【文档说明】江西省南昌市八一中学2020届高三第三次模拟考试数学（文）试题【精准解析】.doc，共(23)页，1.975 MB，由管理员店铺上传

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2020届南昌市八一中学高三文科数学第三次模拟考试卷一､选择题1.已知集合2|1,|31xAxxBx==„，则()RABð=（）A.{|0}xxB.{|01}xx剟C.{|10}xx−„D.{|1}xx−…【答案】D【解析】【分析】先求出

集合A，B，再求集合B的补集，然后求()RABð【详解】{|11},{|0}AxxBxx=−=剟，所以(){|1}RABxx=−…ð.故选：D【点睛】此题考查的是集合的并集、补集运算，属于基础题.2.若复数z与其共轭复数z满足213zzi−=+，则||z=（）A.2B.3

C.2D.5【答案】A【解析】【分析】设zabi=+，则2313zzabii−=−+=+，得到答案.【详解】设zabi=+，则222313zzabiabiabii−=+−+=−+=+，故1a=−，1b=，1zi=−+，2z=.故选：A.【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.3.已

知0.3x=，log3y=，cos3z=，则（）A.zyxB.yzxC.zxyD.xzy【答案】A【解析】【分析】根据函数的相关性质依次判断即可得出结果.【详解】tx=为增函数,0.301x==，log3y=为增函数,0l

oglog31log1==，32cos30z=,即1x,01y，0z,zyx.故选:A.【点睛】本题考查函数性质在比较大小中的应用,属于基础题.4.“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹

样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，己知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是A.165B.185C.10D.325【答案】B【解析】

【分析】边长为3的正方形的面积S正方形＝9，设阴影部分的面积为S阴，由几何概型得8002000SS=阴正方形，由此能估计阴影部分的面积．【详解】解：为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，

则边长为3的正方形的面积S正方形＝9，设阴影部分的面积为S阴，∵该正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分，∴8002000SS=阴正方形，解得S阴8008001892000200

05S===正方形，∴估计阴影部分的面积是185．故选：B．【点睛】本题考查阴影面积的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5.若,xy满足约束条件04xyxy−+，且2zxy=+，则（）A.z的最大值为6B.z的

最大值为8C.z的最小值为6D.z的最小值为8【答案】C【解析】【分析】作出可行域，即可由平移法求出2zxy=+的最值．【详解】作出可行域，如图所示：由图可知，当直线2zxy=+经过点()2,2时，z取得最小值为6，无最大值．故选：C．【点睛】本题主要考查

简单线性规划问题的解法，属于基础题．6.函数()sin4ln||fxxx=的部分图像大致为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由函数的奇偶性及特殊值代入即排除错误选项,得出结果.【详解】()()fxfx−=−，()fx为奇函数,排除选项D,因为sinln|88|20f

=,排除选项A,7372207sinsin=ln||7888ln||f=,排除选项B,故选:C.【点睛】本题考查已知函数解析式判断函数图象问题,考查函数性质,及特殊值代入的排除法,

属于基础题.7.已知,mn是两条不重合的直线，,是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是（）A.若,mnm⊥⊥，则//nB.若//,//,mnmn，则//nC.若,,mnmn⊥⊥⊥，则⊥D.若//,/

/m，则//m或m【答案】A【解析】【分析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.【详解】对于A：若,mnm⊥⊥，则//n或n，故A错误；BCD正确.故选：A.【点睛】本题考查了直线和平面，

平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.8.设nS为等比数列{}na的前n项和，且关于x的方程21320axaxa−+=有两个相等的实根，则93SS=（）A.5B.14C.21D.27【答案】C【解析】因为na为等比数列，所以23211,aaqqaa==，故原方程可以

化为220xqxq−+=.又该方程有两个相等的实数根，故440qq−=，解得0q=（舎）或34q=，又9933116421114SqSq−−===−−，故选C.9.若函数()sin()fxAx=+（其中0A，||)2图象的一个对称中心为(3，

0)，其相邻一条对称轴方程为712x=，该对称轴处所对应的函数值为1−，为了得到()cos2gxx=的图象，则只要将()fx的图象()A.向右平移6个单位长度B.向左平移12个单位长度C.向左平移6个单位长度D.向右平移12个单位长度【答案】B【解析】【分析】由函数的图象的

顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得()fx的解析式，再根据函数()sinyAx=+的图象变换规律，诱导公式，得出结论．【详解】根据已知函数()()sinfxAx=+(其中0A，)2的图象

过点,03，7,112−，可得1A=，1274123=−，解得：2=．再根据五点法作图可得23+=，可得：3=，可得函数解析式为：()sin2.3fxx=+故把()sin23fxx=+的图象向左平移12个单位长度，可

得sin2cos236yxx=++=的图象，故选B．【点睛】本题主要考查由函数()sinyAx=+的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，函数()sinyAx=+的图象变换规律，诱导公

式的应用，属于中档题．10.设nS是na的前n项和，12a=，且1113nnnaSS++=−，则1222111SSS+++=()A.-66B.77C.88D.99【答案】C【解析】【分析】由nS与na的关系可得1nS是以12为首项，13为公差的等差数列，再由等差数

列前n项和公式求解即可.【详解】解：因为1113nnnaSS++=−，所以1113nnnnSSSS++−=−，所以11113nnSS+−=.又1112S=，所以1nS是以12为首项，13为公差的等差数列，所以122

21111222112288223SSS+++=+=.故选：C.【点睛】本题考查了nS与na的关系，重点考查了等差数列前n项和公式，属基础题.11.已知双曲线()22221xyabab−=＞＞0的左、右焦点分别为F1、F2，过点

F1作圆x2+y2＝a2的切线交双曲线右支于点M，若tan∠F1MF2＝2，又e为双曲线的离心率，则e2的值为（）A.522+B.532+C.552+D.562+【答案】C【解析】【分析】运用双曲线的

定义可得|MF1|﹣|MF2|＝2a，设|MF2|＝t，则|MF1|＝2a+t，sin∠MF1F21ONaOFc==，然后在三角形MF1F2中由正、余弦定理列方程可解得离心率的平方.【详解】如图：|MF1|﹣|MF2|＝2a，设|MF2|＝

t，则|MF1|＝2a+t，∵sin∠MF1F21ONaOFc==，若tan∠F1MF2＝2，则sin∠F1MF225=，cos∠F1MF215=，在△MF1F2中，由正弦定理得2121212MFFFsinMFFsinFMF=，即225tcac=，∴t5=a

，∴|MF2|5=a，|MF1|＝（5+2）a，由余弦定理得4c2＝5a2+（9+45）a2﹣25a×（25+）a15，4c2＝（10+25）a2，∴c2═552+a2，∴e222552ca+==.故选：C.【点睛】本

题考查双曲线的定义和性质，主要是双曲线的离心率的求法，考查圆的性质的运用，属于中档题.12.已知函数2(1)1,2()1(2),22xxfxfxx−−+=−，若函数()()Fxfxmx=−有4个零点，则实数m的取值范围是()A.5

16,26−B.56,3222−−C.1,32220−D.11,206【答案】B【解析】【分析】根据函数零点定义可知()fxmx=有四个不同交点，画出函数图像可先求得斜率的大致范围.根据函数在24x和46x的解析式，

可求得ymx=与两段函数相切时的斜率，即可求得m的取值范围.【详解】函数2(1)1,2()1(2),22xxfxfxx−−+=−，函数()()Fxfxmx=−有4个零点，即()fxmx=有四个不同交点.画出函数()fx图像如下图所示：由图可知，当24x时，设

对应二次函数顶点为A，则13,2A，11236OAk==，当46x时，设对应二次函数的顶点为B，则15,4B，114520OBk==.所以11206m.当直线ymx=与24x时的函数图像相切时与函数()fx图像有三个交点，此时()211322ymxyx

==−−+，化简可得()22680xmx+−+=.()226480m=−−=，解得322,m=−322m=+（舍）；当直线ymx=与46x时的函数图像相切时与函数()fx图像有五个交点，此时()211544ymxyx=

=−−+，化简可得()2410240xmx+−+=.()24104240m=−−=，解得56,2m=−562m=+（舍）；故当()fxmx=有四个不同交点时56,3222m−−.故选：B.【点睛】本题考查了分段

函数解析式的求法，函数零点与函数交点的关系，直线与二次函数相切时的切线斜率求法，属于难题.二､填空题13.曲线22lnyxxx=−−在点()1,1−处的切线的斜率为_____.【答案】1−【解析】【分析】先求出函数的导数,然后求出切点处的导数值即可.【详解】由已知得1'22

yxx=−−,所以k＝y′|x＝1＝﹣1.故答案为：﹣1.【点睛】本题考查导数的几何意义、导数的计算.属于基础题.14.若向量(21,)mkk=−与向量(4,1)n=共线，则mn=_____．【答案】172-【解析】【分析】先由向量共线求出k，

然后计算mn.【详解】解：因为mn，所以214kk−=，解得12k=−所以()174219k42mnkk=−+=−=−故答案为172−.【点睛】本题考查了平面向量平行的坐标表示，与向量数量积的坐标运算，属于基础题.15.已知点

()0,2M，过抛物线24yx=的焦点F的直线AB交抛物线于A，B两点，若0AMFM=，则点B的横坐标为_____.【答案】14【解析】【分析】设直线AB：1xmy=+，由直线AB的方程与抛物线方程联

立，利用韦达定理求得A、B坐标之间的关系，再结合0AMFM=，求出点B的横坐标.【详解】由题意，抛物线24yx=的焦点()1,0F，设直线AB：1xmy=+，()11,Axy，()22,Bxy，由214xmyyx=+=，联立得2440ym

y−−=，由韦达定理得，124yym+=①，124yy=−②.∵0AMFM=，()1,0F，()0,2M，∴()11,2AMxy=−−，()1,2FM=−，∴()11022AxMFMy==+−，又111xmy=+，∴()1250my−+

=③.由①②③联立解得：34m=，14y=，21y=−，∴()223111144xmy=+=−+=.故答案为：14【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系及向量的坐标运算，属于基础题.16.已知正四

棱柱1111ABCDABCD−的每个顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为12，则该四棱柱的侧面积的最大值为________.【答案】122【解析】【分析】设球O的半径为R，可得3R=，设正四棱柱的底面边长a，高为h，222223aa

hR++==，利用基本不等式可得该正四棱柱侧面积的最大值.【详解】设球O的半径为R，则2412R=，解得3R=，设正四棱柱的底面边长a，高为h，则正四棱柱的体对角线为球O的直径，则有222223aahR++==，即22212ah+=，由基本不等式可得22222122

2ahah+=，所以32ah，当且仅当222ah=，即26ha==时，等号成立.故该正四棱柱的侧面积为4ah，其最大值为324122=.故答案为：122.【点睛】本题考查球体表面积的计算,同时也

考查了正四棱柱外接球问题以及正四棱柱侧面积最值的计算,涉及了利用基本不等式求最值,解题的关键就是要根据题意得出定值条件,考查计算能力，属于中等题三.解答题17.在锐角△ABC中，23a=，(2)coscosbcAaC−=，（1）求角A；（2）求△A

BC的周长l的范围.【答案】（1）3.（2）(623,63]+【解析】【分析】（1）根据正弦定理边化角以及两角和的正弦公式，可得1cos2A=，可得3A=；（2）利用正弦定理将l表示为B的函数，根据锐角三角形得B的范围，再根据正弦函数的

图象可得结果.【详解】（1）∵(2)coscosbcAaC−=，2coscoscosbAaCcA=+，所以2sincossincossincosBAACCA=+，所以2sincossin()BAAC=+，所以

2sincossinBAB=，因为sin0B，所以1cos2A=，0,2A，所以3A=.（2）234sin32aA==，所以4sinsinbcBC==,所以4sinbB=，24sin4sin()3cCB==−，

所以2234sin4sin()3labcBB=++=++−236sin23cosBB=++2343sin()6B=++因为△ABC是锐角三角形，且3A=，所以022032BB−，解

得62B，所以2(,)633B+，所以3sin()(,1]62B+，所以(623,63]l+.【点睛】本题考查了正弦定理、两角和的正弦公式、锐角三角形的概念和正弦函数的图象的应用，属于中档题.18.某中学某社团为研究高三

学生课下钻研数学时间与数学考试中的解答题得分的关系，随机调查了某中学高三某班6名学生每周课下钻研数学时间x(单位：小时)与高三下学期期中考试数学解答题得分y，数据如下表：x24681012y303844485054（1）根据上述数据，求出数学考试中的解答题得分y

与该学生课下钻研数学时间x的线性回归方程，并预测某学生每周课下钻研数学时间为7小时其数学考试中的解答题得分；（2）从这6人中任选2人，求2人中至少有1人课下钻研数学时间不低于8小时的概率.参考公式：ˆˆˆybxa=+，其中()()()1122211ˆnniiiiiinniiiixxyyxyn

xybxxxnx====−−−==−−，ˆˆaybx=−；参考数据：662112008,364,44iiiiixyxy=====【答案】（1）线性回归方程：16ˆ287yx=+，预测值为：44分（2）45【解析】【分析】（

1）先求均值，再代入公式求ˆˆba，，即得线性回归方程；在线性回归方程令7x=，解得预测值；（2）利用枚举法确定总基本事件数以及所求事件包含的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.【详解】（1）2468101276x+++++==()()()661166222116200867441

636464976ˆiiiiiiiiiixxyyxyxybxxxx====−−−−====−−−ˆˆ28aybx=−=16ˆ287yx=+当7x=时，ˆ44y=预测值为：44分（2）设“这2人中至少有一个人刻下钻研数学时间不低于8小时为事件A”所有基本事件如下：(2

，4)，(2，6)，(2，8)，(2，10)，(2，12)，(4，6)，(4，8)，(4，10)，(4，12)，(6，8)，(6，10)，(6，12)，(8，10)，(8，12)，(10，12)共15个基本事件事件A包含(2

，8)，(2，10)，(2，12)，(4，8)，(4，10)，(4，12)，(6，8)，(6，10)(6，12)，(8，10)，(8，12)，(10，12)共12个基本事件所以124()155PA==【点睛】本题考查线性

回归方程、利用线性回归方程估计、古典概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.19.如图，三棱锥PABC−中，底面△ABC是边长为2的正三角形，2PA=，PA⊥底面ABC，点,EF分别为AC，PC的中点.（1）求证：平面BEF⊥平面PAC；（

2）在线段PB上是否存在点G，使得三棱锥BAEG−体积为36？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析.（2）存在，G为PB中点.【解析】【分析】（1）由PA⊥底面ABC推出PABE⊥，结合BEAC⊥可推出BE⊥平面PAC，线面垂直推出面面垂

直；（2）过G作GHAB⊥，由面面垂直的性质证明GH⊥平面ABC，再利用等体积法由36BAEGGABEVV−−==即可求得GH，根据线面垂直的性质及中位线的性质即可求得点G的位置.【详解】（1）因为P

A⊥底面ABC，BE底面ABC，所以PABE⊥，因为△ABC是等边三角形且E为AC的中点，所以BEAC⊥，又PAACA=，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BE⊥平面PAC，因为BE平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAC；（2）过G作GHAB⊥,PA⊥平面ABC，PA平面PAB，平面

PAB⊥平面ABC又平面PAB平面ABC=AB，GH⊥平面ABC,36BAEGGABEVV−−==，1336ABEGHS=V，1332=222ABES=，1GH=，PA⊥平面ABC，GH⊥平面ABC，//PAGH,12GHPA=，G为PB中点.【点睛】本题考查面面垂直的判定及性质

、线面垂直的性质、等体积法求点到平面的距离，属于中档题.20.已知()sin()xfxexaxaR=++.（1）当2a=−时，求证：()fx在()0−，上单调递减；（2）若对任意0x，()1fx恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）2a−

.【解析】【分析】（1）求得导数'()cos2xfxex=+−，结合指数函数与余弦函数的性质，求得'()0fx，即可得到结论.（2）当0x=时，可得命题成立，当0x时，设()cos=++xgxexa，求得'()gx

，求得函数()gx的单调性，得到'()2+fxa，分类讨论，即可求解.【详解】（1）由题意，函数()sin()xfxexaxaR=++，可得'()cosxfxexa=++，由2a=−时，则'()cos2xfxex

=+−，当0x时，1,cos1xex，所以'()cos20xfxex=+−，所以()fx在(),0−上单调递减.（2）当0x=时，()11fx=，对于Ra，命题成立，当0x时，由（1）'()cosxfxexa=++，设()cos=++xgx

exa，则'()sinxgxex=−，因为1,sin1xex，所以'()sin11=0xgxex=−−，()gx在()0,+上单调递增，又(0)2=+ga，所以()2+gxa，所以'()fx在()0,+上单调递

增，且'()2+fxa，①当2a−时，'()0fx，所以()fx在()0,+上单调递增，因为(0)1f=，所以()1fx恒成立；②当2a−时，'(0)20fa=+，因为'()fx在[0,)+上单调递增，又当ln(2)=−xa时，()()()()()'2cosln22cosln20f

xaaaa=−++−+=+−，所以存在0(0,)x+，对于0(0,)xx，'()0fx恒成立.所以()fx在()00,x上单调递减，所以当0(0,)xx时，()(0)1fxf=，不合题意.综上，当2a−时，对于0x，()

1fx恒成立.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数

的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．21.如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅助圆”.过椭圆第四象限内一点M作x轴的垂线交其“辅助圆”于点N，当点N在点M的下方时，称点N为点M

的“下辅助点”.已知椭圆E：()222210xyabab+=＞＞上的点212−，的下辅助点为（1，﹣1）.（1）求椭圆E的方程；（2）若△OMN的面积等于2368−，求下辅助点N的坐标；（3）已知直线l：x﹣my﹣t＝0与椭圆E交于不同的A，B两点，若椭圆

E上存在点P，满足OPOAOB=+，求直线l与坐标轴围成的三角形面积的最小值.【答案】（1）2212xy+=；（2）26,22−或62,22−；（3）24【解析】【分析】（1）直接根据定义先求得a，进

而得到b即可；（2）设点N（x0，y0）（y0＜1），则点M（x0，y1）（y1＜0），根据椭圆方程以及面积可得x0y164=−，将其与220112xy+=联立得到N坐标；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立2212xyxmyt+==+，结合韦达定理得12221222

222mtyymtyym−+=+−=+，因为OPOAOB=+且P在椭圆上可得4t2＝m2+2，表示出三角形面积结合基本不等式即可求其最小值.【详解】解：（1）∵椭圆()222210xyEabab+=：＞＞上的点（1，22−）的下辅助点为（1，﹣1），∴辅助圆的半径为R

221(1)2=+−=，椭圆长半轴为a＝R2=，将点（1，22−）代入椭圆方程22212xyb+=中，解得b＝1，∴椭圆E的方程为2212xy+=；（2）设点N（x0，y0）（y0＜1），则点M（x0，y1）（y1＜0），将两点坐标分别代入辅助圆方程和椭圆方程可得，

x02+y02＝2，220112xy+=，故y02＝2y12，即y02=y1，又S△OMN12=x0（y1﹣y0）2368−=，则x0y164=−，将x0y164=−与220112xy+=联立可解得002262xy==−或0

06222xy==−，∴下辅助点N的坐标为（22，62−）或（62，22−）；（3）由题意可设A（x1，y1），B（x2，y2）.联立2212xyxmyt+==+整理得（m2+2）y2+2mty+t2﹣2＝0，则△＝8（m2+2﹣t2）＞0.根据韦达定

理得12221222222mtyymtyym−+=+−=+，因为OPOAOB=+.所以12222Pmtyyym−=+=+，()1212122422Ptxxxmytmytmyytm=+=+++=++=+因为点P

在椭圆E上，所以()()22222221641222tmtmm+=++，整理得()()22224212mtm+=+，即4t2＝m2+2，在直线l：x﹣my﹣t＝0中，由于直线l与坐标轴围成三角形，则t≠0，m≠0.令x＝0，得tym=−，令y＝0，得x＝t.所以三角形面积为2112

12122228884tmStmmmm+=−==+=,当且仅当m2＝2，t2＝1时，取等号，此时△＝24＞0.所以直线l与坐标轴围成的三角形面积的最小值为24.【点睛】本题以新概念为载体，旨在考查直线与圆，直线与椭圆的位置关系，考查通性通法的运用，计算量

较大，对计算能力的要求较高，属于较难题目.22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos42+=，曲线C的极坐标方程为6cos0−=.（1）写出直

线l和曲线C的直角坐标方程；（2）已知点(1,0)A，若直线l与曲线C交于,PQ两点，,PQ中点为M，求||||||APAQAM的值.【答案】（1）10xy−−=.22(3)9xy−+=.（2）522【解析】【分析】（1）直接利用极坐标和参数方程公式计算得到答案.（2）设直线l的参数方程为21

,222xtyt=+=，代入方程得到125tt=−，1222tt+=，代入计算得到答案.【详解】（1）直线2:cos42l+=，故cossin10−−=，即直线l的直角坐标方程为10xy−−=.因为曲线:

6cos0C−=，则曲线C的直角坐标方程为2260xyx+−=，即22(3)9xy−+=.（2）设直线l的参数方程为21,222xtyt=+=（t为参数），将其代入曲线C的直角坐标系

方程得22250tt−−=.设P，Q对应的参数分别为1t，2t，则125tt=−，1222tt+=，所以M对应的参数12022ttt+==，故120|t||t|||||552=||||22APAQAMt==.【点睛】本题考查了参数

方程和极坐标方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.23.已知函数()|2|fxx=+.（1）求不等式()(2)4fxfxx+−+的解集；（2）若xR，使得()()(2)fxafxfa++…恒成立，求a的取值范围.【答案】(1)22xx−.(2)22,3−−

.【解析】【分析】（1）先由题意得24xxx+++，再分别讨论2x−≤，20x−，0x三种情况，即可得出结果；（2）先由含绝对值不等式的性质，得到()()22fxafxxaxa++=++++，再由题意，可得22aa+，求解，即可得出结果.【详解】（1）不等式()()2

4fxfxx+−+可化为24xxx+++，当2x−≤时，224xx−−+，2x−，所以无解；当20x−时，24x+所以20x−；当0x时，224xx++，2x，所以02x，综上，不等式()()24fxfxx+−+的解集是|22xx−.（2）因

为()()22fxafxxaxa++=++++又xR，使得()()()2fxafxfa++恒成立，则22aa+，()2222aa+，解得223a−−.所以a的取值范围为22,3−−

.【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的思想，以及绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.