【文档说明】内蒙古自治区赤峰市第二实验中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题 含解析.docx，共(23)页，1.996 MB，由小赞的店铺上传

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赤峰市第二实验中学2023—2024学年度上学期期中考试数学试卷考试时间：120分钟满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.过点(3,5)−且倾斜角为150°的直线l的方程为（）A.32yx=−+B.343yx=−+

C.38yx=+D.363yx=+【答案】B【解析】【分析】根据倾斜角求出直线的斜率，结合直线的点斜式方程即可求解.【详解】依题意，直线l的斜率3tan1503k==−，故直线l的方程为35(3)3yx−=−+，即343yx=−+

，故选：B.2.已知直线l1：（a﹣1）x＋2y＋1＝0，l2：x﹣ay＋1＝0，a∈R，若l1⊥l2，则a的值为（）A.0B.﹣1C.1D.0或﹣1【答案】B【解析】【分析】根据两直线垂直求解.【详解】因为直线l1：（a﹣1）x＋2y＋1＝0，l2：

x﹣ay＋1＝0，且l1⊥l2，所以()()1120aa−+−=，解得1a=−，故选：B3.在长方体1111ABCDABCD−中，M为AC与BD的交点.若11ABa=，11ADb=，1AAc=，则下列向量中与1AM相等的向量是（）A.1122abc−++B.1122++abcC

.1122−+abcD.1122−−+abc【答案】B【解析】【分析】通过向量的线性运算将1AM用向量,,abc表示出来即可.【详解】解：在长方体1111ABCDABCD−中，M为AC与BD的交点.11ABa=，11ADb=，1AAc=，1112AMAAAC=+11()2AAABBC=++111

111()2ABADAA=++1122abc=++.故选：B.4.已知两条异面直线的方向向量分别是(3u=，1，2)−，(3v=，2，1)，则这两条异面直线所成的角满足（）A.9sin14=B.1

sin4=C.9cos14=D.1cos4=【答案】C【解析】【分析】由已知两条异面直线的方向向量的坐标，然后利用数量积求夹角公式，即可求得答案.【详解】两条异面直线的方向向量分别是(3u=，1，2)−，(3v=，2，1)，·3

312(2)19uv=++−=，22231(2)14u=++−=，22232114v=++=，又两条异面直线所成的角为(0,]2，·99coscos,14·1414uvuvuv====，115sin14=.

故选：C.5.阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为35，面积为20π，则椭圆C的标准方程为（）A.22154xy+=B.2212516xy+=C.

22145xy+=D.2251162xy+=【答案】B【解析】【分析】根据已知条件求得,ab，由此求得正确答案.【详解】依题意22235π20πcaababc===+，解得5,4,3abc

===.由于椭圆焦点在x轴上，所以椭圆C的标准方程为2212516xy+=.故选：B6.直三棱柱111ABCABC-中，1ACBCAA==，90ACB=，则直线1AC与平面11ABC所成的角的大小为（）A30B.60C.90D.120【答案】A【解析】【分析】以点

C为坐标原点，CA、CB、1CC所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线1AC与平面11ABC所成的角.【详解】在直三棱柱111ABCABC-中，1CC⊥平面ABC，又90ACB=，以点

C为坐标原点，CA、CB、1CC所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：设11ACBCAA===，则()11,0,1A、()0,1,0B、()0,0,0C、()10,0,1C，()111,0,0AC=−，()10,1,1=−BC，()11,0,1=−−AC，设平面11ABC法向量

为(),,nxyz=，.的由11100nACxnBCyz=−==−+=，可得0xyz==，令1y=，可得0x=，1z=，所以，平面11ABC的一个法向量为()0,1,1n=r，11111cos,222nACnACnAC−==−，所以，直线1AC与平面

11ABC所成角的正弦值为12，则直线1AC与平面11ABC所成角为30.故选：A.【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；

（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h，从而不必作出线面角，则线面角满足sinhl=（l为斜线段长），进而可求得线面角；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a为直线l的方向向量，n为平面的法向量，

则线面角的正弦值为sincos,an=.7.设1F、2F分别是椭圆()2222:10xyCabab+=的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段1PF的中点在y轴上，若1230PFF=，则椭圆C的离心率为（）A.33B.36C.13D.16【答案】A【解析】【分析】

本题首先可根据线段1PF的中点在y轴上得出2PFx⊥轴，然后根据1230PFF=得出2112PFPF=，再然后根据122PFPFa+=得出223PFa=，最后根据21212tanPFPFFFF=以及cea=即可得出结果.【详解】设点P坐标为()11,xy

，因为线段1PF的中点在y轴上，()1,0Fc−，()2,0Fc，所以10cx-+=，1=xc，点P与2F横坐标相等，2PFx⊥轴，因为1230PFF=，所以2112PFPF=，因为122PFPFa+=，所以223PFa=，则21212233tan23aPFPFFFFc===，化简得3a

c=，故33cea==，故选：A.【点睛】本题考查椭圆离心率的求法，考查中点性质的应用，能否根据题意得出2PFx⊥轴是解决本题的关键，考查椭圆定义的应用，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为2a，考查计算能力，是中档题.8.已知两点()2,0A−，()2,0B以及圆C：()()2

2243xyr++−=（0r），若圆C上存在点P，满足0PAPB=，则r的取值范围是A.3,6B.3,7C.4,7D.4,6【答案】B【解析】【分析】求得以AB为直径的圆O的圆心和半径，根据圆O与圆C有公共点列不等式，解不

等式求得r的取值范围.【详解】由于圆C上存在点P，满足0PAPB=，故以AB为直径的圆O与圆C有公共点.圆O的圆心为()0,0，半径为2.圆C的圆心为()4,3−，半径为r所以22rOCr−+，而()22435OC=−+=，所以252rr−+，解得37r.故

选：B【点睛】本小题主要考查圆与圆的位置关系，考查向量数量积为零的几何意义，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或

者多项是符合题目要求的.9.已知平面的一个法向量为111,2,2n=−−，平面的一个法向量为()21,0,2n=−−，直线l的方向向量为()1,0,2a=，直线m的方向向量为()0,1,2b=−，则（）A.//lB.⊥C.l与m相交直线或异面直线D.a在b向量上的投影

向量为480,,55【答案】BC【解析】【分析】根据空间向量之间的关系逐项判断线线、线面、面面关系即可.【详解】因为平面的一个法向量为111,2,2n=−−，直线l的方向向量为()1,0,2a=，则11010na=+−=，即1na⊥，则//l或l，

故A不正确；又平面的一个法向量为()21,0,2n=−−，所以121010nn=−++=，即12nn⊥，所以⊥，故B正确；由直线m的方向向量为()0,1,2b=−，所以不存在实数使得ab=，故l与m为相交直线或异面直线，故C正确；a在b向量上

的投影向量为()()0,1,20044480,1,20,,55555abbbb−+−==−−=−，故D不正确.故选：BC.10.已知圆22230Mxyx+−−=：，则下列说法正确的是（）A.点（2，0）在圆M内B.圆M关于10xy+−

=对称C.半径为3D.直线310xy−+=与圆M的相交所得弦长为23【答案】ABD【解析】【分析】根据点的坐标与圆的方程的关系判断A，判断点M与直线10xy+−=的位置关系，判断B；配方后得到圆的半径，判断C；利用弦长公式求弦长判断D.【详解】22230xyx+−−=整理得：()2214

xy−+=，为因为2x=，0y=时222330xyx+−−=−，∴点()2,0在圆M内，A正确；因为圆心()1,0M在直线10xy+−=上，所以圆M关于10xy+−=对称，B正确；因为圆M半径为2，故C错

误；∵圆心()1,0M到直线310xy−+=的距离为2113d==+，所以直线310xy−+=与圆M的相交所得弦长为24123−=，D正确.故选：ABD.11.正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，E，F，G分别为11,,BCCCBB的中点，

则（）A.直线1DD与直线AF垂直B.直线1DF与直线AE异面C.平面AEF截正方体所得的截面面积为92D.点C到平面AEF的距离为23【答案】CD【解析】【分析】对A，设1DDAF⊥，易证1DD⊥平面AEF判断；对B，延长AE

和DC交于N，连接1DF并延长与DC的延长线交于M，利用中位线可得到,MN两点重合，即可判断；对C，连接11,ADDF，易证1//EFAD，得到截面为等腰梯形1AEFD求解判断；对D，利用等体积法，由FAECCAEFVV−−=求解判断.【详解】对于A，若1D

DAF⊥，因为1DD⊥平面ABCD，AE平面ABCD，则1DDAE⊥，又AEAFA=，,AEAF平面AEF，所以1DD⊥平面AEF，又EF平面AEF，则1DDEF⊥，因为11//DDCC，所以1CCEF⊥，故A

错误；对于B，延长AE和DC交于N，连接1DF并延长与DC的延长线交于M，因为111//,=2CFDDCFDD，所以CF是1DMD的中位线，所以C是DM的中点，因为1//,=2CEDACEDA，所以CE是DAN的中位线，所以C是DN的中点，所以,MN两点重合，所以直

线1DF与直线AE交于M，故直线1DF与直线AE不异面，故错误；对于C，连接111,,ADDFBC，易得1111//,=ABCDABCD，所以四边形11ABCD是平行四边形，所以11//BCAD，因为E，F分别为1,BCCC的中点，则11////EFBCAD，所以1,,

,AEFD共面，又112,22,5EFADAEDF====，则截面为等腰梯形1AEFD，等腰梯形的高为2213222ADEFhAE−=−=，所以等腰梯形的面积为()11922SADEFh=+=，故正确；对于D，因为11323112,2121

222222AEFAECSEFhSEC======，且FAECCAEFVV−−=，所以点C到平面AEF的距离为1123133AECAEFSdS==，故正确.故选：CD12.已知椭圆222

2:1(0)xyCabab+=的左、右焦点分别为12,FF，点P在C上，且1PF的最大值为3，最小值为1，则（）A.椭圆C的离心率为12B.21PFF的周长为4C.若2190FPF=，则21PFF的面积为3D.若124PFPF=，则2160FPF=【

答案】AD【解析】【分析】对A，根据题意可得3ac+=，1ac−=即可求解；对B，根据椭圆的定义判断即可；对C，根据余弦定理结合椭圆的定义判断即可；对D，根据余弦定理与椭圆的定义求解即可．【详解】对A，由题意3ac+=，1ac−=，故2a=，1c=，故A正确；对B，21PFF的周长

为226ac+=，故B错误；对C，()2222212122112212112122cos22PFPFPFPFFFPFPFFFFPFPFPFPFPF+−−+−==，()()2222212211221221212211222PF

PFFFPFPFFFbPFPFaPFPF+−+−=−=−+，当且仅当12PFPF=时，等号成立，因为cosy=在(0,π)上递减，所以此时21FPF最大，又2a=，1c=，所以21FPF的最大值

为60，2190FPF=，不成立，故C错误；对D，由余弦定理222211212212cosFFPFPFPFPFFPF=+−()()212122121cosPFPFPFPFFPF=+−+，即()21416241

cosFPF=−+，解得211cos2FPF=，故2160FPF=，故D正确；故选：AD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.设(),Pxy，若(

)()2222228xyxy++++−=，则点P的轨迹方程为______.【答案】2211612yx+=【解析】【分析】根据两点距离公式可判断P在以,AB为焦点的椭圆，即可由椭圆的性质求解方程.【详解】()()222

2228xyxy++++−=可以看作是点(),Pxy到点()0,2A和点()0,2B−的距离和为8，由于84AB=,所以P在以,AB为焦点的椭圆，且28a=，24c=，故22216412bac=−=−=，故椭圆方程为2

211612yx+=，故答案为：2211612yx+=14.已知直线l经过点()3,4，且点()2,2A−，()4,2B−到直线l的距离相等，则直线l的方程为________.【答案】23180xy+−=或220xy−−=【解

析】【分析】根据直线AB与直线l的位置关系，分类讨论，可得其斜率之间的关系，求得斜率，可得答案.【详解】设直线AB的斜率为ABk，直线l的斜率为k，当直线//ABl时，显然点()2,2A−，()4,2B−到直线l的距离相等，如

下图：则此时ABkk=，由222243ABkk+==−=−−，且直线l过()3,4C，则直线l的方程为()2433yx−=−−，整理可得23180xy+−=；当直线AB与直线l相交时，作AEl⊥于E，BFl⊥于F，如下图：若AEBF=，由90AEFBFE==o

，ADEBDF=，则AEDBFEVV，可得ADBD=，即D为AB的中点，其坐标为()1,0D，此时直线l的斜率40231k−==−，直线l的方程为()021yx−=−，整理可得220xy−−=.故答案为：23180xy+−=或220xy

−−=.15.已知实数x，y满足方程()2223xy−+=，则yx的取值范围_____________.【答案】[3,3]−【解析】【分析】设过原点的圆的切线方程为ykx=，再根据圆心(2,0)到切线的距离等于半径，求得k的值，可得yx的取值范围.【详解】根据题意可得00yyxx−=−，表示圆()

2223xy−+=上的点(,)xy与原点(0,0)连线的斜率，设斜率为k,故此圆的切线方程为ykx=,再根据圆心(2,0)到切线的距离等于半径，可得2231kk=+，求得3k=，故取值范围是[3,3]−.故答案为：[3,3]−16.已知直线l：20xmy+−=，圆C：228xy+=，则下

列命题：①圆C截直线l的最短弦长为4；②圆C上一定存在4个点到直线l的距离为222−；③直线l与圆C交于M，N两点，则CMN面积的最大值为4；④直线l与线段AB相交，其中()1,1A，()4,2B，则m的取值范围是1,1−.其中正确的是

______.【答案】①③④【解析】【分析】根据题意可得直线l过定点()2,0P，圆心C到直线l的距离为0,2d.对于①：根据垂径定理公式运算求解；对于②：取0m=可排除；对于③：根据垂径定理结合二次函数分析判断；对于④：根据题意结合点与直线的位置关系分析判断.【详解】圆C:2

28xy+=的圆心()0,0C，半径22r=.令0y=，则2x=，可知直线l过定点()2,0P.设圆心C到直线l的距离为d，可知02=dCP.对于①：圆C截直线l的弦长为2222284−=−rdd，当且仅当

2d=时，等号成立.所以圆C截直线l的最短弦长为4，故①正确；对于②：因为()2222−−=rd，当0m=时，直线l：2x=此时到直线l的距离为222−的点在直线1:22lx=或直线2:422lx=−上，如图直线1l与圆C相切，直线2l与圆C相交，如图，则此

时圆C上只有3个点到直线l的距离为222−，故②不正确.所以圆C上存在4个或3个点到直线l的距离为222−，故②错误；对于③：CMN面积()22212841642=−=−−+VCMNSddd，当且仅当24d=，即2d=时，等号成立，故③正确；对于④：如图，

点,AB位于直线l的两侧（或在直线l上），则()()1220mm−+，解得11m−，故④正确；故答案为：①③④四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17

.已知圆C过原点O和点(1,3)A，圆心在直线1y=上．（1）求圆C方程；（2）直线l经过点O，且l被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．【答案】（1）22(2)(1)5xy−+−=；（2）0x=，或340xy+=.【解析】【分析】（1

）利用代入法，通过解方程组进行求解即可；（2）根据垂径定理，结合勾股定理和点到直线距离公式进行求解即可.【小问1详解】设圆C的标准方程为222()()(0)xaybrr−+−=，因为圆C过原点O和点(1,3)A，圆心在直线1y=上，所以222(0)(0)abr−+−=，且222(1)(3)ab

r−+−=，且1b=解得2212(2)(1)55baxyr==−+−==；【小问2详解】当直线l不存在斜率时，方程为0x=，把0x=代入22(2)(1)5xy−+−=中，得2212(02)(1)50,2yyy−+−===，显然212yy−=符合题意；当直线l存在斜率时，设为k，则

直线l的方程为ykx=，圆心(2,1)C到直线l的距离为：2211kk−+，圆C的半径为5，弦长为2，的所以有()2222211325241kkk−+==−+，即直线l的方程为33404yxxy=−+=，综上所述：直线l

的方程为0x=，或340xy+=.18.如图，在四棱锥OABCD−中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，OA⊥底面ABCD，2OA=，M为OA的中点，N为BC的中点.（1）证明：直线//MN平面OCD；（2）求点B到平面OCD的距离．【答案】（1）

证明见解析；（2）2217【解析】【分析】（1）取OB中点E,连接ME,NE，证明平面MNE平面OCD，即可得到//MN平面OCD;（2）利用等体积法BOCDOBCDVV−−=即可得求点B到平面OCD的距离.【小问1详解】如图，(1)证明:取OB中点E,连接ME,NE，,,MEABABCDMECD

，ME平面OCD，CD平面OCD，所以ME平面OCD同理NEOC，NE平面OCD，OC平面OCD，所以NE平面OCDNEMEE=,,NEME平面MNE,平面MNE平面OCD，而MN平面MNE，//MN平面OCD；【小

问2详解】由题意得，BOCDOBCDVV−−=；222,22ACOCOD===，CD边上的高等于7,7OCDS=,3BCDS=，1173233h=，2217h=.故点B到平面OCD的距离为

221719.已知动圆C与圆1C：22650xyx+++=外切，与圆2C：226910xyx+−−=内切.（1）求动圆圆心C的轨迹方程；（2）若点P为动圆圆心C的轨迹上任意一点，过点P做x轴垂线PQ，垂足为Q，求PQ中点M的轨迹方程.【答案】（1

）2213627xy+=（2）22413627xy+=【解析】【分析】（1）由圆的外切与内切，结合椭圆定义得出点C轨迹是椭圆，然后可求得其方程．（2）设(),Mxy，则(),2Pxy，将点的P坐标代入（1）中椭圆方程可得答案.【

小问1详解】圆1C：22650xyx+++=，即()2234xy++=，所以圆心()13,0C−，半径12r=圆2C：226910xyx+−−=，即()223100xy−+=，所以圆心()23,0C，半径210r

=设动圆C的圆心(),Cxy,半径为R动圆C与圆1C外切，则112CCRrR=+=+.动圆C与圆2C内切，则2210CCrRR=−=−将上面两式相加，可得1212126CCCCCC+==.由椭圆的定

义知，点C的轨迹是以12,CC为焦点的椭圆，设其椭圆方程为22221(0)xyabab+=，则2226,3,27acbac===−=所以动圆圆心C的轨迹方程2213627xy+=【小问2详解】设(),Mxy，则(),0x，(),2Pxy由点P在221362

7xy+=上可得22413627xy+=所以点M的轨迹方程22413627xy+=20.已知点()1,2A−，()1,0C−，点A关于直线10xy−+=的对称点为B.（1）求ABC的外接圆的方程；（2）过点()2,2P作ABC的外接圆的切线，求切线方程.【答案】（1）()2212xy+−=（2）2

x=或24100xy+−=【解析】【分析】（1）利用对称性质，由垂直与平分建立方程组得(1,0)B，结合图形可得ABC为直角三角形，由几何法求出外接圆方程即可；（2）由题意得点P在圆外，根据切线斜率是否存在分类讨论，结合相切的几何性质求解切线方程.【

小问1详解】点()1,2A−关于直线10xy−+=的对称点为B，设点00(,)Bxy，则0000211121022yxxy−=−+−+−+=，解得0010xy==，即(1,0)B，又(1,0)C−，

所以ACBC⊥，所以ABC的外接圆是以线段AB为直径的圆，因为22AB=，则圆的半径为2，又AB的中点为(0,1)，即为圆心，设为M，所以ABC的外接圆方程是()2212xy+−=.小问2详解】【由（1）知，圆的方程为()2212xy+−=，已知点()2,2P，因为()222(21)32+−=

，则点P在圆外，则过点P作圆的切线有两条.当切线斜率存在时，设切线方程为()22ykx−=−，即220kxyk−+−=，由题意得，圆心(0,1)M到直线的距离212221kdk−+−==+，解得24k=−，所以切线方程为2

4100xy+−=.当切线斜率不存在时，切线方程为2x=.综上，切线方程为2x=或24100xy+−=.21.已知12,FF是椭圆2222:1(0)xyCabab+=的两个焦点，122FF=，25(2,)5M为C上一点.（1）求椭圆C的标准方程；（

2）若P为C上一点，且12PFPF⊥，求12FPF△的面积.【答案】（1）22154xy+=（2）4【解析】【分析】（1）根据题意，得到1c=，求得1755MF=，2355MF=，根据椭圆的定义，求得5a=，进而求得1b=，即

可求解；（2）根据题意，得到2221212FFPFPF=+和1225PFPF+=，求得128PFPF=，结合面积公式，即可求解.【小问1详解】解：设椭圆C的焦距为2c，因为122FF=，可得1c=，所以12(1,0),(1,0)FF−，则1475

955MF=+=，2435155MF=+=，由椭圆的定义可得12753555522MFMFa++===，所以512b=−=，故椭圆C的标准方程为22154xy+=.【小问2详解】解：由12PFPF⊥，可得2221212FFPFPF=+，又由椭圆的定义，可得12225PFPFa+==，平方得2212

12220PFPFPFPF++=，即2122220PFPF+=，解得128PFPF=，所以12FPF△的面积12142SPFPF==.22.如图，在四棱柱1111ABCDABCD−中，3ABBCCA===，1ADCD==，平面11AACC⊥平面ABCD，1AAAB⊥.（1）求

证：1AA⊥平面ABCD；（2）若E为线段BC的中点，直线1AE与平面ABCD所成角为45°，求平面1AAE与平面11AEC的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）155.【解析】【分析】（1）由平面11AACC⊥平面AB

CD，证明BD⊥平面11AACC，得1AABD⊥，又1AAAB⊥，可证明1AA⊥平面ABCD.（2）以A为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解面面夹角的余弦值.【小问1详解】连接BD，设ACBDF=，由BABC=，DADC=，得BD是线段AC的

垂直平分线，即有BDAC⊥，平面11AACC⊥平面ABCD，平面11AACC平面ABCDAC=，BD平面ABCD，于是BD⊥平面11AACC，而1AA平面11AACC，则1AABD⊥，又1AAAB⊥，,A

BBD平面ABCD，ABBDB=，所以1AA⊥平面ABCD.【小问2详解】由3ABBCCA===，得60BAC=，又1ADCD==，3AC=，1322AFAC==，则30DAC=，于是90DAB=，又1AAAB⊥，1AAAD⊥，

则以1,,ABADAA为正交基底，建立空间直角坐标系Axyz−，在ABC中，E为BC中点，即有3322AEAB==，由1AA⊥平面ABCD，得1AEA为1AE与平面ABCD所成角，即145AEA=，有132AAAE==，则130,0,2A，333(,,0)

44E，1333(,,)222C，(3,0,0)B，33(,,0)22C，由1AA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，得1BCAA⊥，又BCAE⊥，1,AEAA平面1AAE，1AEAAA=，则BC⊥平面1AAE，于是平面1AAE的一个法向量

为33(,,0)22mBC==−，设平面11AEC的一个法向量为(),,nxyz=r，13333(,,)442AE=−，1133(,,0)22AC=，则1113333044233022nAExyznACxy=+−==+=，取

1y=−，得(3,1,1)n=−，设平面1AAE与平面11AEC的夹角为，则2222233|3(1)|||1522cos5||||33()()(3)(1)122mnmn−+−===−++−+，所以平面1AA

E与平面11AEC的夹角余弦值为155.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com