【文档说明】北京鲁迅中学2025届高三上学期期中考试数学试卷 Word版含解析.docx，共(19)页，870.204 KB，由小赞的店铺上传

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北京市鲁迅中学2024-2025学年第一学期期中测试高三数学2024.10本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，全卷共150分，考试时间120分钟.第一部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.

已知集合{|2,}Axxkk==Z，2{|5}Bxx=≤，那么AB=A.{0,2,4}B.{2,0,2}−C.{0,2}D.{2,2}−【答案】B【解析】【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．【详解】解：∵集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{

x|x2≤5}＝{x|55x−}，∴A∩B＝{﹣2，0，2}．故选B．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,3)−，则z的共轭复数z=（

）A.13i+B.13i−C.13i−+D.13i−−【答案】D【解析】【分析】根据复数的几何意义先求出复数z，然后利用共轭复数的定义计算.【详解】z在复平面对应的点是(1,3)−，根据复数的几何意义，13iz=−+，由共轭复数的定义可知，13

iz=−−.故选：D3.下列函数中，在区间(0,)+上单调递增的是（）A.()lnfxx=−B.1()2xfx=C.1()fxx=−D.|1|()3xfx−=【答案】C【解析】【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D

即可.【详解】对于A，因为lnyx=在()0,+上单调递增，yx=−在()0,+上单调递减，所以()lnfxx=−在()0,+上单调递减，故A错误；对于B，因为2xy=在()0,+上单调递增，1yx=在()0,+上单调递减，所以()12xfx=在()0

,+上单调递减，故B错误；对于C，因为1yx=在()0,+上单调递减，yx=−在()0,+上单调递减，所以()1fxx=−在()0,+上单调递增，故C正确；对于D，因为1112213332f−===，()()11210133

1,233ff−−=====，显然()13xfx−=在()0,+上不单调，D错误.故选：C.4.已知向量,ab满足()()2,1,1,2aab=−=−，则ab=（）A.5−B.0C.5D.7【答案】C【解析】【分析】

先求出()()3,1baab=−−=−，进而利用向量数量积公式求出答案.【详解】因为()()2,1,1,2aab=−=−，所以()()()()2,11,23,1baab=−−=−−=−，故()()2,13,12315ab=−=−=.故选：C5.512xx−的展开式中x的系数为（

）A.80−B.40−C.40D.80【答案】D【解析】【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可.【详解】对于512xx−，由二项展开式的通项得()()55521551C2=12CrrrrrrrrTxxx−−−+=−−，令521r−=解得2r=，则所求系数为(

)2522512C80−−=，故选：D6.设等差数列na的前n项和为nS，且515S=，则24aa的最大值为（）A.94B.3C.9D.36【答案】C【解析】【分析】先求得3a的关系式，然后利用

基本不等式求得正确答案.【详解】设等差数列na的公差为d，则51151015,23Sadad=+=+=，也即33a=，所以222424392aaaaa+==，当且仅当243aa==时等号成立.故选：C7.已知

函数()3fxxx=+，则“120xx+=”是“()()120fxfx+=”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由()fx的奇偶性、单调性结合充分条件、必要条件的概念即可得解.【详解】因为

()3fxxx=+定义域为R，3()()()()fxxxfx−=−+−=−，所以()fx为奇函数，且()fx为R上的增函数.当120xx+=时，21xx=−，所以()()()()12110fxfxfxfx+=+−=，即“120xx+=”是“()()120

fxfx+=”的充分条件，当()()120fxfx+=时，()122()()fxfxfx=−=−，由()fx的单调性知，12xx=−，即120xx+=，所以“120xx+=”是“()()120fxfx+=”成立的必要

条件.综上，“120xx+=”是“()()120fxfx+=”的充要条件.故选：C8.函数()coscos2fxxx=−是A.奇函数，且最大值为2B.偶函数，且最大值为2C.奇函数，且最大值为98D.偶函数，且最大值为98

【答案】D【解析】【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【详解】由题意，()()()()coscos2coscos2fxxxxxfx−=−−−=−=，所以该函数为偶函

数，又2219()coscos22coscos12cos48fxxxxxx=−=−++=−−+，所以当1cos4x=时，()fx取最大值98.故选：D.9.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足221152–lgEmmE=，其中星等为mk的星的亮度为

Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A.1010.1B.10.1C.lg10.1D.10.110−【答案】A【解析】【分析】由题意得到关于12,EE的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.【详解

】两颗星的星等与亮度满足12125lg2EmmE−=,令211.45,26.7mm=−=−,()10.111212222lg(1.4526.7)10.1,1055EEmmEE=−=−+==.故选A.【点睛】本题以天文学问题为

背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.10.在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点．点P从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是5且落在整点处．则点P到达点(33,33)Q所跳跃次数的

最小值是（）A.9B.10C.11D.12【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合向量分析运算，列出方程求解，即可得到结果.【详解】每次跳跃的路径对应的向量为()()()()()()()()111122223,4,

4,3,5,0,0,5,3,4,4,3,5,0,0,5abcdabcd=====−−=−−=−=−ururururuurururuur，因为求跳跃次数的最小值，则只取()()()()11113,4,4,3,

5,0,0,5abcd====urururur，设对应的跳跃次数分别为abcd,,,，其中,,,abcdN，可得()()1111345,43533,33OQaabbccddabcabd=+++=++++=uuururururur则3453343533

abcabd++=++=，两式相加可得()()7566abcd+++=，因为,abcd++N，则82abcd+=+=或39abcd+=+=，当82abcd+=+=时，则次数为8

210+=；当39abcd+=+=，则次数为3912+=；综上所述：次数最小值为10.故选：B.第二部分（共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数32log(1)yxx=−++的定义域为___________________【答案】(

1,2]−【解析】【分析】通过对数函数的定义域即可求得答案.【详解】根据题意，可知2010xx−+，解得12x−，故定义域(1,2]−.【点睛】本题主要考查函数定义域的相关计算，比较基础.12.边长为1的正方形ABCD中，设ABa=，ADb=，A

Cc=，则abc−+=______．【答案】2【解析】【分析】建立适当的平面直角坐标系，利用坐标表示向量，求出模长即可．【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示；在正方形ABCD中，()1,0ABa==，()0,1ADb==，()1,1ACc==，则()()101

,0112,0abc−+=−+−+=，∴2abc−+=．故答案为：2．为13.设等比数列na的公比为()0qq,其前n和为nS,且131,22aa==,则5a=_________;5S=_________．【答案】①.8②.312##15

.5【解析】【分析】由等比数列通项公式可求出2,q=从而求出5a,再代入等比数列前n项和公式即可求出5S.【详解】由2314aqa==,又因为0q,所以2q=;所以253248aaq===；()()551511213121

122aqSq−−===−−故答案为:8；312.14.如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数()sinyAxb=++，其中0A，且函数在6x=与14x=时分别取得最小值和最大值.这段时间的最大温差为___；的一个取值为___________.【

答案】①.20C②.34（答案不唯一）【解析】【分析】根据图像直接可得最大温差，再根据函数的最值情况与周期情况可得A，b，，代入点()6,10，可得.【详解】由图像可知最大值为30，最小值为10，所以最大温差为30C10C20C−=，即2301023010Ab=−=+，解得10

20Ab==，又由已知可得1462T=−，即16T=，且2T=，所以8=，所以函数解析式为10sin208yx=++，又函数图像经过点()6,10，代入得10sin620108++=，所以33πφπ2π,Z42kk+=+解

得324k=+，Zk，所以k的一个可能取值为34（答案不唯一），故答案为：20C，34（答案不唯一）.15.已知函数()22,2,xaxafxxaxxa+=+给出下列四个结论：①当0a=时，()fx的最小值为0；②当13a时，()fx存在最

小值；③()fx的零点个数为()ga，则函数()ga的值域为0,1,2,3；④当1a时，对任意()()121212,,22xxxxfxfxf++R．其中所有正确结论的序号是________．【答案】①③【解析】【分

析】利用函数的单调性及最值可判断①②，根据零点定义结合条件分类讨论可判断③，利用特值可判断④.【详解】对①，当0a=时，()22,0,0xxfxxx=，当0x时，021x，当0x时，20x，综上，()fx的最小值为0，①正确；对②，13a，()22,2,xaxafxxa

xxa+=+，当xa时，2xaa+，当xa时，若a<0，222222xaxaaa+−=−；若103a≤≤，2222223xaxaaa++=，如12a=−时，()12fx−，函数不存在最小值，②错误；对③，当a<0时，20xa+

=最多一个解，220yxax=+=得0x=或2xa=−，如1a=−时，()221,12,1xxfxxxx−−=−−，由210x−=可得0x=(舍去)，由220xx−=得0x=或2x=，故此时()fx两个零点，即()2ga=；如12a=−时，()21

12,221,2xxfxxxx−−=−−，由1202x−=可得1x=−，由20xx−=得0x=或1x=，故此时()fx三个零点，即()3ga=；当0a=时，()22,0,0xxfxxx=，由20x=可得x，由20x=得0x=，故此时()fx一个零点，即()1ga=

；当0a时，()22,2,xaxafxxaxxa+=+，xa时，20xa+，20xa+=无解，0xa时，220xax+，220xax+=无解，此时()fx没有零点，即()0ga=.综上，()ga的值域为0,1,2,3，

故③正确；对④，当1a时，如4a=时，()224,48,4xxfxxxx+=+，()312f=，()448f=，()565f=，此时()()()35772496fff+==，故④错误.故答案为：①③【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断

方法：(1)直接求零令()0fx=，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[,]ab上是连续不断的曲线，且()()0fafb，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：

将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在ABCV中，32sinabA=.（1）求B；（2）若7,3bc==，求A

BCV的面积.【答案】（1）π3或2π3（2）332或334【解析】【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角相互转化即可得到结果；（2）根据题意，由余弦定理可得a，再由三角形的面积公式即可得到结果.【小问1详解】因为32sinabA=，由正弦定理可得

，3sin2sinsinABA=，因sin0A，所以3sin2B=，且()0,πB，所以π3B=或2π3.【小问2详解】由（1）可知π3B=或2π3，且7,3bc==，bc，所以BC即π3B=，由余弦定理可得，2222c

osbacacB=+−，为即2179232aa=+−，解得1a=或2a=，当1a=时，11333sin132224ABCSacB===，当2a=时，11333sin232222ABCSacB===，所以ABCV的面积为332或334.17.已知

函数()()21exfxxax=−+（aR）在2x=处取得极小值.（1）求a的值，并求函数()fx的单调区间；（2）求()fx在区间2,0−上的最大值和最小值.【答案】（1）单调递增区间为()(),1,2,−−+，单调递减区间为()1,2−（2

）最大值为15e−，最小值为1.【解析】【分析】（1）求导，根据()20f=得到3a=，由𝑓′(𝑥)>0求出单调递增区间，由𝑓′(𝑥)<0求出单调递减区间；（2）在（1）求出单调性的基础上，得到最值.小问1详解】()()()()222e1e21exxxfxxaxaxxaxxa=−

+−+=−+−+，由题意得()()224241e0faa−−+=+=，解得3a=，()()231exfxxx=−+，定义域为R，()()()()22e12exxfxxxxx=−−=+−，令𝑓′(𝑥)>0得2x或

1x−，令𝑓′(𝑥)<0得12x−，故()fx单调递增区间为()(),1,2,−−+，单调递减区间为()1,2−，此时函数𝑓(𝑥)在𝑥=2处取得极小值，满足题意；【小问2详解】由（1）知，故()fx在()2,1−−上单调

递增，在()1,0−上单调递减，【故()fx在1x=−处取得极大值，也是最大值，()115ef−−=，又()()201,211eff−=−=，其中2111e−，故()fx在区间2,0−上的最小值为1，综上，()fx在区间

2,0−上的最大值为15e−，最小值为1.18.已知函数()()223sinπcos2cosfxxxx=−+.（1）求函数()fx的最小正周期及单调递增区间；（2）若ππ,63x−，求函数()fx的值域.（3）若函数()

()1gxfx=−在π,6m−上有且仅有两个零点，则求m的取值范围.【答案】（1）最小正周期为π，单调递增区间为πππ,π36kk−++，Zk；（2）0,3（3）5π11π,1212【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换得到()π2

sin216fxx=++，求出最小正周期，整体法得到函数单调递增区间；（2）在（1）基础上，得到ππ5π2,666x+−，求出()π2sin210,36fxx=++；

（3）转化为πsin206+=x在π,6m−上有且仅有两个解，求出πππ2,2666xm+−+，数形结合得到ππ22π6m+，求出答案.【小问1详解】()()21cos223sinπcos2cos23sincos22xfxxxxxx+=−+=+π3s

in2cos212sin216xxx=++=++，()fx的最小正周期2ππ2T==，令πππ2π22π262kxk−+++，Zk，解得ππππ36kxk−++，Zk故单调递增区为ππ

π,π36kk−++，Zk；【小问2详解】ππ,63x−，ππ5π2,666x+−，故π1sin2,162x+−，()π2sin210,36

fxx=++，故函数值域为0,3；【小问3详解】函数()()()0101gxfxfx=−==，即π2sin2116x++=，πsin206+=x，故()()1gxfx=−在π,6m−

上有且仅有两个零点，等价于πsin206+=x在π,6m−上有且仅有两个解，π,6xm−，πππ2,2666xm+−+，要想πsin206+=x在π,6m−上有且仅有两个解，则

ππ22π6m+，解得5π11π1212m，故m的取值范围为5π11π,1212.19.某景区有一人工湖，湖面有,AB两点，湖边架有直线型栈道CD，长为50m，如图所示．现要测是,AB两点之间的距离，工作人员分别在,CD两点进行测量，在C点测得45ACD=，30B

CD=；在D点测得135,120ADBBDC==．（,,,ABCD在同一平面内）（1）求,AB两点之间的距离；（2）判断直线CD与直线AB是否垂直，并说明理由．【答案】（1）505m（2）直线CD与直线AB不垂直，理由详见解析.【解析】【分析】（1）

先求得,ADBD，利用余弦定理求得AB.（2）先求得,ACBC，然后根据向量法进行判断.【小问1详解】依题意，45ACD=，30BCD=，135,120ADBBDC==，所以360135120105,1804510530ADCCAD=−−==−−

=，1801203030CBDBCD=−−==，所以50BDCD==，在三角形ACD中，由正弦定理得50,502sin45sin30sin30ADCDAD===，在三角形ABD中，由余

弦定理得()2250502250502cos135505mAB=+−=.【小问2详解】在三角形BCD中，由余弦定理得22505025050cos120503BC=+−=，()62sin105sin60

45sin60cos45cos60sin454+=+=+=，在三角形ACD中，由正弦定理得50,1001sin105sin306224ACCDAC===+，()2562AC=+，直线CD与直线AB不垂直，理由如下：()CDABCDCBCAC

DCBCDCA=−=−()50503cos30502562cos45=−+2500125030=−,所以直线CD与直线AB不垂直.20.已知函数2()ln1()fxmxxxm=−+R．（1）当1m=时，求曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线方程；

（2）若()0fx在区间[1,)+上恒成立，求m的取值范围；（3）试比较ln4与2的大小，并说明理由．【答案】（1）10xy+−=（2）(,2−（3）ln42【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；（2）将()0fx在

区间)1,+上恒成立，转化为1ln0mxxx−+，令()1lngxmxxx=−+，问题转化为()max0gx，利用导数求函数()maxgx即可得解；（3）由（2）知，2m=时，()0fx在区间)1,+上恒成立，取2x=，可得解.【小问1详

解】当1m=时，()2n1lfxxxx−+=，()ln12fxxx=+−，所以曲线()fx在点()()1,1f处切线的斜率()11kf==−，又()10f=，所以曲线()fx在点()()1,1f处切线的方程为()1yx=−−即10xy+−=.【小问2详解】()0

fx在区间)1,+上恒成立，即2ln10mxxx−+，对)1,x+，即1ln0mxxx−+，对)1,x+，令()1lngxmxxx=−+，只需()max0gx，()222111mxmxgxxxx−+−=−−=，

)1,x+，当0m时，有0mx，则()0gx，()gx在)1,+上单调递减，()()10gxg=符合题意，当0m时，令()21hxxmx=−+−，其对应方程210xmx−+−=的判别式24m=−，若0即02m时，有(

)0hx，即()0gx，()gx在)1,+上单调递减，()()10gxg=符合题意，若0即2m时，()21hxxmx=−+−，对称轴12mx=，又()120hm=−，方程210xmx−+−=的大于1的

根为2042mmx−−=，()01,xx，()0hx，即()0gx，()0,xx+，()0hx，即()0gx，所以函数()gx在()01,x上单调递增，()()10gxg=，不合题意.综上，()0fx在区间)1

,+上恒成立，实数m的取值范围为(,2−.【小问3详解】由（2）知，当2m=时，()0fx，在区间)1,+上恒成立，即22ln1xxx−，对)1,x+，取2x=代入上式得22ln21，化简得ln42.21.已知()12:,,,4nnAaa

an为有穷数列．若对任意的0,1,,1in−,都有11iiaa+−（规定0naa=）,则称nA具有性质P．设()(),1,22,1,2,,nijTijaajinijn=−−−=．（1）判断

数列45:1,0.1,1.2,0.5,:1,2,2.5,1.5,2AA−−是否具有性质P？若具有性质P,写出对应的集合nT;（2）若4A具有性质P,证明:4T;（3）给定正整数n,对所有具有性质P数列nA,求nT中元素个数的最小值．【答案】（1）4A不具有性质P,5A具有性质P,

()()()()51,4,2,4,2,5,3,5T=（2）证明见解析（3）3n−【解析】【分析】(1)根据性质P的定义,观察到321.31aa−=,可得4A不具有性质P,根据5:1,2,2.5,1.

5,2A,可以发现5A中相邻两项及首尾两项的差的绝对值均小于等于1,故5A具有性质P,根据5T定义代入求值,即可得出5T;(2)“4T”等价于“证明()()1,3,2,4两个元素至少有一个在4T中”,利用反证法假设()()1,3,2,4两个元素都不在4T中,通过范围推出矛盾即可.(3)设

nT中元素个数最小值为nd,根据新定义可得11nndd−+,以此类推可得44nddn+−,由(2)中的结论可得41d,即可得3ndn−,再进行验证即可.【小问1详解】解:由题知4:1,0.1,1.2,0.5A

−−,即12341,0.1,1.2,0.5,aaaa===−=−因为321.31aa−=,所以4A不具有性质P,由于5:1,2,2.5,1.5,2A,即123451,2,2.5,1.5,2,aaaaa=====因为21324311,0.51,1

1,aaaaaa−=−=−=的54510.51,11,aaaa−=−=故5A具有性质P,因为41420.51,0.51,aaaa−=−=523501,0.51,aaaa−=−=故()()()()51,4,2,4,2,5,3,5T=;【小问2详解】“4T”等价于“证

明()()1,3,2,4两个元素至少有一个在4T中”,假设()()1,3,2,4两个元素均不在4T中,则有31421,1,aaaa−−不妨设12aa≤,若23aa,则由()()313221aaaaaa−=−+−,可得3111aa−−,与311aa−矛盾,故23aa,同理34aa

,从而1234aaaa,所以()()01414221421aaaaaaaaaa−=−=−+−−,与4A具有性质P矛盾,所以假设不成立即4T;【小问3详解】设()123min,,,,21,knaaaaakn=−规定1k=时,1kna

a−=,,kn=时,11kaa+=,则11,,1kkkkaaaa−++,所以111kkaa+−−,考虑数列311:,,kkkBaaa−+,112311:,,,,,,,nkknCaaaaaa−−+,由题设可知

,他们均具有性质P,设nT中元素个数最小值为nd,所以11nndd−+,所以124124nnnddddn−−+++−,由(2)知41d,从而3ndn−,当21nm=+时,令()()31,2,,,1,2,,12imiai

imamiim+===+−=+,当2nm=时,令()()11,2,,,1,2,,2imiaiimamiim+===+−=,此时均有3ndn=−,所以nT中元素个数的最小值为3n−.【点睛】思路点睛:此题考查数列与集合结合的新定义问题,属于难题,关于新定义题

的思路有:(1)找出新定义有几个要素,找出要素分别代表什么意思;(2)由已知条件,看所求的是什么问题,进行分析,转换成数学语言;(3)将已知条件代入新定义的要素中;(4)结合数学知识进行解答.