【文档说明】2023-2024学年高中数学人教A版2019 选择性必修第一册课后习题 第三章 第三章综合训练 Word版含答案.docx，共(14)页，155.502 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-a13b3db31f4cac43c960c5a7284e0250.html

以下为本文档部分文字说明：

第三章综合训练一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知椭圆M:x2+𝑦24=λ经过点(1,2),则M上一点到两焦点的距离之和为()A.2B.2√2C.4D.4√22.(2021广东东莞期末)已知点P(-2,4)在抛物线

y2=2px(p>0)的准线上,则该抛物线的焦点坐标是()A.(0,2)B.(0,4)C.(2,0)D.(4,0)3.已知双曲线𝑥29−𝑦2𝑚=1的一条渐近线的方程为y=23x,则双曲线的焦距为()A.√13B.10C.2√13D.2√54.设抛物线y2=4x的焦点为F,准

线为l,则以F为圆心,且与l相切的圆的方程为()A.(x-1)2+y2=4B.(x-1)2+y2=16C.(x-2)2+y2=16D.(x+2)2+y2=45.(2021陕西咸阳期末)设P是双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=

1(a>0,b>0)上的点,F1,F2是焦点,双曲线的离心率是43,且∠F1PF2=90°,△F1PF2的面积是7,则a+b=()A.3+√7B.9+√7C.10D.166.已知直线y=k(x+2)(

k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k等于()A.13B.2√23C.23D.√237.我们把由半椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(x≥0)与半椭圆𝑦2𝑏2+𝑥2𝑐2=1(x<0)合成的曲线称作“果圆”(

其中a2=b2+c2,a>b>c>0),如图所示,其中点F0,F1,F2是相应椭圆的焦点.若△F0F1F2是边长为1的等边三角形,则a,b的值分别为()A.√72,1B.√3,1C.5,3D.5,48.已知椭圆C1:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)与双曲线C2:x2-𝑦24=1

有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点.若C1恰好将线段AB三等分,则()A.a2=132B.a2=13C.b2=12D.b2=2二、选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要

求.9.当α∈(π4,3π4)时,方程x2sinα+y2cosα=1表示的轨迹可以是()A.两条直线B.圆C.椭圆D.双曲线10.已知双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-5

,0),F2(5,0),则能使双曲线C的方程为𝑥216−𝑦29=1的是()A.离心率为54B.双曲线过点(5,94)C.渐近线方程为3x±4y=0D.实轴长为411.(2021北京通州期中)在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C的方程为x2-2xy=a(a>0),则下列关于曲线C

的结论正确的是()A.曲线C关于y轴对称B.曲线C关于原点对称C.若点P(m,n)在曲线C上,则mn的取值范围是[-12𝑎,+∞)D.当0<a<2时,曲线C与直线2x-y-a=0没有公共点12.(2021辽宁沈阳期中)某房地产建筑公司在挖掘地基时,出土了一件宋代文物,该文物外面是红色透明蓝田

玉材质,里面是一个球形绿色水晶宝珠,其轴截面(如图)由半椭圆C1:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(x≥0)与半椭圆C2:𝑥2𝑐2+𝑦2𝑑2=1(x<0)组成,其中a2=b2+c2,a>b>c>0,设点F0,F1,F2是相应椭圆的焦点,A1,A2和B1,B2是轴截面与x,y轴的交点,阴影部

分是宝珠轴截面,其以曲线x2+y2=4为边界,F1,F2在宝珠珠面上,△F0F1F2为等边三角形,则以下命题中正确的是()A.椭圆C1的离心率是√217B.椭圆C2的离心率大于椭圆C1的离心率C.椭圆C2的焦点在y轴上D.椭圆C2的长短轴之比大于椭圆C1的长短轴之比

三、填空题.13.抛物线y2=2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,则p=.14.(2021宁夏银川期中)已知椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的离心率为e,F1,F2分别

为椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P使得∠F1PF2是钝角,则满足条件e的范围是.15.如图,过抛物线y2=4x的焦点F作直线,与抛物线及其准线分别交于A,B,C三点,若𝐹𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=3𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗

⃗,则直线AB的方程为,|AB|=.16.数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微”,事实上,有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.如:与√(𝑥-𝑎)2+(𝑦-𝑏)2相关的代数问题可以考虑转化为点A(x,y)与点B(

a,b)之间距离的几何问题.结合上述观点,可得方程:|√𝑥2+8𝑥+20−√𝑥2-8𝑥+20|=4的解为.四、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设A,B分别是双曲线𝑥225−𝑦220=1两条渐近线上的动点,且|𝐴𝐵⃗⃗⃗

⃗⃗|=2√5,设O为坐标原点,动点P满足𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,求动点P的轨迹方程.18.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>

b>0)的焦距为2√3,且过点P(√3,12).(1)求椭圆C的方程;(2)斜率大于0且过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M,N两点,若𝑀𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3𝐹2𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,求直线l的方程.19.

(2021四川雅安期末)已知F1,F2分别是双曲线E:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P是双曲线上一点,F2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍,(1)求双曲线的渐近线方程;(2)当∠F1PF2=60°时,△PF1F2的面积

为48√3,求此双曲线的方程.20.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A点在抛物线上,且A的横坐标为4,|AF|=5.(1)求抛物线的方程;(2)设l为过(4,0)点的任意一条直线,若l交抛物线于A,B两点,求证:以AB为直径的圆必过坐标原点.21.从椭圆�

�2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)上一点M向x轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点F1,且它的长轴的一个端点A与短轴的一个端点B的连线AB平行于OM.(1)求椭圆的离心率;(2)设Q是椭圆上任一点,F2是椭圆的右焦点,求∠F1QF2的取值范围.22.给定椭圆C:𝑥2𝑎

2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0),称圆心在原点O,半径为√𝑎2+𝑏2的圆是椭圆C的“卫星圆”.若椭圆C的离心率为√22,点(2,√2)在C上.(1)求椭圆C的方程和其“卫星圆”方程;(2)点P是椭圆C的

“卫星圆”上的一个动点,过点P作直线l1,l2,使得l1⊥l2,与椭圆C都只有一个交点,且l1,l2分别交其“卫星圆”于点M,N,证明:弦长|MN|为定值.第三章综合训练1.D由椭圆M:x2+𝑦24=λ经过点(1,2)可得λ=2,即椭圆方程为𝑥22+�

�28=1,则a=2√2,由椭圆的定义可知M上一点到两焦点的距离之和为2a=4√2.2.C因为点P(-2,4)在抛物线y2=2px的准线上,所以-𝑝2=-2,所以p=4,则该抛物线的焦点坐标是(2,0).故选C.3.C由题意得√𝑚3=23,∴m

=4,则双曲线的焦距为2√9+𝑚=2√13.4.A根据题意,抛物线y2=4x,其焦点在x轴正半轴上且p=2,则其焦点F(1,0),准线方程为x=-1,以F为圆心,且与l相切的圆的半径r=2,则该圆的方程为(x-1)2+y2=4.

故选A.5.A由题意,不妨设点P是右支上的一点,|PF1|=m,|PF2|=n,则{12𝑚𝑛=7,𝑚-𝑛=2𝑎,𝑚2+𝑛2=4𝑐2,𝑐𝑎=43,∴a=3,c=4.∴b=√𝑐2-𝑎2=√7.∴a+b=3+√7.故选A.6.B设A(x1,y1),

B(x2,y2),易知x1>0,x2>0,y1>0,y2>0.由{𝑦=𝑘(𝑥+2),𝑦2=8𝑥,得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,所以x1x2=4.①根据抛物线的定义得,|FA|=x1+𝑝2=x1+2,|FB|=x2+2.因为|FA|=2|FB|,所以x1=2x2

+2,②由①②得x2=1(x2=-2舍去),所以B(1,2√2),代入y=k(x+2)得k=2√23.7.A|OF2|=√𝑏2-𝑐2=12,|OF0|=c=√3|OF2|=√32,∴b=1,∴a2=b2+c2=74,得a=√72,即a=√72,b=1.8.C由题意,知a2=

b2+5,因此椭圆方程为(a2-5)x2+a2y2+5a2-a4=0,双曲线的一条渐近线方程为y=2x,联立方程消去y,得(5a2-5)x2+5a2-a4=0,所以直线截椭圆的弦长d=√5×2√𝑎4-5

𝑎25𝑎2-5=23a,解得a2=112,b2=12.9.ACD当α∈(π4,3π4)时,sinα∈(√22,1],cosα∈(-√22,√22),可得方程x2sinα+y2cosα=1表示的曲线可以是椭圆(sinα>0,cosα>0),也可以是双曲线(sinα>0,cosα<0),也可以是两

条直线(sinα=1,cosα=0).故选ACD.10.ABC双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),可得c=5,如果离心率为54,可得a=4,则b=3

,所以双曲线C的方程为𝑥216−𝑦29=1,A正确;c=5,如果双曲线过点(5,94),可得{25=𝑎2+𝑏2,25𝑎2-8116𝑏2=1,解得a=4,b=3,所以双曲线C的方程为𝑥216−𝑦29=1,所以B正确;c=5,如果渐近线方程为3x±4y=0,可

得𝑏𝑎=34,a2+b2=25,解得a=4,b=3,所以双曲线C的方程为𝑥216−𝑦29=1,所以C正确;c=5,如果实轴长为4,可得a=2,b=√21,双曲线C的方程为𝑥24−𝑦221=1,所以D

不正确.故选ABC.11.BD对于A,点(x,y)关于y轴的对称点为(-x,y),将(-x,y)代入x2-2xy=a,可得x2+2xy=a,故选项A错误;对于B,点(x,y)关于原点的对称点为(-x,-y),将(-x,-y)代入x2-2xy=

a,可得x2-2xy=a,故选项B正确;对于C,若点P(m,n)在曲线C上,则m2-2mn=a,若m=0,则a=0不成立,所以m≠0,故n=𝑚2−𝑎2𝑚,则mn=m(𝑚2-𝑎2𝑚)=𝑚22−𝑎2>

-𝑎2,故选项C错误;对于D,联立方程组{𝑥2-2𝑥𝑦=𝑎,2𝑥-𝑦-𝑎=0,可得3x2-2ax+a=0,当0<a<2时,Δ=(-2a)2-12a=4(𝑎-32)2-9∈(-9,0),则直线与曲线没有公共点,故选项D正确.12.AC由a>b>c>0,可得半椭圆

C1的焦点在x轴上,即F0为右焦点,则半椭圆C2的焦点在y轴上,且|d|=b,由宝珠的轴截面以曲线x2+y2=4为边界可知,其形状是一个圆,半径R=2,可得|F1F2|=4,即有d2-c2=4,由△F0F1F2为等边三角形可得|OF0|=2√3,则c=2√

3,即有a2-b2=12,b2-12=4,即b=4,a=2√7,可得椭圆C1的离心率是2√32√7=√217,故A正确;由椭圆C2的离心率为√16-124=12<√217,故B错误;椭圆C2的焦点在y轴上,故C正确;椭圆C2的长、短轴之比为2∶√3,椭圆C1的长、短轴

之比为√7∶2,2√3<√72,故D错误.13.2依题意,设抛物线的焦点为F,点Q的横坐标是x0(x0≥0),则|QF|=x0+𝑝2的最小值是𝑝2=1,则p=2.14.(√22,1)如图,当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时,P对两个焦点的张角∠F1PF2渐渐增大

,当且仅当P点位于短轴端点P0处时,张角∠F1PF2达到最大值,因为椭圆上存在点P使得∠F1PF2是钝角,所以在△P0F1F2中,∠F1P0F2>90°,所以直角三角形P0OF2中,∠OP0F2>45°,所以P0O<OF2,即b<c,所以a2-c2<c2,即a2<2

c2,所以e>√22,又0<e<1,所以√22<e<1.15.y=√3(x-1)163抛物线的焦点坐标为F(1,0),准线方程为x=-1,设C(-1,m),B(a,b),∵𝐹𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=3𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,∴(-2,m)=3(a-1,b)=(3a-3,3b),则3a-3=-2,

m=3b,即a=13,此时b2=4×13,得b=-√43=-2√33,即m=-2√3,则C(-1,-2√3),则AB的斜率k=2√32=√3,则直线AB的方程为y=√3(x-1),代入y2=4x得3x2-10x+3=0,得x1

+x2=103,即|AB|=x1+x2+2=103+2=163.16.±4√33因为|√𝑥2+8𝑥+20−√𝑥2-8𝑥+20|=4,所以|√(𝑥+4)2+(0-2)2−√(𝑥-4)2+(0-2)2|=4,其几何意义为动点P(x,0)到

定点A(-4,2),B(4,2)的距离差的绝对值为4.根据双曲线的定义,可将原方程的解转化为“以A,B为焦点,4为实轴长的双曲线与x轴交点的横坐标”.因为2c=|AB|=8,所以c=4.因为a=2,所以b2=c2-a2=1

2,所以双曲线方程为𝑥24−(𝑦-2)212=1.令y=0,得𝑥24−(0-2)212=1,解得x=±4√33.17.解设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),∵动点P满足𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,∴x=x1+x2,y=y1+y2.∵A,B

分别是双曲线𝑥225−𝑦220=1的两条渐近线上的动点,∴y1=2√55x1,y2=-2√55x2,∴x=x1+x2=√52(y1-y2),y=y1+y2=2√55(x1-x2),∴|AB|=√(√52𝑦)2+(2√5𝑥)2=2√5.化简可得P的轨迹方程为𝑥225+𝑦2

16=1.18.解(1)由题意得c=√3,设左焦点为F1,则F1(-√3,0),F2(√3,0),2a=PF1+PF2=√(√3-√3)2+(12-0)2+√(√3+√3)2+(12-0)2=4,∴a=2,b=√𝑎2-𝑐2=1.故椭圆C的方程为𝑥24+y2=1.(2)设直线l的方程为x=m

y+√3(m>0),代入椭圆方程得(m2+4)y2+2√3my-1=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),Δ=16(m2+1)>0恒成立,由韦达定理可得y1+y2=-2√3𝑚𝑚2+4,①y1y2=-1𝑚2+4,②由𝑀

𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3𝐹2𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗得y1=-3y2,③由①②③可得m=√22(𝑚=-√22舍去).故直线l的方程为y=√2x-√6.19.解(1)因为双曲线的渐近线方程为bx±ay=0,则点F2到渐近线距

离为|𝑏𝑐±0|√𝑏2+𝑎2=b(其中c是双曲线的半焦距),所以由题意知c+a=2b.又因为a2+b2=c2,解得b=43a,故所求双曲线的渐近线方程是4x±3y=0.(2)因为∠F1PF2=60°,由余弦定理得,|PF1|2+|PF

2|2-2|PF1|·|PF2|cos60°=|F1F2|2,即|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|=4c2.①又由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=2a,平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4a2,②由①②式

相减得|PF1|·|PF2|=4c2-4a2=4b2.根据三角形的面积公式得S=12|PF1|·|PF2|sin60°=√34·4b2=√3b2=48√3,得b2=48.再由(1)中结论得a2=916b2=27,故所求双曲线方程是𝑥227−𝑦248=1.20.(1)解抛物线y

2=2px(p>0)的焦点为F(𝑝2,0),准线为x=-𝑝2,由抛物线的定义可得,|AF|=4+𝑝2=5,解得p=2,即抛物线的方程为y2=4x.(2)证明设直线l:x=my+4,A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线

方程y2=4x,可得y2-4my-16=0,判别式为16m2+64>0恒成立,y1+y2=4m,y1y2=-16,x1x2=𝑦124·𝑦224=16,即有x1x2+y1y2=0,则𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,则以AB为直径的圆必过坐标原点.21.解(1)

依题意知点F1坐标为(-c,0),设M点坐标为(-c,y)(y>0).若A点坐标为(-a,0),则B点坐标为(0,-b),则直线AB的斜率k=-𝑏𝑎当A点坐标为(a,0),B点坐标为(0,b)时,同样有k=-𝑏𝑎.则有𝑦-𝑐=-𝑏𝑎,∴y=𝑏𝑐𝑎.①

又∵点M在椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1上,∴𝑐2𝑎2+𝑦2𝑏2=1.②由①②得𝑐2𝑎2=12,∴𝑐𝑎=√22,即椭圆的离心率为√22.(2)①当点Q与椭圆长轴的端点重合时,∠F1QF2=0.②当点Q与椭圆长轴的端点不重合时,设|QF1|=m,|

QF2|=n,∠F1QF2=θ,则m+n=2a,|F1F2|=2c.在△F1QF2中,cosθ=𝑚2+𝑛2-4𝑐22𝑚𝑛=(𝑚+𝑛)2-2𝑚𝑛-2𝑎22𝑚𝑛=𝑎2𝑚𝑛-1≥𝑎2(𝑚+𝑛2)2-1=0.当且仅当m=n时,等号成立,故当点Q与椭圆

长轴的端点不重合时,0≤cosθ≤1,又∵θ∈(0,π),∴θ∈(0,π2].综上,∠F1QF2的取值范围是[0,π2].22.(1)解由条件可得{𝑐𝑎=√22,4𝑎2+2𝑏2=1,解得a=2√2,b=2.所以椭圆的方程为𝑥28+𝑦24=1,“卫星圆”的方

程为x2+y2=12.(2)证明①当l1,l2中有一条无斜率时,不妨设l1无斜率,因为l1与椭圆只有一个公共点,则其方程为x=2√2或x=-2√2,当l1方程为x=2√2时,此时l1与“卫星圆”交于点(2√2,2)和(2√2,-2),此时经过

点(2√2,2),(2√2,-2)且与椭圆只有一个公共点的直线是y=2或y=-2,即l2为y=2或y=-2,所以l1⊥l2,同理,当l1方程为x=-2√2时,结论相同.所以线段MN应为“卫星圆”的直径,所以|MN|=4√3.②当

l1,l2都有斜率时,设点P(x0,y0),其中𝑥02+𝑦02=12,设经过点P(x0,y0)与椭圆只有一个公共点的直线为y=t(x-x0)+y0,联立方程组{𝑦=𝑡𝑥+(𝑦0-𝑡𝑥0),𝑥28+𝑦24=1,消去y,整理得(1+2t2)x2+4t(y0-tx

0)x+2(y0-tx0)2-8=0,所以Δ=(64-8𝑥02)t2+16x0y0t+32-8𝑦02=0,所以t1·t2=32-8𝑦0264-8𝑥02=32-8(12-𝑥02)64-8𝑥02=-1,所以t

1·t2=-1,满足条件的两直线l1,l2垂直.所以线段MN应为“卫星圆”的直径,所以|MN|=4√3.综合①②知:因为l1,l2经过点P(x0,y0),又分别交其“卫星圆”于点M,点N,且l1,l2垂直,