【文档说明】山西省太原市第五中学2020届高三下学期3月摸底数学（理）试题 【精准解析】.doc，共(25)页，2.214 MB，由小赞的店铺上传

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太原五中2019-2020学年度第二学期阶段性检测高三数学（理）一、选择题1.集合2|30Axxx=−，()|lg2Bxyx==−，则AB=()A.|02xxB.|13xxC.|23xxD.|02xx【答案】A【解析】【分析】解

一元二次不等式化简集合A，再根据对数的真数大于零化简集合B，求交集运算即可.【详解】由230xx−可得03x，所以{|03}Axx=，由20x−可得2x,所以{|2}Bxx=,所以{|02}ABxx=，故选A．【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，涉及一元二

次不等式解法及对数的概念，属于中档题.2.若复数z是纯虚数，且()12(,izaiaR+=+i是虚数单位)，则(a=)A.2−B.1−C.1D.2【答案】A【解析】【分析】由已知设()0zbib=，代入()()1212izibiai+=+=+，再由复数相等的条件列式求解．【详解】设()0bR

zbib=，，由()()1212izibiai+=+=+，得2bbiai−+=+，21bab−==，则2a=−．故选A．【点睛】本题考查复数的基本概念，考查复数相等的条件，是基础题．一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫

做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作z．3.定义在R上的函数()fx满足()()fxfx−=，且当0x时()21,0122,1xxxfxx−+=−，则()2f−的值为()A.3−B.2−C.2D.3【答案】B【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式计算()2f的值，又由()()

22ff−=，即可得答案．【详解】根据题意，当0x时()21,0122,1xxxfxx−+=−，则()22222f=−=−，又由函数()fx满足()()fxfx−=，则()()222ff−==−；故选B．【点睛】本题考

查分段函数的解析式以及函数奇偶性的性质以及应用，属于基础题．函数奇偶性的判断，先要看定义域是否关于原点对称，接着再按照定义域验证()fx和()-fx的关系.4.已知{}na是公差为1的等差数列，nS为{}na的前n项和，若844SS=，则10a=（）A.172B.192C.10D.12【答案】B

【解析】试题分析：由844SS=得()11828446adad+=+，解得1101119,922aaa==+=.考点：等差数列.5.已知1.10.6122,3,log3abc===，则,,abc的大小为（）A.bcaB.acbC.bac

D.abc【答案】D【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【详解】a=21.1＞2，0＜b=30.6=533＜552=2，c=123log＜0，∴a＞b＞c．故选D．【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能

力，属于基础题．6.在ABC中，3AB=，2AC=，12BDBC=，则ADBD=()A.52−B.52C.54−D.54【答案】C【解析】【分析】如图所示，由BD=12BC=()12ACAB−，可得()12ADACAB=+，代入即可得出．【详解】如图所示，∵BD=12BC=()

12ACAB−，∴()12ADACAB=+，∴AD•BD=()()14ACABACAB−+=()221234−=﹣54．故答案为C【点睛】本题考查了向量的平行四边形法则、数量积运算性质，考查了计算能力，属于基础题．7.已知12,FF是双曲线22221(0,0)xya

bab−=的左右焦点，过2F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A,交另一条渐近线于点B，且2213AFFB=,则该双曲线的离心率为A.62B.52C.3D.2【答案】A【解析】由()2,0Fc到渐近线byxa=的

距离为22bcdbab==+，即有2AFb=，则23BFb=，在2AFO中，22,,,bOAaOFctanFOAa===224tan1bbaAOBaba==−，化简可得222ab=

，即有222232caba=+=，即有62cea==，故选A.【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间

的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将e用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e的等式，从而求出e的值.8.执行如图的程序框图，则输出的S的值为（）A.9B.19C.33D.51【答案】C【解析】从题设中提供的算法流程图可知：当1,1mS==时，9m，此时1213,

1239Sm=+==+=；故3239,3259Sm=+==+=，则92519,5279Sm=+==+=，则192733,7299Sm=+==+=，运算程序结束，此时输出33S=，应选答案C．9.机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调

查，随机抽查的200个机械元件情况如下：使用时间/天10202130314041505160个数1040805020若以频率估计概率，现从该批次机械元件中随机抽取3个，则至少有2个元件的使用寿命在30天以上

的概率为（）A.1316B.2764C.2532D.2732【答案】D【解析】【分析】计算出该批次每个机械元件使用寿命在30天以上的概率为34，然后利用独立重复试验的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】由题意可知，该批次每个机械元件使用寿命在30天以上的概率

为34，因此，从该批次机械元件中随机抽取3个，则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为23233132744432PC=+=.故选：D.【点睛】本题考查利用独立重复试验的概率公式

计算事件的概率，考查计算能力，属于基础题.10.函数()25sin22cos2sin3412fxxx=+−+的图象为C，下列结论正确（）A.图象C关于直线1112=x对称B.图象C关于点2,03对称C.函数()fx在区间,63−

上增函数D.函数3fx+为奇函数【答案】C【解析】【分析】首先利用两角和差的正弦、余弦公式化简函数为()sin26fxx=−，再根据正弦函数的性质计算可得；【详解】解：因为()25sin22cos2sin3412fxxx=+−+

22sin2coscos2sin2cos2cossin2sinsin334446xxxx=+−−+1322sin2cos22cos2sin2sincoscossin22224646xxxx=−+−−+

13222321sin2cos22cos2sin222222222xxxx=−+−−+133131sin2cos2cos2sin22222xxxx++=−+−+13cos2sin2sin2226xxx

=−+=−即()sin26fxx=−当1112=x时，111153121223sin2sin6f=−==−，故A错误；当23x=时，2sin2s

26n27i1363f=−==−，故B错误；当63x−时，2262x−−，()fx单调递增，故C正确；sin2sin2cos23362fxxxx+=+−=+=为偶函

数，故D错误；故选：C【点睛】本题考查两角和差的正弦、余弦公式的应用，正弦函数的性质，属于中档题.11.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线2:4Cxy=，点P是C的准线l上的动点，过点P作C的两条切线，切点

分别为,AB，则AOB面积的最小值为（）A.2B.2C.22D.4【答案】B【解析】设01122(,1),(,),(,)PxAxyBxy−,因为'2xy=，则过点,AB的切线22112212(),()4242xxxxyxx

yxx−=−−=−均过点0(,1)Px−，则22112201021(),1()4242xxxxxxxx−−=−−−=−，即12,xx是方程201()42xxxx−−=−的两根，则120122,4xxxxx+==−，设直线AB的方程为ykxb=+，联立24xyyk

xb==+，得2440xkxb−−=，则1244xxb=−=−，即1b=，则22212120211(1)[()4]4221AOBSkxxxxxk=++−=++，即AOB的面积的最小值为2；故选B.点睛：解决本题的难点在于利用导数的几何意义确定两个切点,AB的横坐标间的关系，便于

确定直线AB在y轴上的解截距.12.已知函数2ln2,0()3,02xxxxfxxxx−=+，若方程()10fxmx−+=恰有四个不同的实数根，则实数m的取值范围是（）A.1(1,)3−−B.1(1,)2−−C.31(,)42−−D.

1(2,)2−−【答案】B【解析】【详解】【分析】因为ln2ln10,yxxxyxxe=−=−==，作图，由1ymx=−与232yxx=+相切得223317()10,()40()2222xmxmm+−+==−−==−或舍，由1ymx=−与ln2yxxx=−相切得设切点00000000

0ln21(,ln2),ln1xxxxxxxmxx−+−=−=，01,1.xm==−如图可得实数m的取值范围是11,2−−，选B.点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先

通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.二、填空题13.已知1sincos5+=，(,)2，则tan=_______

___．【答案】43−【解析】由题设可得1242sincos102525=−=−，则sin0,cos0，所以22449(sincos)12525−=+=，即7sincos5−=，与1sincos5+=联立可得43sin,cos55==−，故sin4cos3=

−，应填答案43−．点睛：解答本题时，充分借助题设条件，先求出7sincos5−=，再与1sincos5+=联立求得43sin,cos55==−，进而求得sin4cos3=−，从而使得问题获解．14.在()()6312xx−+的展开式中，

5x的系数是__________．【答案】228−【解析】()()6312xx−+的展开式中，含5x的项是56553262252455666622(22)228CxxCxCCxx−−−=−=−，即

5x的系数是228−.15.四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB＝2，BC＝CD＝1，∠BCD＝60°，AB⊥平面BCD，则球O的表面积为_______．【答案】163【解析】【分析】画出几何体的图像，通过底面外心的且垂直于底面的垂线以及AB的垂直平分线，确定球心的位置，计

算出球的半径，由此求得球的表面积.【详解】画出几何体的图像如下图所示，由于,60BCCDBCD==，所以三角形BCD为等边三角形，设其外心为1O,则球心是过1O且垂直于底面BCD的直线与线段AB的垂直平分线的交点处，如图所示.其

中1131,132OBOOAB===，故外接球的半径222234133ROB==+=，外接球的表面积为216π4π3R=.【点睛】本小题主要考查三棱锥的外接球表面积，考查了外接球如何确定球心的知识，

考查了等边三角形的几何性质.要找到一个几何体外接球的球心，先在一个面上找到这个面的外心，球心就在这个外心的正上方，再结合另一个面的外心或者中垂线，由此确定外接球球心所在的位置.属于中档题.16.已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若()()()sinsi

nsinsinacACbAB+−=−，且3c=，则2ba−的取值范围为__________．【答案】3,32−【解析】分析：由正弦定理角化边及余弦定理，整理得3C=，则23AB+=，再根据3c=，得外接圆半径1R=，所以sin2(sin)22bBaRA−=−，整理

后化成一个角得三角函数，求得取值范围.详解：由正弦定理sin,sin,sinC222abcABRRR===，得()()()acacbab+−=−即222cabab=+−由余弦定理2222coscababC=+−得3C=23AB

+=又3c=2sincRC=1R=sin2(sin)2222sinsin()333sincos223sin()6bBaRAAAAAA−=−=−−=−=−由题可知203A则662A−−

3322ba−−即2ba−的范围3(,3)2−点睛：解三角形问题，需要结合已知条件，根据三角形边角关系、正余弦定理灵活转化已知条件，从而达到解决问题的目的．解三角形的范围问题常见两类，一类是根据基本不等式求范围，另一类是

根据边或角的范围计算三、解答题17.数列na满足：123aaa+++L()1312nna+=−（1）求na的通项公式；（2）若数列nb满足3nnabna=，求nb的前n项和nT.【答案】（1）13−=n

na;（2）13211()()443nnnT-+=-.【解析】【分析】（1）利用2n时，1nnnaSS−=−求解；检验11a=成立即可求解（2）由3nnabna=，得11(1)()3nnbn-=-，利用错位相减求和即可【详解】（1）令123Snna

aaa=+++1n=时，11a=2n时，113nnnnaSS--=-=，11a=满足所以13−=nna；（2）由3nnabna=，11(1)()3nnbn-=-12nnTbbb=++=2112()33+?11(1)()3nn--①23111()2()

333nT=+?11(2)()3nn-+-1(1)()3nn+-②①−②得2211()333nT=++111()(1)()33nnn---111[1()]233131()3nnT--=-1(1)()3nn--13211()()443nnnT-+=-【点睛】本题考

查利用前n项和求通项公式，考查错位相减求和，准确利用前n项和求出通项公式是关键，是中档题18.如图，在三棱柱111ABCABC−中，侧面11ABBA是菱形，160BAA=，E是棱1BB的中点，CACB=，F在线段AC上，且2A

FFC=.（1）证明：1//CB面1AEF；（2）若CACB⊥，面CAB⊥面11ABBA，求二面角1FAEA−−的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）52929.【解析】【分析】（1）连接1AB交1AE于点G，连

接FG，利用三角形相似证明1//FGCB，然后证明1//CB面1AEF．（2）过C作COAB⊥于O，以O为原点，OA，1OA，OC分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标，不妨设2AB=，求出面1AFE的一个法向量，面1ABA的一个法向量，然后利用空间向量的数量积求解即可．【详解】解：（1）

连接1AB交1AE于点G，连接FG．因为11AGABGE，所以1112AAAGGBEB==，又因为2AFFC=，所以1AFAGFCGB=，所以1//FGCB，又1CB面1AEF，FG面1AEF，所以1//CB面1AEF.（2）过C作COAB⊥于O，因为CACB=，所以O是线段AB的

中点．因为面CAB⊥面11ABBA，面CAB面11ABBAAB=，所以CO⊥面1ABA．连接1OA，因为1ABA是等边三角形，O是线段AB的中点，所以1OAAB⊥.如图以O为原点，OA，1OA，OC分别为x轴

，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标，不妨设2AB=，则(1,0,0)A，1(0,3,0)A，(0,0,1)C，(1,0,0)B−，12(,0,)33F，由11AABB=，得(2,3,0)B−，1BB的中点

33(,,0)22E−，133(,,0)22AE=−−，112(,3,)33AF=−−.设面1AFE的一个法向量为1111(,,)nxyz=，则111100AEnAFn==，即11112303333

022xyzxy−+=−−=，得方程的一组解为111135xyz=−==，即1(1,3,5)n=−.面1ABA的一个法向量为2(0,0,1)n=，则121212529cos,29nnnn

nn==，所以二面角1FAEA−−的余弦值为52929.【点睛】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．19.如图，已知圆22:(1)4Exy+−=经过椭

圆2222:1xyCab+=(0)ab的左右焦点12,FF，与椭圆C在第一象限的交点为A，且1F，E，A三点共线.（1）求椭圆C的方程；（2）设与直线OA（O为原点）平行的直线交椭圆C于,MN两点，当AMN的面积取取最大值时，求直线l的方程.【答案】(

1)22196xy+=;(2)2333yx=.【解析】试题分析：（1）由题意把焦点坐标代入圆的方程求出c，再由条件得1FA为圆E的直径，且14AF=，根据勾股定理求出22AF=，根据椭圆的定义和222abc=+依次求出a,b的值，代入椭圆方

程即可；（2）由（1）求出A的坐标，根据向量共线的条件求出直线OA的斜率，设直线l的方程和,MN的坐标，联立直线方程和椭圆方程消去y，利用韦达定理和弦长公式求出MN，由点到直线的距离公式求出点A到直线l的距离，代入三角形的面积公式求出AMNS，化简后求最

值即可.试题解析：(1)∵1F，E，A三点共线，∴1FA为圆E的直径，且14AF=，∴212AFFF⊥.由()22014x+−=，得3x=，∴3c=，∵222211216124AFAFFF=−=−=，∴22AF=，∴

1226aAFAF=+=，3a=.∵222abc=+，∴26b=，∴椭圆C的方程为22196xy+=.(2)由（1）知，点A的坐标为()3,2，∴直线OA的斜率为233，故设直线l的方程为233yxm=+，将l方程代入22196xy+=消去y得：226

433180xmxm++−=，设()11,,Mxy()22,,Nxy∴12233xxm+=−，212132xxm=−，2248724320mm=−+，∴3232m−，又：2211MNkxx=+−=()221212414142839xx

xxm++−=−，∵点A到直线l的距离217dm=，∴2111421282297AMNSMNdmm==−22211428149mm=−42211428149mm=−+2136314142=，当且仅当22

891429m=−=−，即3m=时等号成立，此时直线l的方程为2333yx=.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次

方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．20.学生考试中答对但得不了满分的原因多为答题不规范，具体表现为：解题结果正确，无明显推理错误，但语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失

等，记此类解答为“B类解答”.为评估此类解答导致的失分情况，某市教研室做了一项试验：从某次考试的数学试卷中随机抽取若干属于“B类解答”的题目，扫描后由近百名数学老师集体评阅，统计发现，满分12分的题，阅卷老师所评分数及各分数所占比例大约如下表

：教师评分（满分12分）11109各分数所占比例141214某次数学考试试卷评阅采用“双评+仲裁”的方式，规则如下：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三

位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分.（假设本次考试阅卷老师对满分为1

2分的题目中的“B类解答”所评分数及比例均如上表所示，比例视为概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响）.（1）本次数学考试中甲同学某题（满分12分）的解答属于“B类解答”，求甲同学此题得分X的分布列及

数学期望()EX；（2）本次数学考试有6个解答题，每题满分均为12分，同学乙6个题的解答均为“B类解答”，记该同学6个题中得分为()12345ixxxxxx的题目个数为ia，()1,2,3,4,5iaNi==，

516iia==，计算事件“1454aaa++=”的概率.【答案】(1)分布列见解析，()32132EX=分；(2)1564.【解析】【分析】（1）根据规则，随机变量X的可能取值为9、9.5、10、10.5、1

1，分析一评、二评、仲裁所打分数情况并计算概率；（2）结合第一问12345,,,,xxxxx依次为9、9.5、10、10.5、11，计算事件“1454aaa++=”的概率等价于计算“232aa+=”的概率，即得分为9.5、10共两道题的情况，

分别计算概率即可.【详解】解：（1）随机变量X的可能取值为9、9.5、10、10.5、11，设一评、二评、仲裁所打分数分别为x，y，z，()()()99,99,11,9PXPxyPxyz====+===()11,9,9Pxyz+

===11111324444432=+=，()()()9.59,1010,9PXPxyPxy====+==1112424==，()()1111010,10224PXPxy======，()()()10.510,1111,10PX

PxyPxy====+==()()9,11,1011,9,10PxyzPxyz+===+===111115222444216=+=，()()1111,11PXPxy====()()11,9,119,11,11PxyzPxyz+===+===11111324444432

=+=.所以X分布列如下表：X可能取值99.51010.511概率3321414516332数学期望()3115399.51010.51132441632EX++++=32132=（分）.（2）∵516iia==，∴()()145234""2""Paaa

Paa++==+=，∵()()2323"2""0,2"PaaPaa+====()()2323"2,0""1,1"PaaPaa+==+==，()346222114",2"20PaaC===，

()346222114",0"22PaaC===，()411236511142"41,1"PaCaC===，()23"2"Paa+=242442211666511111114242442CCCC=+

+1515301525625625664=++=，∴()145154""64Paaa++==.【点睛】此题考查随机变量及其分布列相关知识，题目阅读量大，关键在于读懂题意，弄清规则，对事件分析全面，此题第二

问若正面分类讨论“1454aaa++=”，则分类情况多，容易遗漏，转化成求其等价事件的概率，涉及分类讨论，等价转化，转化与划归思想.21.设函数()2lnfxaxaxx=−−.（1）讨论()fx的单调性；（2）若()fx有两个极值点1x，2x，求

证：()()21123ln24xfxxfx++.【答案】（1）当0a时，()fx在280,4aaaa++上单调递减，在28,4aaaa+++上单调递增；当80a−时，()fx在()0,+上单调递减；当8a−时，()fx在280,4

aaaa++，28,4aaaa−++上单调递减，在2288,44aaaaaaaa++−+上单调递增.（2）见解析【解析】【分析】（1）求出()()221'0axaxfxxx−−=，令()221hxaxax=−−，28aa=+，讨论a的取

值，判断()fx的符号，从而可求出()fx的单调性.（2）由（1）得8a−时，()fx有两个极值点12xx，设12xx，则有12121212xxxxa+==−且1104x，整理()()11112121311ln

ln422xfxxfxxxxx=++−−−，110,4x，令()311lnln422gxxxxx=+−−−，10,4x，利用导数研究函数()gx的单调性，可得()13ln244g

xg=+，进而可得证【详解】解：（1）()()2121'20axaxfxaxaxxx−−=−−=，令()221hxaxax=−−，28aa=+，①当0a=时，()lnfxx=−在()

0,+上单调递减，②当0a时，，由()'0fx=得21804aaaxa++=，22804aaaxa−+=，当280,4aaaxa++时()'0fx，当28,4aaaxa+++时，()'0fx，∴()

fx在280,4aaaa++上单调递减，在28,4aaaa+++上单调递增，③当80a−时，0，()'0fx，∴()fx在()0,+上单调递减，④当8a−时，，由()'0fx=得2

804aaaxa+=，当28,4aaaxa+++或28,4aaaxa−++时，()'0fx，当2288,44aaaaaaxaa++−+时，()'0fx，∴()fx在280,4aaaa++

，28,4aaaa−++上单调递减，在2288,44aaaaaaaa++−+上单调递增，综上所述，当0a时，()fx在280,4aaaa++上单调递减，在28,4aaaa+++上单调递增；当80a−时，()f

x在()0,+上单调递减；当8a−时，()fx在280,4aaaa++，28,4aaaa−++上单调递减，在2288,44aaaaaaaa++−+上单调递增.（2）由（

1）得8a−时，()fx有两个极值点12xx，设12xx，则有12121212xxxxa+==−且1104x，∴()()()()22211221111222lnlnxfxxfxxaxaxxxaaxx+=−−+−−(

)12121221122lnlnaxxxxaxxxxxx=+−−−21123lnln4xxxx=−−1111311lnln422xxxx=+−−−，110,4x，令()311lnln422gxxxxx=+−−−

，10,4x，()114'lnln122xgxxxxx−=−−+−，令()()'hxgx=，则()222111128'1122xxhxxxxx−+=++−−，∵10,4x，∴10x，1012x−，2221128012

xxxx−+−，∴当10,4x时，()'0hx，∴()'gx在区间10,4单调递增，∴()1''04gxg=，∴()gx在区间10,4单调递减，∴()13ln244gxg

=+，综上，()()21123ln24xfxxfx++.【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性、最值中的应用，考查了分类讨论的思想，属于难题.说明：请在22、23题中任选一题做答，写清题号.如果多做，则按所做第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22.

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为93,xtyt=+=（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为221613sin=+．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）已知P为曲线

C上的一个动点，求线段OP的中点M到直线l的最大距离．【答案】（1）221164xy+=．390xy−−=．（2）最大距离为972+．【解析】【分析】（1）直接利用极坐标方程和参数方程的公式计算得到答案.（2）曲线C的参数方程为4cos,2sinxy

==，设()4cos,2sinP，计算点到直线的距离公式得到答案.【详解】（1）由221613sin=+，得2223sin16+=，则曲线C的直角坐标方程为22416+=xy，即221164xy+=．直线l的直角坐标方程为390xy−

−=．（2）可知曲线C的参数方程为4cos,2sinxy==（为参数），设()4cos,2sinP，)0,2，则()2cos,sinM到直线:390lxy−−=的距离为()2cos3sin97sin997222d−−−−+==，所以线段OP的中点M到直线

l的最大距离为972+．【点睛】本题考查了极坐标方程，参数方程，距离的最值问题，意在考查学生的计算能力.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()|4||1|fxxx=−+−，xR.（1）解不等式：()5fx；（2）记()fx的最小值为M，若实数a，b满足22abM+=，试证明：221122

13ab+++.【答案】（1）|05xx（2）证明见解析【解析】【分析】(1)先将()fx化为分段函数形式,然后根据()5fx„,分别解不等式即可;(2)由(1)可得min()3fxM==,从而

得到223ab+=,再利用基本不等式求出221121ab+++的最小值.【详解】(1)()|4||1|fxxx=−+−25,43,1425,1xxxxx−=−+剟.()5fx„,2554xx−„或14x剟或25

51xx−+„,45x„或14x剟或01x„,05x剟,不等式的解集为{|05}xx剟;(2)因为()|4||1||(4)(1)|3fxxxxx=−+−−+−=(当且仅当14x等号成立),所以()fx的最小值3M=,即223ab+

=,所以()()222222111112121216ababab+=++++++++22221212216baab++=++++2222121(22)216baab+++++23=(当且仅当21a

=,22b=等号成立).【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和利用基本不等式求最值,属于中档题.