【文档说明】山西省太原市第五中学2020届高三下学期3月摸底数学（文）试题 【精准解析】.doc，共(25)页，1.841 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-a12ee6f0c38800c3f0d1081e6519881f.html

以下为本文档部分文字说明：

太原五中2019-2020学年度第二学期阶段性检测高三数学（文）一、选择题1.已知集合{|ln1}Axx=，{|12}Bxx=−，则AB=（）A.(0,)eB.(1,2)−C.(1,)e−D.(0,2)【答案】D【解析】【分析】解不等式ln1x，化简

集合A，根据交集定义即可求解.【详解】因为{|ln1}Axx={|0}xxe=，所以{|02}ABxx=.故选:D【点睛】本题考查集合间的运算，解对数不等式是解题的关键，属于基础题.2.已知复数23zi=−，则

||z=（）A.1B.2C.3D.2【答案】A【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算计算化简，再计算其模.【详解】解：因为22(3)3312223(3)(3)iiziiii++====+−−+，所以2231||122z=+=

.故选：A【点睛】本题考查复数代数形式的计算以及复数的模，属于基础题.3.已知向量()1,2a=−−，向量()3,4b=−，则向量a在b方向上的投影为（）A.1B.-1C.5D.5−【答案】B【解析】【分析】根

据向量a在b方向上的投影abb=，带入数值即可.【详解】向量a在b方向上的投影22381(3)4abb−===−−+.故选：B【点睛】本题主要考查向量的投影，熟记公式是解决本题的关键，属于简单题.4.若过椭圆22194xy+=内一点()3,1P的弦被该点平分，则该弦所在的直线

方程为（）．A.34130xy+−=B.3450xy−−=C.43150xy+−=D.4390xy−−=【答案】C【解析】【分析】设出A，B坐标，利用点在椭圆上，通过平方差公式，结合中点坐标，求出直线的斜率，然后求解直线方程．【详解】解：设弦的两端点为1(Ax，1)y，2(Bx，2)y，P为A

B中点，A，B在椭圆上，2211194xy+=，2222194xy+=，两式相减得：22221212094xxyy−−+=，126xx+=，122yy+=，可得：121243yyxx−=−−，则43k=−

，且过点(3,1)P，有41(3)3yx-=--，整理得43150xy+−=．故选：C．【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．5.已知函数()31sinfxxxx=+++，若()()2122fafa−+，则实数a的取

值范围是()A.3[1,]2−B.3[,1]2−C.1[1]2−，D.1[,1]2−【答案】C【解析】【分析】构造函数()()1gxfx=−，证明()gx是奇函数，单调递增，再将所求的不等式转化成关于函数()gx相关形式，利用()gx的性质，解出不等式，得到

答案.【详解】因为()31sinfxxxx=+++设()()31singxfxxxx=−=++，定义域xR()()3singxxxxgx−=−−−=−，所以()gx为奇函数，()231cos0gxxx=++，所以()gx单调递增，不等式()

()2122fafa−+()()21121fafa−−−−()()212ggaa−−()()212ggaa−−2a12a−−解得112x−故选C项.【点睛】本题考查构造函数解不等式，函数的性质的应用，属于中档题.6.已知命题p：xR，20x，命题q：,

R，使()tantantan+=+，则下列命题为真命题的是（）A.pqB.()pqC.()pqD.()pq【答案】C【解析】试题分析：因为Rx，20x，所以命题p是假命题，因为当=−时，()t

antantan+=+，所以命题q是真命题，所以pq是假命题，()pq是假命题，()pq是真命题，()pq是假命题，故选C．考点：1、全称命题和特称命题的真假性；2、复合命题的真假性．7.在

荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示.假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是（）A.13B.29C.49D.82

7【答案】A【解析】【详解】若按照顺时针跳的概率为p，则按逆时针方向跳的概率为2p，可得231ppp+==，解得13p=，即按照顺时针跳的概率为13，按逆时针方向跳的概率为23，若青蛙在A叶上，则跳3次之后停在A叶上，则满足3次逆

时针或者3次顺时针.①若先按逆时针开始从AB→，则对应的概率为222833327=；②若先按顺时针开始从AC→，则对应的概率为111133327=，则概率为81127273+=，故选A.8.庄子说：“一尺之锤，日取其半

，万世不竭”，这句话描述的是一个数列问题，现用程序框图描述，如图所示，若输入某个正整数n后，输出的S∈（1516，6364），则输入的n的值为（）A.7B.6C.5D.4【答案】C【解析】【分析】模拟程序的运行，依次写出前几次

循环得到的S，k的值，由题意，说明当算出的值S∈（1516，6364）后进行判断时判断框中的条件满足，即可求出此时的n值．【详解】框图首先给累加变量S赋值0，给循环变量k赋值1，输入n的值后，执行循环体，S12=，k＝1+1＝2；判断2＞n不

成立，执行循环体，S34=，k＝2+1＝3；判断3＞n不成立，执行循环体，S78=，k＝3+1＝4；判断4＞n不成立，执行循环体，S1516=，k＝4+1＝5．判断5＞n不成立，执行循环体，S3132=，k＝4+1＝6．

判断6＞n不成立，执行循环体，S6364=，k＝4+1＝7．…由于输出的S∈（1516，6364），可得：当S3132=，k＝6时，应该满足条件6＞n，即：5≤n＜6，可得输入的正整数n的值为5．故选：C．【点睛】本题考查了程序框图中的循环结构，是直到型循环，即先执行后判断，不满足条件继续执行

循环，直到条件满足跳出循环，算法结束，属于基础题．9.函数ln||cos()sinxxfxxx=+在[,0)(0,]−的图像大致为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性和特殊值可判断.【详解】解：因为ln||cos()()sinxxfxfxxx−=−

=−+，所以()fx为奇函数，关于原点对称，故排除A，又因为()10f=，()02f=，()03f，()0f，故排除B、C,故选：D.【点睛】本题考查函数图象的识别，根据函数的性质以及特殊值法灵活判断，属于基础题.10.如图，在长方体1111

ABCDABCD−中，8AB=，6AD=，异面直线BD与1AC所成角的余弦值为15，则该长方体外接球的表面积为（）A.98B.196C.784D.13723【答案】B【解析】【分析】先做出BD与1AC所成角的角下图中的BOE，设,,CExOEBE=用x表示，然后用余

弦定理求出x，求出长方体的对角线，即长方体的外接球的直径，可求出答案.【详解】连AC与BD交于O点,则O为AC中点，取1CC中点E，连,BEOE，则1//ACOEEOB为异面直线BD与1AC所成角,设,CEx=则236BEx=+，8AB=，6AD=，25,25OB

OCOEx===+在OBE中，由余弦定理得2222362cosBExOBOEOBOEEOB=+=+−222362525225xxx+=++−+，解得26x=1246CCx==，所以长方体的对角线长为3664961

4++=所以长方体的外接球的半径为7，所以长方体外接球的表面积为196.故选:B【点睛】本题考查异面直线所成的角，余弦定理，以及长方体外接球的表面积，做出空间角，解三角形是解题的关键，属于较难题.11.若()()111fxfx+=+，当x∈[0，1]时，f（x）＝x，若在区间（﹣1，1]

内，()()()02mgxfxmxm=−−，＞有两个零点，则实数m的取值范围是（）A.103，B.203，C.103，D.23+，【答案】B【解析】【分析】根据当x∈[0，1]时，f

（x）＝x，当x∈（﹣1，0）时，x+1∈（0，1），得到f（x）111x=−+，故f（x）1110101xxxx−−=+，＜＜，，题目问题转化为函数y＝f（x）与函数y＝m（x12+）在区间（﹣1，1]内有两个交点，在同一坐标系内画出两个函数的图象，根据图象，利用数形结合

法即可求出m的取值范围．【详解】根据题意，()()111fxfx+=+，又当x∈[0，1]时，f（x）＝x，故当x∈（﹣1，0）时，x+1∈（0，1），则f（x）+1()1111fxx==++，所以f（x）111x=−+，故f（x）1110101xxxx−−=+，＜＜，，

因为()()()02mgxfxmxm=−−，＞在区间（﹣1，1]内有两个零点，所以方程f（x）＝m（x12+）在区间（﹣1，1]内有两个根，所以函数y＝f（x）与函数y＝m（x12+）在区间（﹣1，1

]内有两个交点，而函数y＝m（x12+）恒过定点（12−，0），在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图所示：，当y＝m（x12+）过点（1，1）时，斜率m23=，当y＝m（x12+）过点（1，0）时，斜率m＝0，由图象可知，当0＜m23

时，两个函数图象有两个交点，即()()()02mgxfxmxm=−−，＞有两个零点，故选：B．【点睛】本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，以及直线过定点问题，属于中档题．12.已知a为常数，函数()212xfxxae=−有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，则有（）A.()()1210

2fxfx−＜，＞B.()()12102fxfx−＜，＞C.()()12102fxfx−＜，＜D.()()12102fxfx−＞，＞【答案】A【解析】【分析】求导f′（x）＝x﹣aex，将问题转化为xxae=有两根为x1，x2，设()xxgx

e=，利用导数法研究其图象利用数形结合法求解.【详解】依题意：f′（x）＝x﹣aex，则f′（x）＝0的两根为x1，x2，即xxae=的两根为x1，x2，设()xxgxe=，则()21()xxxxexexgxee−−==，令g′（x）

＝0，解得x＝1，∴g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，函数g（x）的图象如下，由图可知，0＜x1＜1，x2＞1，当x∈（﹣∞，x1）∪（x2，+∞）时，xxae＜，则f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（x1，x2）时，xxa

e＞，则f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）极小值()1122111111122xxxfxxexxe==−=−，又x1∈（0，1），故()1102fx−，，f（x）极大值()2222222221122xxxfxxexxe==−=−，

又x2∈（1，+∞），故()212fx−+，．故选：A．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查转化思想及数形结合思想，运算求解能力，属于中档题.二、填空题13.已知实数,xy满足202201xyxyy++−−，则3zxy=+的最小值是_______

_______.【答案】8−【解析】【分析】先画出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析解答得解.【详解】画出不等式组202201xyxyy++−−表示的可行域如图阴影区域所示.由题得y=-3x+z,它表示斜率为-3,纵截距为z的直线

系，平移直线30xy+=，易知当直线3zxy=+经过点(3,1)M−时，直线的纵截距最小，目标函数3zxy=+取得最小值，且min3(3)18z=−+=−.故答案为：-8【点睛】本题主要考查线性规划问题，意在考查学生对这些知识

的理解掌握水平和数形结合分析能力.14.在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m=_________．【答案】3【解析】【详解】如图区间长度是6，区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x

|≤m的概率为，若m对于3概率大于，若m小于3，概率小于，所以m=3．故答案为3．15.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a+b）sinB＝csinC﹣asinA，23c=，△ABC的面积记为S，则当2SS+取最小值时，ab＝_____【答案】463．【解析】【分析】由正

弦定理化简已知等式可得a2+b2﹣c2＝﹣ab，利用余弦定理可求cosC，可求角C，进而由题意，利用三角形的面积公式，基本不等式即可求解．【详解】∵（a+b）sinB＝csinC﹣asinA，∴（a+b）b＝c2﹣a2，可得a2+b2﹣c2

＝﹣ab，∴cosC2221222abcababab+−−===−，∵C∈（0，π），∴C23=，∵△ABC的面积记为S，2SS+22，当且仅当S2S=，即S122==absinC34=ab时等号成立，解得此时ab463=．故答案为：463．【点睛】本题主要考

查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式在解三角形中的综合应用，还考查了转化思想和运算求解能力，属于中档题．16.如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为(),abab，原点O为AD的中点，抛物线()220yaxa=经过,CF两点，则ba=____

_____．【答案】12+【解析】试题分析：因为D是抛物线()220yaxp=的焦点，所以(,0)2aD，因为正方形DEFG的边长为b，所以(,)2aFbb+，因为F在抛物线上，所以，即2220baba−−=，所以22()10bbaa−−=，解得12ba=+或12−，因为0ab，所以12

ba=+．考点：抛物线的几何性质．【方法点晴】本题主要考查了抛物线的几何性质及其应用，其中解答中涉及到抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答红球的抛物线的焦点坐标，得到四边形的面积，列出关

于,ab的方程是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．三、解答题17.ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.（1）若a，b，c成等差数列，证明：sinsin2sin()ACAC+=+；（2）若a，b，c成等比

数列，求cosB的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）12.【解析】【分析】（1）因为a，b，c成等差数列，所以2acb+=，再利用正弦定理及诱导公式，即可证明；（2）因为a，b，c成等比数列，所以22bac=，再利用余弦定理，结合基本不等式，进而得出结论

.【详解】（1）a，b，c成等差数列，∴2acb+=，由正弦定理得sinsin2sinACB+=，∵()()sinsinsinBACAC=−+=+，∴()sinsin2sinACAC+=+；（2）∵a，b，c成

等比数列，∴22bac=，由余弦定理得22222221cos2222acbacacacBacacac+−+−+===−，∵222acac+（当且仅当ac=时等号成立），∴2212acac+（当且仅当ac

=时等号成立），∴2211112222acac+−−=（当且仅当ac=时等号成立）即1cos2B，所以cosB的最小值为12.【点睛】本题重点考查正弦定理、余弦定理及诱导公式的应用，考查不等式的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.18.如图所示的

多面体中，AD⊥平面PDC，四边形ABCD为平行四边形，E为AD的中点，F为线段PB上的一点，∠CDP＝120°，AD＝3，AP＝5，27PC=．（Ⅰ）试确定点F的位置，使得直线EF∥平面PDC；（Ⅱ）若PB＝3BF，求直线AF与平面

PBC所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）当点F为BP中点时，使得直线EF∥平面PDC；（Ⅱ）62135．【解析】【分析】（Ⅰ）设F为BP中点，取AP中点G，连结EF、EG、FG，推导出GF∥AB∥CD，EG∥DP，从而平面GEF∥平面PDC，进而当点F

为BP中点时，使得直线EF∥平面PDC．（Ⅱ）以D为原点，DC为x轴，在平面PDC中过D作CD垂线为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系，求得平面PBC的一个法向量，AF的坐标，代入公式sinθAFnAFn=求解．【详解】（Ⅰ）设F为BP中点，取AP中点G，连结EF、EG、FG，∵AD⊥

平面PDC，四边形ABCD为平行四边形，E为AD的中点，∴GF∥AB∥CD，EG∥DP，∵EG∩FG＝G，DP∩CD＝D，∴平面GEF∥平面PDC，∵EF⊂平面GEF，∴当点F为BP中点时，使得直线EF∥平面PDC．（Ⅱ）以D为原点，DC为x轴，

在平面PDC中过D作CD垂线为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系，∵E为AD的中点，F为线段PB上的一点，∠CDP＝120°，AD＝3，AP＝5，27PC=．∴cos120°()22222253(27)253CDCD+−−=−，解得CD＝2，所以A（0，0，3），B（2，

0，3），P（﹣2，23，0），C（2，0，0），设F（a，b，c），由PB＝3BF，得13BFBP=，即（a﹣2，b，c﹣3）13=（﹣8，23，﹣3），解得a23=，b233=，c＝2，∴F（23，233，2），AF=（22333，，﹣1），CB=（0，0，3），CP=（﹣4

，23，0），设平面PBC的一个法向量n=（x，y，z），则304230nCBznCPxy===−+=，取x＝1，得n=（1，23，0），设直线AF与平面PBC所成角为θ，则直线AF与平面PBC所成角的正弦值为：2621sin352579

3AFnAFn===．【点睛】本题考查满足线面平行的点的位置的确定，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，还考查了转化化归的思想和运算求解能力，属于中档题．19.2016年春节期间全国流行在微信群里发

､抢红包，现假设某人将688元发成手气红包50个，产生的手气红包频数分布表如下：金额分组)1,5)5,9)9,13)13,17)17,21)21,25频数39171182（1）求产生的手气红包的金额不小于9元的频率；（2）估计手气红包金额的平均数(同一组中的数据用该组区

间的中点值作代表)；（3）在这50个红包组成的样本中，将频率视为概率．①若红包金额在区间21,25内为最佳运气手，求抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率；②随机抽取手气红包金额在)1,521,25内的两名幸运者，设其手气金额分别为m，n，求事件“16mn−”的概率．【答案

】（1）1925P=；（2）平均数为：12.44；（3）①125；②35【解析】【分析】（1）由题意利用互斥事件概率加法公式能求出产生的手气红包的金额不小于9元的频率．（2）先求出手气红包在[1，5)、[5，9)、[9，

13)、[13，17)、[17，21)、[21，25]内的频率，由此能求了出手气红包金额的平均数．（3）①由题可知红包金额在区间[21，25]内有两人，由此能求出抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率．②由频率分布表可知，红包金额在[1，5)内有3人，在

[21，25]内有2人，由此能求出事件“||16mn−“的概率(||16)Pmn−．【详解】解：（1）由题意得产生的手气红包的金额不小于9元的频率：171182195025p+++==，产生的手气红包的金额不小于9元的频率为1925．（2）手气红包在[1，5)内的频率为3

0.0650=，手气红包在[5，9)内的频率为90.1850=，手气红包在[9，13)内的频率为170.3450=，手气红包在[13，17)内的频率为110.2250=，手气红包在[17，21)内的频率为80

.1650=，手气红包在[21，25]内的频率为20.0450=，则手气红包金额的平均数为：30.0670.18110.34150.22190.16230.0412.44x=+++++=．（3）①由题可知红

包金额在区间[21，25]内有两人，抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率215025p==．②由频率分布表可知，红包金额在[1，5)内有3人，设红包金额分别为a，b，c，在[21，25]内有2人，设红包金额分别为x，y，若m，n均在[1，5)内

，有3种情况：(,)ab，(,)ac，(,)bc，若m，n均在[21，25]内只有一种情况：(,)xy，若m，n分别在[1，5)和[21，25)内，有6种情况，即(,)ax，(,)ay，(,)bx，(,)by，(,

)cx，(,)cy，基本事件总数10n=，而事件“||16mn−“所包含的基本事件有6种，63(||16)105Pmn−==．【点睛】本题考查频率的求法，考查概率的求法，属于中档题，解题时要认真审题，注意频数分布表的性质的合理运用．20.已知椭圆

C：()222210xyabab+=＞＞的离心率为22，与坐标轴分别交于A，B两点，且经过点Q（2−，1）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若P（m，n）为椭圆C外一动点，过点P作椭圆C的两条互相垂直的切线l1、l2，求动点P的轨迹方程，并求△ABP面积的最大值．【答案】（Ⅰ）2242xy+=1

；（Ⅱ）863yx+＝，．【解析】【分析】（Ⅰ）由离心率及椭圆过的点的坐标，及a，b，c之间的关系可得a，b的值，进而求出椭圆的方程；（Ⅱ）过P的两条切线分斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率不存在时，直接由椭圆

的方程可得切点A，B的坐标，当切线的斜率存在且不为0时，设过P的切线方程，与椭圆联立．由判别式等于0可得参数的关系，进而可得PA，PB的斜率之积，进而可得m，n之间的关系，即P的轨迹方程，显然切线斜率不存在时的点P也在轨迹方程上；因为PA，PB互相

垂直，所以三角形PAB的面积为S△ABP12=|PA|•|PB|222||1||224PAPBAB+=，当且仅当|PA|＝|PB|时取等号，此时得到点P的坐标求解.【详解】（Ⅰ）由题意可得e22ca==，2221ab+=1，c2＝a2﹣b2，解得a2＝4，b2＝2，所以椭圆的方程

为：2242xy+=1；（Ⅱ）设两个切点分别为A，B，①当两条切线中有一条斜率不存在时，即A，B两点分别位于椭圆的长轴和短轴的端点，此时P的坐标为：（±2，±2），②当两条切线的斜率存在且不为0时，设过P的切线的方程为：y﹣n＝k（x﹣m），联立直线y﹣n＝k（x﹣

m）和椭圆的方程22142ykxkmnxy=−++=，整理可得（1+2k2）x2﹣4k（km﹣n）x+2（km﹣n）2﹣4＝0，由题意可得△＝16k2（km﹣n）2﹣4（1+2k2）[2（km﹣n）2﹣4]＝0，整理可得（m2﹣4

）k2﹣2kmn+n2﹣2＝0，所以k1•k22224nm−=−，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1•k22224nm−=−，而PA，PB互相垂直，所以2224nm−=−−1，即m2+n2＝6，（m≠±2），又因为P（±2，2

）在m2+n2＝6上，所以点P在圆x2+y2＝6上．因为l1⊥l2，所以S△ABP12=|PA|•|PB|222||1||224PAPBAB+=，当且仅当|PA|＝|PB|时取等号，即P在椭圆的短轴所在的直线上时即P（0，6），由圆及椭圆的对称性设P（0，6），则直线PA的斜率为1

，可得直线PA的方程为：y＝x6+，代入椭圆的方程可得3x2+46x+8＝0，解得x222633=−=−，y63=，即A（263−，63），所以|PA|2226643()(6)333−=+−=，所以AB2＝2|PA|2323=，所以（S△ABP）max2||843AB==．【点睛】本题主要考查椭

圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系和求轨迹方程，还考查了运算求解的能力，属于难题．21.已知函数()()2ln1fxaxxxaxaR=−−+在定义域内有两个不同的极值点.（1）求a的取值范围;（2）设两个极值点分别为：1x

，2x，证：()()2212122fxfxxx+−+.【答案】（1）2ae.（2）见解析【解析】【分析】（1）由题得()'ln2fxaxx=−，令()()ln20gxaxxx=−，则函数()fx在定义域内有两个

不同的极值点等价于()gx在区间()0,+内至少有两个不同的零点，再利用导数得到ln022aagaa=−，解不等式即得解；（2）分析得到要证：()()2212122fxfxxx+−+，只需证明()21122axxx+，即证22221121lnxxxxx−，不妨设120

xx，即证22211ln1xxxx−，构造函数构造函数2()ln1(1)htttt=−+，其中21xtx=，证明()()10hth=即得证.【详解】（1）由题意可知，()fx的定义域为()0,+，且()'ln2fxaxx=

−，令()()ln20gxaxxx=−，则函数()fx在定义域内有两个不同的极值点等价于()gx在区间()0,+内至少有两个不同的零点.由()2'axgxx−=可知，当0a时，()'0gx恒成立，即函数()gx在()0,+上单调，不符合题意，舍去.当0a时，由(

)'0gx得，02ax，即函数()gx在区间0,2a上单调递增；由()'0gx得，2ax，即函数()gx在区间,2a+上单调递减；故要满足题意，必有ln022aagaa=−，解得2ae.（2）证明：由（1）可知，1122

ln2ln2axxaxx==，故要证()()2212122fxfxxx+−+，只需证明()21122axxx+，即证22221121lnxxxxx−，不妨设120xx，即证22211ln1xxxx−

，构造函数2()ln1(1)htttt=−+，其中21xtx=，由212'()0thtt−=，所以函数()ht在区间()1,+内单调递减，所以()()10hth=得证.即证()()2212122fxfxxx+−+.【点睛】本意主要考查利用导数研究函数的极值问题，考查利用导数

证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4­4：坐标系与参数方程22.已知直线l的参数方程为122xtyt=+=（t为参数），以坐标原点为极

点，x轴正半轴极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是2sin1sin=−．（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若点P是曲线C上的动点，求P到直线l距离的最小值，并求出此时P点的坐标．【答案】（1）2cos()14+=

，2yx=；（2）P到直线距离的最小值为：328，此时P点的坐标为11,24【解析】【分析】（1）先将直线l的参数方程消去参数化为普通方程，再将其转化为极坐标方程，把2sin1sin=−化为2cossin=，然后两边同乘以，再利用公式可转化为

直角坐标方程.（2）利用点到直线的距离公式，求出P到直线l的距离的最小值，再根据函数取最值的情况求出点P的坐标即可【详解】解：（1）由122xtyt=+=（t为参数），消去参数得10xy−−=，所以直线l的极坐标

方程为cossin10−−=，即2cos()14+=，由2sin1sin=−，得2cossin=，22cossin=，得2yx=，所以曲线C的直角坐标方程为2yx=（2）设00(,)Pxy，则2000(0)yxx

=?，点00(,)Pxy到直线l的距离为2220000001313()()1124242222xxxxxyd−−−−+−−−−====当012x=时，min328d=，此时11(,)24P所以当11(,)24P时，点P到直线l的距离最小，最小值为32

8【点睛】此题考查了参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，点到直线的距离公式，属于基础题.选修4­5：不等式选讲23.设函数()|2||2|fxxx=+−−（1）解不等式()2fx；（2）当xR，01y时，证明：11|2||2|1xxyy+−−

+−.【答案】（1）解集为|1xx；（2）见解析.【解析】【分析】(1)零点分区间，去掉绝对值，写成分段函数的形式，分段解不等式即可；(2)由（1）知，224xx+−−,()111111211

1yyyyyyyyyy−+=++−=++−−−，之后利用均值不等式可证明.【详解】（1）由已知可得：()4,22,224,2xfxxxx=−−−，当2x时，42＞成立；当22x−时，22

x，即1x，则12x＜．所以()2fx的解集为{|1}xx.（2）由（1）知，224xx+−−，由于01y＜＜，则()1111112224111yyyyyyyyyy−+=++−=+++=−−−，当且仅当1=

1yyyy−−，即12y=时取等号，则有11221xxyy+−−+−．【点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．若不等式恒等

变形之后与二次函数有关，可用配方法．