【文档说明】山东省青岛市莱西市2022-2023学年高一下学期7月期末数学试题 word版含解析.docx，共(21)页，1.332 MB，由小赞的店铺上传

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高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家www.ks5u.com版权所有@高考资源网-1-高一学业水平阶段性检测（四）数学试题本试卷共22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务

必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写

在本试卷上无效．3．考试结束后，请将答题卡上交．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.对于下列四个命题：①满足1zz=的复数只有1、i；②若a、bR，且ab=，则()()iabab−++是纯虚数；③复数zR的充要条件是z

z=；④在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．其中真命题的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】解方程1zz=，可判断①；取0ab==，可判断②；设()i,zabab=+R，由zz=可求得b的值，可判断③；利用复平面的相关知识可判断④.【详解】对于①，由1zz=可得21z

=，解得1z=，①错；对于②，当0ab==时，则()()i0abab−++=，此时，()()iabab−++为实数，②错；对于③，设()i,zabab=+R，若ii0zzababb=+=−=，所以，复数zR的充要条件是zz=，③对；

高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家www.ks5u.com版权所有@高考资源网-2-对于④，在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，④对,所以，真命题的个数为2.故选：C.2.若直线m不平行于平面，且m，则下列结论成立的是（）

A.内不存在与m异面的直线B.内存在与m平行的直线C.内存在唯一一条直线与m相交D.内存在与m垂直的直线【答案】D【解析】【分析】利用图形判断A选项；利用反证法可判断B选项；设mA=，取内所有过点A的直线可判断C选项；利用线面垂直的性质可判断D选项.【详解】因为直线m不

平行于平面，且m，则直线m与平面相交，对于B选项，若内存在与m平行的直线b，则//bm，且m，b，则//m，与题设矛盾，B错；对于A选项，如下图所示：设mA=，设直线a满足Aa，且a

，在平面内存在直线b，使得//ba，且b，由A选项可知，m与b不平行，若mbB=，则A、Bm，且A、B，从而有m，与题设矛盾，故m与b异面，即在平面内存在直线与直线m异面，A错；对于C选项，设mA=，则平面内所有过点A的直线均与直线m相交，C

错；对于D选项，设mA=，在直线m上取异于点A的一点P，设点P在平面内的射影为点Q，连接AQ，高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家www.ks5u.com版权所有@高考资源网-3-在平面内存在直线a，使得aAQ⊥，因为PQ⊥，a，则aPQ

⊥，因为PQAQQ=，PQ、AQ平面PAQ，所以，a⊥平面PAQ，因为m平面PAQ，所以，am⊥，故内存在与m垂直直线，D对.故选：D.3.如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列叙述一定错误的是（）A.数据中可能有异常值B.这组数据是近

似对称的C.数据中可能有极端大的值D.数据中众数可能和中位数相同【答案】B【解析】分析】根据中位数、平均数、众数的定义说明．【详解】中位数表示一组数据的一般水平，平均数表示一组数据的平均水平，如果这两者差不多，说明数据分布较均匀，也可以看作近似对称，但现在它们相关很大，说明其中有

异常数据，有极端大的值，众数是出现次数最多的数，可能不止一个，当然可以和中位数相同，因此只有B错误．故选：B．【点睛】本题考查样本数据特征，掌握它们的概念是解题基础．4.抛掷2枚质地均匀的硬币，设事件M

=“第一枚硬币正面向上”，事件N=“第二枚硬币反面向上”；下列结论正确的是（）A.()()PMPN=B.M与N互斥C.M与N相等D.M与N是对立事件【答案】A【解析】【分析】根据事件发生的结果，仔细辨别对立事件、互斥事件和相等事件即可.【详解】A选项，因为()()1,

122PMPN==，所以()()PMPN=，故A选项正确；B选项，事件M与N可以同时发生，所以M与N不是互斥事件，故B选项错误；C选项，事件M与N可以同时发生，也可能不同时发生，所以M与N不相等，故C选项错误；D选项，事件M与N可以同时发生，所以M与N不是对

立事件，故D选项错误；故选：A.的【高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家www.ks5u.com版权所有@高考资源网-4-5.为了得到函数sin23cos2yxx=−的图象，只需把函数πsin26yx=+的图象上的所有点（）A.向左平移3π4个单位长度，然后把

图象上各点的坐标纵坐标伸长到原来的2倍B.向右平移π4个单位长度，然后再把图象上各点的纵坐标缩短到原来的12倍C.向左平移π4个单位长度，然后再把图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍D.向右平移3π4个单位长度，然后再把图象上每点的纵坐标缩短到原来的12倍【答案】A【解析】【分析】

用辅助角公式先把函数sin23cos2yxx=−化为π2sin(2)3yx=−，再用三角函数的图象变换法则即可求解.【详解】因为13πsin23cos22(sin2cos2)2sin(2)223yxxxxx=−=−=−，把πsin26yx=+

的图象上的所有点向左平移3π4个单位长度后，得到3ππππsin[2()]sin(22π)sin(2)4633yxxx=++=+−=−的图象，然后再把πsin(2)3yx=−图象上各点的坐标纵坐标伸长到原来的2倍即可得到

π2sin(2)3yx=−的图象.故选：A6.已知(1,2)A−，(3,0)B，点P在直线AB上，且2APPB=，则点P的坐标为（）A.52,33B.(7,2)C.52,33或(7,2)−D.(2

,1)或(7,2)−【答案】C【解析】【分析】高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家www.ks5u.com版权所有@高考资源网-5-设点P的坐标为(,)xy，表示出AP，PB的坐标，由2APPB=且P在直线AB上，故分2APPB=或2APPB=−两种情况讨论，

根据向量相等得到方程组，解得．【详解】解：设点P的坐标为(,)xy，(1,2)A−，(3,0)B则(1,2)APxy=+−，(3,)PBxy=−−．由||2||APPB=且点P在直线AB上，得2APPB=

或2APPB=−．∴12(3),22(),xxyy+=−−=−或12(3),22().xxyy+=−−−=−−解得5,32,3xy==或7,2.xy==−∴点P坐标为52,33或(7,

2)−．故选：C【点睛】本题考查向量的坐标运算，属于基础题.7.对于ABC，若存在111ABC，满足111coscoscos1sinsinsinABCABC===，则称ABC为“V类三角形”．“V类三角形”一定满足．A

.有一个内角为30B.有一个内角为45C.有一个内角为60D.有一个内角为75【答案】B【解析】【分析】由对称性，不妨设1A和1B为锐角，结合同角三角函数关系进行化简求值即可．【详解】解：由对称性，不妨设1A和1B为锐角，则12A=−A，12B=−B，所以：1A+1B＝

π﹣（A+B）＝C，于是：cosC＝sin1C＝sin（1A+1B）＝sinC，即：tanC＝1，解得：C＝45°，故选B．【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，注意新定义运算法则，诱导公式的应用，属于中档题．的高考资源网（ks5u

.com）您身边的高考专家www.ks5u.com版权所有@高考资源网-6-8.在三棱锥SABC−中，10,,,4πABASCBSCACASBCBS=====，若该三棱锥的体积为153，则三棱锥SABC−外接球的体积为（）A.83πB.43πC.63πD.5π【答案】B【解

析】【分析】由题意可得等腰直角三角形SAC和等腰直角三角形SBC，取SC的中点O，明确其为外接球的球心，根据线面垂直的判定定理，分割三棱锥，利用其体积公式，求得半径，结合球的体积公式，可得答案.【详解】由题意可作图如下：设SC的中点为O，AB的中点

为D，连接,,OAOBOD，因为π4ASCBSC==，ACAS=，BCBS=，所以π2SACSBC==，所以OAOBOCOS===.所以O为三棱锥SABC−外接球的球心，设其半径为R，又ODAB⊥，且10AB=，所以102ADDB==，252ODR=−，则

211102522OABSABODR==−，又由SCOA⊥，SCOB⊥，且OAOBO=，,OAOB平面OAB，则SC⊥平面OAB所以2111510252323SABCVRR−=−=，解得3R=，所以外接球的体积()34π343π3V=

=.高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家www.ks5u.com版权所有@高考资源网-7-故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5

分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知复平面内表示复数：()()11iRzmmm=++−的点为M，则下列结论中正确的为（）A.若Rz，则1mB.若M在直线2yx=上，则3m=C.若z为纯虚数，则1m=−D.若M在第四象限，则11m−＜＜【答案】CD【解析】【分析】根据复数的基本概念

直接判断选项即可.【详解】对于A，若Rz，则10m−=，得1m=，故A错误；对于B，因为()1,1Mmm+−在直线2yx=上，所以()121mm−=+，则3m=−，故B错误；对于C，若z为纯虚数，则10m+

=，即1m=−，此时虚部不为0，故C正确；对于D，若()1,1Mmm+−在第四象限，则1010mm+−＞＜，解得11m−＜＜，故D正确.故选：CD10.为调查禽类某种病菌感染情况，某养殖场每周都定期抽样检测禽类血液中A指标的值．养殖场将某周的5000只家禽血液样本中A指标的

检测数据进行整理，绘成如图所示的频率分布直方图．根据该频率分布直方图，对于这5000只家食血液样本中的A指标值，下列的叙述正确的为（）A.估计A指标值的中位数为223B.估计A指标值的80%分位数为9高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家www.ks5u.com版权所有@高考资源网-8-C

.估计A指标值的众数为7.5D.估计A指标值的第25百分位数为7914【答案】ABD【解析】【分析】根据题意，由频率分布直方图分别计算中位数，众数以及百分位数即可得到结果.【详解】由题意可知，()0.020.030.050.060.180.0221a++++++=，解得0.14a

=，因为()20.020.060.140.440.5++=，()20.020.060.140.180.80.5+++=，所以中位数在(7,9之间，设中位数为x，则()0.440.1870.5x+−=，解得223x

=，故A正确；观察频率分布直方图可得，(7,9的频率最大，所以众数为8，故C错误；由频率分布直方图可知，前两组的频率之和为()0.020.0620.16+=，小于0.25，所以第25百分位数位于第3组，则0.250.167950.1414−+=，故D

正确；且前四组的频率之和为()0.020.060.140.1840.8+++=，所以80%分位数为9，故B正确；故选：ABD11.一个袋子中有标号分别为1、2、3、4的四个球，除了标号外没有其它差异，现采用不放回方式从中任意摸球两次，设事

件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件B=“第二次摸出球的标号小于3”，则下列选项正确的为（）A.()512PA=B.()56PAB=C.()16PAB=D.()712PB=【答案】BC【解析】【分析】列举出所有的基本事件，确定

每个选项中各事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得各选项中事件的概率.【详解】采用不放回方式从中任意摸球两次，所有的基本事件有：()1,2、()1,3、()1,4、()2,1、()2,3、()2,4、()3,1、()3,2、()3,4、()4,1、

()4,2、()4,3，共12种，对于A选项，事件A包含的基本事件有：()1,2、()1,3、()1,4、()2,1、()2,3、()2,4，共6种，则()61122PA==，A错；高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专

家www.ks5u.com版权所有@高考资源网-9-对于B选项，事件AB包含的基本事件有：：()1,2、()1,3、()1,4、()2,1、()2,3、()2,4、()3,1、()3,2、()4,1、()4,2，共10种

，则()105126PAB==，B对；对于C选项，事件AB包含的基本事件有：()1,2、()2,1，共2种，故()21126PAB==，C对；对于D选项，事件B包含的基本事件有：()1,2、()2,1、()3,1、()3,2、(

)4,1、()4,2，共6种，故()61122PB==，D错.故选：BC.12.三棱锥ABCD−满足下列两个条件：①90BADBACCAD++=；②90ADBBDCADC===．若cos700.3420=，记二面角ABCD−−的大小为，则下列选项中可以取到的为（）A.45B.

62C.75D.80【答案】CD【解析】【分析】设ADx=，BDa=，CDb=，将三棱锥ABCD−沿着AD、BD、CD剪开，然后将ADB、ADC△分别沿着AB、AC都展开在ABC所在的平面内，延长DB、DC交于点E，则四边形ADED为正方形，计算得出xab=+，在三棱锥

ABCD−中，过点D在平面BCD内作DHBC⊥，连接AH，推导出AHD=，利用基本不等式计算cos的取值范围，结合余弦函数的单调性可得出的范围，即可得出合适的选项.【详解】设ADx=，BDa=，

CDb=，将三棱锥ABCD−沿着AD、BD、CD剪开，然后将ADB、ADC△分别沿着AB、AC都展开在ABC所在的平面内，如下图所示，得五边形ADBCD，高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家www.k

s5u.com版权所有@高考资源网-10-由题设知90DADDABBACCAD=++=，ADADx==，延长DB、DC交于点E，则四边形ADED为正方形，且BExa=−，CExb=−，2222BCBDCDab=+=+，在RtBCE中，

有222BCBECE=+，互()()2222abxaxb+=−+−，解得xab=+，在三棱锥ABCD−中，过点D在平面BCD内作DHBC⊥，连接AH，因为ADDB⊥，ADDC⊥，DBDCD=，DB、DC平面BCD，所以，AD⊥平面BCD，因为BC平面BCD，所以，

BCAD⊥，因为BCDH⊥，ADDHD=I，AD、DH平面ADH，所以，BC⊥平面ADH，因为AH平面ADH，所以，AHBC⊥，故AHD为二面角ABCD−−的平面角，则AHD=，因为AD⊥平面BCD，DH平面BCD，所以，ADDH⊥，故cosDH

AH=，在RtBCD中，22BDCDabDHBCab==+，在RtADH中，()22222222222abaabbAHADDHababab++=+=++=++，从而221cos0.3420cos7033ababaabbab===++，而余弦函数cosy=在π0,2

时单调递减，所以，7090，故选：CD.【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法：（1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有：高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家www.ks5u.com版权所有@

高考资源网-11-①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质；（2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若圆锥的底面半径为4，其侧面展开图

的面积为20π，则该圆锥的高为_______.【答案】3【解析】【分析】求出圆锥的母线长，利用勾股定理可求得该圆锥的高.【详解】设该圆锥的母线长为l，高为h，圆锥的侧面积为π420πl=，可得5l=，因此，该圆锥高为22224543hl=−=−=.故答案为：3.14.已知(3,4),

(2,4)ab=−=，则b在a上的投影向量的坐标为_______；【答案】68,55−【解析】【分析】根据题意，先由平面向量的坐标运算得到cos,ab，然后由投影向量的定义，代入计算，即可得到结果.【详解】

因为(3,4),(2,4)ab=−=，()()22223244105cos,55253424ababab+−−====−+−+则b在a上的投影向量的坐标为：()5168cos,253,4,5555ababa

=−−=−.故答案为：68,55−.15.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字把乙猜的数字记为b，且a，0,1,2,3,9b，若1ab−，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两

个人玩这个游戏，得出他们”心有灵犀”的概率为______．的高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家www.ks5u.com版权所有@高考资源网-12-【答案】725【解析】【分析】由题意知是古典概型，从0~

9中任意取两个数共有100种取法，列出满足1ab−所有可能情况，代入公式得到结果．【详解】由题意知本题是一个古典概型，试验发生的所有事件是从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数中任取两个共有1010100=种不同的结果，则1ab−的情况有()0,0；()1,1；()2

,2；()3,3；()4,4；()5,5；()6,6；()7,7；()8,8；()9,9；()0,1；()1,0；()1,2；()2,1；()2,3；()3,2；()3,4；()4,3；()4,5；()5,4；()5,6；()6,5；()6,7；()7,6；()7,8；()8,7；()8,9；(

)9,8共28种情况，他们”心有灵犀”的概率为28710025P==．故答案为：725．16.设锐角三角形ABC的内角,,ABC所对的边分别为,,abc，2sinabA=，则cossinAC+的取值范围为__________．【答案】33(,)22【解析】【详解】由正弦

定理及2sinabA=有1sin,0,226BBB==，所以56AC+=,则533cossincossin()sincos3sin()6223ACAAAAA+=+−=+=+，由已知有50,0262AA−，所以33,3

sin()(,)32322AA+．点睛：本题主要考查了正弦定理，两角差正弦公式以及两角和正弦公式的逆用，属于中档题．本题关键是灵活运用这些公式．高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家www.ks5u.com版权所有@高考资源网-13-四、解答题：本题共6小题，共70分．解答

应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17已知复数z和w满足：2i2i23i10zwzw+−++=，若2iwz−=，求z和w．【答案】答案见解析【解析】【分析】由2iwz−=可得2izw=−，代入2i2i23i10zwzw+−++=化简，然后设i(,R)w

xyxy=+代入上式化简，再利用复数相等的条件列方程组可求得结果.【详解】解：由2iwz−=可得：2izw=−，将其代入2i2i23i10zwzw+−++=可得：4i2i23i50wwww−+++=，设i(,R)wxyxy=+，则(i)(

i)4i(i)2i(i)23i50xyxyxyxy−+−++−++=，化简得()22652(3)i0xyyx++++−=，∴()22650230xyyx+++=−=解之得：32xy==−或34xy==−，32iw=−或34iw=−当32iw=−时，

2i3zw=−=；当34iw=−时，2i32izw=−=+．18.试分别解答下列两个小题：（1）设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，记事件A=“方程20xbxc++=没有实根”，事件B=“方程20xb

xc++=有且仅有一个实根”，求()3()PAPB−．（2）甲、乙、丙三位同学各自独立地解决同一个问题，已知这三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为111,,234，记E=“三人中只有一个人正确解决了这个问题”，求()PE．【答案】（1）113

6（2）1124.高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家www.ks5u.com版权所有@高考资源网-14-【解析】【分析】（1）用古典概型的概率公式分别算出()PA和()PB，进而可得结果；（2）分别计算出只有甲、乙、丙正确解决这个问题的概率，从而可得(

)PE.【小问1详解】设样本空间为，则{(,),1,2,,6}bcbc==∣，样本点的个数为36个，2(,)40,,1,2,,6Abcbcbc=−=∣，为满足240bc−，必须：当1b=时，1,2,3,4,5,6c=；当2b=时，2,

3,4,5,6c=；当3b=时，3,4,5,6c=；当4b=时，5,6c=.A中样本点的个数为17个，17()36PA=，2(,)40,,1,2,,6Bbcbcbc=−==∣，为满足240bc−=，必须：当2b=时，1c=；当4b=时，4c=，B中样本点的个数为2个，21()3618P

B==17111()3()3361836PAPB−=−=【小问2详解】∵这三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为111,,234，∴仅甲同学单独解决了这个问题的概率为：1111112344−−=仅乙

同学单独解决了这个问题的概率为：1111112348−−=仅丙同学单独解决了这个问题的概率为：11111123412−−=11111()481224PE=++=高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家www.ks5u.com版权所有@高

考资源网-15-19.如图，在三棱锥SABC−中，作SN⊥平面ABC，垂足为N，连接CN并延长交棱AB于点,DM为棱SC上的一点，若CDAB⊥，二面角MABC−−的大小与NSC相等，求证：SC⊥平面MAB.【答

案】证明见解析【解析】【分析】连接MD，推出AB⊥平面SCN，MDAB⊥，得MDC为二面角MABC−−的平面角，根据MDCNSC=推出SCMD⊥，再根据线面垂直的判定可得SC⊥平面MAB.【详解】连接MD，SN⊥平

面ABC，AB平面ABC，ABSN⊥，,CDABSNCDN⊥=，,SNCD平面SCN，AB⊥平面SCN，因为SC平面SCN，SCAB⊥，因为MD平面,SCNMDAB⊥，又CDAB⊥，MDC为二面角MABC−−的平面角，MDCNSC=

，SN⊥平面,ABCCD平面,ABCCDSN⊥，又SCNDCM=，π2MDCDCMNSCSCN+=+=，π2CMD=，从而SCMD⊥，,,ABMDDABMD=平面,MABSC⊥平面MAB高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家www.ks5u.com版

权所有@高考资源网-16-20.试分别解答下列两个小题：（1）已知向量a和b都是非零向量，且3ab+与75ab−垂直，4ab−与72ab−垂直，记向量a与b的夹角为，求tan4．（2）在ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，若26,abcbac+

+==．试将BABC表示成关于b的表达式，并求出BABC的取值范围．【答案】（1）23−（2）2618BABCbb=−−+；218BABC【解析】【分析】（1）由已知可得()()()()37504720abababab+−=−−=，解得

212abbab==，然后利用向量的夹角公式求解出，再利用两角差的正切公式可求得结果；（2）利用数量积的定义结合余弦定理可得2618BABCbb=−−+，再利用基本不等式求出b的范围，从而可求得BABC的取值范围．【小问1详

解】因为3ab+与75ab−垂直，4ab−与72ab−垂直，所以()()()()37504720abababab+−=−−=，222271615073080aabbaabb+−=−+=，解得212abbab=

=，所以221||12cos2||||||bababb===，高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家www.ks5u.com版权所有@高考资源网-17-因为0π，所以π3=，所以ππtantanππ3134tantantan23ππ41234131tanta

n34−−==−===−++，【小问2详解】因为6abc++=，所以6acb+=−，因为2bac=所以()2222221cos22acbBABCacBacacbac+−===+−2222211()2(6)222acacbbbb=+−−=−−−2618bb=

−−+所以2(3)27BABCb=−++，因为2aacc+，6acb+=−，2bac=，当且仅当ac=时取等号，所以62bb−，当且仅当2b=时取等号，所以02b所以218BABC21

.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，PD⊥平面,ABCDPDAQ∥，且2,PDAQM=为PC的中点．（1）求证：PDQM⊥；（2）设平面PBQ平面,ABCDll=与直线QM所成的角为，求tan．【答案】（1）证明见解析高考资源网（ks5u.com）您身边的

高考专家www.ks5u.com版权所有@高考资源网-18-（2）13【解析】【分析】（1）过M作MNPD∥交CD于N，连接AN，然后利用三角形中位线定理结合已知条件可得四边形ANMQ为平行四边形，则ANQM∥，由已知线面垂

直可得PDAN⊥，从而可证得结论；（2）延长PQ和DA交于点R，连接BR和AC，则可得l与BR重合，证得lAC∥，从而可得CAN为l与直线QM所成的角，进而可求得结果.【小问1详解】过M作MNPD∥交CD于N

，连接AN，M为PC的中点，N为CD的中点，1,2MNPDMNPD=∥PDAQ∥，且2PDQA=，,MNAQMNAQ=∥∴四边形ANMQ为平行四边形，ANQM∥PD⊥平面ABCD，AN面ABCD，PDAN⊥，∴PDQM⊥【小问2详解】延长PQ和DA交于点R，连接BR和AC，∵平面PBQ

平面ABCDl=，l与BR重合，PDAQ∥，∴QRA∽PRD，从而ARAQDRPD=，∵四边形ABCD是正方形，,ARBCARBC=∥，从而ARBC为平行四边形，lAC∥高考资源网（ks5u.com）您身边的高

考专家www.ks5u.com版权所有@高考资源网-19-由（1）可知，QMAN∥，CAN为l与直线QM所成的角，即CAN=，在边长为2的正方形ABCD中，π1,tan42CADNAD==，πtan

tanπ14tantantanπ431tantan4NADCANNADNAD−==−==+22.如图，正方形ABCD的边长为1，,PQ分别为边,ABAD上的点，APQ△的周长为2．（1）求PCQ的大小；（2）设2211,BCPWCPCQ

==+，试将W表示为的函数，并求出W的最大值及相应的．【答案】（1）π4（2）2πsin2124W=++；8=时，max212W=+【解析】【分析】（1）设APx=，AQy=，即可得到222xyxy=+−，再由tan1DCQy=−，tan1BCP

x=−，利用两角和的正切公式求出DCQBCP+，即可得解；（2）首先表示CP、CQ，根据2211WCPCQ=+利用二倍角公式及辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得.【小问1详解】设APx=，

AQy=，则22PQxy=+，APQ的周长为2，222xyxy+++=，高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家www.ks5u.com版权所有@高考资源网-20-化简得222xyxy=+−，∵正方形ABCD的边长为1，1DQy=−，1BPx=−从而tan1DCQy=−，tan1BC

Px=−，tantan(1)(1)tan()1tantan1(1)(1)DCQBCPyxDCQBCPDCQBCPyx+−+−+==−−−−221(222)xyxyxyxyxyxy−−−

−===+−+−+−，π02DCQBCP+，π4DCQBCP+=，从而ππ()24PCQDCQBCP=−+=，【小问2详解】BCP=，π4DCQ=−，其中π04，在RtBCP△中，cosCPBC=，1cosCP=，在RtCDQ△中，πcos4

CQCD−=，1πcos4CQ=−，222211πcoscos4WCPCQ=+=+−11π1(1cos2)1cos2(sin2cos2)12242=+++−=++

2πsin2124=++，π04，ππ3π2444+，当ππ242+=，即8=时，max212W=+.高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家www.ks

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