+==−，整理可得：22(34)690tyty+−−=，则122634tyyt+=+，122934yyt

−=+，所以212122268()223434txxtyytt−+=+−=−=++，则12212242343234PPxxxtyytyt+−==++==+，消参可得：221212160xxy++=，即221()21(

0)13416xyx++=，综上所述：点P的轨迹方程为：221()2113416xy++=，点P的轨迹形状是以1(,0)2−为对称中心，焦点在x轴上，长轴长为1的椭圆；同理当直线2l与x轴重合时，点(0

,0)Q；当直线2l与x轴不重合时，设直线2l的方程为：1xmy=+，3344(,),(,)MxyNxy，联立方程组221431xyxmy+==+，整理可得：22(34)690mymy++−=，则342634myym−+=

+，342934yym−=+，所以234342268()223434mxxtyymm−+=++=+=++，则34234242343234QQxxxmyymym+==++−==+，消参可得：221212160xx

y−+=，即221()21(0)13416xyx−+=，综上所述：点Q的轨迹方程为：221()2113416xy−+=，点Q的轨迹形状是以1(,0)2为对称中心，焦点在x轴上，长轴长为1的椭圆；【小问3详解】由（2）知：2243(,)3434tPtt−++，2243(,)343

4mQmm−++，因为//PQx轴，所以22333434tmtm−=++，即(34)()0mtmt++=，又因为且12llD=，所以340mt+=，也即43mt=−，联立12,ll可得：11xtyxmy=−

=+，解得：212DDtxtmytm=−−=−消参可得：24123(1)yxx++=+，即22134yx+=，所以点D的轨迹方程为：22134yx+=，其轨迹形状是焦点在x轴上，以11(,0),(,0)22−为焦点

，以2为长轴长的椭圆.22.已知函数()11eln−=−+kxfxxkxx.（1）求证：()0fx；（2）若()0,x+，都()211e+fx，求k满足的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）(,1−−【解析】【分析】（1）利用同构，转化为

()()1elneekxkxfxxx=−.构造函数1lneytt=−，利用导数求出最小值，即可证明；（2）把()211e+fx转化为()()ln12eln1e2xkxkxx+−−−+−−−对()0,x+恒

成立.构造函数()emgmm=−，利用导数判断出单调性，转化为2ln1kxx+−−对()0,x+恒成立，分离参数后，构造函数()()ln,01xhxxx=−−，利用导数求出()minhx，即可求解.【小问1详解】函数()11eln−=−+kxfxxkxx的定义

域为()0,+.()11eln−=−+kxfxxkxx1elnekxxkxx=−−()1elneekxkxxx=−.令(),0ekxtxt=，则1lneytt=−.因为11eeetytt−=−=，所以当0<et时，0y，1lneytt=−单减；当te时，

0y，1lneytt=−单增.所以1elne=0ey−，即0y，所以()0fx成立.【小问2详解】()211e+fx即为121elne1kxxkxx−−−++，亦即为ln12eeln1e2xkxkxx−−−−++，可化为()()ln12eln1e2xk

xkxx+−−−+−−−对()0,x+恒成立.不妨设()emgmm=−，则()e1mgm=−.当0m时，()0gm，()emgmm=−单减；当0m时，()0gm，()emgmm=−

单增.所以当0ln1kxx+−时，有2ln1kxx+−−对()0,x+恒成立.即l1nxkx−−.令()()ln,01xhxxx=−−，则()2lnxhxx=.所以当01x时，()0hx，

()hx单减；当1x时，()0hx，()hx单增所以()()min11hxh==−.即1k−.综上所述：k的取值范围为(,1−−.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数

是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优

化问题；（4）利用导数证明不等式．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com