【文档说明】北京市朝阳区2022-2023学年高一下学期期末质量检测数学试题 含解析.docx，共(18)页，1.613 MB，由小赞的店铺上传

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北京市朝阳区2022~2023学年度第二学期期末质量检测高一数学2023.7（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无

效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.计算2(2i)=（）A.1−B.2−C.4−D.4【答案】C【解

析】【分析】根据复数的乘方运算即可.【详解】22(2i)4i4==−.故选：C.2.已知(3,2)A，(5,1)B−−，若ACCB=，则点C的坐标为（）A.11,2−B.31,2−C.11,2D.31,2【答案】A【解析】【分析】由题意可得C是线段

AB的中点，根据中点坐标公式求解即可.【详解】因为ACCB=，所以C是线段AB的中点，所以点的坐标为3521,22−−，即11,2−，故点C的坐标为11,2−.故选:A.3.在如图所示的正方

体1111ABCDABCD−中，异面直线11AC与BD所成角的大小为（）A.120B.90C.60D.45【答案】B【解析】【分析】根据异面直线所成角的性质，结合正方体线线关系即可求解.【详解】

如图，连接11BD在正方体1111ABCDABCD−中，因为1111//,BBDDBBDD=所以四边形11BBDD为平行四边形，所以11//BDBD又在正方形1111DCBA中1111BDAC⊥，所以11BDAC⊥则异面直线11AC与BD所成角的大小为90.故选：B.4.从装

有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，则下列事件是对立事件的是（）A.“都是白球”与“至少有一个白球”B.“恰有一个白球”与“都是红球”C.“都是白球”与“都是红球”D.“至少有一个白球”与“都是红球”【答案】D【解析】【分析】由题意可得总事件

分别为（红，白），（红，红），（白，白）三种情况，根据互斥事件以及对立事件的定义再对应各个选项逐个分析即可求解．【详解】从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，抽取小球的情况分别为（红，白），（红，红

），（白，白）三种情况，选项A,“至少有一个白球”包括（红，白），（白，白），故既不互斥也不对立，A错误，选项B：“恰有一个白球”表示的是（红，白），与“都是红球”互斥但不对立，故B错误，选项C：“都是白球”与“都是红球”互斥但不对立，故C错误，选项D：“至

少有一个白球”包括（红，白），（白，白），与“都红球”是对立事件，故D正确，故选：D．5.已知a，b是两条不重合的直线，为一个平面，且a⊥，则“b⊥”是“a//b”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C

.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义即可得出选项.【详解】当b⊥时，结合a⊥，可得a//b，充分性满足；当a//b时，结合a⊥a，可得b⊥a，必要性满足.故选：C.6.甲

、乙两人射击，甲的命中率为0.6．乙的命中率为0.5，如果甲、乙两人各射击一次，恰有一人命中的概率为（）A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6【答案】C【解析】【分析】甲乙相互独立，而甲、乙两人中恰好有一人击中目标即为事件：ABAB+，由相互独立事件的概率乘法公式可求．【详

解】设“甲命中目标”为事件A，“乙命中目标”为事件B由题意可得，()()0.6,0.5PAPB==且甲乙相互独立甲、乙两人中恰好有一人击中目标即为事件：ABAB+，()0.40.50.60.50.5PABAB+=+=故选：C是7.已知函数(

)()()sin0,πfxx=+的部分图象如图所示，则π6f=（）A32−B.22−C.0D.22【答案】B【解析】【分析】利用图象求出函数()fx的解析式，然后代值计算可得出π6f的值.【详解】由图可知，函数()fx的最小正周期为2ππ4π4333T

=−=，因为0，则2π332π4π2T===，所以，()3sin2xfx=+，因为()2πsinπsin13f=+=−=，可得sin1=−，因为ππ−，则π

2=−，故()3π3sincos222xxfx=−=−，因此，π3ππ2coscos62642f=−=−=−.故选：B.8.已知数据1x、2x、3x、L、nx的平均数为x，方差为2s，在这组数据中加入一个数x后得到一组新数

据，其平均数为x，方差为2s，则（）A.xxB.22ssC.xxD.22ss【答案】D【解析】【分析】利用平均数公式可得出x、x的大小关系，由方差公式可得出2s、2s的大小关系..【详解】由已知可得

123nxxxxxn++++=，()()()()22221232nxxxxxxxxsn−+−+−++−=，加入新数据后，12311nxxxxxnxxxxnn++++++===++，()()()()()2222221232211nxxxxxxxxxxnsssn

n−+−+−++−+−==++，所以ABC错误，D正确.故选：D.9.堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》．如图1，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）．如图2，再沿堑堵的一顶点

与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑．则图2中的阳马与图1中的长方体的体积比是（）A.16B.13C.12D.23【

答案】B【解析】【分析】计算出长方体的体积，利用锥体的体积公式计算出阳马的体积，即可求得阳马与长方体的体积之比.【详解】设阳马的体积为1V，长方体的体积为V，由图2可知，阳马是底面为矩形，高为c的四棱锥，则113Vabc=，长方体的体积为Vabc=，因此，113VV

=.故选：B.10.设M为平面四边形ABCD所在平面内的一点，MAa=，MBb=，MCc=，MDd=．若dacb+=+且acbd=，则平面四边形ABCD一定是（）A.正方形B.菱形C.矩形D.梯形【答

案】C【解析】【分析】由dacb+=+结合平面向量的减法推导出BACD=，利用平面向量的数量积运算推导出CADB=，即可得出结论.【详解】因为dacb+=+，则MAMCMBMD+=+，即MAMBMDMC−=−，即

BACD=，所以，平面四边形ABCD为平行四边形，因为dacb+=+，则()()22acbd+=+，即222222aaccbbdd++=++，因为acbd=，所以，222222aaccbbdd−+=−+

，即22acbd−=−，即MAMCMBMD−=−，即CADB=，即平行四边形ABCD的两条对角线长相等，故平面四边形ABCD一定是矩形.故选：C.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11.在平面直角坐标

系中，O为坐标原点，复数1iz=+对应的点为Z，则||OZ=________．【答案】2【解析】【分析】根据复数几何意义即可由模长求解.【详解】由题意可知22||112OZz==+=，故答案为：212.某地区有高

中生3000人，初中生6000人，小学生6000人．教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，采用分层抽样的方法，按高中生、初中生、小学生进行分层，如果在各层中按比例分配样本，总样本量为150，那么在高中生中抽取了_

_______人．【答案】30【解析】【分析】根据分层抽样的抽样比即可求解.【详解】高中生中抽取了300015030300060006000=++人，故答案为：3013.在ABC中，8a=，7b=，3c=，则B=________；()tanAC+=________．【答案】①.π3

②.3−【解析】【分析】利用余弦定理求出cosB的值，结合角B的取值范围可得出角B的值；再利用诱导公式可得出()tanAC+的值.【详解】在ABC中，8a=，7b=，3c=，由余弦定理可得2226494

91cos22832acbBac+−+−===，因为()0,πB，则π3B=，故()tantantan333ππACπ+=−=−=−.故答案为：π3；3−.14.把函数()πsin23fxx=+图象上的所有点向右平行移动π6个单位长度得到函数()

gx的图象，则()gx的一个对称中心坐标为________．【答案】()0,0（答案不唯一）【解析】【分析】先利用平移变换得到()gx的解析式，再根据正弦函数的性质求解即可.【详解】由题意可得()ππsin2sin263xgx

x−+==，令2πxk=，Zk，解得π2kx=，Zk，所以()gx的对称中心的横坐标为π2kx=，Zk，所以()gx的一个对称中心坐标为()0,0，故答案为：()0,0（答案不唯一）15.如图，在ABC中，设4AB=，BCa=，B的

平分线和AC交于D点，点E在线段BC上，且满足:3:2BEEC=，设()1212,AEkABkACkk=+R，则12kk+=______；当=a______时，DEAB∥.【答案】①.1②.83##223【解析】【分析】利用向量

的加法法则得，从而求得12kk+，利用角平分线性质确定点D位置，然后利用平行线分线段成比例求解.【详解】因为:3:2BEEC=，所以35BEBC=，所以3323()5555AEABBEABBCABACABABAC=+=+=+−=+，所以1223,55kk==

，所以121kk+=，在ABD△中，由正弦定理可得sinsinABADADBABD=，可得sinsinADABDABADB=，在CBD△中，由正弦定理可得sinsinBCCDBDCCBD=，可得sinsinCDCBDBCBDC=，因为BD为ABC的角平分线

，可知,πABDCBDADBBDC==−，所以sinsin,sinsin(π)sinABDCBDADBBDCBDC==−=，可得sinsinsinsinABDCBDADBBDC=

，所以ADCDABBC=，又4AB=，BCa=，所以4CDBCaADAB==，在ABC中，DEAB∥，所以23CDCEADBE==，所以243a=，解得83a=.故答案为：1；83.16.如图1，四棱锥PABCD−是一个水平放置装有一定量

水的密闭容器（容器材料厚度不计），底面ABCD为平行四边形，现将容器以棱AB为轴向左侧倾斜到图2的位置，这时水面恰好经过CDEF，其中E、F分别为棱PA、PB的中点，在倾斜过程中，给出以下四个结论：的①没有水的部分始终呈棱锥形；②有水的部分始终呈棱柱形；③棱AB始终与水面所

在平面平行；④水的体积与四棱锥PABCD−体积之比为5:8.其中所有正确结论序号为________．【答案】①③④【解析】【分析】由棱锥的定义可判断①；由棱柱的定义可判断②；利用线面平行的定义可判断③；利用锥体的体积公式可判断④.【详解】

对于①，由棱锥的定义可知，在倾斜的过程中，没有水的部分始终呈棱锥形，①对；对于②，由棱柱的定义可知，在倾斜的过程中，有水的部分的几何体不是棱柱，②错；对于③，倾斜前，在图1中，棱AB与水面所在平面平行，在倾斜的过程中，容器以棱AB为轴向左侧倾斜到图2的位置的过程中，棱

AB始终与水面所在平面平行，③对；对于④，连接AC、CE、BE，设三棱锥PACD−的体积为V，则三棱锥−PABC的体积也为V，因为E为PA的中点，则ADEPDESS=△△，所以，12CADECPDEVVV−−==，因为E

、F分别为PA、PB的中点，所以，//EFAB且12EFAB=，所以，14PEFPABSS=△△，所以，1144CPEFCPABVVV−−==，的所以，没有水的部分的几何体的体积为113244CPDECPEFVVVVV−−+=+=，所以，有水的部分的几何体的体积为35244VVV−=，因

此，水的体积与四棱锥PABCD−体积之比为5:25:84VV=，④对.故答案为：①③④.三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17.已知函数()2sin223cosfxxx=+．（1）求函数()fx的最小正周期；（2）求函数()fx在区

间π0,4上的最大值和最小值．【答案】（1）π（2）最大值为23+，最小值为13+【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数()fx的解析式，利用正弦型函数的周期公式可求得函数()fx的最小正周期；（2）由π04

x求出π23x+的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得函数()fx的最大值和最小值.【小问1详解】解：因为()21cos2sin223cossin2232xfxxxx+=+=+πsin23cos

232sin233xxx=++=++，所以，函数()fx的最小正周期为2ππ2T==.【小问2详解】解：当π04x时，ππ5π2336x+，故当ππ232x+=时，函数()fx取最大值，即()maxπ2si

n3232fx=+=+，当π5π236x+=时，函数()fx取最小值，即()min5π2sin3136fx=+=+.18.海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产

量（单位：kg），其频率分布直方图如图所示．两种养殖方法的箱产量相互独立．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）用频率估计概率，从运用新、旧网箱养殖方法的水产品中各随机抽取一个网箱，估计两个网箱的箱产量都不低于55kg的概率；（3）假定新、旧网箱养殖方法的网箱数不变，为了提高总产量

，根据样本中两种养殖法的平均箱产量，该养殖场下一年应采用哪种养殖法更合适？（直接写出结果）【答案】（1）0.068a=（2）0.0704（3）新养殖法【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图利用频率之和为1，即可

求得图中a的值；（2）根据独立事件概率乘法公式计算即可；（3）利用频率分布直方图分别估计新旧养殖法的平均值，即可做出判断.【小问1详解】由()0.0040.0080.0100.0200.0440.04651a++++++=所以0.068a=【小问2详解】设事件,AB分别表

示：从运用旧、新网箱养殖方法的水产品中随机抽取一个网箱，其箱产量不低于55kg，用频率估计概率，则()()0.0200.0120.01250.22PA=++=，()()0.0460.0100.00850.32PB=++=因为,AB相互独

立，所以()()()0.220.320.0704PABPAPB===所以估计两个网箱的箱产量都不低于55kg的概率为0.0704【小问3详解】新养殖法（旧养殖法的平均值估计为0.012527.50.014532.

50.024537.50.034542.50.040547.50.032552.50.020557.50.012562.50.012567.547.1++++++++=新养殖法的平均值估计为0.0045

37.50.020542.50.044547.50.068552.50.046557.50.010562.50.008567.552.35++++++=又52.3547.1，所以该养殖场下一年应采用新养殖法更合适.）19.在ABC中，已知sin

3sinAB=，π6C=．（1）求证：bc=；（2）在①3ac=；②sin3cA=；③2cab=这三个条件中选择一个作为已知，使ABC存在且唯一确定，求b的值和ABC的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）证明见解析；（2）见解

析.【解析】【分析】（1）根据正弦定理可得3ab=，再根据余弦定理即可证明；（2）若选①，由（1）可得3ab=，bc=，π6BC==,2π3A=，从而可求,,abc,根据三角形面积公式即可求解；若选②，由（1）可得3ab=，bc=，π6BC==,

2π3A=，根据sin3cA=可求,bc，根据三角形面积公式即可求解；若选③，根据边的等量关系可得23abc=，矛盾.【小问1详解】由sin3sinAB=，根据正弦定理可得3ab=.又因为π6C=，由余弦定理得：222222233cos2223abcbbcCabb

+−+−===，可得22bc=，即bc=.【小问2详解】若选①，由3ac=，且bc=，所以233b=，解得1bc==，所以π6BC==,2π3A=.所以1133sin112224ABCSbcA===△.若选②，根据bc=

，所以π6BC==,2π3A=.因为sin3cA=，所以332c=，解得23cb==.所以113sin232333222ABCSbcA===.若选③，由（1）可得3ab=，bc=，则233abbcc==,与2cab=，矛盾，故ABC不存在.20.已知四棱锥PABCD−的底面为

直角梯形，ABCD∥，90DAB=，12CDAB=，平面PAD⊥平面ABCD，M是PB的中点．（1）求证：CD⊥平面PAD；（2）求证：CM∥平面PAD；（3）设棱PC与平面ADM交于点N，求PNNC的

值．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）2PNNC=【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质即可得到线面垂直.（2）取中点，根据线线平行可得平面//PAD平面MEC，由此能证明直线//CM平面PAD；（3）作点F满足MFAD=，则AF与PC的交点即

为PC与平面ADM的交点N，从而可求得PNNC的值，【小问1详解】平面PAD⊥平面ABCD,且两平面的交线为AD,由于ABCD∥，90DAB=，所以CDAD⊥,CD平面ABCD,故CD⊥平面PAD，【小问2详解】证明：取AB中点

E，连,MECE，112CDAB==，M是PB的中点，//MEPA，//CEAD,由于ME平面PAD,PA平面PAD,所以//ME平面PAD同理可得//CE平面PADMECEE=，,MECE平面MEC,平面//PAD平面ME

C，CM平面MEC，直线//CM平面PAD；【小问3详解】,作点F满足MFAD=，则A，D，F，M四点共面，作AB的中点E，则ADEC=，所以MFEC=，所以四边形MFCE是平行四边形，则//FCME，又MEPA，所以//FCPA，即P，A，C，F四

点共面，平面ADFM平面PACFAF=，则PC与平面ADM的交点必定在AF上，所以AF与PC的交点即为PC与平面ADM的交点N，所以2PNANPAPANCNFCFME====，所以2PNNC=，21.设,mnN，已知由自然数组成的集合()1212,,,nnSaa

aaaa=，集合1S，2S，…，mS是S的互不相同的非空子集，定义nm数表：111212122212mmnnnmxxxxxxxxx=，其中1,0,ijijijaSxaS=

，设()12(1,2,,)iiiimdaxxxin=+++=，令()dS是()1da，()2da，…，()nda中的最大值．（1）若3m=，{1,2,3}S=，且101011100=，求1S，2S，3S及()

dS；（2）若{1,2,,}Sn=，集合1S，2S，…，mS中的元素个数均相同，若()3dS=，求n的最小值；（3）若7m=，{1,2,,7}S=，集合1S，2S，…，7S中的元素个数均为3，且(17)ijSSij，求证：(

)dS的最小值为3．【答案】（1）132{1,3},{2},{1,2}SSS===，()2dS=（2）4（3）见解析【解析】【分析】（1）根据101011100=和1,0,ijijijaSxaS=即可求解，（2）将问题转化为{1,2,

,}Sn=至少有3个元素个数相同的非空子集．分别对S中的元素个数进行列举讨论，即可求解，（3）由()12(1,2,,)iiiimdaxxxin=+++=的定义以及127||3jjjjxSxx+

+=+=，即可结合1S，2S，…，7S中的元素个数均为3，{1,2,,7}S=进行求解.【小问1详解】根据101011100=和1,0,ijijijaSxaS=可得332121132,2231SSSSSS，，1，，，3，，，故1

32{1,3},{2},{1,2}SSS===，()2dS=【小问2详解】设iaS使得()()3idadS==，则12()iiiimmdaxxx++=+≤，所以3m．所以{1,2,,}Sn=至少有3个元素个数相同的非空子集．当1n=时，{1}S=，

其非空子集只有自身，不符题意．当2n=时，{1,2}S=，其非空子集只有{1},{2},{1,2}，不符题意．当3n=时，{1,2,3}S=，元素个数为1的非空子集有{1},{2},{3}，元素个数为2的非空子集有{1,2},{2,

3},{1,3}．当123{,,}{{1},{2},{3}}SSS=时，(1)(2)(3)1ddd===，不符题意．当123{,,}{{1,2},{2,3},{1,3}}SSS=时，(1)(2)(3)2ddd===，不符题意．当4n=时，{1,2,3,4

}S=，令123{1,2}{1},,{1,3},4SSS===，则111100010001=，()(1)3dSd==．所以n的最小值为4【小问3详解】由题可知，{|1,17}jijSix

i==≤≤，记||jS为集合(1,2,),7jSj=中的元素个数，则127||3jjjjxSxx++=+=为数表第j列之和．因为127(1,2,)(),7iiidxiixx=+++=是数表第i行之和，所以1271|(1)(2)(7)||

73||2|ddSSdS=++=++++=．因为()()(1,2,,7)didSi=≤，所以21(1)(2)(7)7()ddddS=+++≤．所以()3dS≥．当1234{1,2,3},{1,4,5},{2,4,6}{1

,6,7},SSSS====，567{3,4,7},{3,},5,6},{25,7SSS===时，1110000100100110001100101100010001100110100010101=

，()3dS=．所以()dS的最小值为3.【点睛】求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象

特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com