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专练39空间向量的应用授课提示：对应学生用书83页[基础强化]一、选择题1．若两不重合直线l1和l2的方向向量分别为V1＝(1，0，－1)，V2＝(－3，0，3)，则l1和l2的位置关系是()A．平行B．相交C．垂直D．不确定答案：A解

析：∵V1＝－13V2，∴l1∥l2.2．若a＝(2，－2，－2)，b＝(2，0，4)，则a与b的夹角的余弦值为()A．48585B．6985C．－1515D．0答案：C解析：∵|a|＝22＋（－2）2＋（－2）2＝23，|b|＝22＋02＋42＝25，a·b＝2×2＋(－2)×0＋(－2)

×4＝－4，∴cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－423×25＝－1515.3．若直线l的一个方向向量a＝(2，2，－2)，平面α的一个法向量b＝(1，1，－1)，则()A．l⊥αB．l∥αC．l⊂αD．A，C都有可能答

案：A解析：∵a＝2b，∴a与b共线，∴l⊥α.4．在空间四边形ABCD中，AB→·CD→＋AC→·DB→＋AD→·BC→＝()A．－1B．0C．1D．不确定答案：B解析：如图，令AB→＝a，AC→＝b，AD→＝c

，则AB→·CD→＋AC→·DB→＋AD→·BC→＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.故选B.5．若平面α，β的法向量分别为m＝(2，－

3，5)，n＝(－3，1，－4)，则()A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交，但不垂直D．以上均不正确答案：C解析：∵m与n不共线，且m·n＝－6－3－20≠0，∴α与β相交但不垂直．6.如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC＝()A．62

B．6C．12D．144答案：C解析：∵AB＝BC＝6，∠ABC＝120°，∴AC＝63，建立如图所示的空间直角坐标系，其中O为AC的中点，则P(0，－33，6)，C(0，33，0)∴|PC|＝（0－0）2＋（33＋33）2＋62＝12.7.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B

1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与AB1夹角的余弦值为()A．55B．53C．255D．35答案：A解析：设BC＝1，则B(0，0，1)，C1(0，2，0)，A(2，0，0)，B1(0，2，1)，BC1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(0，2，－1)，AB1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(－2，2

，1)，BC1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·AB1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝0×(－2)＋2×2＋(－1)×1＝3.|BC1|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝5，|AB1|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝3，∴cos〈|BC1|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，|AB1|⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗〉＝BC1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·AB1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BC1|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB1|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝35×3＝55.8．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝3，D，E分别是AC1

和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案：A解析：∵AB＝1，AC＝2，BC＝3，∴AB2＋BC2＝AC2，∴AB⊥BC，建立如图所示的空间直角坐标系，则

A(1，0，0)，C1(0，3，h)，B1(0，0，h)，B(0，0，0)∴D(12，32，h2)，E0，0，h2.∴DE→＝(－12，－32，0)，显然面BB1C1C的法向量为m＝(1，0，0)，∴DE→与平面BB1C1C所成角α满足sinα＝DE→·m|DE

→|·|m|＝121×1＝12，又α∈[]0°，90°，∴α＝30°.9．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥面ABCD，若AB＝PA，则平面ADP与平面CDP所成的二面角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案：D解析：建

立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，C(1，1，0)，P(0，0，1)，显然面ADP的法向量m＝(1，0，0)，设平面CDP的法向量n＝(x，y，z)，CD→＝(－1，0，0)，CP→＝(－1，－1，1)，∴－

x＝0，－x－y＋z＝0，令y＝1，则z＝1，∴n＝(0，1，1)，m·n＝1×0＋0×1＋0×1＝0，∴m⊥n，∴平面ADP与平面CDP所成的角为90°.二、填空题10．已知四边形ABCD为平行四边形，且A(4，1，3

)，B(2，－5，1)，C(3，7，－5)，则顶点D的坐标为________．答案：(5，13，－3)解析：设D(x，y，z)，由题意得AD→＝BC→，∴(x－4，y－1，z－3)＝(1，12，－6)∴x＝5，y＝13，z＝－3，∴D(5，13，－3).11．已知空间三点A(

0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)，则以AB→，AC→为邻边的平行四边形的面积为________．答案：73解析：AB→＝(－2，－1，3)，AC→＝(1，－3，2)，∴AB→·AC→

＝－2＋3＋6＝7，|AB→|＝14，|AC→|＝14.又cos〈AB→，AC→〉＝AB→·AC→|AB→||AC→|＝714×14＝12，∴sin〈AB→，AC→〉＝32，∴平行四边形的面积S＝|AB→|×|AC→|×sin

〈AB→，AC→〉＝73.12．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则D1点到平面A1BD的距离为________．答案：233解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)

，B(2，2，0)，∴D1A1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(2，0，0)，DA1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(2，0，2)，DB→＝(2，2，0).设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则{n·DA1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑥+2z=0n·DB→=2𝑥+2y=0令x＝1

，则n＝(1，－1，－1)，∴点D1到平面A1BD的距离是[能力提升]13.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝2a3，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A.斜交B．平行C．垂直D．MN在

平面BB1C1C内答案：B解析：建立如图所示的空间直角坐标系，由于A1M＝AN＝2a3，则Ma，2a3，a3，N2a3，2a3，a，MN→＝－a3，0，2a3.又C1D1⊥平面BB1C1C，所以C1D1＝

(0，a，0)为平面BB1C1C的一个法向量．因为MN→·C1D1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝0，所以MN→⊥C1D1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以MN∥平面BB1C1C.14．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC

＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°答案：C解析：如图所示，以A1为坐标原点，A1B1所在直线为x轴，A1B1为单位长度，A1C1所在直线为y轴，A1A所在直线为z轴，建立空间直角坐标系A1－xyz.则可得A1(0，0

，0)，B1(1，0，0，)，C1(0，1，0)，A(0，0，1)，B(1，0，1).所以A1B＝(1，0，1)，AC1＝(0，1，－1).15．若平面α的一个法向量n＝(2，1，1)，直线l的一个方向向量为a＝(1，2，3)，则

α与l所成角的正弦值为________．答案：216解析：设直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝n·a|n||a|＝|2×1＋1×2＋1×3|22＋12＋12·12＋22＋32＝216.16.如图所示，四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边

形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC＝45°，BC＝22，AB＝2，SA＝SB＝3.求直线SD与平面SAB所成角的正弦值为________.答案：2211解析：如图所示，作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥

底面ABCD，得SO⊥底面ABCD.由SA＝SB，可得OA＝OB.又由∠ABC＝45°，得△ABO为等腰直角三角形，OA⊥OB.建立如图所示空间直角坐标系O－xyz，则A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(0，－2，0)，S(0，0，1)，D(2，－22，0)，DS→＝(

－2，22，1)，SA→＝(2，0，－1)，SB→＝(0，2，－1).设平面SAB的法向量为n＝(x1，y1，z1)，由n·SA→＝0，n·SB→＝0得2x1－z1＝0，2y1－z1＝0，令z1＝2，得n＝(1，1，2).设直线SD与平面SAB所成角为θ，则sinθ＝|cos〈

DS→，n〉|＝|DS→·n||DS→||n|＝|－2＋22＋2|11×2＝2211.所以直线SD与平面SAB所成角的正弦值为2211.