【文档说明】江西省南昌市八一中学2020届高三第三次模拟考试数学（理）试题【精准解析】.doc，共(27)页，2.628 MB，由小赞的店铺上传

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2020届南昌市八一中学高三理科数学第三次模拟考试卷一、选择题（共12小题）1.已知集合23Axx=−，集合B满足ABA=，则B可能为（）A.13xx−B.23xx−C.32xx−D.33xx−【答案

】D【解析】【分析】根据ABA=得到AB，依次判断每个选项得到答案.【详解】ABA=，则AB，33Axx−，其他选项不满足.故选：D.【点睛】本题考查了集合的包含关系，属于简单题.2.已知复数z满足(12)|34|zii+=−（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点位于

()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算，求出复数z，即得.【详解】由(12)|34|5zii+=−=，得55(12)5(12)1212(12)(12)5iiziiii−−====

−++−，在复平面内复数z对应的点的坐标为()1,2−，位于第四象限，故选：D.【点睛】本题考查复数的运算和复数的几何意义，属于基础题.3.已知角(02)终边上一点的坐标为77sin,cos66，则=（）A.56B.7

6C.43D.53π【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的定义求tan，结合角的范围写出角即可.【详解】由诱导公式知，71sinsinsin6662=+=−=−，73coscoscos6662=+=−=−，所以角(02)

终边上一点的坐标为13,22−−，故角的终边在第三象限，所以tan3=，由02知，43=.故选：C.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，特殊角的三角函数，属于容易题.4.若数列na为等比数列，则“2a，

4a是方程2640xx−+=的两根”是“32a=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的性质进行判

断即可.【详解】解：设等比数列na的公比为q，因为2a，4a是方程2640xx−+=的两根，所以246aa+=，244aa=，得234a=，所以32a=，即充分性成立；反之，当2342aaa===时，246aa+=不成立，

可得2a，4a不是方程2640xx−+=的两根，即必要性不成立，所以“2a，4a是方程2640xx−+=的两根”是“32a=”的充分不必要条件，故选：A【点睛】此题考查充分条件和必要条件的判断，考查等比数列的性质，考查运算能力，属于基础题.5.图1为某省2019年1至4月快递业

务量统计图，图2是该省2019年1至4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是（“同比”指与去年同月相比）()A.2019年1至4月的快递业务收入在3月最高，2月最低，差值超过20000万元B.2019年1至4月的快递业务收入同比增长率不低于30%，在3月最高C.从1至4

月来看，该省在2019年快递业务量同比增长率逐月增长D.从两图来看2019年1至4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率不完全一致【答案】C【解析】【分析】根据统计图，可知增长率不稳定，即得答案.【详解】由统计图易知，从1至4月来看，该省在2019年快递

业务量同比增长率先降低，再增加，故C错.故选：C.【点睛】本题考查统计图，属于基础题.6.若a，b为正实数，直线()42320xay+−+=与直线210bxy+−=互相垂直，则ab的最大值为（）A.32B.916C.94D.324【答案】B【解析】【分析】先由两直线垂直得42(23)0ba+−

=，化简得32ab+=，然后利用基本不等式可求出ab的最大值.【详解】解：因为直线()42320xay+−+=与直线210bxy+−=互相垂直，所以42(23)0ba+−=，化简得32ab+=，因为a，b为正实数，所以32ab=+≥

2ab，即ab≤916，当且仅当34ab==时取等号，所以ab的最大值为916，故选：B【点睛】此题考查两直线垂直的性质，利用基本不等式求最值，属于基础题.7.2019年11月26日，联合国教科文组织宣布3月14日为“国际数学日”（昵称：day）

，2020年3月14日是第一个“国际数学日”．圆周率是圆的周长与直径的比值，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数．有许多奇妙性质，如莱布尼兹恒等式111113574−+−+=，即为正奇数倒数正负交错相加等．

小红设计了如图所示的程序框图，要求输出的T值与非常近似，则①、②中分别填入的可以是（）A.()111iSi−=−，2ii=+B.()11121iSi−=−−，1ii=+C.()111iSSi−=+−，2ii=+D.()11121

iSSi−=+−−，1ii=+【答案】D【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量4TS=的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】解：由题可知，1

11113574−+−+=，输出的T值与非常近似，则输出的11144(1)357TS==−+−+当1010i=时，不符合题意，当1011i=时，符合题意，输出对应的T值，则1111144211221231241210111TS==−+−++

−−−−−即111144(1)3572021TS==−+−++，可知，循环变量i的初值为1，终值为1011，i的步长值为1，循环共执行1011次，可得②中填入的可以是1ii=+，又S的值为正奇数倒数正负交错相加，可得①中填入的可以是11(1)21iSSi−=+

−−.故选：D．【点睛】本题考查由循环程序框图的输出值选择条件，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8.已知函数sin(0)yaxba=+的图象如图所示，则函数log()ayxb=−的图象可能（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数sin(0)yaxb

a=+的图象求出a、b的范围，从而得到函数log()ayxb=−的单调性及图象特征，从而得出结论．【详解】由函数sin(0)yaxba=+的图象可得201,23ba，213a，故函数log()ayxb=−是定义域内的减函数，且过定点(1,0)b+.结合所给的图

像可知只有C选项符合题意.故选：C.【点睛】本题主要考查由函数sin()yAx=+的部分图象求函数的解析式，对数函数的单调性以及图象特征，属于基础题．9.中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地.中国茶的发现和利

用已有四千七百多年的历史，且长盛不衰，传遍全球.为了弘扬中国茶文化，某酒店推出特色茶食品“金萱排骨茶”，为了解每壶“金萱排骨茶”中所放茶叶量x克与食客的满意率y的关系，通过试验调查研究，发现可选择函数模型ebxcya+=

来拟合y与x的关系，根据以下数据：茶叶量x克12345()ln100y4.344.364.444.454.51可求得y关于x的回归方程为（）A.0.0434.2911e100xy+=B.0.0434.2911e100xy−=C.0.0434.

291exy+=D.0.0434.291exy−=【答案】A【解析】【分析】根据所给四个选项，分别取对数化简变形，由线性回归方程经过样本中心点，将表中数据求得,ln100xy代入即可检验.【详解】由表中数据可知12345

35x++++==，4.344.364.444.454.51ln1004.425y++++==，对于A，0.0434.2911e100xy+=化简变形可得0.0434.291100exy+=，同取对数可知ln1000.0434.291yx=+，将3x=代入可得ln1000.

04334.2914.42y=+=，而ln1004.42y=，因而A正确；对于B，0.0434.2911e100xy−=化简变形可得0.0434.291100exy−=，同取对数可知ln1000.0434.291yx=−，将

3x=代入可得ln1000.04334.2914.162y=−=−，而ln1004.42y=，所以B错误；对于C，0.0434.291exy+=，两边同取对数可知ln0.0434.291yx=+，而表中所给为ln100y的相关量，所以C错误；对于D，0.0434

.291exy−=，两边同取对数可知ln0.0434.291yx=−，而表中所给为ln100y的相关量，所以D错误；综上可知，正确的为A，故选：A.【点睛】本题考查了线性回归方程的性质及简单应用，注意利用回归方

程经过样本中心点的性质，可代入回归方程检验，属于基础题.10.已知抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点为F，点()00,222pMxx是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线2px=交于E，G两点，若13sinMFG=，则抛物线C的方程是（）A.2yx=B.22

yx=C.24yx=D.28yx=【答案】C【解析】【分析】作MDEG⊥，垂足为点D．利用点()0,22Mx在抛物线上、1||sin=3||DMMFGMF=，结合抛物线的定义列方程求解即可.【详解】

作MDEG⊥，垂足为点D．由题意得点()00,222pMxx在抛物线上，则082px=得04px=．①由抛物线的性质，可知，0||2pDMx=−，因为1sin3MFG=，所以011||||332pDM

MFx==+．所以001232ppxx−=+，解得：0xp=．②．由①②，解得：02xp==−（舍去）或02xp==．故抛物线C的方程是24yx=．故选C．【点睛】本题考查抛物线的定义与几何性质，属于中档题.11.如图

所示，三棱锥S一ABC中，△ABC与△SBC都是边长为1的正三角形，二面角A﹣BC﹣S的大小为23，若S，A，B，C四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A.73πB.133πC.43πD.3π【答案】A【解析】【分析】取线段BC的中点D，连

结AD，SD，由题意得AD⊥BC，SD⊥BC，∠ADS是二面角A﹣BC﹣S的平面角，∠ADS23=，由题意得BC⊥平面ADS，分别取AD，SD的三等分点E，F，在平面ADS内，过点E，F分别作直线垂直于AD，SD，两条直线的交点即球心

O，连结OA，则球O半径R＝|OA|，由此能求出球O的表面积．【详解】解：取线段BC的中点D，连结AD，SD，由题意得AD⊥BC，SD⊥BC，∴∠ADS是二面角A﹣BC﹣S的平面角，∴∠ADS23=

，由题意得BC⊥平面ADS，分别取AD，SD的三等分点E，F，在平面ADS内，过点E，F分别作直线垂直于AD，SD，两条直线的交点即球心O，连结OA，则球O半径R＝|OA|，由题意知BD12=，AD32=，DE1336AD==，AE2333AD==，连结OD，在Rt△OD

E中，3ODE=，OE3=DE12=，∴OA2＝OE2+AE2712=，∴球O的表面积为S＝4πR273=．故选：A．【点睛】本题考查了几何体的外接球、球的表面积公式，解题的关键是作出外接球的球心，需熟记公式，考查了考生

的空间想象能力，属于中档题.12.若函数()2sin?coscosfxxxxax=++在(),−+单调递增，则a的取值范围是()A.-11，B.-13，C.-33，D.-3-1，【答案】A【解析】【分析】()2sin?cosfxxxcosxax=++在(),−+单调递增，

等价于()'0fx恒成立，换元后可得()0gt在1,1−上恒成立，利用二次函数的性质可得结果.【详解】()2sin?cosfxxxcosxax=++，()'2cos2sinfxxax=+−22sinsin3xax=−−+，设sin,11xtt=−

，()()2'23fxgxtat==−−+，()fx在(),−+递增，()0gt在1,1−上恒成立，因为二次函数图象开口向下，()()101110gag−−，a的取值范围是1,1−，故选A.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调

性及利用单调性求参数的范围，属于中档题.利用单调性求参数的范围的常见方法：①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间,ab上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上

也是单调的;②利用导数转化为不等式()'0fx或()'0fx恒成立问题求参数范围，二、填空题：本大题共4小题．13.已知1a→=，2b→=，且2aba→→→−=−，则向量a→与b→的夹角为______．【答案】2π3【解析】【分

析】根据向量夹角公式及向量的数量积运算性质即可求解.【详解】212abaabaab→→→→→→→→−=−=−=−Q,1ab→→=−，11cos,22aababb→→→→→→−===−

，0,ab→→Q，2,3ab→→=，故答案为：2π3【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算性质，向量的夹角公式，属于中档题.14.二项式52xx−的展开式中2x−的系数是_____________.【答案】80−【解析】【分析】

求出展开式的通项公式，令x的指数为2−，即求2x−的系数.【详解】展开式通项()()535215522rrrrrrrTCxCxx−−+=−=−，令5322r−=−，得3r=，2x−的系数

是()335280C−=−.故答案为：80−.【点睛】本题考查二项式定理，属于基础题.15.在棱长为3的正方体1111ABCDABCD−中，点M，N分别是棱11BC，11CD的中点，过A，M，N三点作正方

体的截面，将截面多边形向平面11ADDA作投影，则投影图形的面积为______．【答案】214【解析】【分析】由题可知，可得投影为五边形111AHMDG，利用三角形相似性质得到1223DGDG==，1223BHB

H==，进而求得111223AHAH==，111112AMDM==，则可得1111111AHMDGAHMADGSSS=−−.【详解】解：直线MN分别与直线11AD，11AB交于E，F两点，连接AE，AF，分别与棱1DD，1BB交于G

，H两点，连接GN，MH，得到截面五边形AGNMH，向平面11ADDA作投影，得到五边形111AHMDG，由点M，N分别是棱11BC，11CD的中点，则1145CNMDNE==，所以在1RtEDN△中，1

123DEDN==，由1DEGDAG△∽△，则11DEDGADDG=，即：131232DGDG==，而13DGDG+=，可得122DGDG==，同理122BHBH==，则11122AHAH==，111123AMDM==，则11111111132

12411333222AHMDGAADDAHMADGSSSS=−−=−−=.故答案为：214．【点睛】本题考查正方体截面投影面积的求法，以及利用三角形相似求出线段长，考查数形结合思想，属于中档题．16.已知函数()2122,01()2,10xxxmxfxx

mx++=−−−若在区间[1,1]−上方程()1fx=只有一个解，则实数m的取值范围为______．【答案】1|12mm−−或1}m=【解析】【分析】令11,01()221,10xxxgxx+=−−，则方程()1fx=

等价于()2gxxm=+有且只有一个实数根，在同一平面直角坐标系中画出函数()gx的图像和()2hxxm=+的图像，动态平移()hx的图像可得实数m的取值范围.【详解】当01x时，由()1fx=，得()221xxm+=，即212xxm

=+；当10x−时，由()1fx=，得1221xxm+−−=，即1221xxm+−=+.令函数11,01()221,10xxxgxx+=−−，则问题转化为函数11,01()221,10xxx

gxx+=−−与函数()hx=2xm+的图像在区间[1,1]−上有且仅有一个交点.在同一平面直角坐标系中画出函数11,01()221,10xxxgxx+=

−−与2yxm=+在区间函数[1,1]−上的大致图象如下图所示：结合图象可知：当(0)1h=，即1m=时，两个函数的图象只有一个交点；当(1)(1),11(1)(1)2hgmhg−−−−时，两个函数的图象也只有一个交点，故所求实数m的取值

范围是1|112mmm−−=或.【点睛】已知方程的解的个数求参数的取值范围时，要根据方程的特点去判断零点的分布情况（特别是对于分段函数对应的方程），也可以参变分离，把方程的解的问题归结为不同函数的交点的个数问题．三、解答题：本大题共5小题．解答应写出文字说明，证明

过程或演算步骤．17.已知nS是公差不为零的等差数列na的前n项和，336,Sa=是1a与9a的等比中项.（1）求数列na的通项公式；（2）设数列()*24(1)41nnnabnNn=−−，数列nb的前2n项和为2

nP，若2112020nP+，求正整数n的最小值.【答案】（1）*,Nnann=；（2）505.【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为,0dd.由题意，列方程组求1,ad，即求通项公式；（2）求得2411(1)(1)212141nnnnbnn

n=−=−+−+−，由裂项相消法求2nP，解不等式可得n的最小值.【详解】（1）公差d不为零的等差数列{}na，由3a是1a与9a的等比中项，可得2193aaa=，即()()211182aadad+=+，解得1ad=.又31336Sad=+=，可得11

ad==，所以数列na是以1为首项和公差的等差数列，所以*,Nnann=.（2）由（1）可知()()241111412121nnnnbnnn=−=−+−−+，211111111113355743414141nPnnnn=−−++−−+−−++−−−+1141n=−++，

211201914120204nPnn+=+，所以n的最小值为505.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查裂项法求和，属于中档题.18.如图，已知三棱柱111ABCABC−的所有棱长均为2，1π3BBA=．（Ⅰ）证明：1

1BCAC⊥；（Ⅱ）若平面11ABBA⊥平面ABC，M为11AC的中点，求1BC与平面1ABM所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）22613【解析】【分析】（Ⅰ）根据等边三角形可知1BDAB⊥，CDAB⊥，可得AB⊥平面

1BCD，进而可求1BC⊥平面1ABC，即可求证11BCAC⊥；（Ⅱ）以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，1DB为z轴建立空间直角坐标系，利用线面角的向量公式计算即可.【详解】证明：（Ⅰ）取AB中点D，连接1BD，CD，1BC．如图，∵三棱柱的所有棱长均为2，1π3BBA=，∴ABC和

1ABB△是边长为2的等边三角形，且11BCBC⊥．∴1BDAB⊥，CDAB⊥．∵1BD，CD平面1BCD，1=BDCDD，∴AB⊥平面1BCD．∵1BC平面1BCD，∴1ABBC⊥．∵AB，1BC平面1ABC，1ABBCB=I，∴1BC⊥平面1ABC，∴11B

CAC⊥．（Ⅱ）∵平面11ABBA⊥平面ABC，且交线为AB，由（Ⅰ）知1BDAB⊥，∴1BD⊥平面ABC．则DB，1DB，DC两两垂直，则以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，1DB为z轴，建立空间直角坐标系．则(

)0,0,0D，()1,0,0A−，()10,0,3B，()0,3,0C，()11,3,3C−，()12,0,3A−∵M为11AC的中点，∴33,,322M−，∴()10,3,3BC→=−，()11,0,3A

B→=，13,,322AM→=−，设平面1ABM的法向量为(),,nxyz=r，则130133022ABnxzAMnxyz=+==−++=，取1z=，得()3,3,1n→=−−．设1BC与平面1ABM所成的角为，则1143226sin13

613BCnBCn→→→→===．∴1BC与平面1ABM所成角的正弦为22613．【点睛】本题主要考查了线线、线面垂直的判定与性质，线面角的向量求法，考查了空间想象力及运算能力，属于中档题.19.阿基米德是古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家，对几何学、力学等学科作出过卓越

贡献.为调查中学生对这一伟大科学家的了解程度，某调查小组随机抽取了某市的100名高中生，请他们列举阿基米德的成就，把能列举阿基米德成就不少于3项的称为“比较了解”，少于三项的称为“不太了解”.他们的调查结果如下：0项1项2项3项4项5项5项以上理科生1

10171414104（人）文科生（人）08106321（1）完成如下22列联表，并判断是否有99%的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关？比较了解不太了解合计理科生文科生合计（2）在抽取的100名高中生中，按

照文理科采用分层抽样的方法抽取10人的样本.（i）求抽取的文科生和理科生的人数；（ii）从10人的样本中随机抽取3人，用X表示这3人中文科生的人数，求X的分布列和数学期望.参考数据：()20PKk0.1000.0500.0100.0010k2.7063.84

16.63510.82822()()()()()nadbckabcdacbd−=++++，nabcd=+++.【答案】(1)见解析；(2)（i）文科生3人，理科生7人（ii）见解析【解析】【分析】（1）写出列联表后可计算2K，根据预测值表可得没有99%的把握认为，

了解阿基米德与选择文理科有关.（2）（i）文科生与理科生的比为310，据此可计算出文科生和理科生的人数.（ii）利用超几何分布可计算X的分布列及其数学期望.【详解】解：（1）依题意填写列联表如下：比较了解不太了解合计理科生422870文科生121830合计5446100计算

222()100(42182812)3.3826.635()()()()30705446nadbcKabcdacbd−−==++++，没有99%的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关.（2

）（i）抽取的文科生人数是30103100=（人），理科生人数是70107100=（人）.（ii）X的可能取值为0,1,2,3，则0337310CC7(0)C24PX===，1237310CC21(1)C40PX===，172133

07(2)40CCPXC===，3037310CC1(3)C120PX===.其分布列为X0123()PX72421407401120所以72171369()01232440401204010EX=+++==.【点睛】本题考查独立性检验、分层抽样及超几何分布，注意在计算

离散型随机变量的概率时，注意利用常见的概率分布列来简化计算（如二项分布、超几何分布等）．20.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=与抛物线2:4Dyx=−有共同的焦点F，且两曲线的公共点到F的距离是它到直线4x=−（点F在此直线右侧）的距离的一半.（1）求椭圆C的方程；（2）设

O为坐标原点，直线l过点F且与椭圆交于AB，两点，以OAOB，为邻边作平行四边形OAMB.是否存在直线l，使点M落在椭圆C或抛物线D上？若存在，求出点M坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143xy+=；（2）不存在直

线l，使点M落在抛物线D上，存在直线l，使点()2,0M−落在椭圆C上，理由见解析.【解析】【分析】(1)由题意1c=，则221ab=+.设点Q是两曲线在第二象限内的交点，求出点Q的坐标，代入椭圆方程得关于,ab的方程，求得,ab的值，即求椭圆方程；（2）当直线AB的斜率存

在且不为0时，设直线AB的方程为()1ykx=+，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，结合OABM为平行四边形，即OMOAOB=+，可得M的坐标，分别代入椭圆与抛物线方程，得到关于k的方程，均无解；当直线斜率不存在时，易知存在点()2,0M−在椭圆C上，即得答案.【详解】（

1）由题意知()1,0F−，因而1c=，即221ab=+，又两曲线在第二象限内的交点(),QQQxy到F的距离是它到直线4x=−的距离的一半，即()421QQxx+=−+，得23Qx=−，则283Qy=，代入到椭圆方程，得2248193ab+=.由2222481931abab+==

+，解得224,3ab==，所求椭圆的方程为22143xy+=.（2）当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为()1ykx=+由22(1)143ykxxy=++=，得()22223484120kxkxk+++−=，设()()()00112

2,,,,,MxyAxyBxy，则221212228412,3434kkxxxxkk−−+==++，由于OABM为平行四边形，得OMOAOB=+，故012012xxxyyy=+=+，又()()11221,1ykxykx=+=+，可得2202220288634,,3434634kxkk

kMkkkyk−=−+++=+.若点M在椭圆C上，则2200143xy+=，代入得()42221612134kkk+=+，无解.若点M在抛物线D上，则200:4Dyx=−，代入得()22222

36323434kkkk=++，无解.当直线斜率不存在时，:1lx=−，此时存在点(2,0)M−在椭圆C上.故不存在直线l，使点M落在抛物线D上，存在直线l，使点()2,0M−落在椭圆C上.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关

系，考查考查学生的运算能力，属于中档题.21.已知函数()(1)ln(1)fxxx=++，2()cos2xgxaxxx=+−.（1）当0x时，总有2()2xfxmx+„，求m的最小值；（2）对于0,1中任意x

恒有()()fxgx，求a的取值范围.【答案】（1）1；（2）[2,)+.【解析】【分析】（1）令2()(1)1(1),02xxmxxnxx=+−++，求(),()xx，分m1和1m，讨论()x的单调性，得到m的最小值；（2）令2()()2xhxgxx=−

+，易知当2a时，()()fxgx恒成立；然后再证明2a时，()()fxgx不恒成立，即得a的取值范围.【详解】（1）令2()(1)1(1),02xxmxxnxx=+−++，则1()ln(1)1,()101xxmxxx

=+−+−=−+，()x在[0,)+上单调递增，且(0)1m=−若m1，则()x在[0,)+上单调递增，()(0)0x=，即m1满足条件；若1,(0)10,()mmx=−存在单调递减区间00,x，又(0)0=，所以存在0x使得(

)00x与已知条件矛盾，所以m1，m的最小值为1.（2）由（1）知2()2xfxx+，如果2()2xxgx+，则必有()()fxgx成立.令2()()(1)cos(1cos)2xhxgxxaxxxxax=−+=−−=−−，则()(1cos)0hxxax

=−−…，即1cos0,1cos,2axaxa−−+.若()0hx，必有()()fxgx恒成立，故当2a时，()()fxgx恒成立，下面证明2a时，()()fxgx不恒成立.令1()()(1)ln(1)fxfxxxxx=−=++−，1(

)ln(1)fxx=+，当0x时，1()ln(1)0fxx=+，1()fx在区间0,1上单调递增故11()(0)0fxf=，即1()()0fxfxx=−，故()xfx.2()()()(1)cos1cos22xxgxfxgxxaxxxxax−−=−+−=−+−

，令()1cos2xtxax=−+−，1()sin02txx=+，所以()tx在0,1上单调递增，又(0)20ta=−，则一定存在区间()0,m（其中01m），当()0,xm时，()0tx，则

()()()0gxfxxtx−，故()()fxgx不恒成立.综上所述：实数a取值范围是[2,)+.【点睛】本题考查利用导数解决不等式恒成立问题，考查学生的逻辑推理能力和计算能力，属于难题.（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.在平

面直角坐标系xoy中，曲线C的方程为2220xxy−+=.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为()3R=.（1）写出曲线C的极坐标方程，并求出直线l与曲线C的交点M，N的极坐标；（2）设P是椭圆2214xy+=上的动点，求PMN面积的最大值.【答案】

（1）2cos=，()0,0M，1,3N；（2）134.【解析】【分析】（1）利用公式即可求得曲线C的极坐标方程；联立直线和曲线C的极坐标方程，即可求得交点坐标；（2）设出点P坐标的参数形式，将问题转化为求三角函数最值的问题即可求得.【详解】

（1）曲线C的极坐标方程：2cos=联立2cos3==，得1,3N，又因为()0,0M都满足两方程，故两曲线的交点为()0,0M，1,3N.（2）易知1MN=，直线:3lyx=.设点()2cos,sin

P，则点P到直线l的距离23cossin2d−=()13sin124PMNSMNd−==（其中tan23=）.PMN△面积的最大值为134.【点睛】本题考查极坐标方程和直角坐标方程之间的相互转化，涉及利用椭圆的参数方程求面积的

最值问题，属综合中档题.23.设函数f（x）＝|x﹣a|+|x+b|，ab＞0.（1）当a＝1，b＝1时，求不等式f（x）＜3的解集；（2）若f（x）的最小值为2，求41ab+的最小值.【答案】（1）{x|3322x−＜＜}（2）9

2【解析】【分析】（1）原不等式等价于|x﹣1|+|x+1|＜3，然后对x分类去绝对值，化为关于x的一元一次不等式求解，取并集得答案；（2）f（x）＝|x﹣a|+|x+b|≥|b+a|，当且仅当（x﹣a）（x+b）≤0时等号成立.可得f（x）的最

小值为|b+a|＝2.结合ab＞0，得|b+a|＝|a|+|b|＝2，则()41411412abababab+=+=++，展开后利用基本不等式求最值.【详解】（1）原不等式等价于|x﹣1|+|x+1|＜3，当x≥1时，可得x﹣1+x+1＜3，解得1≤x32＜；

当﹣1＜x＜1时，可得﹣x+1+x+1＜3，得2＜3成立；当x≤﹣1时，可得﹣x+1﹣x﹣1＜3，解得32−＜x≤﹣1.综上所述，原不等式的解集为{x|3322x−＜＜}；（2）f（x）＝|x﹣a|+|x+b|≥|b+a|，当且仅当（x﹣a）（x+b）≤0时等号

成立.∴f（x）的最小值为|b+a|，即|b+a|＝2.又∵ab＞0，∴|b+a|＝|a|+|b|＝2，∴()41411412abababab+=+=++14149552222babaabab=+++=.当且仅当4baab

=时，等号成立，∴41ab+的最小值为92.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，训练了利用基本不等式求最值，考查数学转化思想方法，是中档题.